费马大定理 百度百科

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁(lu)‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看(kan)，1994年正是我在念大學🧈的时候，当时完全没有一位教授在课堂(tang)上提到这件事，也许他们认为，一位真😃正的研究者，自然(ran)而然地会被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是(shi)老师的指引🌒，引导他走向更高深的专业认知，而指引的道路，就在科(ke)普的精神上。 从费玛最后定理的历(li)史中可以🦧发现，有许多研究成果，都是研究人员燃烧热情，试图提出「有趣(qu)」的🌍命题，然后再尝试用逻辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解 1. 1963年 安(an)德🗽鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问題 The Last Problem」，故事(shi)从这里开始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定🙃理，任(ren)一个直角三角形，斜边的平方=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕(bi)达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数🐈解(jie) 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷(juan)的问题8时，在页边写下了註记 「不可能将一个立方數写(xie)成两个🥑立方数之和；或者将一个四次幂写成两(liang)个四次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於(yu)2次幂，写成📑两个同样次幂的和。」 「对这个命题我有一个十(shi)分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载(zai)有Fermat註🌓记的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解(jie) 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解🚎 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无(wu)解 3是质数，现在只要证明费玛最后定理对於(yu)所有的质数都成立 但 欧基里🐟德 证明「存在无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针(zhen)对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最后定理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞🎖️-狄利克雷 和 阿(a)得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证明，证🥣明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉(la)梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯(si)‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最🦪后定理 最后是刘维尔(er)宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西與拉梅的证明，都因为「虚(xu)数没有唯一因子分解性🍋质」而失败 库默尔证明了 费玛最后(hou)定理的完整证明 是当时数学🗾方法不可(ke)能实现的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默(mo)尔的证明 这🐪表示 費玛最后定理的完整证明 尚未被解决 沃尔夫斯凱尔(er)提供了 10万马克 给提供证明的人🍔，期限是到2007年9月(yue)13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数学上🍒23个未解决的问题且相信这是(shi)迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德爾(er) 不可判定性🚟定理 第一不可判定性定(ding)理：如果公理集合论是相容的，那么存在既(ji)不能证明🥚又不能否定的定理。 => 完全性是不可能达到(dao)的 第二不可判定性定理🌠：不存在能证明(ming)公理系统是相容的构造性过程。 => 相容(rong)性永远不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检驗给🌆定问题(ti)是不是不可判定的方法（只适用少数情形） 证明希(xi)爾伯特23个问题中，其中一个📧「连续統假设」问题是(shi)不可判定的，这对於费玛最后定理来说(shuo)是一大打击 14.1940年 阿伦‧圖灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的🚡反(fan)转机 开始有人利用暴力解决方法，要对 费玛最后定(ding)理 的n值一个一个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃(ai)尔基斯 Naom Elkies 对於📝 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德魯‧怀尔斯 Andrew Wiles 师(shi)承 约🥏翰‧科次，研究椭圆曲线 研究椭圆曲线的目的是要(yao)算出他们的整数解，这跟费玛最後定理一样 ex: y2=x3-2 只🛎️有一组整数解 52=33-2 (费(fei)玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一(yi)个平方数与一个立方数中🤠间) 由於要(yao)直接找出椭圆曲线是很困难的，为了简化问题，数🍬学家採用「时(shi)鐘运算」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式🔋 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代(dai)表在五格时鐘运算中，有四个解 对於椭圆(yuan)曲线，可写出一🗻个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有(you)非同寻常的对📅称性的 modular form 模型式 模型式的要素可從1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型(xing)式的 M序列 要素🎉个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样(yang)的范例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以(yi)对應到椭圆曲线的💄 E序列，两个不同领域的(de)理论突然被连接在一起 安德列‧韦依 採纳这个想法🐈‍⬛，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹(zi)提出「朗兰兹纲领」的计画，一個统一🪡化猜想的理论，并开始寻找(zhao)统一的环链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设费玛最后定理是(shi)错的，则🎁 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转換为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗(fu)赖椭圆方程式太古怪🕕了，以致於无法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 断言每一(yi)个椭圆方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是错🧾誤的 反过来说(shuo) (1) 如果 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圓方程式都可以被模型式化 (2) 每一个(ge)椭圆方程式都可以🕦被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗(fu)赖椭圆方程式，那麼xn+yn=zn 没有🥟整数解(jie) (4) 费玛最后定理是對的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭(tuo)圆方📽️程式无法被模型式化 如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表☕示费玛(ma)最后定理也是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一個小(xiao)阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然后🦚自己(ji)独力尝试证明谷山-志村猜想，策略是(shi)利用归纳法，加上🎳 埃瓦里斯特‧伽羅瓦 的群论，希望能将E序(xu)列以「自然次序」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学🗺️证明谷(gu)山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已(yi)经将椭圆🤑方程式拆解成无限多项，然后也证明了第(di)一项必定是模型式的第一项，也尝试利用(yong) 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结🐁果失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后(hou)的椭圆方程式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼🎍克‧凯(kai)兹 Nick Katz 的协助，开始对验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯🛳️ Andrew Wiles 发表谷(gu)山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凱兹 Nick Katz 发现一个重大缺(que)陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独🍗力解决缺陷，他不希望在这时候公布(bu)证明，让其他人分享完成证明的(de)甜美果实 28.安德鲁‧怀尔⛲斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下(xia)，找到理查德‧泰🎂勒的协助 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃(wa) Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问题 30.「谷山🏫-志村猜想」被(bei)证明了，故得证「费玛最后定理」 ii 费马大定理 300多年以前，法国数🏕️学家费马在一(yi)本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整数，则不定(ding)方程xn+yn=zn沒有非零整数解”。 费马宣称他🦒发现了這个定(ding)理的一个真正奇妙的证明，但因书上空(kong)白🦝太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有(you)多少專业数学家和业余📱数学爱好者绞尽脑汁企图(tu)证明它，但不是无功而返就是进展(zhan)甚微。这就是纯数学中最着名的🍷定理—费馬大(da)定理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习(xi)法律并以当律师谋🦚生，后来成为议会议员，数(shu)学只不过是他的业余爱好，隻能利用闲暇来研究。虽然年近30才🚟认真注(zhu)意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与(yu)笛卡儿几乎同时🗯️创立了解析几何，同時又是17世纪(ji)兴起的概率论的探索者之🏉一。费马特别爱好(hao)数论，提出了许多定理，但费马只对其中一(yi)个定理给出了证明要点，其他定理除一个🦤被(bei)证明是错的，一个未被证明外，其余的(de)陆续被后来的数学家所證实。这⛪唯一未被证明(ming)的定理就是上面所说的费马大定理，因(yin)为是最后一个未被证明🐚对或错的定理，所以又称為费马最后定(ding)理。 费马大定理虽然至今仍没有完全被证明❤️‍🩹，但已经有了很大进(jin)展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格(ge)斯塔夫证明了对小于105的素🍽️数费马大定理都成立。1983年一位年(nian)轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡(gong)献🍘使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔(er)斯宣布🥻证明了費马大定理，但随后发现了证(zheng)明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔(er)斯证明费马大定理还没有得到🧥数学界的一致公认，但大多(duo)数数学家认为他证明的思🖍️路是正(zheng)确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。 为了寻求费(fei)马大定理的解答，三个多世纪以来，一代🧈又一(yi)代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯頓大学(xue)的安德鲁·怀尔斯教授经过🥼8年的孤军奋战，用13 0页长的篇幅(fu)证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数🍈学界的英雄。 费马大定理提出的(de)问题非常简单，它是用一个每个中学👕生都熟悉的数学定理——毕达 哥拉(la)斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定🛼理说：在一个直角三角(jiao)形中， 斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公(gong)🔎元1637年前后 ，当费马在 研究毕达哥拉斯方程时，他写(xie)下一🎧个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2時(shi)，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近🦊问题8的页边处记下这(zhe) 个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我確信🥼已发现一个美妙的证(zheng)法，这里的空 白太小，写不下。”這就是数学史(shi)上着名的费马大定理或称费🤑马最后的定理。费马制造了 一個数(shu)学史上最深奥的谜。 大问题 在物理学、化学或(huo)🕐生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，卻长久不(bu) 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大🦒问题》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界(jie)也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽(jin)頭。证明费😊马大定理成为数论中最 值得为之奋斗的事。 安德鲁(lu)·怀尔斯1953年出生🎷在英国剑桥，父亲是一位(wei)工程学教授。少年时代的怀尔斯 已着迷于数学了。他在后(hou)来的回忆中写到：“在学🎊校里我喜欢做题目，我把它们带回家， 编写成我(wo)自己的新题目。不过我🥜以前找到的最好的题目是在我们社(she)区的图书馆里发现的。 ”一天，小怀尔斯在弥尔頓街上的🏒图书馆看见了一(yi)本书，这本书只有一个問题而没有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这🌥️就是E·T·贝尔写(xie)的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史，这个定理让一❣️個又 一个的数学家(jia)望而生畏，在长達300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回(hui)忆 起被引向费马⛴️大定理时的感觉：“它(ta)看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解 决它。这里正摆着(zhe)我——一📧个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻(ke)起，我知道我永 远📓不会放弃它。我必须解决它。” 怀尔斯1974年从牛(niu)津大学的Merton学院获得数學学士学位，之后进入剑桥大😯学Clare 学院做博士。在研(yan)究生階段，怀尔斯并没有从事费马大定(ding)理研究。他说：“研究费马🏀可能 带来的问题是：你花费了多年的时间而最终一(yi)事无成。我的导师🦼约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工(gong)作。” 科茨说：“我🤎记得一位同事 告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士(shi)荣誉学位第三部考试的🕤学生，他催促我收其 为学生。我非常荣(rong)幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他(ta)也有很深刻🍢的 思想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研(yan)究生在那个阶段直接开始研🐕 究费(fei)马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家来说，它也太困(kun)难了。”科茨的责任 是为🕌怀尔斯找到某种至(zhi)少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究 生导师(shi)能为学生做的🦮一切就是设法把他推(tui)向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定 是一(yi)🦜个富有成果的研究方向，但是也许年长(zhang)的数学家在这个过程中🏎️能做的一件事是使(shi)用他 的常识、他对好领域的直觉。然后(hou)，学生能在这个🔉方向上有多大成绩就是他自己的(de)事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该🥳研究数学中称为椭圆(yuan)曲线的领域。这个决定成为怀尔(er)斯职业生涯中的 一个转折點，椭圆方程(cheng)🏔️的研究是他实现梦想的工具。 孤独的战士 1980年(nian)怀尔斯在剑桥大学取得🏗️博士学位后來到了(le)美国普林斯顿大学，并成为这所大学 的教(jiao)授。在科茨的指导下，怀尔🔥斯或许比世界(jie)上其他人都更懂得椭圆方程，他已经(jing)成为一 个着名的数論学家，但他清楚地意识到，即使以他广🌫️博的基础(chu)知识和数学修养，证明费马 大定理的任务也是极为艰巨的。 在怀尔斯的费马(ma)大定理的证明🧁中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两(liang)个非 常不同的数学领域🍤间建立了一座新的桥(qiao)梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋 友家中啜饮冰(bing)茶。谈话间他随意告🐭诉我，肯·里贝特已经证明了谷山－志村猜想与费马大 定理(li)间的联😚系。我感到极大的震动。我记得那个时刻(ke)，那个改变我生命历程的时刻，因為🍋 这意味着为了证明费马(ma)大定理，我必须做的一切就是证明谷🚲山－志村猜想……我十分清楚 我应该回(hui)家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见🗾了(le)一条实现他童年夢想的道路。 20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔(er)伯特为什么不去🦫尝试证明费马大定理，他 回答说：“在开始着手之前，我必(bi)须用3年的时间作深入的研究👁️‍🗨️，而我没有那么多(duo)的时间 浪费在一件可能會失败的事情上(shang)。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心💜地投入到(dao) 这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意(yi)冒这个🕧风险。 怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密🥪地(di)进行研究。他说：“我意识到与费 马大定理有关的任何事情都会引起(qi)太多人的兴趣。你确实不可🕣能很多年(nian)都使自己精力集中 ，除非你的专心不被他人分(fen)散，而这一点会因旁观者太多🍹而做不到。”怀尔斯放弃(qi)了所有 与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只🐺要可能(neng)他就回到家里工作，在家里的顶 楼书房(fang)里他开始了通过🏦谷山－志村猜想来证明费马大定理的战斗。 这是一场(chang)长🌌达7年的持久战，这期间只有他的妻(qi)子知道他在证明费馬大定理。 欢呼与等待 经过7年的努力，怀尔🐺斯完成了谷山(shan)－志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了🎴 费马大(da)定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要(yao)在剑桥大 学的牛顿研究所举行。怀🌃尔斯决定利用这个机会向一(yi)群杰出的听众宣布他的工作。他选择 在(zai)牛顿研究所宣布的另外一个主🎶要原因是劍桥是他的家乡，他曾经是那(na)里的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了(le)20世纪最重要的一次数学讲🦅座。两百名数学家聆 听了这一演(yan)讲，但他们之中只有四分之一的人完(wan)全懂得黑板上的希腊🗒️字母和代数(shu)式所表达 的意思。其余的人来这里是为了(le)见证他们所期待的一个🖍️真正具有(you)意义的时刻。演讲者是安 德魯·怀尔斯。怀尔斯回忆(yi)起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经(jing)刮起💟有关演讲的风 声，很幸运他们没有来听演讲(jiang)。但是听众中有人拍摄🏡了演讲结束时的(de)镜头，研究所所长肯 定事先就准备了一瓶💶香槟酒。当我宣读证明时，会(hui)场上保持着特别庄重的寂静，当我写完 费马大定理的证明时(shi)，我说：‘我想我🐒就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头(tou)版以《终于欢呼“我发现了!”，久😘远的数学之谜获解》为题报道 费马大定理被(bei)证明的消息🐒。一夜之间，怀爾斯成为世(shi)界上最着名的数学家，也是唯一的数 学家。《人物》杂志将怀尔(er)斯与🌅戴安娜王妃一起列為“本年度25位最具魅力者”。最有创 意🏉的(de)赞美来自一家國际制衣大公司，他们邀请(qing)这位温文尔雅的🏝️天才作他们新系列男装的模 特。 当怀尔(er)斯成为媒体报道的中心时，认真核📹对这个证明的工作也在进行。科学的程(cheng)序要 求任何数学家将完整的手稿(gao)送交一个有声望的刊物🎙️，然后这个刊物的编辑将它送交一组审 稿人(ren)，审稿人的职责是进行逐行🏐的审查证明。怀尔(er)斯将手稿投到《数学发明》，整整一個(ge) 夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能🌄得到他们的祝福。可是，证明(ming)的一个缺陷被发 现了。 我的心灵归於平静 由于怀尔斯的论文涉及到大🗯️量的(de)数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指🚝定 2－3个审稿人，而是6个(ge)审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人(ren)负责其中一章。 怀尔斯🏉在此期间中斷了他的工作，以处理审稿(gao)人在电子邮件中提出的问题，他自信这 些问題不会💗给(gei)他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第(di)3章，1993年8月23日，他发现了 证明中的一个小缺🤩陷。数學的绝对主义要求怀尔(er)斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都 行得通。怀尔斯以为这(zhe)又是一个小🔉问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了 ，错误仍(reng)未改正，怀尔斯面临🧊绝境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自(zi)己的情 况，萨克向他🌼暗示困难的一部分在(zai)于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的(de)人。经过 长时间的考🥙虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查(cha)德·泰勒到普林斯顿和他一起工📍作 。 泰勒(lei)1994年1月份到普林斯頓，可是到了9月，依然没有结果，他们准备放棄了。泰🕹️勒 鼓励(li)他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个🏟️星期一(yi)的早 晨，怀爾斯发现了问题的答案，他叙述了这一🕕时刻：“突然(ran)间，不可思议地，我有了一个 难以置信的发现。这(zhe)是😮我的事业中最重要的时刻，我不会再有这样的经历……它(ta)的美是如 此地难以形容；它又是如🎰此简单和优(you)美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我 到系里转了一圈，又回到桌(zhuo)子旁看看它是否🩳还在——它还在那里。” 这是少年(nian)时代的夢想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向📝世界证明了他的才能。世(shi) 界不再怀疑这一次的证明了。这(zhe)两篇论文总共有130页，是🤪历史上核查得(de)最彻底的数学稿 件，它们发表在1995年5月的(de)《数学年刊》上。懷尔斯再一次出现在《纽(niu)约🌨️时报》的头版 上，标題是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说(shuo)：“用数学的术语来🍮说，这个最 终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比(bi)，对费馬大定理的证明是人类智力活动的一 曲凯歌🚏，同时，不能忽视的事(shi)实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来，安 德鲁(lu)成果的美和魅力在于它🍟是走向代(dai)数数论的巨大的一步。” 声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯获得瑞典(dian)皇家学会🛑頒发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院(yuan)外籍院士。 懷尔斯说：“……再没有🪡别的问题能像费马大定(ding)理一样对我有同样的意义。我拥有(you)如🍋 此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊(shu)漫长🐑的探索已经结束了， 我的心已归于平静。” 费马(ma)大定理只有在相对数学理论的建立之后，才会得到最🥬满意的答案。相对数(shu)学理论没有完成之前，谈这个问题是无力地.因为人們对数量和自身的认识(shi)🐾，还没有达到一定的高度. iii 费马大定理与怀尔斯的因果律-美国公🌋众广播(bo)网对怀尔斯的专访 358年的难解之谜 数学爱好者费马提出的这个问题非常简(jian)单，它用🚏一个每個中学生都熟悉的数学(xue)定理——毕达哥拉斯定理來表达。2000多(duo)年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一🌥️个直角三角形中，斜边的(de)平方等于两个直角边的平方之🚞和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马(ma)在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书靠近问题8的页边🎞️处写下了这段(duan)文字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数(shu)解，对此，我确信已发现一个美妙的證法，但🕌这里的空(kong)白太小，写不下。”费马习惯在页边写下(xia)猜想，费马大定理是其中困扰数学家们时间🦅最长的，所(suo)以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公认为有史以(yi)来最着名的数学猜🌗想。 在暢销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔(bi)下，这段神秘留言引发🥊的长达358年的猎逐充(chong)满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后涉及到最多产的数🍾学大师欧拉(la)、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业数学家的柯西、英年早逝的天才(cai)伽罗瓦、理论兼试验大师库🐯默尔和被誉为“法国历(li)史上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦的(de)遗言、日本数学界🤎的明日之星谷山丰的神秘自杀、德(de)国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后一刻的(de)舍死求生等🥇等，都仿佛是冥冥间上帝导(dao)演的宏大戏剧中的一幕，为最后谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿的🎣怀(huai)尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然(ran)而止，留下一段耐人回🐵味的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马大定理不仅(jin)是破译一個难解之谜，更是去实现(xian)一个儿时的梦想。“我10岁时🍈在图书馆找到一本数學书，告诉我(wo)有这么一个问题，300多♠️年前就已经有人解决了(le)它，但却没有人看到过它的证明，也无人确信是否有这个证🧥明，从那以(yi)后，人们就不断地求证。这是一个(ge)10岁小孩就能明白的問题🩰，然后历史上诸多伟大的数学家们(men)却不能解答。于是从那时起，我就试过(guo)解决它，这个🛺问题就是费马大定理。” 怀尔斯(si)于1970年先后在牛津大学和剑桥大学获得数学学士和数学博士学位。“我进入(ru)剑桥時🥕，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因为我忘了它(ta)，而是我认识到我们所掌握的用来攻克📜它的全部技术已经反复使(shi)用了130年。而这些技术似乎没有触及问题(ti)根本。”因🍁为担心耗费太多时间而一无所(suo)获，他“暂时放下了”对费马大定理(li)的思索，开始研究椭🌎圆曲线理论——這个看似与证明费(fei)马大定理不相关的理论后🍟来却成为他实现梦想的工具。 时间回溯至(zhi)20世纪60年代，普林斯顿数学家朗兰兹提出🧭了一(yi)个大胆的猜想：所有主要数學领域之间原本就存在着👓的统一(yi)的链接。如果这个猜想被证实，意味着在某个(ge)数🧅学领域中无法解答的任何問题都有可能通(tong)过这种链接被转📲换成另一个领域中相应的问题——可以被一整套新(xin)方案解决的问题。而如果在另一(yi)个领域内🌼仍然难以找到答案，那(na)么可以把问题再转换到下一个数学领(ling)域中……直到它🌂被解决為止。根据朗兰兹纲(gang)领，有一天，数学家们将能够解决曾经是最深奥最难对付🥊的问题——“办法是领(ling)着这些问题周游数学王国的各个(ge)风景胜地🐾”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定理打击的费马大定🌀理证(zheng)明者们指明了救赎之路——根据不完备定理，费马大定🦘理是不可证明的。 怀尔(er)斯后来正是依赖于这个纲领才(cai)得以证明费马大定🚊理的：他的证明——不同于任何前人的(de)尝试——是现代数学诸多分支（椭圆曲线论，模形式理🥮论，伽罗华表示理论等(deng)等)综合发挥作用的结果。20世纪50年(nian)代由两位日本数🥨学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷(gu)山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两個截然不同的(de)数学岛屿间隐藏🎰着一座沟通的桥梁。随后在(zai)1984年，德国数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假(jia)🛟如谷山—志村猜想成立，则费马大定理为真。这个猜想紧接着(zhe)在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，費马💘大定理不可摆脱地(di)与谷山—志村猜想链接在一起：如果有(you)人能证明穀山📤—志村猜想（即“每一个椭圆方程(cheng)都可以模形式化”），那么就证明了费马大(da)👞定理。 “人类智力活动的一曲凯歌(ge)” 怀尔斯诡秘的行踪让普林斯頓的(de)着🧾名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆說：“ 我常常奇怪怀尔斯在做些(xie)什么？……他总是静悄悄的，也许他已经‘黔驴🌅技穷(qiong)’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对于這次惊天“大预谋”，肯(ken)·里比特（Ken Ribet)曾评🥾价说：“这可能是我平生来见过的唯一例子(zi)，在如此长的时间里没有泄露任何有关工作的信息。这👗是空前的。 1993年(nian)晚春，在经过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀💵尔斯终于完成了谷(gu)山—志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定理。彼得·萨奈(nai)克是最早得🎼知此消息的人之一(yi)，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我記得当晚我失眠了(le)”。 同年6月，怀尔🐝斯决定在剑桥大学的大型系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气(qi)氛很热烈，有很多数学界重要人物📸到场(chang)，当大家终于明白已经離证明费马大定理一步之遥时(shi)，空气中充满了紧张。” 肯·里比特回忆說(shuo)。巴里·马🧇佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座(zuo)，充满了美妙的、闻所未闻👘的新思想，还有戏剧性的铺垫，充(chong)满悬念，直到最后到達高潮。”当怀(huai)尔斯在讲座结🌙尾宣布他证明了费马大定理时，他成了全(quan)世界媒體的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼(hu)“我🖼️发现了!”久远的数學之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大(da)定理被证明的消息。一夜之间，怀尔🥑斯成為世界上唯一的数学家。《人物》杂志将(jiang)怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年🚞度25位最具魅力者”。 与此(ci)同时，认真核对这个证明的工作也在进行。遗憾的是，如同这之🧧前的“费(fei)马大定理终结者”一样，他的证明是有缺(que)陷的。怀尔斯现💷在不得不在巨大的压力之(zhi)下修正错误，其间数度感到绝望(wang)。John Conway曾在🚍美国公众广播网（PBS）的访谈中说: “当时我们其他人（怀尔斯的同事）的(de)行为有点像‘苏联☘️政体研究者’，都想知道他的(de)想法和修正错误的进展，但没有人开口问他。所以(yi)，某人会说🌯，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但(dan)看起来并不🐈高兴。’” 撑到1994年9月时，怀(huai)尔斯准备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他(ta)再坚持一个🐟月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀(huai)尔斯发现了问题的答案，他叙述了这(zhe)一🦃时刻：“突然间，不可思议地，我发现了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对(dui)着它🤗发了20多分钟呆。然后我到系里转了一圈，又回到桌子旁(pang)看看它是否还在那裡——它🥭确实还在那里。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的(de)褒扬，其中最具代表性的是他在剑桥🐯时的导师、着名数学家约翰(han)·科茨的评价：“它（证明）是人类智力活(huo)动的一曲凯歌”。 一场旷日🧄持久的獵(lie)逐就此结束，从此费马大定理与(yu)安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起(qi)，提到一个就不得不提到🥹另外一个。这是费马(ma)大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。 历时八🪢年的最终证明 在懷尔斯(si)不多的接受媒体采访中，美國公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访🌨️相当精(jing)彩有趣，本文节选部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们通过团(tuan)队来获得🏎️工作上的支持，那么当你碰壁时(shi)是怎么解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我会沿(yan)着湖边散散🎃步，散步的好处是使你会处於放松状态，同时你的潜(qian)意识却在继续工作。通常📹遇到困擾时你并不需要(yao)书桌，而且我随时把笔纸带上💜，一旦有好主意我会找(zhao)个长椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一定(ding)交织着自我怀疑与🛬成功……你不可能绝对有把握证明。 怀尔斯：我确实相信自(zi)己👠在正確的轨道上，但那并不意味着我一定能达到目标——也许💈仅(jin)仅因为解决难题的方法超出现有的数学，也许我需要的方法(fa)下个世🦁纪也不会出现。所以即便我(wo)在正确的轨道上，我却可能生活(huo)🕌在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太(tai)太，和孩子们出去了。我🍴坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看(kan)到了一篇论文，上面的一行字引起了我❣️的注意。它提到(dao)了一个19世纪的数学结构，我霎时意识到这就是我(wo)该用的。我不停地工作，忘记下楼午(wu)饭，到下午🚤三四点时我确信已经证明了费馬大(da)定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我这(zhe)时才回家，我告诉她，我解决了费马📪大定理。 最後的修正 NOVA：《纽约时报》在头(tou)版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》，但🏗️他们(men)并不知道这个证明中有个错误。 怀尔斯：那是个存在(zai)於关键推导中的错误，但它如此微妙以至于🎃我忽略了。它很抽象，我无法用(yong)简单的语言描述，就算是数學家也需要研习两三(san)个月才🌃能弄懂。 NOVA：后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协助(zhu)工作，并📜在1994年修正了这个最后的错(cuo)误。问题是，你的证明和费马的证明是😚同一个(ge)吗？ 怀尔斯：不可能。这个证明有150页长，用的是20世纪的(de)方法，在费马时代还不存在。 NOVA：那就是说费(fei)马的最🐚初证明还在某个未被发现的角落？ 怀尔斯：我不相信他有证明。我觉(jue)得他说已经找到🥼解答了是在哄自己。这个难题对业余爱好者如此特(te)别在于它可能被17世纪的🛤️数学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许还有(you)数学家追寻这最初的🚄证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对(dui)我来说都一样，费马是我童年的热望。我会再试其他问题……证明了它我(wo)有一絲伤🥁感，它已经和我们一起这么久了……人们(men)对我说“你把我的问题🖨️夺走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感覺到有责(ze)任。我希望通过解决这个问题带来的(de)兴奋🏒可以激勵青年数学家们解决其他许许多多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建(jian)立了😌椭圆曲线(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的周期性全(quan)纯函数🕟)之间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的(de)证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一🍿个质数而E是一个Q(有理数域(yu))上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p;除了有限🌙个p值，我们会得到(dao)有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列🦧 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的(de)重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一(yi)个数列。一个其序列和📺从模形式得到的序列相(xiang)同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村🦊定说: "所有Q上的椭圆曲线是模的"。 该定理(li)在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年(nian)为止，他和🍹志村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身(shen)亡。在1960年代，它和💼统一数学中的猜想Langlands纲领联系了(le)起来，并是关键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重新🌰提起并得到推广，Weil的(de)名字有一段时间和它联系在一起。尽💹管有明显的用处，這(zhe)个问题的深度在后来的发展之前⛱️并未被人们所感觉到。 在1980年代当(dang)Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时🥊还是猜想(xiang))蕴含着费马最后定理的时候，它吸引到了不少注意力。他通过🚢试(shi)图表明费尔马大定理的任何范例会导致一個非模的椭圆曲(qu)线来做到这一點。Ken Ribet后来证明了🍾这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明(ming)了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的(de)情况)，这个特殊情況足🌁以证明费尔马大定理。 完整的证明最后于(yu)1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的🤍基础上，一块一塊的逐步证明剩下的情况(kuang)直到全部完成。 数论🤑中类似于费爾马最后定理得几个定理可以从谷山-志(zhi)村定🚡理得到。例如:没有立方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧(ou)拉所知🕧) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有完成给(gei)予他们🏏这个成就的定理的完整形式，他们还(hai)是被认為对最终完成的证明有着决(jue)定性影响。