电影《费马大定理》

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔(er)斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来(lai)看😻，1994年正是我在念大学的时候，当时完全没有一位教授在课堂上提到这件事(shi)🍳，也许他们認为，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然🏖️而对一位(wei)不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更高(gao)深的专⚽业认知，而指引的道路，就在(zai)科普的精神上。 从费玛最后定理的历史中可以发现，有许多研(yan)究🐶成果，都是研究人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后再尝(chang)试用逻辑验证。 费🏖️玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解 1. 1963年 安德魯‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克(ke)‧坦普🚐尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理(li)，任一个直角三角形🐭，斜边的平方=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组(zu)：毕氏定理的整数解 3. 费玛🏪 Fermat 在研究丢番(fan)图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边写下了註🗽记 「不可能将一(yi)个立方数写成两个立方數之和；或者将一个四次幂(mi)写🏉成两个四次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂，写成两个同(tong)样次🍭幂的和。」 「对这个命題我有一个十分美妙的证明，这里空白太🔮小(xiao)，寫不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的(de)「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记中(zhong)，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时📈无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解(jie) => n=6, 9, 12, 15 ... 時无解 3是质数，现在只要证明费玛最后定🐻理對(dui)於所有的质数都成立 但 欧基里德 证明「存(cun)在无穷多个質数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了(le) 费玛最📘後定理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛(ma)利埃‧勒让德 延伸热尔曼的🥗證明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解(jie) 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路🕣易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证(zheng)明了 费玛最后定理 最后是刘维尔宣🏐读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西(xi)与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一因子分解性质」而🙉失败(bai) 库默尔证明了 费玛最后定理的完整证明 是当时数学方法不可能实现的 10.1908年(nian) 保罗‧沃尔夫斯凯爾 Paul Wolfskehl 补救了💎库默尔的证明 这表示 费玛最后定(ding)理的完整证明 尚未被解决 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提(ti)供证🥟明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数学上23个未解(jie)决的问题且相信这是迫切✉️需要解决的重要问(wen)题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理 第一不可(ke)判定性定理：如果公理集合论是相🌐容的，那么存(cun)在既不能证明又不能否定的定理。 => 完全性是不可能达到的 第二(er)不可判定性定理：不存💓在能证明公理系统是(shi)相容的构造性过程。 => 相容性永远不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给(gei)定问题是不🕐是不可判定的方法（只适用少数情形） 证明希尔伯(bo)特23个問题中，其中一个🥓「连续统假设」问题是不可判定的，这对於费玛(ma)最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿倫‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机 開(kai)🌤️始有人利用暴力解决方法，要对 费玛最后定(ding)理 的n值一个一个加以🥾证明。 15.1988年 内奥姆(mu)‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯(si) Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研🥜究椭圆曲线 研究椭圆曲线的目的是要算(suan)出他们的整数解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2 (費(fei)🐳玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数(shu)与一个立方数中间) 由於要直接找出🏯椭圆曲线是很困难的，為(wei)了简化问题，数学家採用「时鐘运算」方法 在五(wu)格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方🦥程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表(biao)在五格时鐘运算中，有四个解 对於椭圆曲线，可写出🕓一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年(nian) 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同尋常的对称性的 modular form 模(mo)型式 模型式的要🐕‍🦺素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要素个(ge)数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型式的🔋 M序列 可以对应到椭圆曲线的 E序列(lie)，两个不同领域的理论突然🍧被连接在一起 安德列‧韦依 採纳这个(ge)想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个统🕓一化猜想的理(li)论，并开始寻找统一的环链 19.1984年 格哈德‧弗😜赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假(jia)设费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将(jiang)方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方🩲程式太古(gu)怪了，以致於无法被模型式化 (3) 谷山(shan)-志村猜想 斷言每一个椭圆方程式都可以被模(mo)型式化🧢 (4) 谷山-志村猜想 是错误的 反过来说(shuo) (1) 如果 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圆方程🎳式都可以被模型(xing)式化 (2) 每一个椭圆方程式都可以被模型式化，则(ze)不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗赖(lai)💕椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝里(li)特🦉 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型式(shi)化 如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后🐄定理也是正确的(de) 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然后自(zi)己独🧦力尝试证明谷山-志村猜想，策略(lüe)是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗👟瓦 的群論，希望能将E序列以「自然次序(xu)」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表✉️利用微分几何学证明谷山-志(zhi)村猜想，但结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经將椭圆方程式拆💌解成无限(xian)多项，然後也证明了第一项必定是模型式的第(di)一项，也😼尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果(guo)失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方程(cheng)式都奏效 25.1993年 寻求🎀同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对(dui)驗证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议📯，安德鲁(lu)‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的證明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一(yi)个重大缺陷 安🚂德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝試独力解决缺陷，他不希望在这(zhe)时候🏨公布证明，让其他人分享完成证明的甜美果(guo)实 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下🦚，找到理查(cha)德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗(fu)莱契 方法就能够完全解🕝决问题 30.「谷(gu)山-志村猜想」被证明了，故得证「费(fei)玛最后定理」 ii 费马大定理 300多年以前，法国数学家费马在一🌄本(ben)书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整數，则不定方程xn+yn=zn没(mei)有非零整数解”。 费馬宣称他发现🫘了这个定理(li)的一个真正奇妙的证明，但因书上空白(bai)太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少(shao)专🎚️业数学家和业余数学爱好者绞尽脑(nao)汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数(shu)學中最着名的🏫定理—费马大定理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇(qi)色彩的数學家，他最初学习法律并以当律师谋🤩生，后来成為议会议员(yuan)，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来🐿️研究。虽然年近30才认真(zhen)注意数学，但费马對数论和微积分做出了第一流的贡(gong)献。他与笛卡儿几乎同💮时创立了解析几何，同时又是17世(shi)纪兴起的概率论的探索者之一。费马特🌓别爱好数论，提出了許多(duo)定理，但费马只对其中一个定理给出了证(zheng)明要点，其他定🐼理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆(lu)续被后來的数学家所证实。这唯一未被证明的定理(li)🥃就是上面所说的费马大定理，因为(wei)是最后一个未被证明对或错的定理，所以又🚉称为费(fei)马最后定理。 费马大定理雖然至今仍(reng)没有完全被☂️证明，但已经有了很大进展(zhan)，特别是最近几十年，进展更快。1976年(nian)瓦格斯塔夫证明了对🎺小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的(de)德国数学家法尔廷斯证明了不(bu)定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他🌙的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高(gao)奖之一费尔兹🏛️奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后(hou)发现了证明中的一个漏🍔洞并作了(le)修正。虽然威爾斯证明费马大定理还没有得到💨数学(xue)界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路(lu)是正确的。毫无疑🌽问，这使人們看到了希望。 为了寻求费(fei)马大定理的解答，三个多世纪以来，一🐽代又(you)一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬(chou)。1995年，美國普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经🧭过8年(nian)的孤军奋战，用13 0页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔🎧斯成为整(zheng)个数学界的英雄。 费马大定理提(ti)出的问题非👟常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学(xue)定理——毕达 哥拉斯定🌉理——来表达的。2000多年前诞生的畢达哥拉斯定理说(shuo)：在一个直角三角形中， 斜🍂边的平方等于两(liang)直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公(gong)元1637年前后 ，当费马在 研究毕达哥拉斯方程🕶️时，他写下一个方程，非(fei)常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个(ge)方程🥌没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近(jin)问题8的页边处记下这 个🐌结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我(wo)确信已发现一个美妙的证法，这里的🧣空 白太小，写不下。”这就是数学史上着(zhe)名的费馬大定理或称费马最后的定理。费马制😳造了 一个数学史上(shang)最深奥的谜。 大问題 在物理学、化学或生物学中，还没有(you)任何问题可以叙述🛺得如此简单和清晰，却长久不 解(jie)。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问題》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界也许在(zai)費马大定理得以解🕍决之前就已走到了尽头。证明费(fei)马大定理成为数论中最 值得为之奋斗(dou)的事。 安德鲁·怀尔斯1953年出生在💌英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年(nian)时代的怀尔斯 已着迷于数学了(le)。他在后来😎的回忆中写到：“在学校里我(wo)喜欢做题目，我把它们带回家， 编写成我自己的新题💄目。不过我以前找(zhao)到的最好的题目是在我们社区的图书馆📤里发现的。 ”一(yi)天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书隻有一个问题而(er)没😛有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是(shi)E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的❤️历史，这个定理讓一(yi)个又 一个的数学家望而生畏，在长达300多年的时间☀️里没有人能解(jie)决它。怀尔斯30多年后回忆 起被引向费马大定理(li)时的感觉：“它看上去如此简单，但历🎀史上所有的(de)大数学家都未能解 决它。這里正摆着我——一个(ge)10岁的孩子——能理🍩解的问题，从那个时刻起，我知道我(wo)永 远不会放弃它。我必须解决它。” 懷(huai)尔🐥斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后(hou)进入剑桥大学Clare 學🤗院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定(ding)理研究。他说：“研究费马可能 带来的问题是：你花费了多🏆年(nian)的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论🚊，我(wo)开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事 告訴我，他(ta)有一个非常好的、刚完成数学学(xue)士荣誉🐮学位第三部考试的學生(sheng)，他催促我收其 为学生。我非常荣幸有安(an)德鲁这样的学生。即🍩使从對研究(jiu)生的要求来看，他也有很深刻的 思想，非常清楚他将是一个做🛳️大(da)事情的数学家。当然，任何研究生在那个階段直接开始研 究费马大定理是(shi)不可能的，即使对资歷很深的数学🧥家来说，它也太困难了(le)。”科茨的责任 是为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣🗽去(qu)研究的问题。他说：“我认为研究 生导師能为学生做的(de)一切就是设法👕把他推向一個富有成果的方向。当然，不能保证它一定 是一(yi)个富有成🎈果的研究方向，但是也许年长的数学(xue)家在这个过程中能做的一件事是使用他 的常识、他对好领域的直覺(jue)。然后🥣，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决(jue)定懷尔斯应该🚀研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决(jue)定成为怀尔斯职业生涯中的 一个转折点，椭圆方程📻的研究是他实现梦想的(de)工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑橋大🥂学取得博士学位后(hou)来到了美国普林斯顿大学，并成为這所大学 的教授。在科茨的指导(dao)💄下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方(fang)程，他已经成为一 个着名的数论学家，但他清(qing)🎯楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费(fei)😹马 大定理的任務也是极为艰巨的。 在怀尔斯的费马大定理的证(zheng)明中，核心是💖证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两个非 常不同的数學领(ling)域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年(nian)夏末的一个🌈傍晚，我正在一个朋 友家中啜饮冰茶。谈(tan)话间他随意告诉我，肯·里贝特已(yi)经证明了谷山－志村猜想与费🧂马大 定理间(jian)的联系。我感到极大的震动。我记得那个時(shi)💎刻，那个改变我生命历程的时刻，因(yin)为 这意味着为了证明费马大定理，我😻必須(xu)做的一切就是证明谷山－志村猜想……我(wo)十分清楚 我应該回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一🥠条实现他(ta)童年梦想的道路。 20世纪初，有人问伟大的数学家大衛·希尔伯特为什么不去尝(chang)试证明费马大定理，他🌥️ 回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的(de)👝研究，而我没有那么多的时间 浪费在一件可能会失败的事情(qing)上。”怀尔斯🥥知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到 这个问题中，但是(shi)与希尔伯特不一样，他愿意冒这个(ge)風险。 怀🌡️尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意(yi)识到与费 马大🎟️定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你(ni)确实不可能很多🏍️年都使自己精力集中 ，除非你的专心不(bu)被他人分散，而這😋一点会因旁观者(zhe)太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有 与🍅证明费(fei)马大定理无直接关系的工作，任何时候只(zhi)要可能他就回到家里工作，在家里的🛺顶 楼书房里他开始了通过谷山(shan)－志村猜想来证明费马大定理的战斗。 这是一🎻场长达7年的持久战，这期间(jian)只有他的妻子知道他在证明费马大定理。 欢呼(hu)与等💡待 经过7年的努力，懷尔斯完成了谷山－志村(cun)猜想的证明。作为一个🍛结果，他也证明(ming)了 费马大定理。现在是向世界公布的時候了。1993年6月底，有一个重要的会议(yi)要在剑桥🌔大 学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利(li)用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作(zuo)。他选择 在牛頓研究🪁所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他(ta)的家乡，他曾经是那里的一名研(yan)究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了⛑️20世纪最重要的一次(ci)数学讲座。两百名数学家聆 听了這一演讲，但他们之中🐖只有四分之一(yi)的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达 的(de)意思。其余的人💬来这里是为了见证他们所期待的一个真(zhen)正具有意义的🔖时刻。演讲者是安 德鲁·怀尔斯。怀尔斯(si)回忆起演讲最后时刻的情🎆景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风 声，很幸(xing)运他们没有来听演讲。但是听众中🚘有人拍摄了演讲结束时的镜头，研(yan)究所所长肯 定事先就准备了一🌫️瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持著(zhe)特别庄重的寂静，当我写完 费马大(da)定理的证明时，我说：‘我想我🥟就在這里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声(sheng) 。” 《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获🍉解》为题报道 費(fei)马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最着名的数(shu)学家，也是唯一😋的数 学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本🗞️年度(du)25位最具魅力者”。最有创 意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请这位温(wen)文尔雅🪕的天才作他们新系列男装的模 特。 当怀尔斯成为媒体报道的🚈中心時(shi)，认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序要(yao) 求任💗何数學家将完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个(ge)刊物的编辑将它送交一组审 稿人，审(shen)稿人☄️的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到(dao)《数学发明🦮》，整整一个 夏天他焦急(ji)地等待审稿人的意见，并祈求能得到🏓他们的祝福。可是，证(zheng)明的一个缺陷被发 现了。 我的心灵(ling)归於平静 由于怀尔斯的论文🌱涉及到大量的数学方法，编辑巴(ba)里·梅休尔决定不像通常那样指定 2－3个审稿人，而是6個审稿人。200页的(de)🐬证明被分成6章，每位审稿人负责(ze)其中一章。 怀尔斯在此期间中断了(le)他的工作🛰️，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这 些问(wen)题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹🚞负(fu)责审查第3章，1993年8月23日，他发现了 证明中的一個小缺陷。数学(xue)的绝对主😊义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都 行得通。怀(huai)尔斯以为这又是一个小问😘题，补救的办法可能(neng)就在近旁，可是6个多月过去了 ，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准备承(cheng)认失败。他向同事彼🕦得·萨克说明自己的情 况，萨克向他暗示困难的一部分(fen)在于他缺少一个能够🪀和他讨论问题并且可信赖的人(ren)。经过 长时间的考虑後🚁，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德(de)·泰勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月份🧆到普林斯顿，可是到了9月，依然没(mei)有结果，他们准备放弃了。泰勒 鼓励他们再坚持🤎一个月。怀尔斯决定在9月底(di)作最后一次檢查。9月19日，一个星期一的早 晨，怀尔斯发现了问题的答(da)案，他🔈叙述了這一时刻：“突然间，不可思议地，我有(you)了一个 难以置🦙信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不(bu)会再有这样的经历……它的美🕝是如 此地难以形容；它又是如此简单和(he)优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我 到系里转了一圈🍺，又(you)回到桌子旁看看它是否还在——它(ta)还在那裡。” 这是少年时代的梦想和8年🍿潜心努力的终极，怀(huai)爾斯终于向世界证明了他的才能。世 界不(bu)再怀疑这一次的证明了。这两篇論🛴文总共有130页(ye)，是历史上核查得最彻底的数学稿 件，它们发表在1995年5月的(de)《数學年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时(shi)😀报》的頭版 上，标题是《数学家称经典之謎已解决》。约翰(han)·科茨说：“用数学的术语来說，这个最🗞️ 终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构(gou)相比，对费马大定理的证明是人类智(zhi)力活动的一 曲凯歌，同时，不能忽视🌡️的事实是它一下子就使数学发生(sheng)了革命性的变化。对我说来，安 德鲁成果的美🌍和魅力在于它是(shi)走向代数数论的巨大的一步。” 声望(wang)和荣誉纷至沓來。1995年，怀☺️尔斯获得瑞典皇家学会颁發的Schock数学奖(jiang)，199 6年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。 怀尔斯说🤩：“……再没有别的问(wen)题能像费马大定理一样对我有同樣的意义。我拥有如 此少有的特权，在我(wo)的成年时期实现我童📀年的梦想……那段特殊漫长的探(tan)索已经结束了， 我的心已归於平静🕚。” 费马大定理只有在相对数学理论(lun)的建立之后，才会得到最满意的答案。相对数学理论没⛑️有完成之前，谈这个(ge)问题是无力地.因为人们对数量和自身的认识，还没有达(da)到一定的高度🏉. iii 费马大定理与怀尔斯的因果律-美国公众广(guang)播网对怀🐢爾斯的专访 358年的难解之谜 数学爱好者費马提出的这个(ge)问题非常简单，它用一个每个中(zhong)学🥋生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞(dan)生的毕达哥拉斯定理说：在一个直🏣角三角形中，斜边的平方(fang)等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在(zai)研究毕达哥🤍拉斯方程时，他在《算术》这本书靠近问题8的页边处写(xie)下了这段文字：“设n是大于2的💤正整数，则不定方程(cheng)xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已发现一个美妙的证法，但这里(li)的🕋空白太小，写不下。”费马习惯在页边写下猜想，費马大定理(li)是其🎧中困扰数学家们时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马(ma)最后的定理）——公认为有史以来最💗着名的数学猜想(xiang)。 在畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的长达358年的猎逐充满(man)了惊📩险、悬疑、绝望和狂喜。这段历(li)史先后涉及到最多产的数學大师欧拉、最伟大的数学家高🥡斯、由(you)业余轉为职业数学家的柯西、英(ying)年早逝的天才伽罗瓦、理論兼试📋验大师库默尔和被誉为“法国(guo)历史上知识最为高深的女性”的苏🏥菲·姬(ji)尔曼……法国数学天才伽羅瓦的遗言、日本数学界的明日之(zhi)星谷山丰🛰️的神秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后一(yi)🏀刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间上(shang)帝导演的宏大戏剧中的一幕，為最后谜底的🐈解开埋下伏笔(bi)。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然而止(zhi)，留下一段🏍️耐人回味的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马(ma)大定理不仅是破译一个难解之谜，更是去实现一个儿时的🦇梦想。“我10歲时在(zai)图书馆找到一本数学书，告诉我有这么一个问题🧄，300多年前就已经有人解决(jue)了它，但却没有人看到过它的证明，也无🥦人确信是否有这个证明，从那以后(hou)，人们就不断地求证。这是一个10岁🛵小孩就能明(ming)白的问题，然后历史上诸多伟大的数学家们却不能解答。于是从那(na)时起🍤，我就试过解决它，这个问题就是费马大定理。” 怀尔斯(si)于1970年先後在牛津🍔大学和剑桥大学获得数学学士和(he)数学博士學位。“我进入📖剑桥时，我真正把费马大定(ding)理搁在一边了。这不是因为我忘了它，而是我認识(shi)到我们所掌握的用来攻克它🥢的全部技(ji)术已经反复使用了130年。而这些技术似乎没有⌨️触及问题根本。”因为担心耗(hao)费太多时间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定理的思(si)索，開始研究椭圆💯曲线理论——这个看似与证明费马大定理不相关的理(li)论后来却成为他实现梦想的工具。 时间回溯至🐏20世(shi)纪60年代，普林斯顿数学家朗兰兹提(ti)出了一个大胆的猜想：所有主要数学领域之间原(yuan)🗺️本就存在着的統一的链接。如果这个猜想被证实，意味(wei)着在某个数学领域中无法解答🏉的任(ren)何问题都有可能通过这种链接(jie)被转换成另一个领域中相应的问题——可以被一整套新🌶️方案解決(jue)的问题。而如果在另一个领域内仍然(ran)难以找到答案，那么可以把问题📻再转換到下一个数学领域中……直到它被解(jie)决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能🃏够解决曾经是最深奥(ao)最难对付的问题——“办法是领着这些问题周游数学王国的各(ge)🧇个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不(bu)完备定理打击的费马大定🐆理证明者们指明了救赎(shu)之路——根据不完备定理，费马大定理是(shi)不可证明的🕊️。 怀尔斯后来正是依赖于这个纲領才得以证明费马大定(ding)理的：他🍲的证明——不同于任何前人的尝试——是现代数学诸(zhu)多分支（椭圆曲线论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综合發挥😎作用的结(jie)果。20世纪50年代由两位日本数学家（谷山丰和志村五(wu)郎📝）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与(yu)模形式两个截然不同的数学岛屿(yu)🥉间隐藏着一座沟通的桥梁。随后在1984年，德国数(shu)学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想📈：假(jia)如谷山—志村猜想成立，则费马大定理为真。这个猜想紧接着(zhe)在1986年被肯·里贝🎢特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不可(ke)摆脱地与谷山—志村猜想链接在一起：如果有(you)人能证明谷山—志👔村猜想（即“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那么(me)就证明🌆了费马大定理。 “人类智力活动的一曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让普(pu)林🎙️斯顿的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常(chang)常奇怪怀爾斯在做些什么？……他总是静悄悄的，也许他(ta)已🔍经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点(dian)暗示都没有！”对于这次惊天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾📂评(ping)价说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在(zai)如此长的时间里没有泄露任何有关🍦工作的信息。这是空前的(de)。 1993年晚春，在经过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯🎩终于完成了谷山—志村(cun)猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定理。彼得·萨奈克🐌是最早(zao)得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我(wo)记得当晚我失眠了”。 同😀年6月，怀尔斯决定在剑桥大学的大型系列讲座上(shang)宣布这一📰证明。 “讲座气氛很热烈，有很(hen)多数学界重要人物到场，当大家终于🚲明白(bai)已经离证明費马大定理一步之遥时，空气中充满(man)了紧张。” 肯·里♠️比特回忆说。巴里·馬佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之(zhi)前从未看到过🌗如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻(wen)所未闻的新思想，还有戏剧性🏭的铺垫，充满懸念，直到(dao)最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣布他证明(ming)🙃了費马大定理时，他成了全世界媒体的焦点。《纽约时(shi)报》在头版🐐以《终于欢呼“我发现了!”久远的數学之谜获解(jie)》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之🏅间，怀尔斯成为世界上唯一(yi)的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安🐌娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力(li)者”。 与此同时，认真核对这个证明的工作也(ye)在进行。遗憾的是，如同这之前的🙃“费马大定理终(zhong)结者”一样，他的证明是有缺陷的。懷尔斯现在不得不(bu)在巨大的压力之下修正错误，其间数(shu)度🎧感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中说: “当时我們其他🐻‍❄️人（怀尔斯(si)的同事）的行为有点像‘苏联政体研究者’，都想知道他的想法和修(xiu)正错误的进🥪展，但没有人开口问他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀尔斯(si)了。’‘他露出笑🦍容了吗？’‘他倒是有微笑，但(dan)看起来并不高興。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯准(zhun)备放弃了。但他临时邀請的研究搭档泰勒鼓励👑他再坚持一个月。就(jiu)在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔(er)斯发现了问题的答案🕔，他叙述了这一时刻：“突(tu)然间，不可思议地，我发现了它……它美🥐得难以形容，简单而优雅。我对(dui)着它发了20多分钟呆。然后我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是🫘否还在(zai)那里——它确实還在那里。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨(kai)的褒扬，其中最具代表性的是他在剑桥时的🛤️导师、着名数学家约翰·科(ke)茨的评价：“它（证明）是人类智力🚖活动的一曲凯歌”。 一场曠日持久的(de)猎逐就此结束，从此费马大定理与安德(de)鲁·怀尔斯的名字紧紧🎴地被绑在了一起，提到一个(ge)就不得不提到另外一个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔🙈斯的因果律。 历时(shi)八年的最终证明 在怀尔斯不多的接受媒体采访中，美国公众广播(bo)网（PBS）NOVA节目对🦋怀尔斯的专访相当精彩有趣，本文节选部分以飨读者。 七年(nian)孤独 NOVA：通常人们通过团队来获得工作上的支持🐷，那么当你碰壁时是怎么(me)解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我(wo)会沿着湖边散散步，散🧶步的好处是使你会处于放松状态，同时(shi)你的潜意识却在继续🦔工作。通常遇到(dao)困扰时你并不需要書桌，而且我随时把笔纸带上，一旦有(you)好主意我会找个长椅坐下📫来打草稿…… NOVA：这七年(nian)一定交织着自我怀疑与成功……你不可能绝对有🥮把握证明。 怀尔斯：我确(que)实相信自己在正确的轨道上，但那(na)并不意味🏤着我一定能达到目标——也许仅仅因为解决难题的方法超出现有(you)的数学，也🌟许我需要的方法下个世纪也不会出现。所以即便我在正(zheng)确的轨道上，我却可能生活在错(cuo)误🧄的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破(po)。 怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了(le)。我坐在🗳️书桌前思考最后的步骤，不经意间看到(dao)了一篇论文，上面的一行🕚字引起了我的注意。它提(ti)到了一个19世纪的数学结构，我霎时意识到这就(jiu)是我该🛷用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三(san)四點时我确信已经证明了费马大(da)定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为💷我这时才回家，我(wo)告诉她，我解决了費马大定理。 最后的修(xiu)正 NOVA：《纽约时🛺报》在头版以《终于欢呼“我發现了!”，久远(yuan)的数学之谜获解》，但他们并不知道这个證明中(zhong)有个错误。 怀尔🛝斯：那是个存在于关键推导中的错误，但它如(ru)此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单(dan)的语🍽️言描述，就算是数学家也需要研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后来🛥️你(ni)邀請剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最(zui)后的错误。问题是，你的证明📩和费马的证明是同一个(ge)吗？ 怀尔斯：不可能。这个证明有150页长(zhang)，用的🤗是20世纪的方法，在费马时代还不存在。 NOVA：那就是说费马的最初(chu)證明还在某个未被发现的角落？ 怀尔斯：我不(bu)🕕相信他有证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄自己。这个难题对业(ye)余爱好者如此特别在于它可能😁被(bei)17世纪的数学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许还有数学家(jia)追寻这最初的证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对我🛹来说都(dou)一样，费马是我童年的热望。我会再試其他问题……证🕑明了它我有(you)一丝傷感，它已经和我们一起这么久了……人們(men)对我说“你把我的问题夺走了”，我能帶给(gei)他们其他的🍌东西吗？我感觉到有责(ze)任。我希望通过解决这个问题带来(lai)的興奋可🥊以激励青年数学家们解决其他许许多多的难题。 iv 谷山-志村定(ding)理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何的對象)和模形式🏞️(某种数论(lun)中用到的周期性全纯函數)之间的重要联系。虽然名字是(shi)从谷山-志村猜想🧶而来,定理的证明是由安德鲁(lu)·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个质数而E是一个Q(有🥓理数域)上的(de)一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的(de)方程模p;除了有限个p值，我们会得到有np个元素(su)的有限域Fp上的🛼一个椭圆曲線。然后考虑如下序(xu)列 ap = np − p, 这是椭圆曲線E的重要的不变量🚉。从傅里叶变换，每个模形(xing)式也会产生一个数列。一个其序列和从(cong)模形式得到的序⛳列相同的椭圓曲线叫做模的。 谷山(shan)-志村定说: "所有Q上的椭圆曲线是模的(de)"。 该定理在1955年🌺9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五郎一起改(gai)进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在🎵1960年代，它和统一数學中的猜想Langlands纲领联系(xi)了起来，并是关键的组成部分。猜(cai)想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广(guang)，Weil的名📺字有一段时间和它联系在一起。尽管有明显的用处(chu)，这個问题的深度在后来的发展(zhan)之前并未被人们所🏣感觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(xiang)(那时还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它吸引(yin)到了不少⛰️注意力。他通过试图表明费尔马大定理的任何范例会导致一个非(fei)模的椭圆曲线来做到这一點。Ken Ribet后来证明了这🧶一结果。在(zai)1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆💼曲(qu)线的情况)，这個特殊情况足以证明费尔马大定理。 完整的证明最后(hou)于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出❤️‍🩹，他们在Wiles的基础上，一块一块的逐步证明剩下的情况直✉️到(dao)全部完成。 数论中类似于费尔马最后定理得几(ji)个定理可以从谷山-志村定理得到。例如:没有立方☕可以写成两(liang)个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖(jiang)。虽然他们都没有完成🐓给予他们这个成就的定理的完整形式，他们(men)还是被认为对最终完成的证明有着决定性🧭影响。