《费马大定理》

本片从证明了费玛最后定理的安德(de)鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史🍝始末，往前回(hui)溯来看，1994年正是我在念大学的时候，当时完全没有一位教🏦授在课堂上提到(dao)这件事，也许他们认为，一位真正的研究者，自然而然地會被数(shu)📓学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师(shi)的指引，引导他走向更高深的专🧧业认知，而指引的道(dao)路，就在科普的精神上。 从费玛最后定🕝理的(de)历史中可以发现，有许多研究成果，都是(shi)研究人员燃烧热情，试图提出🚊「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑验证。 费(fei)玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解 1. 1963年(nian) 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃🔮里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本(ben)书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三👕角形，斜(xie)边的平方=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕达(da)哥拉斯三元组：毕氏定理的整数(shu)解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的🎎问题8时，在页边写(xie)下了註记 「不可能将一个立方數写成两个立方🍦数之和；或者将一个四(si)次幂写成两个四次幂之和；或者🏤，总的来(lai)说，不可能将一個高於2次幂，写成两个同样次幂的🛍️和。」 「对这个命题(ti)我有一个十分美妙的证明，這里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出(chu)版了载有Fermat註记的⚾「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱(lai)昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了🍁 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无(wu)解 3是质数，现在只要证明费玛最(zui)後定理对於所有的质数都成立📠 但 欧基里德 证明「存在无穷多(duo)个质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，證明了 费玛最后定(ding)理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔⌨️夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂(ang)-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证明，證明(ming)了 n=5 无解 8. 1839年 加😂布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉(la)梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费瑪(ma)最后定理 最后是刘维尔🏆宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信(xin)，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一因子分解性质(zhi)」而失败 库默尔证明了🦼 费玛最后定理的(de)完整证明 是当时数学方法不可能實现的 10.1908年 保罗(luo)‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证(zheng)明 这表🌈示 费玛最后定理的完整(zheng)证明 尚未被解决 沃尔夫斯凯尔提供(gong)了 10万马克 给提供证明的人，期限🔇是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提(ti)出数学上23个未解决的问题且相信(xin)🎿这是迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理 第一(yi)不可判定性定理：如果🏉公理集合论是相容的，那么存在(zai)既不能证明又不能否定的定理。 => 完全性是不可能😀达(da)到的 第二不可判定性定理：不存在能证明公理系统(tong)是相容的构造性过程。 => 相🧢容性永远不可能证明 13.1963年 保罗(luo)‧科恩 Paul Cohen 发展了可以檢验给定问题是不是不可判定(ding)📨的方法（只适用少数情形） 证明希尔伯特23个問(wen)题中，其中一个「连续统假设」问题是不可判定的，这对於费玛最😄后(hou)定理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图靈 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机(ji) 开始有人利用暴力解决📚方法，要对 费(fei)瑪最后定理 的n值一个一个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔(er)基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个(ge)推🙊想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次(ci)，研究🏓椭圆曲线 研究椭圆曲线的(de)目的是要算出他们的整数解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组(zu)整数解🩴 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一🪁个立(li)方数中间) 由於要直接找出椭圆曲(qu)线是很困难的，为了简化问题，数学👞家採用「时鐘运算」方法 在五格时鐘运(yun)算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可(ke)用 E5=4 來代表🎴在五格时鐘运算中，有四个解 对於椭圆曲线，可写出一🔕个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年(nian) 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式 模型式的要(yao)素可从1开始标号到🍑无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要(yao)素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型式的🩰 M序列 可以对应到椭圓曲(qu)线的 E序列，两个不同领域的理论突然被連接在一起 安🥣德列‧韦依(yi) 採纳这個想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个🦪统一化(hua)猜想的理论，并开始寻找统一的环链(lian) 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设费玛最后🎽定理是錯的，则 xn+yn=zn 有整数解，则(ze)可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆(yuan)方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以🍤致於无法被模(mo)型式化 (3) 谷山-志村猜想 斷言每一个椭圆方程式都可以被模型式化(hua) (4) 谷山-志村猜想🍊 是错误的 反过來说 (1) 如果 谷山-志(zhi)村猜想 是对的，每一个椭圓方程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭圓方程式都(dou)🦗可以被模型式化，则不存在弗赖椭(tuo)圆方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是对(dui)✏️的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型式化 如果(guo)有人能够证明谷山-志村猜想，就🐶表示费玛最后(hou)定理也是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始(shi)一个小阴謀，他🌫️每隔6个月发表一篇小论文，然后自己独力尝(chang)试证明谷山-志村猜想，策略是🐪利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽(ga)罗瓦 的群论，希望能将E序🏫列以「自然次序」一一对(dui)应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学证明谷山-志🥇村猜想，但(dan)结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将(jiang)椭圆方程式拆解成无限多项，然后也证明🍀了第一项必定是(shi)模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但結果失(shi)败 24.1992年 修🥪改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有(you)分类后的椭圆方程式都奏效 25.1993年 寻求同事👜 尼克‧凯兹 Nick Katz 的(de)协助，开始对驗证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表🔊谷(gu)山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一(yi)个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始(shi)隐居，尝试独力解决缺陷，他😮不希望在这时候公布证明(ming)，讓其他人分享完成证明的甜美果实 28.安德鲁(lu)‧怀爾🐄斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼(bi)得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发现(xian)结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与📖 科利瓦金-弗(fu)莱契 方法就能够完全解决问题 30.「谷山-志村猜想」被证明(ming)了，故得🐵证「费玛最后定理」 ii 费马大定(ding)理 300多年以前，法国数学家费马在(zai)👗一本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正(zheng)整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣称他发现🧩了这个(ge)定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他(ta)写不🕊️下他的证明。300多年过去了，不知有多少专业数学(xue)家和业余数🫘学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不(bu)是无功而返就是进展甚🌫️微。这就是纯数学(xue)中最着名的定理—费马大定理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学(xue)家🥨，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员🍸，数學只不过是他(ta)的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才(cai)认真注意数学，但费马对数论和微📤积分做出了第一流的贡献(xian)。他与笛卡儿几乎同时创立了解🔔析几何，同時又是17世纪兴起的(de)概率论的探索者之一。费马特别爱好数論(lun)，提出了许多定理，但费马只对📢其中一个(ge)定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一(yi)个未被证明外，其余🌮的陆续被后来(lai)的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的(de)费马大定理，因为是最后一🧋個未被证明对或错的定理，所以又称(cheng)为费马最后定理。 费马大定理虽然至(zhi)今仍没有完全被🏫证明，但已经有了很大進展，特别是最近几十年(nian)，进展更快。1976年瓦格斯🌤️塔夫证明了对小于105的素数费马(ma)大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不(bu)定方程xn+yn=zn只⚓能有有限多组解，他的突出贡献使他(ta)在1986年获得了数学界的最高🍗奖之一费尔兹奖。1993年英国(guo)数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现了证📠明中的(de)一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明(ming)费马大🌘定理还没有得到数学界(jie)的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正(zheng)🗨️确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。 为(wei)了寻求费马大定理的解答，三个🕧多世纪(ji)以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志🕒未酬。1995年(nian)，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用13 0页🐖長的篇(pian)幅证明了费马大定理。怀尔斯成(cheng)为整个数学界的英雄。 费马大定理提出的问题非常简单，它🌛是用一个每个(ge)中学生都熟悉的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来表🦑达的。2000多年(nian)前诞生的毕达哥拉斯定理說：在一个直角三角形中， 斜边(bian)的平方等于两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大🎬约在公元1637年前后 ，当费马在(zai) 研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常(chang)类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当🕓n 大于2时，这个(ge)方程没有任何整数解。费馬在《算(suan)术》这本书的靠近问题🚃8的页边处记下这 个结论的同时又写下一(yi)个附加的评注：“对此，我确信已发🚙现一个美妙的证法，这里的空 白太(tai)小，写不下。”这就是数学史上着名的费🔮马大定理或称費马最后的定(ding)理。费马制造了 一个数学史上最深奥的谜。 大问题 在物理学🏉、化學(xue)或生物学中，还没有任何问题可以敘述得如此简单和(he)清晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在🙊他的《大问题》(The Last Problem)一书(shu)中写到， 文明世界也许在费马大定理得以解决之前(qian)就已走🥕到了尽头。证明费马大定理成为数论中最 值得为之奋斗的事。 安(an)德鲁·怀尔斯🍂1953年出生在英国剑桥，父亲是一位工程(cheng)学教授。少年时代🎛️的怀尔斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校(xiao)里我喜欢做题目，我把它们带回家， 编寫成我自己🛬的(de)新题目。不过我以前找到的最好的(de)题目是在我們社区的图书馆里发现的。 ”一天🎀，小怀尔斯在弥尔顿街上(shang)的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答 ,怀🦅尔斯被吸(xi)引住了。 这就是E·T·贝尔寫的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史，这个定🔈理让(rang)一个又 一个的数学家望而生畏，在长达300多年的时(shi)间里没有人能解决🏥它。怀爾斯30多年后回忆 起被引向费马大定理时的感觉：“它(ta)看上去如此簡单，但历史🍱上所有的大(da)数学家都未能解 决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的(de)问🛟题，从那个时刻起，我知道我永 远不会放弃它。我必须解决它。” 怀(huai)尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学🥚学士学位，之后进入剑桥大(da)学Clare 学院做博士。在研究生阶段，怀尔(er)斯并没有🦼从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能 带来的问题是(shi)：你花费了多年的时间而最🏓终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate s)正在(zai)研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得📔一位同事 告诉我，他(ta)有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部(bu)📦考试的学生，他催促我收其 为学生。我非常荣幸有(you)安德鲁这样🌂的学生。即使从對研究生的要求来看，他也有很深刻的(de) 思想，非常清楚他将是一🦦个做大事情的数学家(jia)。當然，任何研究生在那个阶段直(zhi)接开始研 究费马大定理是不可能(neng)的，即使对资历很深的🏐数学家来说，它也太困难(nan)了。”科茨的责任 是为懷尔斯找到某种至少能使他(ta)在今后三年里有兴趣🧤去研究的问题。他说：“我认为研究 生导师能为学(xue)生做的一切就是设法把他推🌰向一(yi)个富有成果的方向。当然，不能保证它一定 是一个富有成果(guo)的研究方向，但是也许年🪁长的数学家在这个过程中(zhong)能做的一件事是使用他 的常识、他对好领域的🏍️直觉。然后，学生能在(zai)这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决(jue)🏈定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的領域。这个决定成为怀(huai)尔斯职业生涯中的 一个转折点，椭🏟️圆方程的研究是他实现梦想的工具。 孤(gu)独的战士 1980年怀尔斯在剑🕦桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大(da)学，并成为这所大学 的教👛授。在科茨的指导下，怀(huai)尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经(jing)成为一 個着名的数📯论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博(bo)的基础知识和数学修养，证明费马 大定(ding)理的任务🤠也是极为艰巨的。 在怀尔斯的(de)费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想(xiang)”，该猜想在两个非 常不同🐀的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年(nian)夏末的一個傍晚，我⛅正在一个朋 友家中(zhong)啜饮冰茶。谈话間他随意告诉我，肯·里贝特已经🦚证明了谷山－志村(cun)猜想与费马大 定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改(gai)变🐼我生命历程的时刻，因为 这意(yi)味着为了證明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷(gu)山－志村猜想……我十分🚟清楚 我应该回家去(qu)研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实現他童年梦想的道路(lu)。 20世纪初👜，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什(shen)么不去尝试证明费马大定理，他 回答📨说：“在开始着手之前，我必须(xu)用3年的時间作深入的研究，而我没有那么多的时间 浪费在一件可能会失败(bai)⛸️的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证(zheng)明，他必须全身心地投入到 这个问题中，但🏰是(shi)与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。 怀尔斯作了一个重大(da)的决定🍈：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识(shi)到與费 马大定理有关的任何事情都会引起(qi)太多人🕥的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中 ，除非你的专心不被(bei)他人分散，而这一点🥁会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有 与证明(ming)费马大定理无💫直接关系的工作，任何時候只(zhi)要可能他就回到家里工作🍕，在家里的顶 楼书房里(li)他开始了通过穀山－志村猜想来证(zheng)明费马大定理的战斗。 这是一场长达😚7年(nian)的持久戰，这期间只有他的妻子知道他在证明费馬🐼大定理(li)。 欢呼与等待 经过7年的努力，怀尔斯完成(cheng)了谷山－志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了 费(fei)🎥马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底(di)，有一个重要的🎯会议要在剑桥大 学的牛頓研究所举行(xing)。怀尔斯决定利用這个机会向一群杰出😜的听众宣布他的工作(zuo)。他选择 在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥(qiao)是他的家🥦乡，他曾经是那里的一名研究(jiu)生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世(shi)🥛纪最重要的一次数学讲座。两百名数學家聆 听了这一演讲，但他们☕之中(zhong)只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所(suo)表🍢达 的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一個真正具有意(yi)义的时刻。演讲者是💍安 德鲁·怀尔(er)斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽🕑然新闻(wen)界已经刮起有关演讲的风 声，很幸运他们没有来听演🕤講。但是听众(zhong)中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯 定事先就准备了一(yi)瓶🥹香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着(zhe)特别庄重的寂静，当我写完 费马大定理🧅的证明时，我说：‘我想我就在这里结束(shu)’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声 。” 《纽约时報》在头版以《终于欢(huan)呼“我发现了🥇!”，久远的數学之谜获解》为题(ti)报道 费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀爾斯成为世界上最(zui)着名🛕的数学家，也是唯一的数 学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃(fei)一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有🚖创 意的赞美来自(zi)一家国际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新🏘️系列男装(zhuang)的模 特。 当怀尔斯成为媒体报道的中(zhong)心时，认真核😇对這个证明的工作也在进行。科学的程序要 求任何数学家将(jiang)完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊🛰️物的编辑将它送交一(yi)组审 稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯將手稿(gao)投到《数学发明🧉》，整整一个 夏天他(ta)焦急地等待审稿人的意见，并祈(qi)求能得到他们的祝福🪢。可是，证明的一个缺(que)陷被发 现了。 我的心灵归于平静 由于怀尔斯的论文涉及到⭐大(da)量的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像(xiang)通常那样指定 2－3个审稿人🦩，而是6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责(ze)其中一章。 怀尔斯在此期间中断了🥢他的工作，以处理審稿人在电(dian)子邮件中提出的问题，他自信这 些问题不会给他(ta)造成很大的📈麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了 证明中的一个(ge)小缺陷。数学的绝🍰对主义要求怀尔斯无可怀疑地证(zheng)明他的方法中的每一步都 行得通🥗。怀尔斯以为这又是一(yi)个小问题，补救的办法可能就在(zai)近旁，可是6个多月过去了 ，错误仍(reng)未改🏥正，怀尔斯面临絕境，他准备承认失败(bai)。他向同事彼得·萨克说🎼明自己的情 况，萨克向他暗(an)示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论(lun)问题并且🎽可信赖的人。经过 長时间的考虑后，怀尔斯决(jue)定邀请剑桥大学🛸的讲師理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月(yue)份🧉到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们准备放棄了。泰勒 鼓(gu)励他们🚂再坚持一个月。怀尔斯决(jue)定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个星期(qi)一的早 晨，怀🍼尔斯发现了问题的答案，他叙述(shu)了这一时刻：“突然间，不可思议地📬，我有(you)了一个 难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻❤️‍🔥，我不会再有(you)这样的经历……它的美是如 此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多🦍分(fen)钟的时间我呆望它不敢相信。然后白(bai)天我 到系里转💮了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在(zai)——它还在那里。” 这是少年🏈时代的梦想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界(jie)证明了他的才能👖。世 界不再怀疑这一次的证明了(le)。這两篇论文总共有130页，是历史上核查得最🍣彻底的数学稿 件，它们发表在1995年5月(yue)的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版 上，标题是《数📝学家称经(jing)典之謎已解决》。约翰·科茨说：“用数学的(de)术语来说，这个最 终的证明可与分🐰裂原子或发现(xian)DNA的结构相比，对费马大定理的证明是(shi)人类智力活动的一 曲凯歌，同🌻时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生(sheng)了革命性的变化。对我說来🐊，安 德鲁成果的美和(he)魅力在于它是走向代数数论的巨大的一(yi)步。” 声望和荣誉纷至沓🌹来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家(jia)学会颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并当选为🥤美国科学院外籍院士(shi)。 怀尔斯说：“……再没有别的问题能像费马大定理一(yi)样對我有同样的意义。我拥有如 此少🥔有的特权，在我的成年时期实现我(wo)童年的梦想……那段特殊漫长的探索已經🛼结束了， 我的(de)心已归于平静。” 费马大定理只有在相对数学(xue)理论的建立之后，才会得到最满意的答🍙案(an)。相对数学理論没有完成之前，谈(tan)这个问题是无力地.因为人们对数量和自身的(de)认识，还没有达到一定的高🏐度. iii 费马大定理与怀(huai)尔斯的因果律-美国公众广播网对(dui)怀尔斯的专🐬访 358年的难解之谜 数学爱好者費马(ma)提出的这个问题非常简单，它用一个每个中学生都熟悉的(de)📋数学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一(yi)🔦个直角三角形中，斜边的平方等于两个(ge)直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后😋 ，当费马在研究毕达(da)哥拉斯方程时，他在《算术》这本书靠近问题8的🧳页边处写下了这(zhe)段文字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此(ci)，我确信🧡已发现一個美妙的证法，但这里的空白太小，写(xie)不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马大定理是其中困🌡️擾数学家们时间最长(zhang)的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费馬最后的定理）——公认为有史以来最着名的数学猜想。 在畅銷(xiao)书🥥作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的长达358年的(de)猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这🛕段历史先后涉及到最多产的数学大师(shi)欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业🏤数学家(jia)的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试验大师庫默尔和被誉(yu)为“法国历史上知识最为高🥼深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数(shu)学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神🎠秘自杀、德(de)国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凱尔最后一刻的舍死🎚️求生等等，都仿(fang)佛是冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的🧅一幕，为最后谜底的(de)解开埋下伏笔。终于，普林斯頓的怀尔😸斯出现了。他找到谜底，把(ba)这出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的传奇。 对(dui)怀尔斯而言，证明费马大🛎️定理不僅(jin)是破译一个难解之谜，更是去实现一个儿时的(de)梦想。“我10歲时在图🛴书馆找到一本数学书，告诉我有这么一个问题，300多年前就已(yi)经有人解😯決了它，但却没有人看到过它的证明，也无人确信是(shi)否有这个证明，从那以后，人们🐩就不断地求证。这是一个10岁小孩就能(neng)明白的问题，然後历史上诸💸多伟大的数学家们却不能解答(da)。于是从那时起，我就试过解决它，这个问题(ti)就是🎶费马大定理。” 怀尔斯于1970年先后在牛津大(da)学和劍桥大学获得数学学士和数学博士学位🎡。“我进入剑桥时(shi)，我真正把费马大定理搁在一边了。这不(bu)是因为我忘了它，而是我认识到(dao)我們所掌握的💾用来攻克它的全部(bu)技术已经反复使用了130年。而这些技(ji)术似乎没有触及🎳问题根本。”因为担心耗费太多时间而一无所获，他“暂(zan)时放下了”对费马大定理的思索，开始研究椭圆曲线理論🥢——这个看似与证明费(fei)马大定理不相关的理论后来却成为他实现梦想🎺的(de)工具。 时间回溯至20世纪60年代，普林斯顿数学家朗兰兹提出了(le)一个大胆📽️的猜想：所有主要数学领域之间原本就存在着的统一🎀的(de)链接。如果这个猜想被证实，意味着在某个数學领域中无法解🎀答的任何问(wen)题都有可能通过这种链接被转换成另一个领域(yu)中相🥔应的问题——可以被一整套新方案解决的问題。而如果在(zai)另一个领域内仍然难以找到答案，那么可🤓以把问题再转换到下一个数学领(ling)域中……直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们🃏将(jiang)能够解决曾经是最深奥最难对付的问(wen)题——“办法是领著这些问题周游数🍈学王国的(de)各个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定理打击的费马大定(ding)理证明者们指明了救赎之路——根🏢据(ju)不完备定理，费马大定理是不可證明的。 怀尔斯后来正📭是依赖于这个(ge)纲领才得以证明費马大定理的：他(ta)的证明——不同于任何前人😝的尝试——是现代数学诸多分支（椭圓曲线论(lun)，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果。20世纪50年代🗾由两位日(ri)本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷(gu)山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个截然不同的数学岛📉屿间隐(yin)藏着一座沟通的桥梁。随后在1984年，德国数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下(xia)猜想：假如穀山—志📱村猜想成立，则费马大定理为真。这个猜想紧接着(zhe)在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定🐐理(li)不可摆脱地与谷山—志村猜想链接在一起：如果有人能证明谷山—志(zhi)村猜想📟（即“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那么就证明了费马大定理。 “人(ren)类智力活动的一曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行⌨️踪让普林斯顿的着名数学家同(tong)事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪怀尔(er)斯在做些什么？……他总⛅是静悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到(dao)：“一点暗示都没有！”对于这次惊👙天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说(shuo)：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在如此长(zhang)的时🖌️间里没有泄露任何有关工作(zuo)的信息。这是空前的。 1993年晚春，在经过反复🤎的试(shi)错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷山—志村猜想的👔证明。作为一(yi)个结果，他也证明了费马大定理。彼得(de)·萨奈克是最早得🍟知此消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失(shi)常……我🕯️记得当晚我失眠了”。 同年6月，怀尔斯决定在剑桥大学的大(da)型系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多(duo)🏥数学界重要人物到场，当大家终于明白已经离證明(ming)费马大定理一步💽之遥时，空气中充满了紧张。” 肯·里(li)比特回忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了😹那一刻(ke)：“我之前从未看到过如此精彩的講座，充满了美妙的💐、闻所未闻的新思想，还(hai)有戏劇性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高(gao)🌇潮。”當怀尔斯在讲座结尾宣布他证明(ming)了費马大定理时，他成了全世🌅界媒体的焦点。《纽约时報》在头版以《终于(yu)欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理(li)😀被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世(shi)界上唯一的数学家。《人物》杂志将懷(huai)尔斯与戴安娜王妃一起列为🍨“本年度25位最具魅力者”。 与此同时，认真核对这个(ge)证明的工作也在进行🎇。遗憾的是，如同这之前的“费马大(da)定理终结者”一样，他的證明是有缺陷的(de)。怀尔斯现在不得不在巨🕍大的压力之下修正错误，其間数度感到绝望。John Conway曾在(zai)美国公众广播网（PBS）的🐨访谈中说: “当时我们其他人（怀尔斯的同事）的行为有(you)点像‘蘇联政体研究者’，都想知道他🌰的想法和修正(zheng)错误的进展，但没有人开口问他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀尔(er)斯了。’‘他露出🐌笑容了吗？’‘他倒是有微笑(xiao)，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯准备放弃了(le)。但他🛣️临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就在(zai)截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期(qi)一的早晨，怀🖥️尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时(shi)刻：“突然間，不可思议地，我发现了它……它美得🩳难以形容，简(jian)单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到(dao)系里轉了一圈，又回到桌子旁🏦看看它是否(fou)还在那里——它确实还在那里。” 怀爾斯的(de)证明为他赢🦢得了最慷慨的褒扬，其中最具代表性的是他(ta)在剑桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评🍖价：“它（证明）是人类智力活动的(de)一曲凱歌”。 一场旷日持久🐌的猎逐就此结(jie)束，从此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了🏩一(yi)起，提到一个就不得不提到另外(wai)一个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。 历时(shi)八年的最终证明 在怀📕尔斯不多的接受媒体采访中，美国公众广播(bo)网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访相当精彩有趣，本文节选(xuan)部分以飨🛶读者。 七年孤独 NOVA：通常人们通过团队来获得(de)工作上的支持，那么当你碰壁时是怎么解🥯决问题的呢？ 懷(huai)尔斯：当我被卡住时我会沿着湖边散散(san)步，散步的好处是使你会处于放🌝松狀态，同时你的潜意识却在继续(xu)工作。通常遇到困擾时你并不需要书桌，而且我随時把(ba)笔纸带上，一🍽️旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一定(ding)交織着自我怀疑与成功……你不可能绝对🚈有把握证明。 怀尔斯：我确實相(xiang)信自己在正确的轨道上，但那并(bing)不意味着我一🥠定能达到目标——也许仅仅因为解决难题的方法超出现有的数(shu)学🥐，也许我需要的方法下个世纪也不(bu)会出现。所以即便我在正确的轨道上，我却可能生(sheng)👑活在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的(de)太太，和孩子们出去了🌆。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间(jian)看到了一篇论文，上面的一🚖行字引起(qi)了我的注意。它提到了一个19世纪的(de)数学结构，我霎时意识🥭到这就是我该用的。我不停地工作，忘记下楼午饭(fan)，到下午三四点时我🔥确信已經证明了费马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我这(zhe)时才回家，我告诉她，我解决了费马大(da)定理。 最后的修正💈 NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼(hu)“我发现了!”，久远的数学之谜获解》，但他(ta)们并不知道这个证明中有个错误。 怀⏲️尔斯：那(na)是个存在于关键推导中的错误，但它(ta)如此微妙以至于我忽略了。它很(hen)🖍️抽象，我无法用简单的语言描述，就算是数学家也需要(yao)研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后來你邀请剑桥的数学家🛶理查(cha)德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最后的错误。问题(ti)是，你🏀的证明和费马的证明是同一个吗？ 怀尔斯：不可能。这个证明有150页(ye)长，用的是20世纪的方法，在⛱️费马时代还不存在。 NOVA：那(na)就是说费马的最初证明还在某个未被发现的角落？ 怀尔斯(si)：我不相信他有证明。我觉得🛟他说已经找到解答(da)了是在哄自己。这个难题对业余爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数(shu)学证明🪕，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许还有數学家追寻这最初的证明(ming)。你该怎么办呢？ 懷尔斯：对我来说都一🚤样，费马是(shi)我童年的热望。我会再試其他问题……证明了它我有(you)一丝伤感，它已经和我们一起这麼久(jiu)了……人🏈们对我说“你把我的问题夺走了”，我能(neng)带給他们其他的东🚊西吗？我感觉到有责任。我希望通过解决(jue)这个问题带来的兴奋可以激励青年数学家们解决其他(ta)许🌐许多多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建(jian)立了椭圆曲线(代數几📽️何的对象)和模(mo)形式(某种数论中用到的周期性(xing)全纯函数)之间的重要联系。虽然名🍭字(zi)是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完(wan)🚂成. 若p是一个质数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，我们可(ke)以简化定义E的🔈方程模p;除了有限个p值，我们会得到有np个元素的(de)有限域Fp上的一个椭📻圆曲线。然後考虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不(bu)变量。从傅里叶变换，每個模形式也会产生一个数列。一💸个其序列和从模(mo)形式得到的序列相同的椭圆曲线(xian)叫🐻做模的。 谷山-志村定说: "所有Q上的椭圆曲(qu)线是模的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到📯1957年为止，他和志村五郎一起(qi)改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统🐏一数学中的猜想Langlands纲领(ling)联系了起来，并是关键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提🎭起并得到推(tui)广，Weil的名字有一段时间和它联系在(zai)一起。尽管有明显的用🌻处，这个问题的(de)深度在后来的发展之前并未被人(ren)们所感觉到📽️。 在1980年代当Gerhard Freay建議谷山-志村猜想(那时还是(shi)猜想)蕴含着费马最后定理的时🖲️候，它吸引到了不少注意力。他通过(guo)试图表明费尔马大定理的任何范例会导致一个非模的椭圆曲线来(lai)📭做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理🥕的(de)一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情况)，这个特殊(shu)情況足以证明费🚅尔马大定理。 完整的證明最后于1999年(nian)由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的📥逐步证明(ming)剩下的情况直到全部完成。 数論中类似于费尔马最后定(ding)理得几个🐁定理可以从谷山-志村定理得到。例如:没有立方可以写成(cheng)两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧🐛拉所知) 在1996年三(san)月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都(dou)没有完成给予他们🍾这个成就的(de)定理的完整形式，他们还是被认为对最终完成的证明有着决定性影响。