费马大定理[电影解说]

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁(lu)‧怀爾斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的⌨️历史(shi)始末，往前回溯来看，1994年正是我在念大学的時候，当时完全没📼有一(yi)位教授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真正的研究者，自然(ran)而然地会被数學吸引🛖，然而对一位不是天才的学生来说(shuo)，他需要的是老师的指引，引导他走嚮更高深的专业认知，而指引的道(dao)🦡路，就在科普的精神上。 从费玛最后定理的历史中可以发现，有许(xu)🌩️多研究成果，都是研究人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然(ran)后再尝试用逻辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 當(dang) n>2 时，不🏕️存在整数解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一(yi)本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这💴里开始。 2. 毕(bi)达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的平方=另外两边的平方(fang)和 x2+y2=z2 毕达哥🕥拉斯三元组：毕氏定理的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的(de)问题8时，在页🥢边写下了註记 「不可能将一个立方数写成两个立方(fang)数之和；或者将一个四次幂寫🛎️成两个四次(ci)幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於2次(ci)幂，写成两个同样次幂的和。」 「对这个命题(ti)我有一个🎫十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出(chu)版了载有Fermat註记的「丢番图的算数🤿」 5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱(lai)昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证🚐明了 n=3 時无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只要证明费玛最后(hou)定理对於所有的质数都🚇成立 但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」 6. 1776年 索(suo)菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证🕯️明了 费玛最后(hou)定理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热(re)尔曼的证明，证明👜了 n=5 无解 8. 1839年 加布裡尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年(nian) 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时🍜宣(xuan)称已经证明了 费玛最后定理 最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的(de)信，说科西与拉梅的🦉证明，都因为「虚数没有唯一因子分解性質」而失败 库默(mo)尔证明了 费玛最后定理的完整证明 是當时数学方法不🍣可能(neng)实现的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 補救了库默尔的证明(ming) 这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决💈 沃(wo)尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年(nian)8月8日 大卫‧希🍤爾伯特，提出数学上23个(ge)未解决的问题且相信這是迫切(qie)需要解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性🧿定理 第一不可判定(ding)性定理：如果公理集合论是相容的，那(na)么存在既不能证明又不能否定的定理。 => 完全性是不可🥔能达(da)到的 第二不可判定性定理：不存在能证(zheng)明公理系统是相容的🏎️构造性过程(cheng)。 => 相容性永远不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问(wen)题是🏛️不是不可判定的方法（只适用少数情形） 证明希尔(er)伯特23个问题中，其中一个「连续🚖统假设」问题是不可判定的，这对於费(fei)玛最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵(ling) Alan Turing 发💚明破译 Enigma编码 的反转机 开始有人利用暴力解决方法，要对 费瑪(ma)🍤最后定理 的n值一个一个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯(si) Naom Elkies 对於 Euler 提出🌬️的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一个(ge)反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线 研究椭圆🥇曲(qu)线的目的是要算出他们的整数解，这跟费玛最后定🥛理一样 ex: y2=x3-2 只有一组整数解(jie) 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在一個数🎰26，他是(shi)夹在一个平方数与一个立方数中间) 由於要直接找(zhao)出椭圆曲线是很困难的，为了简化🦥问题，数学家採用「时鐘运算(suan)」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可(ke)能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然🎐后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四(si)个解 对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村🍉五郎 与 谷(gu)山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式 模型式的要素(su)可从1开始标🥐号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月(yue) 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圆曲线🛣️的 E序列，两个不同领域的(de)理论突然被连接在一起 安德列‧韦依 採纳(na)🪀这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个统一化猜(cai)想的理论，并开始寻找统一的环🚠链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设(she)费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为(wei)🐋y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致於无法被模型(xing)式化 (3) 谷山-志村猜想 断言😆每一个椭(tuo)圆方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是错误的 反过来說 (1) 如果 谷(gu)山-志村猜想 是对🚕的，每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭圆方程(cheng)式都可以被模型式化，則不存在弗🌞赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方(fang)程式，那麼xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是對(dui)的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗🦪赖椭圆方程式无法被模型式化 如(ru)果有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费(fei)🙊玛最后定理也是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个(ge)月发表一篇小论文，然后自己独📄力尝试证明谷山-志村猜想，策略(lüe)是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群(qun)论，希望能将E序列📀以「自然次序」一(yi)一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学(xue)证明谷山-志村猜想，但结💒果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方(fang)程式拆解成无限多项，然后也证明了第一项必定是模🚞型式(shi)的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败 24.1992年🥽 修改 科利(li)瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方程式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克(ke)‧凯兹 Nick Katz 的协助🚀，开始对验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表(biao)谷山-志村猜想的证明 27.1993年💿9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯(si) Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望在这時候公📽️布证(zheng)明，让其他人分享完成证明的甜美果实 28.安德鲁‧怀尔斯(si) Andrew Wiles 在接近🤗放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找(zhao)到理查德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发(fa)现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科🚃利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解(jie)决问题 30.「穀山-志村猜想」被证明了，故得证「费玛最(zui)后👛定理」 ii 费马大定理 300多年以前，法国数学(xue)家费马在一本书的空白处寫下了一个(ge)定理：“设👁️‍🗨️n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没(mei)有非零整数解”。 费马宣稱他发现了这个定理的一个(ge)真正🍉奇妙的证明，但因书上空白太(tai)小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专(zhuan)业🚈数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功(gong)而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的🌮定理—费马大定理。 费(fei)马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的數学家，他最初学习法律并以当律师謀生🦼，后(hou)来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱(ai)好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注(zhu)意数学，但费马对数🥈论和微積分做出了第一流的(de)贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的(de)🌀探索者之一。费马特别爱好数論，提出(chu)了许多定理，但费马💗只对其中一(yi)个定理给出了证明要點，其他定理除一个被证明是错(cuo)的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的⛴️數学家所证实。这唯(wei)一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理(li)，因为🥞是最后一个未被证明对或错的定(ding)理，所以又称为费马最后定理🥾。 费(fei)马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已經有了很大进展，特(te)别是最近🔥几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费(fei)马大定理都成立。1983年一位年轻🌓的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能(neng)有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获🦜得了数学界的最高奖之一费(fei)尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费(fei)马大定理，但随🧥后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威(wei)尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公⏰认，但大多数(shu)数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看🥾到了(le)希望。 为了尋求费马大定理的解(jie)答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家們前(qian)赴后继，却壮志未酬🐕。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁(lu)·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用13 0页長的篇幅(fu)证明了费📆马大定理。怀尔斯成为整(zheng)个数学界的英雄。 费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个(ge)每个中学生都熟悉🦅的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕(bi)达哥⛺拉斯定理说：在一个直角三角形中， 斜边的平方等于两直角(jiao)边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当☺️費马在 研究毕达哥拉斯方程时，他写(xie)下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当🍄n 大于(yu)2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题(ti)8的页边处记下这 个結论的同时又写下🕦一个附加的评注：“对(dui)此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空 白太小，写🤑不下(xia)。”这就是數学史上着名的费马大定理或称费马最后的定理。費马🏆制造了 一个(ge)数学史上最深奥的谜。 大问题 在物理学、化学🍵或生物學中，还没有(you)任何问题可以叙述得如此简单和清晰(xi)，却长🌗久不 解。E·T·贝爾(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界也许在(zai)费馬大定📓理得以解决之前就已走到了尽头。證明费马大定理成为数(shu)论中最 值得为之奋斗的事🚲。 安德鲁·懷尔斯1953年出生在英国剑(jian)桥，父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯 已着🤭迷于数学了(le)。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜(xi)欢做題目，我把它们带回家， 编写成我自己的新题💫目。不过我以前(qian)找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现📅的。 ”一(yi)天，小怀爾斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题(ti)而没有解答 ,怀尔斯被吸🎉引住了。 这就是E·T·贝尔写(xie)的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史，这个定😚理让一(yi)个又 一个的数学家望而生畏，在长达300多年(nian)的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆👕 起被引向费马(ma)大定理时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解(jie) 决它。这里正摆着我——一🐗个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知(zhi)道我永 远不会放弃它。我必须🧵解决它。” 怀尔斯(si)1974年从牛津大学的Merton学院获得数学學士学🖼️位，之后进入剑桥(qiao)大学Clare 学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说(shuo)：“研究🥿费马可能 带来的问题是：你花费了多年的时间而最终一事(shi)无💹成。我的导师约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理論，我开始(shi)跟随他工作。” 科茨说：“我🍿记得一位同(tong)事 告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学🥗士荣誉学位第三部考(kao)试的学生，他催促我收其 为学生。我非常荣幸有安德鲁(lu)这样的学生。即使从🍴对研究生的要求来(lai)看，他也有很深刻的 思想，非常清楚(chu)他将是一个做大事情的数学家。當然，任何🕚研究生在那个阶段直接开(kai)始研 究費马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家📞来说，它也(ye)太困难了。”科茨的责任 是为怀尔斯找到某种至少能使他(ta)在今后三年里有兴趣去研究📸的问题。他说：“我认为研究 生导师能为學生做的(de)一切就是设法把他推嚮一个富有成(cheng)果的方向。当然，不能🛳️保证它一定 是一个富有成果的研究方向，但是也许年長(zhang)的数学家在这个过程中能做的一件事是使用🐢他(ta) 的常识、他對好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多🌡️大成(cheng)绩就是他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆(yuan)曲线的领☃️域。这个决定成为怀尔斯职(zhi)业生涯中的 一个转折点，椭圆方程(cheng)的研究是他实现梦想🥣的工具。 孤独的(de)战士 1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到(dao)⛸️了美国普林斯顿大学，并成为这所大学 的教授。在科茨(ci)的指导下🖲️，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圓方程，他已经成(cheng)为一 个着名的数论学家，但他清楚地(di)🥯意识到，即使以他广博的基础知识和数学修養，证明费马 大定(ding)理的任务也是极为艰巨的🌫️。 在怀尔斯的费马大定理的证明(ming)中，核心是证明“谷山－志📰村猜想”，該猜想在两(liang)个非 常不同的数学领域间建立(li)了一🦞座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一(yi)个朋 友家中啜饮冰🚲茶。谈話间他随意告诉我，肯·里贝特已(yi)经证明了谷山－志村猜想与费马大 定理间的联系(xi)。我感到極大的震🛥️动。我记得那个时刻，那个改(gai)变我生命历程的时刻，因为 这意味着为(wei)了证明费馬大定理，我必须做的一切就是📫证明(ming)谷山－志村猜想……我十分清楚 我應该(gai)回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯💳望见了一条实现他童年梦(meng)想的道路。 20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希🥉尔伯特为什(shen)么不去尝試证明费马大定理，他 回(hui)答说：“在开😃始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究(jiu)，而我没有那么多的时间🧢 浪费在一(yi)件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了(le)找到證明，他必须⭐全身心地投入到 这个问题中，但是与希尔伯特不(bu)一样，他愿意冒这个风险。 怀尔斯作了一个重大的決定🐛：要完全独立和(he)保密地进行研究。他说：“我意识到与费 马大定理🍰有关的任何事情都会(hui)引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使(shi)自己精📘力集中 ，除非你的专心不被他人分散，而这(zhe)一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放🎸弃了所有 与(yu)证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要(yao)可能🎑他就回到家里工作，在家里的頂 楼书房里他开始了通(tong)过谷山－志村猜想来证明费马大定理的(de)战🕥斗。 这是一场长达7年的持久战，这期间(jian)只有他的妻子知道他在证明费马大定理。 欢呼与等待 经过🧿7年的努力，怀尔(er)斯完成了谷山－志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了😎 费马大定理。现在(zai)是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会(hui)议要在剑桥大 学的牛顿研究所举行🛤️。怀尔(er)斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选(xuan)择 在牛顿研究所宣布的另外🛴一个主要原因是剑(jian)桥是他的家乡，他曾经是那里的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举(ju)行了20世纪最重🏩要的一次数学讲座。两百名数学(xue)家聆 听了这一演讲，但他们之中只有四分之一(yi)的人完全懂得黑板上的希腊🥈字(zi)母和代数式所表达 的意思。其余的人来这里是为了(le)🍺见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安(an) 德鲁·怀尔斯。怀爾斯回忆起演讲最🍟后(hou)时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有(you)关演讲的风 声，很幸运他們没有来听演讲。但是听众中有🖍️人拍摄了演讲结束(shu)时的镜头，研究所所长肯 定事先就准备了一瓶香槟😳酒。当我宣读证明时，会(hui)场上保持着特别庄重的寂静，当我写完 费马大定理的(de)证明时，我说：‘我想我就在这🍗里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声(sheng) 。” 《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的數学之(zhi)🪕谜获解》为题报道 费马大定理被證明的消息。一夜之间，怀尔(er)斯成为世界上最着名🦪的数学家，也是唯一(yi)的数 学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具(ju)魅🤩力者”。最有创 意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们(men)邀请这位温文尔雅🧤的天才作他们新系(xi)列男装的模 特。 当怀尔斯成为媒体报道的中心时🏓，认真核对这个证明的工(gong)作也在进行。科学的程序要 求任何数学家将完整(zheng)的手稿送交一个有声望的刊物，然后🌲这個刊物的编辑将它送(song)交一组审 稿人，审稿人的职责是進(jin)😙行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿(gao)投到《数学发明》，整整一个 夏天他焦急地(di)等待审稿人的📘意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的(de)一个缺陷🧩被发 现了。 我的心灵归于平静 由于怀尔斯(si)的论文涉及到📜大量的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常(chang)那样指定 2－3个审稿人，而是6個审🦝稿人。200页的证明被分(fen)成6章，每位审稿人负责其中一章。 怀尔🚦斯在此期间中断了他的工作(zuo)，以处理审稿人在电子邮件中提出的问🌷题，他自信这 些问题不会给他造成很(hen)大的麻烦。尼克·凯兹负责审🧉查第3章，1993年8月23日，他发现了 证明(ming)中的一个小缺陷。数学的绝对主义要🏘️求怀尔斯无可怀疑地证明他(ta)的方法中的每一步都 行得通。怀尔斯以为这又是(shi)一个小问🧃題，补救的办法可能就在近旁，可是6個多月过去了 ，错误仍未(wei)改正🦃，怀爾斯面临绝境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说🥸明自己(ji)的情 况，萨克向他暗示困难的一部分在于(yu)他缺少一个能夠和他讨论问题并且可信赖的人(ren)。经過 长时🎙️间的考虑后，怀尔斯决定邀请(qing)剑桥大学的讲师理查德🍨·泰勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月(yue)份到普林斯顿，可🧧是到了9月，依然没有结果，他(ta)们准备放弃了。泰勒 鼓勵他们再坚持一个月。怀(huai)尔斯决🙈定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个(ge)星期一的早 晨，怀尔斯发现了问题的答案，他(ta)叙述了这一時刻：“突🔊然间，不可思议地，我有(you)了一个 难以置信的发现。这是我的事业中最🍑重要的时刻，我不会(hui)再有这样的经历……它的美是如 此地(di)难以形容；它又是如此简单和优美。20多分🌂钟的时间我獃望(wang)它不敢相信。然后白天我 到系里转了🥒一圈，又回到桌子旁看(kan)看它是否还在——它还在那里。” 这是少年时代的梦想和8年(nian)潜心努力的终极，怀尔斯终于向世😚界证明了他的才能。世 界不再懷疑(yi)这一次的证明了。这两篇论文总共有(you)130页，是历史上核查得最彻🎹底的数学稿 件，它们发表(biao)在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出現🥁在《纽约时(shi)报》的头版 上，标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数(shu)🍤学的术语来说，这个最 终的证明可与(yu)分裂原子或发现DNA的结構相比，对费马大定📖理的证明是人类智力活(huo)动的一 曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了(le)革命🦆性的变化。对我说来，安 德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数(shu)論的巨大的一步。” 声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀🗺️尔斯獲得瑞典皇家学(xue)会颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并(bing)当選为美国科学🚌院外籍院士。 怀尔斯说：“……再没有别的问题能(neng)像费马大定🚃理一样对我有同样(yang)的意义。我拥有如 此少有的特权，在我的成年时期实现我童年(nian)的梦想……那段特殊漫😜長的探索已(yi)经结束了， 我的心已归于平静。” 费马大定理只⛩️有(you)在相对數学理论的建立之后，才会得到最满意的答案。相对数学理(li)论没有完🐛成之前，谈这个问题是无力地.因为人们对数量(liang)和自身的认识，还没有达到一定的高度. iii 费马大🚇定理与怀尔斯(si)的因果律-美国公众广播网对怀爾斯的专访 358年的难解之谜 数(shu)学爱好者🌋費马提出的这个问题非常简单，它用一个(ge)每个中学生都熟悉的数学🎪定理——毕达哥拉斯定理来表(biao)达。2000多年前誕生的毕达哥拉斯定理💨说：在(zai)一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和(he)。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年🕖前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书(shu)靠🕊️近问题8的页边处写下了这段文字(zi)：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有🚞非整数解，对(dui)此，我确信已发现一个美妙的证法，但这里的空白太(tai)小，写不下。”费马习惯在页🤪边写下猜想，费马大定理是其中困扰数学家们(men)时間最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公(gong)认为有史以来最🐷着名的数学猜想。 在畅销书作家(jia)西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发(fa)的长达358年的猎逐充满了🥂惊险、悬疑(yi)、绝望和狂喜。这段历史先后涉及到最多产的数学🍅大师(shi)欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业数学(xue)家📈的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔(er)和被誉为“法国历史上知识最为高深🕣的女(nü)性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山(shan)丰的神秘自🧄殺、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯爾(er)最后一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥🌲间上帝导演的宏大戏(xi)剧中的一幕，为最后谜底的解开埋下伏🍲笔。终於(yu)，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然而止，留(liu)下一段耐人回味的传🐈‍⬛奇。 对怀尔斯而言，证明费马大定理不仅(jin)是破译一个难解之谜，更是去实现一个儿时🐛的梦想。“我10岁时在图(tu)书馆找到一本數学书，告诉我有这么一个问题，300多(duo)年前就已经有人解决了它，但卻没有人🚡看到过它的证明，也无人确信是否(fou)有这个证明，从那以後，人们就不断地求证。这是一个10岁🌜小孩(hai)就能明白的问题，然后历史上诸多伟大(da)的数学家们却不能解答。于是从(cong)那时起，我就试☔過解决它，这个问题就是费马大定理。” 怀尔(er)斯于1970年先后🀄在牛津大学和剑桥大(da)学获得数学学士和数学博士学位。“我(wo)进入剑桥时，我真正把费马大定理搁在一边了。这不🛳️是因为(wei)我忘了它，而是我認识到我们所掌握的用来攻(gong)克它的全部技术已经反复使用了130年🔥。而这些技术似乎(hu)没有触及问题根本。”因为担心耗費太多时间而(er)✒️一无所获，他“暂时放下了”对费马大定(ding)理的思索，开始研究椭圆曲线理(li)论——这个看似与证明😯费马大定理不相关的理论后来(lai)却成为他实现梦想的工具。 时间回溯至20世纪60年代，普林斯(si)頓数学🍡家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要数学領域之间☂️原本(ben)就存在着的统一的链接。如果这(zhe)个猜想被证实，意味着在某个数学领域中无法解答的任🍅何问題都(dou)有可能通过这种链接被转换成另(ling)一個领域中相应的问题——可以被一整套新方案解🖲️决的問题。而如(ru)果在另一个领域内仍然难以找到答案，那么可以把(ba)问题再转换到下一个✒️数学领域中……直到它被解决为止。根據朗兰兹纲领，有一(yi)天，数学家🥹们将能够解决曾经是(shi)最深奥最难对付的問题——“办法是领着(zhe)这些问题周游数学王国的各个风景胜地”。这个纲领🐹为饱受(shou)哥德尔不完备定理打击的费马大定(ding)理证明者们指明了救赎之路——根据不完备定(ding)理，费马🏀大定理是不可证明的。 怀尔斯后来正是依赖于这个纲领🏝️才得(de)以证明费马大定理的：他的证明——不同於任何前人的尝试——是现(xian)代😘数学諸多分支（椭圆曲线论，模形式理論，伽罗华表示理论(lun)等等)综合发挥作😗用的结果。20世纪50年代由两位日本数学家（谷山丰(feng)和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆🪢方程(cheng)与模形式两个截然不同的数学岛屿间隐藏着一座沟通(tong)的桥梁。随后在💽1984年，德国数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）給出(chu)了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立(li)，则费马大定理🎧为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费(fei)马大定理不可摆脱地与⚓谷山—志村猜想链接在一起：如果有人能证明谷山(shan)—志村猜想🍉（即“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那么就证明了费馬大(da)定理。 “人类智力活动的一曲凯🦮歌” 怀尔斯(si)诡秘的行踪让普林斯顿的着名数学家同事们🛝困惑。彼(bi)得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆說：“ 我常常奇怪怀尔斯在做些什么？……他總是静悄悄的，也许他已(yi)经‘黔驴技穷’了🌞。”尼克·凯兹则感嘆到(dao)：“一点暗示都没有！”对于这次惊天“大预谋✉️”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这(zhe)可能是我平生来见过的唯一例子(zi)🚈，在如此长的时间里没有泄露任何有关工作的信息。这是空前(qian)的。 1993年晚春，在经过反复的⚽试错和绞尽腦汁的演(yan)算，怀尔斯终于完成了谷山—志村猜想的证明。作为一個结果，他也(ye)证明了费马大定理。彼📨得·萨奈克(ke)是最早得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我(wo)记得当晚我失眠了”。 同年🍐6月，懷尔斯决定在剑桥大学的大型(xing)系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多数学🕶️界重要人(ren)物到场，当大家终于明白已经离证明(ming)费馬大定理一步之遥时，空气中充🚄满了紧張。” 肯·里比特回忆说。巴(ba)里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到(dao)过如此精彩的讲🥖座，充满了美妙的、闻所未闻的新思(si)想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮(chao)。”当怀尔斯在讲座📨结尾宣布他证明(ming)了费马大定理时，他成了全世界媒体的焦点。《纽(niu)🌿约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为🍨题报道費(fei)马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上唯一的数學(xue)家。《人物》杂志将📢怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。 与此🥮同(tong)时，认真核对这个证明的工作也在进行。遗憾的是，如同这之前的📺“费马大(da)定理终结者”一样，他的证明是有缺(que)陷的。怀尔斯现在🧄不得不在巨大的压力之下修正(zheng)错误，其间數度感到绝望。John Conway曾在美🐡国公众广播网（PBS）的访谈中说: “当时我们其他(ta)人（怀尔斯的同事）的行为有点像‘苏联政体研究(jiu)者’，都想知⏱️道他的想法和修正错误的进展，但没有人开口问(wen)他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀(huai)尔斯了。’‘他露出笑容🐝了吗？’‘他倒是(shi)有微笑，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯(si)准备放👚弃了。但他临时邀请的研究搭档(dang)泰勒鼓励他再坚持一个月。就在截止日到来之前兩(liang)周， 9月19日 ，一个星期一的📧早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他敘述了这(zhe)一时刻：“突然间，不可思😂议地，我发现了它……它美得难以形容，简单而(er)优雅。我对着它发了20多分钟🎚️呆。然后我到系里轉了一圈(quan)，又回到桌子旁看看它是否还🎬在(zai)那里——它确实还在那里。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的(de)褒扬，其中最具代表性的是他在🧶剑桥时的导师、着名数学家约翰·科茨(ci)的评價：“它（证明）是人类智力活动的一曲凯歌”。 一场旷🔈日持久的猎逐(zhu)就此结束，从此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一(yi)起，提🎑到一个就不得不提到另外一个。这(zhe)是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的(de)因果律🥏。 历时八年的最终证明 在怀尔(er)斯不多的接受媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目對怀尔斯的专访(fang)⛲相当精彩有趣，本文节选部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通(tong)常人们通过团队来获得工作上的支持，那么🤭當你碰壁时(shi)是怎么解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我🎳会沿着湖(hu)边散散步，散步的好处是使你会处于放松状态，同時你的潜意识却在(zai)继续工📫作。通常遇到困扰时你并不需要书桌，而且我随时把笔纸(zhi)带上🍛，一旦有好主意我会找个长椅坐(zuo)下來打草稿…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与成🦦功……你不可能絕对有(you)把握证明。 怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨道上，但那并不意味(wei)🥼着我一定能达到目标——也许仅仅因为解决难题的方法超(chao)出现有的數学，也许我需要的方法下(xia)个世纪也不🍆会出现。所以即便我在正确的轨道(dao)上，我却可能生活在错误的世纪🦇。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀尔斯：对，那是个5月(yue)末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我(wo)坐在书桌前思考⚽最后的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行(xing)字引起了我的注意。它提到了一个👔19世纪的数学结构，我(wo)霎时意识到這就是我该用的。我不停(ting)地工作，忘记下樓午饭，到下午三四点时我🎹确信已经证明了费马大定理，然(ran)后下樓。Nada很吃惊，以为我这时才回家，我告诉她，我解决😁了(le)费马大定理。 最後的修正 NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我發现了!”，久远的数学(xue)之谜获解》，但他们💕并不知道这个证明中有个错误。 怀尔斯：那是个存(cun)在于关键推导中的错误，但它如此微(wei)妙以至于我忽略了。它很🦑抽象，我无法用简单的语言描述，就算是数学家(jia)也需要研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀请🦐剑桥的数学(xue)家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最❤️后的错(cuo)误。问题是，你的证明和費马的证明是同一个吗？ 怀尔😂斯：不(bu)可能。这个证明有150页长，用的是20世(shi)纪的方法，在费马时代還不存在。 NOVA：那就是说费马(ma)的最初证明⛱️还在某个未被发现的角落？ 怀尔斯：我不相信他(ta)有证明。我觉得他说已经找到📅解答(da)了是在哄自己。这个难题对业余爱好者如此特别在于它可能被(bei)17世纪的🐵数学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许还有数学家追寻這最初的(de)证明。你该怎么🔥办呢？ 怀尔斯：对我来说都一样，费马(ma)是我童年的热望。我会再🎎试其他问题……证明了它我有一丝伤感，它已经和我(wo)们一起这么🍶久了……人们对我说“你把我的问题夺(duo)走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感觉(jue)到有责任。我希望通过🚁解决这个问题带来的兴奋可以激励青年数学家们(men)解決其他许许多🍙多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何的🛍️对象(xiang))和模形式(某种數论中用到的周期性全纯函数)之间的📦重要联系。虽(sui)然名字是從谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完(wan)成. 若p是一个质数而📔E是一个Q(有理数域)上的(de)一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p;除🐄了有限个p值，我们會得(de)到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考🐻‍❄️虑如下(xia)序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也(ye)會产生一个数列。一个其序🐟列和从模形式得到(dao)的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山(shan)-志村定说: "所有Q上的椭圆曲线🎵是模的"。 该定理在1955年(nian)9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五🛟郎一起改进了严(yan)格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统(tong)一数学中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是关(guan)键的组🌥️成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广，Weil的名字有一段時间和它(ta)联系在一起。尽管有明显的用处，这个问🍏题的深度(du)在后来的发展之前并未被人们所感觉到。 在1980年(nian)代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着費🌍马最后定理(li)的时候，它吸引到了不少注意力。他通过试图(tu)表明费尔马大🎗️定理的任何范例会导致一个非模的椭圆曲线来做到这一点(dian)。Ken Ribet后来证明了这🦍一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(kuang)(半稳定椭圆曲线的情況)，这个特殊情况😁足以证明费尔马大定(ding)理。 完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的(de)逐步證明剩🦀下的情况直到全部完成。 数(shu)论中类似于費尔马最后定理得几个定理可以從谷山-志村定理得到。例如:没(mei)有立方😅可以写成两个互质n次幂的(de)和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖(jiang)。虽然他们都没有完成给予他🍓们这个成就的定理的完整形式，他们还(hai)是被认为对最终🥕完成的证明有着决定性(xing)影响。