费马大定理的证明故事

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈🐿️起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始(shi)末，往前回溯来看，1994年正是我在念大学的时候，当时完全没有一位教授(shou)在课堂上提🐹到这件事，也许他们(men)认为，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位不(bu)是天才的👗学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更(geng)高深的专业认🍲知，而指引的道路(lu)，就在科普的精神上。 从费玛最后定理的历史中可(ke)以发现，有许🎏多研究成果，都是研究人员(yuan)燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后再尝试用逻🚎辑验证。 费玛最后定(ding)理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔(er)🍕 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 毕达哥拉斯💮 Pythagoras 定理(li)，任一個直角三角形，斜边的平方=另外两边的平方和🚞 x2+y2=z2 毕达哥拉(la)斯三元组：毕氏定理的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算數」第2卷的🐦问题8时(shi)，在页边写下了註记 「不可能将一个立方数写成🐎兩(liang)个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者(zhe)，总的来说，不可能将一个高於2次幂，写成两🏜️个同样(yang)次幂的和。」 「对这个命题我有一個十分美妙的证明🏓，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费(fei)玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註🐺记中，隐(yin)含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无(wu)解 3是质数，现在只要证明费玛最后定😎理对於所有的质数都(dou)成立 但 欧基里德 证明「存在无穷多个質数」 6. 1776年 索菲(fei)‧热尔曼 针对 (2p+1)的🐪质数，证明了 費玛最后定理 "大概" 无(wu)解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和(he) 阿得利昂-玛利🚞埃‧勒讓德 延伸热尔曼的证明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔(er)‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易(yi)斯‧科西🌊 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理 最后(hou)是劉维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的(de)信，说科西與拉梅的证明，都因为「虚🎒数没有唯一因(yin)子分解性質」而失败 库默尔证明了 费(fei)玛最后定理的完整证明 是当时数学方法不可🎩能实现的(de) 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明 这表示 费玛(ma)最后定理的完整⚓證明 尚未被解(jie)决 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供證明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年(nian)8月8日 大卫‧希尔😺伯特，提出数学上23个(ge)未解决的问题且相信这是迫切需要解决(jue)的重要问题 12.1931年 库特🔕‧哥德尔 不可判定性定理 第一不可判(pan)定性定理：如果公理集合论是🎱相容的，那么存在既不能证明又不能否(fou)定的定理。 => 完全性是不可能达到的 第二不可判定性定🕋理(li)：不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。 => 相容性🏪永远不可能(neng)证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不是不可判定(ding)的方法（只适用少数情形） 证明希尔伯⛰️特(te)23个问题中，其中一个「连续统假设」问题是(shi)不可判定的，这🌄对於费玛最后定理来说(shuo)是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反(fan)转机 开始有人利用🥞暴力解决方法，要对 费玛最后(hou)定理 的n值一个一个加以证明。 15.1988年 内奥(ao)姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在(zai)解这个推🌦️想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究(jiu)椭圆曲线 研究椭圆曲线的目的是要算出🕕他们的整数解，这(zhe)跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组(zu)整数解 52=33-2 (费瑪证明宇宙中指存在一个数(shu)26，他是夹🕖在一个平方数与一个立方数中间) 由於要直接找出椭圆曲线是很困(kun)难的，为了简🐱化问题，数学家採用「时鐘运算(suan)」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有💫可能的解為 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表(biao)在五格时鐘运算中，有四个解 对於椭圆曲线，可写出(chu)一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷🥨山丰 研(yan)究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式 模型式的要素可从1开始标号(hao)到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式🔮的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 這样的范(fan)例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以🚢对应到椭圆曲线的 E序(xu)列，两个不同领域的理论突然被连接在(zai)一起 安德列‧韦依 採纳這个想法，「谷(gu)山-志村猜想」 18.朗🧀兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个统一化猜想的理论(lun)，并开始寻找统一的环链 19.1984年🛣️ 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提(ti)出 (1) 假设费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方(fang)程式转换為y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这🗻样的椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太(tai)古怪了，以致於无法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 断🐡言每一个椭圆方程(cheng)式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是错误的 反过来说 (1) 如果 谷(gu)山-志村猜想 是⛵对的，每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭(tuo)圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆🧐方程式 (3) 如果不(bu)存在弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛🍁最後定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特(te) 证明 弗赖椭圆方程式无🦚法被模型式化 如果有人(ren)能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后定理也是正确的 21.1986年 安(an)德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开❣️始一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文(wen)，然后自己独力尝试证明谷山-志🤠村猜想(xiang)，策略是利用歸纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将(jiang)E序列以🧁「自然次序」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学证明谷(gu)💮山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成(cheng)无限多项，然后也证明了第一🧥项必定是模型式的第(di)一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但🤠结果失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方(fang)法，对所有分类后的椭圆方程式都🥗奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对(dui)验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术🧄」会议，安德(de)鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹(zi) Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开🎲始隐居，尝试独力解决缺陷，他(ta)不希望在这时候公布证明，让其他(ta)人分享完成证明的甜美果实 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在❤️‍🔥接近放弃的边缘，在(zai)彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发🤪现结合(he) 依娃沙娃 Iwasawa 理论與 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问题(ti) 30.「谷山🚀-志村猜想」被证明了，故得证「费(fei)玛最后定理」 ii 费马大定理 300多年以前，法国数学家费馬在一本书的🦗空白处写(xie)下了一个定理：“设n是大于2的正整数(shu)，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数🦫解”。 费马宣称他发现了这个定理的一个真(zhen)正奇妙的证明，但因书上空🗂️白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知(zhi)有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑🛩️汁企圖证(zheng)明它，但不是无功而返就是进展甚微。這就是纯数学(xue)中最着名的定理🌼—费马大定理。 费马(1601年～1665年)是一(yi)位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师(shi)谋生，后来🦋成為议会议员，数学只不过是他的業余爱好，只(zhi)能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真🕶️注意数学，但费马对(dui)数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几(ji)何⛺，同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好(hao)数论，提出了许多🧭定理，但費马只对其(qi)中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个(ge)未被证🐎明外，其余的陆续被后来的数学家(jia)所证实。这唯一未被证明的定理就🧥是上面所说的费马大定理，因(yin)为是最后一個未被证明对🎇或错的定理，所以又称(cheng)为费马最后定理。 费马大定理虽然至今(jin)仍没🖊️有完全被证明，但已经有了很大(da)进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了🐝对小于105的素(su)數费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了(le)不定方程xn+yn=zn只能📺有有限多组解，他的突出貢献使他在1986年获得了数学界(jie)的最高奖之一费尔兹奖。1993年英國(guo)数学家威尔斯宣布😀证明了费马大定理，但随(sui)后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大(da)定理还没有得🌲到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思(si)路是正确的。毫无疑問，这使人们看到了希望🐽。 为了寻求费馬大定理的解(jie)答，三个多世纪以来，一代又一代的數学家们前赴后继，却壮志未酬(chou)。1995年，美国普🌡️林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经過8年的孤(gu)军奋战，用13 0页长的篇幅证明了费😘马大定理。懷尔斯成为整个(ge)数学界的英雄。 费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个(ge)🍫每個中学生都熟悉的数学定理——毕(bi)达 哥拉斯定理——来表达的。2000多年前誕生(sheng)的毕达哥🚎拉斯定理说：在一个直角三角形中， 斜边的平方等于两直角(jiao)边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元🛶1637年前后 ，当费马在 研究毕达哥(ge)拉斯方程時，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时(shi)，这个💽方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问(wen)题8的页边处記下这 个结论的同时又(you)写🪕下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法(fa)，这里的空 白太小，写不下。”這就🐞是数学史上着名的费马大定理或称费(fei)马最后的定理。费马制造了 一个数学史上最深奥的谜。 大问🕠题 在物理(li)学、化学或生物學中，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久(jiu)不 解🚎。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界也许在费马大定理🏣得(de)以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成為数论(lun)中最 值得为之奋斗的事。 安德魯·怀尔斯1953年出生在英🛑国剑桥，父亲是(shi)一位工程学教授。少年时代的怀尔斯 已着迷🐝于数学了。他在后来的回忆中写(xie)到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们🍷带回家， 编(bian)写成我自己的新题目。不過我以前找到的最好的题(ti)目是在我们社区的图书馆里⛰️发现的。 ”一天，小怀尔斯在(zai)弥尔顿街上的图书馆看见了一本🍣书，这本书只有一个问题而没有解答 ,怀尔(er)斯被吸引住了。 这就是E·T·贝尔写的《大问題》。它叙述了🛑费马大定理(li)的历史，这个定理让一个又 一个的数學家望而生畏，在长达(da)300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯⛑️30多年(nian)后回忆 起被引向费马大定理时的感觉：“它看(kan)上去如此简单，但历🐁史上所有的大(da)数学家都未能解 决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能💄理解的(de)问题，从那个时刻起，我知道我永 远不会放弃它。我👚必(bi)须解决它。” 懷尔斯1974年从牛津大学的Merton学院(yuan)获得数學学士学位，之后进😌入剑桥大学Clare 学院做博士。在研究生阶(jie)段，怀尔斯并没有从事费马大定理研(yan)究。他说：“研究费马可能 帶来的问题🌫️是：你花费了多年的时间而最(zui)终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆曲(qu)线的Iwasawa理论，我开🏓始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事 告(gao)诉我，他有一个非常好的、刚完成数學学士荣誉🌖学位第三部考试的学生，他催(cui)促我收其 为学生。我非常🐊荣幸有安德鲁这样(yang)的学生。即使从对研究生的要求来看，他也(ye)有很深刻的 思想，非常清楚他将是一个做大事情🕠的数学家。当然(ran)，任何研究生在那個阶段直接开始研 究费马大定理是不(bu)可能的，即使对资历很深🌦️的数学家来说，它也太困难了。”科茨的(de)责任 是为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴(xing)🧊趣去研究的问题。他说：“我认为研究 生导师(shi)能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的(de)方向。当然，不🥒能保证它一定 是一个富(fu)有成果的研究方向，但是也许年长🏠的数学家在这个过程中能做的一(yi)件事是使用他 的常识、他对好领域的直觉。然后，学(xue)生能在这🕡个方向上有多大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应(ying)该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决🐮定成为怀尔斯(si)职业生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究是他实现(xian)梦想的工具。 孤独的战🦑士 1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来(lai)到了美国普林斯顿大学，并成为這(zhe)所大学 的教授。在科茨的⚽指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭(tuo)圆方程，他已经成为🧊一 个着名的数论学家，但他清楚地意识到，即使以他(ta)广博的基础知识和数学修养，证明费马 大定理的任务也是🍺极为艰巨(ju)的。 在怀尔斯的费马大定理的证明中(zhong)，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两🐻个非 常不同的数学领域间建立(li)了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个(ge)傍晚，我正在一个朋🤿 友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告訴我，肯·里贝特已经证(zheng)明了谷山－志村猜想与費马大 定理间的联🦢系。我感到(dao)极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我(wo)生命历程的时刻，因🏆为 这意味着为了(le)证明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山－志村猜(cai)想……我十分清楚 我🏜️应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀(huai)尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路🔌。 20世纪初，有人问伟(wei)大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定(ding)理，他 回答说：“在👝开始着手之前，我(wo)必须用3年的时间作深入的研究(jiu)，而我没有那么多的时间 浪费在一件可能会失败的事(shi)情上。”怀🍉尔斯知道，为了找到证明(ming)，他必须全身心地投入到 这个问题中，但是(shi)与希尔伯特不一样，他愿意冒这个📸风险。 怀尔斯作了(le)一個重大的决定：要完全独立和保密地进行研究(jiu)。他说：“我意☃️识到与费 马大定理有(you)关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年✒️都使(shi)自己精力集中 ，除非你的专心不被他人分散，而(er)这🥬一点会因旁观者太多而做不到。”怀爾斯放弃了所有 与证明费(fei)马大定理无直接关系的工作，任(ren)何時候🍩只要可能他就回到家里工作，在家里的顶 楼书(shu)房里他开始了通过🌧️谷山－志村猜想来证明费马大定理的战斗。 这是一场(chang)长达7年的持🧈久战，这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。 欢呼与(yu)等待 经过7年的努力，怀尔斯完成🥹了谷山－志村猜想的证明。作为一個结果(guo)，他也证明了 费马大定理。现在是🍡向世界公布的时候了。1993年6月底，有一(yi)个重要的会议要在剑桥大 学🚇的牛顿研究(jiu)所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的💽工作。他选(xuan)择 在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他👓曾经(jing)是那里的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重(zhong)要的一次数学讲座。两百名数📼学家聆 听了这一演讲，但他们之中只有(you)四分之一的人完全懂得黑板🦒上的希腊字母和代数式所(suo)表达 的意思。其余的人来这里是为了见证他們所期待(dai)的一个真🍍正具有意义的时刻。演讲者是安 德鲁·怀尔斯。怀(huai)尔斯回忆🍥起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻(wen)界已经刮起有关演讲的风 声，很幸运他们没有来听演讲。但🐰是听众中有(you)人拍摄了演讲结束时的镜頭，研究所所长肯 定事先(xian)就准备📯了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着(zhe)特别莊重的寂静，当我写完 费马大定(ding)理的🏬证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声 。” 《纽(niu)约时报》在头版以🥜《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之(zhi)谜获解》为题报道 费马🥳大定理被证明的消息。一夜之(zhi)间，怀尔斯成为世界上最着名的数学家，也是🔌唯一的数 学家。《人物(wu)》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年(nian)度25位最具魅力者”。最🐚有创 意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请(qing)这位温文尔雅的天才作他们新系列男(nan)装的模🌓 特。 当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核對这个证(zheng)明的工作也在进行。科学的🐢程序要 求任何数学(xue)家将完整的手稿送交一个有声望的刊(kan)物，然后这个刊物的编辑将它送交一组🧅审 稿人，审稿人的职责是进行逐行(xing)的审查证明。怀尔斯将手稿投🥽到《数学发明》，整整一个 夏天他(ta)焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一个缺陷(xian)🕝被发 现了。 我的心灵归于平静 由于怀尔(er)斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常🧋那(na)样指定 2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页(ye)的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。 怀🚌尔斯在此期間中断了他的工(gong)作，以处理审稿人在电子邮件中(zhong)提出的问题，他自信这 些问题不🙂会给他(ta)造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了 证明中的一(yi)个小缺陷🔇。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方(fang)法中的每一步都 行得通。怀尔斯以為这又是一个📑小问题，补救的办法可能就(jiu)在近旁，可是6个多月过去了 ，错误仍(reng)未改正，怀尔斯🌎面临绝境，他准备承认(ren)失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情 况，萨克(ke)向他暗示困🗾难的一部分在于他缺少一个能够和他(ta)讨论问题并且可信赖的人。经🎍过 长時间的考虑后，怀尔斯决定邀请(qing)剑桥大学的讲师理🔉查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月(yue)份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们☎️准备放弃了。泰勒 鼓励他(ta)们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最後一次检查。9月(yue)🍧19日，一个星期一的早 晨，怀尔斯发現了问题的(de)答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一个 难以🐓置信(xin)的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有这样的🗞️经(jing)历……它的美是如 此地难以形容；它又是如(ru)此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我 到🌕系里转了一(yi)圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。” 这是少年(nian)时代的梦想和🐼8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能(neng)。世 界不再怀疑这一次的证明了。这两篇(pian)🚢论文总共有130页，是历史上核查得最彻底的數学稿 件，它们发表(biao)在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出🐼现在《纽(niu)约时报》的头版 上，标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨(ci)说：“用数学的🎉术语来說，这个最 终的证明可与分裂(lie)原子或发现DNA的结构相比，对😸费马大定理(li)的证明是人类智力活动的一 曲凯(kai)歌，同时，不能忽视的事实是它一下子就使(shi)数学发生了革命性的🕟变化。对我说来，安 德鲁成果的美(mei)和魅力在於它是走向代数数论的巨大的一🐏步。” 声望和荣誉纷至沓来。1995年(nian)，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数學奖，199 6年🤿，他获(huo)得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。 怀尔斯说：“……再(zai)没🙉有别的問题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如 此少(shao)🏫有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特(te)殊漫长的探索已🌖经結束了， 我的心已归于平静。” 费马大定理只有在(zai)相对数学理论的建立之后，才会得🛞到最满意的答案。相对数学理论没有完(wan)成之前，谈这个问题是无力地.因為人们对数量和🐭自身的认识，还没有(you)达到一定的高度. iii 费马大定理与怀尔斯的🌖因果律-美国公众(zhong)广播网对懷尔斯的专访 358年的难解(jie)之谜 数学爱📺好者费马提出的这个问题非常简单，它用一个每个中学生都(dou)熟悉的数学定理🍋——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞(dan)生的毕达哥拉斯定理说🥸：在一个直角三角形中，斜边的平方等(deng)于两個直角边的平方之😇和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究(jiu)毕达哥拉斯方程时，他在《算💄术》这本书靠近问题8的页边(bian)处写下了这段文字：“设n是大于2的正整(zheng)数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对(dui)此，我确😗信已发现一个美妙的证(zheng)法，但这里的空白太小，写不下。”费马习惯在(zai)页边写下猜想，费马大定理🦤是其中困扰数学家们时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费(fei)马最后的定理）——公认为有史以来最着名的数🥏学猜想。 在畅销书作家西(xi)蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的长(zhang)达358年的猎逐🌟充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。這段历史先后涉及到最多(duo)🕋产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业数学家的(de)柯西、英年早逝的天才伽🎣罗瓦、理论兼试验大师库默尔和被誉为“法国(guo)历史上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗(luo)瓦🤗的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德国数学爱好(hao)者保罗·沃尔夫斯凯尔最💾后一刻的舍(she)死求生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的一幕，为最後(hou)谜底的解开埋下伏笔。终于🤓，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找(zhao)到谜底，把这出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的传奇(qi)。 对怀📷尔斯而言，证明费马大定理不仅是破译一个难解之谜，更是去实(shi)☔现一个儿时的梦想。“我10岁时在图书馆找到(dao)一本数学书，告诉我🍨有这么一个问题，300多年前就已经有人解决了它，但卻没有(you)人看到⛪过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那以后，人们就不(bu)断地求🦀证。这是一个10岁小孩就能明白(bai)的问题，然后历史上诸多伟大的数学家(jia)们却不能解答。于是从😅那时起，我就试过解决它，這个问题就是费(fei)马大定理。” 怀尔斯於1970年先后在🛻牛津大学和剑桥大学获(huo)得数学学士和数学博士学位。“我(wo)进入剑桥时，我真正把费马😙大定理搁在一边了。这不(bu)是因为我忘了它，而是我认识到我🎖️们所掌握的用来攻克它的全部技术已(yi)经反复使用了130年。而这🤭些技术似乎没(mei)有触及问题根本。”因为担心耗費太多时间而一无所获，他“暂(zan)时放下了”对费马🥙大定理的思索，开始研究椭圆曲线(xian)理论——这个看似與证🦁明费马大定理不相关的理論后来却(que)成为他实现梦想的工具。 时间回溯至20世纪60年代，普林斯顿數学家朗(lang)🧩兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要数学(xue)领域之间原🥸本就存在着的统一的链接。如果这个猜想被证实，意味着(zhe)在某个数学领域中无法解答🌺的任何问(wen)题都有可能通过这种链接被转换成另一个領(ling)域中相应的问题——可以被一整套新方案解(jie)决的🏨问题。而如果在另一个领域内仍然难以找(zhao)到答案，那么可以把问题再转换到下🦀一个数学领域中……直到它被(bei)解决为止。根据朗兰兹纲领，有一天🧆，数学家们将能够解决曾(ceng)经是最深奥最难对付的问题——“办法是领着这些(xie)问题周游数学王国的各个风景胜地💛”。这个纲领为饱受哥德尔不(bu)完备定理打击的费马大定理证明者们指明了救赎之(zhi)路——根据不完备定理，费🥍马大定理是不可证明(ming)的。 怀尔斯後来正是依赖于这个纲领才得以证(zheng)🚈明费馬大定理的：他的证明——不同于任何(he)前人的尝试——是现代数学诸多分支（椭圆曲线论🍭，模形式理论，伽罗华表示(shi)理论等等)综合发挥作用的結果。20世纪50年代由两🧾位日(ri)本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗(an)示：椭圆方程与模形式两个截然(ran)不同的数学🎮岛屿间隐藏着一座沟通的桥梁。随后在(zai)1984年，德国数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了(le)如下猜想👝：假如谷山—志村猜想成立，则费马(ma)大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，費马(ma)大定🛣️理不可摆脱地与谷山—志村猜想链接在一起：如果有人🚲能(neng)证明谷山—志村猜想（即“每一个椭圆(yuan)方程都可以模形式化”），那么就证明了费马大(da)定😚理。 “人类智力活动的一曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让(rang)普林斯顿的着名🐝數学家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇(qi)怪怀尔斯在做些什么？……他总是静悄悄的，也许他已经🎷‘黔驴技穷’了。”尼克(ke)·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对于这次🦺惊天“大(da)预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是(shi)我平生来见過的🍚唯一例子，在如此长的时间里没有泄露任何有关工作的⛱️信(xin)息。这是空前的。 1993年晚春，在经過反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯(si)终于完成了谷山🍛—志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马(ma)大定理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我目🐿️瞪口呆、异常激动(dong)、情绪失常……我记得当晚我失眠了(le)”。 同年6月，怀尔斯决定在剑桥大学的大型系👒列讲座上宣布这一证明。 “讲座气(qi)氛很热烈，有很多数学界♟️重要人物到场，当大家终(zhong)于明白已经离证明费马大定理一步之遥时，空气中(zhong)充满了紧张。” 肯·里🏮比特回忆说。巴里·马佐尔(er)（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如此精彩(cai)的🦝讲座，充满了美妙的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫，充(chong)满悬念，直到最后到達高潮。”当怀尔📇斯在讲座结尾宣布他证明了(le)费馬大定理时，他成了全世界媒体的焦点。《纽(niu)约时报》在頭版以《终于🛫欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费馬大(da)定理被证😲明的消息。一夜之间，怀尔斯(si)成為世界上唯一的数学家。《人物》杂志(zhi)将怀尔斯📯与戴安娜王妃一起列为“本(ben)年度25位最具魅力者”。 与此同时，认真👚核对这(zhe)个证明的工作也在进行。遗憾的是，如同这之前的“费马大定(ding)理终结者🕧”一样，他的证明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨(ju)大的压力之下修正错误，其间数📤度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网(wang)（PBS）的访谈中说: “当时我们其他人（怀尔(er)斯的🍘同事）的行为有点像‘苏联政体研(yan)究者’，都想知道他的想法和修正错(cuo)🌬️误的进展，但没有人开口問他。所以，某人会说，‘我(wo)今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有(you)微笑，但看🐃起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时(shi)，怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他再坚(jian)持一个月⛵。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯发(fa)现了問题的答案，他🐈叙述了这一时刻：“突然间，不可思议(yi)地，我发现了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着它发了20多分钟🌛呆。然后(hou)我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在那里——它确实还(hai)在那里。” 怀尔斯的证明为他赢得了😚最慷慨的褒扬，其中最具代表(biao)性的是他在剑桥时的导🧶师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是(shi)人类智力活动的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此结束，从(cong)此费马🐈‍⬛大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到一个(ge)就不得🌶️不提到另外一个。这是费马大定理与安德(de)鲁·怀尔斯的因果律。 历时八年的最终证明(ming) 在怀🚂尔斯不多的接受媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的(de)专访相当🎛️精彩有趣，本文节選部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通(tong)常人们通过团隊来获得工作上的支持，那么当你碰壁时是怎么🥧解(jie)決问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我会沿着(zhe)湖边散散步，散步的好处是使你会处于放松🤪状态，同时你的潜意识(shi)却在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌，而且(qie)我随时把笔纸带上，一旦有好主意🍀我会找个长椅坐下来打草稿…… NOVA：這七(qi)年一定交织着自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证🚏明。 怀尔斯：我确实(shi)相信自己在正确的轨道上，但那并不意味着我一定能达到目标——也许僅仅(jin)因🚊为解决难题的方法超出现有的数学，也(ye)许我需要的方法下个世纪也🥼不会出现。所以即便(bian)我在正确的轨道上，我却可能生活(huo)在错误的世纪。 NOVA：最✉️终在1993年，你取得了突破。 怀尔斯：对，那是个(ge)5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我坐在(zai)書桌🚤前思考最后的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字引起了(le)我的注意📬。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎时意識到这就是我该用的(de)。我不停地工🐻‍❄️作，忘记下楼午饭，到下午三四点时我确信已经证明了👛费马大(da)定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我这时(shi)才回家，我告诉她，我解决🐌了费马大定(ding)理。 最后的修正 NOVA：《纽约时报》在头版以《终(zhong)于欢呼“我发现了!”，久遠的数学之谜获解》，但他们并不知道这个🎻证明中有个错(cuo)误。 怀尔斯：那是个存在于关键推导中(zhong)的错误，但它如此微妙以至于我忽略了。它很(hen)抽象，我无🥰法用简单的语言描述，就算是数学家(jia)也需要研习两三个月才能弄懂🎬。 NOVA：后来你邀请剑桥的数(shu)学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最后的👑错误(wu)。问題是，你的证明和费马的证明是(shi)同一個吗？ 怀尔斯：不可🐚能。这个证明有150页长(zhang)，用的是20世纪的方法，在费马时代还不存在。 NOVA：那就🛣️是说费马的最初证明(ming)还在某个未被发现的角落？ 怀尔斯：我不相☂️信他有证明。我觉得他说(shuo)已经找到解答了是在哄自己。这📥个难题對业余(yu)爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数学证(zheng)明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所🥍以也许还有数学家追寻这最初的证明。你(ni)该怎么办呢？ 懷尔斯：对我来☁️说都一样，费马是我童年的热望。我会再试其他(ta)问题……证明了它我有一丝伤感，它已🏆经和我们(men)一起这么久了……人们对我說“你把我的问题夺走了”，我能带给他(ta)们其他🛺的东西吗？我感觉到有责任。我希望通过解决这个問题带(dai)来的兴奋可以激励青😹年数学家们解决其他许许(xu)多多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何🦺的对象)和模形式(shi)(某种数论中用到的周期性全纯函数)之间的重要联系。虽然🍒名字是从谷(gu)山-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成(cheng). 若p是一个🦑质数而E是一个Q(有理數域)上(shang)的一个椭圆曲线，我们可以📒简化定义E的方程模p;除了有限个p值，我们会(hui)得到有np个元素的有限域Fp上的一个🐱椭(tuo)圆曲线。然后考虑如下序列 ap = np − p, 这是(shi)椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里葉变换，每🙊个模形式(shi)也会产生一个数列。一个其序列和从模形(xing)式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山(shan)-志村定🛼说: "所有Q上的椭圆曲线是模的(de)"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五(wu)郎一起改进了严格性。谷💰山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数学中的(de)猜想Langlands纲领联系了起来，并是关键的组成部分。猜想由🍸André Weil于1970年代重新提起并得到(dao)推广，Weil的名字有一段时间和它联系在一🏑起。尽管有明(ming)显的用处，这个问题的深度在后来的发展之前并🦑未被(bei)人们所感觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那(na)时还是猜想)蕴含着费马🦀最后定理的时候，它吸引到了不少注意力。他(ta)通过试图表明费尔🎵马大定理的任何范例会导致一个非模的椭圆曲線来(lai)做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一结果🥛。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定(ding)理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线(xian)的情况)，这个特殊情况足以证明☎️费尔马大定理。 完整的证明(ming)最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的♨️基础上，一块一块的逐步(bu)证明剩下的情况直到全部完成。 数论中类似于费爾马最后定理得几🚆个定理(li)可以从谷山-志村定理得到。例如:没有立方可以写成两个👝互(hu)质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们(men)都没有完成给予他们这個成🏟️就的定理的完整形式，他们还是被认为对(dui)最終完成的证明有着决定性影响。