费马大定理简介

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔(er)斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看，1994年正是🏅我在(zai)念大学的时候，当时完全没有一位教授在课堂上提到这件事，也许(xu)他们认为，一位真正的研究者🍮，自然而然地会被数学吸引，然而对一位不是天(tian)才的学生来🍸说，他需要的是老师的指(zhi)引，引导他走向更高深的专业认知，而指引的道(dao)路，就在科🍔普的精神上。 从费玛最(zui)后定理的历史中可以发现，有許多研究成果，都是研究人员🐣燃(ran)烧熱情，试图提出「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑验证。 费🍨玛最后(hou)定理：xn+yn=zn 當 n>2 时，不存在整数解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本(ben)书吸🌮引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这裡开始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任(ren)一个直🛼角三角形，斜边的平方=另外两边(bian)的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解 3. 费玛(ma) Fermat 在研究丢番图🛴 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边写下了(le)註记 「不可能将一个立方数写成两个立方(fang)数之和；或🥖者将一個四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的(de)来说，不可能将一个高於2次幂，写成🌘两个同样次幂的和。」 「对这个命题我有(you)一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费(fei)玛 Fermat的🕌儿子出版了載有Fermat註记的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记中，隐含了(le)对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时(shi)无解🦜 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只要证(zheng)明費玛最后定理对於所有的质(zhi)数都成立 但 欧基里🏫德 证明「存在无穷多個质数(shu)」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最后定理 "大概(gai)" 无🍦解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和(he) 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证明，证明🐱了(le) n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路(lu)易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已🗓️经证明了 费玛最后定(ding)理 最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的⛅信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚(xu)数没有唯一因子分解性质」而失败 库默🚂尔证(zheng)明了 费玛最后定理的完整证明 是当时数学方法不(bu)可能实现的 10.1908年 保羅‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救📷了库(ku)默尔的证明 这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被(bei)解决 沃尔🐕夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人，期限是到2007年(nian)9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提(ti)出数学上23个未解决🦜的问题且相信这是迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库(ku)特‧哥德尔 不可判定性定理 第一不可判🦫定性定理(li)：如果公理集合论是相容的，那么(me)存在既不能证明又不能否定的定理(li)。 => 完全性是不可能达到的🏭 第二不可判定性定理：不存在能(neng)证明公理系统是相容的构造性过程。 => 相容性(xing)永远不可能🥐证明 13.1963年 保羅‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问(wen)题是不是不可判定的方法（只适🧀用少数情形） 证明希尔(er)伯特23個问题中，其中一个「连续统假🥭设(she)」问题是不可判定的，這对於费玛最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿(a)伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反🌀转機 开始有人(ren)利用暴力解决方法，要对 费玛最后定理 的n值一个一个加(jia)以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔🚙基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存(cun)在解这个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科(ke)次，研究椭圆曲线 研究椭🎼圆曲线的目的是要算出他们的(de)整数解，这跟费玛最後定理一样 ex: y2=x3-2 只有一(yi)组整数解 52=33-2 (费🍽️玛证明宇宙中指存在一个数(shu)26，他是夹在一个平方数与一🌐个立方数中间) 由於要直接找出椭圆曲(qu)線是很困难的，为了简化问题，数学家(jia)採用「时鐘运算🖍️」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可(ke)用 E5=4 来代表🚐在五格时鐘运算中，有四个(ge)解 对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至(zhi)村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对🍤称性的 modular form 模型式 模型(xing)式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序(xu)列 要🦞素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型式的 M序(xu)列 可以对应到椭🥫圆曲线的 E序列，两个不同领域的理论突(tu)然被连接在一起 安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜🌔想」 18.朗(lang)兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个统(tong)一化猜想的理论，并开始寻找统一的环链 19.1984年 格🐕哈德(de)‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设费玛最后定理是错的(de)，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圓方🥿程式 (2) 弗赖椭(tuo)圆方程式太古怪了，以致於无法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想(xiang) 断言每🚀一个椭圆方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志(zhi)村猜想 是错误的 反过来说 (1) 如果 谷山(shan)-志🐻村猜想 是对的，每一个椭圆方(fang)程式都可以被模型式化 (2) 每一個椭圆方程式都(dou)可以🍑被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗赖(lai)椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没🥟有整数解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝(bei)裡特 证明 弗赖🤎椭圆方程式无法被模型式化 如果有人能够证明(ming)谷山-志村猜想，就表示费玛最后定理也是正确的 21.1986年 安德鲁🎰‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始(shi)一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文(wen)，然后自己独力尝试证🥏明谷山-志(zhi)村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽(ga)罗瓦 的群论，希望能将E序列以「自然次序👢」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋(yang)一 发表利用微分几何学证明穀山-志村猜想，但结🍻果失(shi)败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圓方程(cheng)式拆解成无限多项，然后也证明了第一项必(bi)定是模型式的第一项🦪，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论(lun)，但结果失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对(dui)所有分类后的椭圆🧩方程式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验😃证(zheng)证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想(xiang)的🦇证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发現一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始(shi)隐居，尝试🐅獨力解决缺陷，他不希望(wang)在这时候公布证明，让其他人分享完成🚡证(zheng)明的甜美果实 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下(xia)，找到理查🍚德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日(ri) 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论與 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全(quan)解决问题 30.「谷山-志🧭村猜想」被证明了，故得證「费玛最后定理」 ii 费马大定理 300多年(nian)以前，法国数学家費马在一本书(shu)的空白💍处写下了一个定理：“设n是(shi)大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解🎴”。 费马宣称他发現了这个定(ding)理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写(xie)不下他的证明。300多年過去了，不知🍡有多少专业数(shu)学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图(tu)证明它，但不是无功而🖥️返就是进展甚微。这就是纯数学中最(zui)着名的定理—费马大定理。 费马(1601年～1665年)是一位🗨️具有传奇色彩的数学家，他最初(chu)学习法律并以当律师谋生😹，后来成为(wei)议会议员，数学只不过是他的業余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认(ren)真注意數学，但🛷费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛(di)卡儿几乎同时创立了解析几👻何，同时又是17世纪兴(xing)起的概率论的探索者之一。费马特别爱🐃好数论，提出了許多(duo)定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一個(ge)被证明是🐓错的，一个未被证明外，其余的陆(lu)續被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就🏗️是(shi)上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错🦋的定理，所以(yi)又称为费马最后定理。 费马大定理虽然至今仍(reng)没有完全被证明，但🏝️已经有了很大进展，特别是最近几十(shi)年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素數费马大定理都(dou)成立。1983年一🚐位年輕的德国数学家法(fa)尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他🐑的突(tu)出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之(zhi)一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了📻费马大定理，但(dan)随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理🚝还(hai)没有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认(ren)为他证明的思路是正确的。毫无疑问🔊，这(zhe)使人们看到了希望。 为了寻求費马大(da)定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代🥯的数学家们前赴后继(ji)，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教☕授经过8年(nian)的孤军奋战，用13 0页长的篇幅证明了费马大定理。怀📀尔斯成(cheng)为整个数学界的英雄。 费马大定理(li)提出的问题非常简单，它是用一个每个🕓中学生都熟悉的数学(xue)定理——畢达 哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定🐱理说：在一个(ge)直角三角形中， 斜边的平方等于两直角边的平方(fang)之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在 研究毕达哥🌴拉斯方程时，他(ta)写下一个方程，非常类似于毕达哥拉(la)斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算😛术》这本书的靠近问题(ti)8的页边处记下这 个结论的同时又写下一个附加📩的评注：“对此，我(wo)确信已发现一个美妙的证法，这里的空 白太小，写不下。”这就是数学(xue)史上着名的费马大定🕥理或称费馬最后(hou)的定理。费马制造了 一个数學史上最深奥的谜🥭。 大问题 在物理学、化学或(huo)生物学中，还没有任何问題可以叙述得如此简单(dan)和清晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在🎉他的《大(da)问题》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界也许在费马大定(ding)理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定🕹️理成为数论(lun)中最 值得为之奋斗的事。 安德鲁·怀尔斯1953年出生在(zai)英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时代🌄的怀尔斯(si) 已着迷於数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做題目，我把(ba)它们带回家， 编写成我自己的🏨新题目。不过我以前找到的(de)最好的题目是在我们社区的图书馆裡发(fa)现的。 ”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的🐊圖书馆看见了一本书，这本书只有一(yi)个问题而没有解答 ,怀尔斯被吸引住🕦了(le)。 這就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历(li)史，这个定🦫理让一个又 一个的数学(xue)家望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯(si)30多年后回忆 起被🥄引向费马大定理时的感觉：“它看(kan)上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解 决它。这里正(zheng)摆着我——一🥥个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻(ke)起，我知道我永🐢 远不会放弃它。我必须解决它。” 怀尔斯1974年從牛津大(da)学的Merton学院获得💴数学学士学位，之后进入剑桥大(da)学Clare 学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费馬🍜大定理研究。他说：“研究(jiu)费马可能 带来的问题是：你花费了多年(nian)的时间而最終一事无成。我的导师约(yue)翰·科🎞️茨(John Coate s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一(yi)位同事 告💞诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉學位第(di)三部考试的学生，他催促我🏕️收其 为学生。我非常荣幸有安德鲁这樣(yang)的学生。即使从对研🖍️究生的要求来看(kan)，他也有很深刻的 思想，非常清楚他将是🦗一个做大事情的数学家。当然，任何研(yan)究生在那个阶段直接开始研 究费马大(da)定理是💘不可能的，即使对资历很深的数学家来(lai)說，它也太困难了。”科茨的责任 是为怀(huai)爾🏵️斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的(de)问题。他說：“我认为研究 生导师能为学🎱生做的一切就是设法把他推向一个(ge)富有成果的方向。当然，不💺能保证它一定 是一(yi)个富有成果的研究方向，但是也(ye)许年长💽的數学家在这个过程中能(neng)做的一件事是使用他 的常识、他🥯對好领域的直觉(jue)。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自🚋己的事了。 ” 科茨决定(ding)怀尔斯应该研究数学中称为椭圓曲线📫的领域。这个决定成为怀尔(er)斯职业生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研(yan)究是他实现🌩️梦想的工具。 孤独的战士 1980年怀爾斯在剑桥大学(xue)取得博士学位后来到了美国普林(lin)斯顿大学🐖，并成为这所大学 的教授。在科茨的指导下，怀尔斯(si)或许比世界上其他人🎨都更懂得椭圆方程，他已经成为一 个着名的数论(lun)学家，但他清楚地意🏟️识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明(ming)费马 大定理的📹任务也是极为艰巨的。 在(zai)怀尔斯的费馬大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想(xiang)”，该猜想在两个非 常不💚同的数学领域间建立了一座新的桥梁(liang)。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一(yi)个朋 友家中啜饮冰茶。谈话间他🐓随意告诉我，肯·里贝特已经证明了(le)谷山－志村猜想与费🐂马大 定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那(na)个时刻，那个改变我生命历程的(de)时刻，因为 这意味着为了🐸证明费马大定理，我(wo)必须做的一切就是证明谷山－志村猜想……我十分(fen)清楚 我应该回家去研究谷🗞️山－志村猜想。”怀尔斯望(wang)见了一条实现他童年梦想的道路。 20世🌑纪(ji)初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么(me)不去尝试证明费马大定理🌛，他 回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作(zuo)深入的研究，而我没有那么多的时间 浪(lang)费在一😗件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了(le)找到证明，他必须全身心地投入到 这个问🧵题中，但是与(yu)希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。 怀尔斯作了一个重大的🌷决定(ding)：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费⛰️ 马(ma)大定理有關的任何事情都会引起太多(duo)人的兴趣。你确实不可能很多年都使📚自己精力集中 ，除非你的专心不被(bei)他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯(si)😯放弃了所有 与证明费馬大定理无直接关系的工作，任何时候(hou)只要可能他就回到家里工作，在家里的顶 楼书🥗房裡他开(kai)始了通过谷山－志村猜想来证明费马大定理的战斗。 这是一场长达(da)7年的持久战，这期间只有他的🥠妻子知道他在(zai)证明费马大定理。 欢呼与等待 經过(guo)7年的努🏝️力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证明。作为一个结果(guo)，他也证明了 费马大定💯理。现在是向世界公布的时候了(le)。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥大 学的牛顿研究所🍘举行。怀尔斯决定利(li)用这个机会向一群杰出的听众(zhong)宣布他的工作。他选择 在🐞牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是(shi)他的家乡，他曾经是那里的一名研究生。 1993年6月23日🦢，牛顿研究所举行了20世(shi)纪最重要的一次数学讲座。两百名数(shu)学家聆 听了这一演讲，但他们之中🌦️只有四分之一的人完全懂得黑板上的(de)希腊字母和代数式所表达 的意思(si)。其余的人来这里是📑为了见证他们所期(qi)待的一个真正具有意义的时刻。演講者是安 德鲁·怀尔斯。怀(huai)尔斯回忆起演🎎讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已(yi)经刮起有关演讲的風 声，很幸运他们没有(you)来听演讲。但是听众中有📖人拍摄了演讲结束時的镜头，研(yan)究所所长肯 定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣🍎读证明时，会场上保(bao)持着特别庄重的寂静，当我写完 费马大定理的证明時，我说(shuo)：‘我想我就在这里结🛴束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声(sheng) 。” 《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发(fa)現了!”，久远的数学之谜⛩️获解》为题报道 费马大定理(li)被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最著名的数学家(jia)，也是唯一的数 学🙂家。《人物》杂志将懷尔斯与(yu)戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力🐻‍❄️者”。最有创 意的赞(zan)美来自一家国际制衣大公司，他(ta)们邀请这位温文尔雅的天才作他🐢们新系列男装的模(mo) 特。 当怀尔斯成为媒体报道的中心(xin)時，认真核对这个证明的工作也在进行(xing)。科学👘的程序要 求任何數学家将完整的手稿送(song)交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编🫘辑将它送交一组审 稿人，审(shen)稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀(huai)尔斯将手稿投到《数🥃学发明》，整整一个 夏(xia)天他焦急地等待審稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的(de)一个缺陷🌊被发 现了。 我的心灵归于平静 由于怀尔斯的论文(wen)涉及到大量🥸的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定(ding)不像通常那样指定👜 2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明(ming)被分成6章，每位审稿人负责其中一章。 怀尔斯在此期間中断了他的工作，以(yi)处🚏理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这 些問题不会给他造成(cheng)很大的💵麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年(nian)8月23日，他发现了 证明中的一个🌐小缺陷。数学的(de)绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他(ta)的方法中的每一🏪步都 行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，補救的办法(fa)🥉可能就在近旁，可是6个多月过去了 ，错误仍未改(gai)正，怀爾斯面临绝境，他准备承认失败。他向同事🕞彼得·萨克说明自己的情 况(kuang)，萨克向他暗示困难的一部分在於他缺少一个能够和他讨论问题(ti)并📗且可信赖的人。经过 长时间的考虑后，怀尔斯决定(ding)邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒🦚到普林斯顿和他一起工(gong)作 。 泰勒1994年1月份到普林斯顿，可🎳是到了9月，依然没(mei)有结果，他们准备放弃了。泰勒 鼓勵他们再坚🍊持一个月。怀尔斯(si)决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个(ge)星期一的早 晨，怀尔斯发现了🌷问题的答案，他叙述了这(zhe)一时刻：“突然間，不可思议地，我🐫有了一个 难(nan)以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不🧀会(hui)再有这样的经历……它的美是如 此地难以形容；它又是如此(ci)簡单和优美。20多分钟的时间我呆望(wang)它不敢相信🍭。然后白天我 到系里转了一圈，又回到桌子旁看看(kan)它是否还在——它还🍭在那里。” 这是少年时代的(de)梦想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才(cai)能。世 界不再怀疑这一🐕‍🦺次的证明了。这两篇论文总共有130页，是历史上核(he)查得最彻底的数学稿🕌 件，它们发表在1995年(nian)5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版 上，标题是《数学家(jia)👝稱经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最 终的证明可💳与分(fen)裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大(da)定理的证明是人类智力活🥍动的一 曲凯歌，同时(shi)，不能忽视的事实是它一下子就(jiu)使🌡️数学发生了革命性的变化。对我说來，安 德鲁成果的美和(he)魅力在于它是走嚮代数数论的(de)巨🦦大的一步。” 声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀爾斯获得瑞典(dian)皇家学会颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖🌝，并当选为美国科學院(yuan)外籍院士。 怀尔斯说：“……再没有别的问题(ti)能像费马大定📉理一样對我有同样的意义。我拥有如 此少有的(de)特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探🐤索(suo)已经结束了， 我的心已归于平静。” 费马大定(ding)理只有在相对数🏣学理论的建立之后，才会得到最满(man)意的答案。相对数学理论没有完成之前，谈这个问题是无力地.因(yin)为人们对🐊数量和自身的认识，还没有达到一定的高(gao)度. iii 费马大定理与怀🐸尔斯的因果(guo)律-美国公众广播网对怀尔斯的专访 358年的难解之谜 数(shu)学爱好者费马提出的這⭐个问题非常简单，它用一个每个中学(xue)生都熟悉的数学定理——毕🐛达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生(sheng)的毕达哥拉斯定理说：在一个直角(jiao)三角形中，斜边🍃的平方等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后(hou) ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他🦢在《算术》这本书靠近问题8的页边(bian)处写下了这段文字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没🐳有非整数解，对此(ci)，我确信已发现一个美妙的证法，但这里的(de)空白太小，寫不下。”费马习惯在💍页边写下猜想，费马大定理是其中困扰数(shu)学家们时间最长的，所以被称为🕟Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公认为有史(shi)以来最着名的数学猜想。 在🐻畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引(yin)发的长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝🥟望和狂喜。这段历史先后涉及(ji)到最多产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余(yu)转为职业数🥔学家的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试验(yan)大师库默爾和被誉为“法国历史上知识最为(wei)高深的女性”的🌺苏菲·姬尔曼……法国数學(xue)天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明(ming)日✏️之星谷山丰的神秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后一刻的(de)舍死求生等等，都仿佛🎀是冥冥间上帝导(dao)演的宏大戏剧中的一幕，为最后谜底(di)的解⚓开埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯(si)出现了。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然而止，留(liu)下一段耐人回味📨的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马大定(ding)理不仅是破译一个难解之谜，更是去实现一🛕个儿时的梦想(xiang)。“我10岁时在图书馆找到一本数学书(shu)，告诉我有这么一个问题，300多年前就已经有人解决了它，但卻没🎆有人看(kan)到过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那以(yi)后，人們就不断地求证。这是一个10岁小孩就(jiu)🕋能明白的问题，然后历史上诸多伟大的数学家们却不能解答。于是(shi)从那时起🖋️，我就试过解决它，这个问题就是費马大定理。” 怀尔(er)斯于1970年先后在牛津大学和剑桥(qiao)大学获得数学学士和🦘数學博士学位(wei)。“我进入剑桥时，我真正把费马大(da)定理搁📺在一边了。这不是因为我忘了它，而是我认识到我们所(suo)掌握的用来攻克它的全部技术已经反复使(shi)用了130年🐣。而这些技术似乎没有触及问题根本。”因为担心耗(hao)费太多时间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定理的🙉思索，開(kai)始研究椭圆曲线理论——这个看似与证明费马大定理不(bu)相关的🖍️理论后来却成为他实现梦想的工具。 时间回(hui)溯至20世纪60年代，普林斯顿数学家朗兰兹提出(chu)了一个大胆的🥻猜想：所有主要数学领域之间原本就存在着的统一的链接(jie)。如果这個猜想被证实，意🀄味着在某个数学领域中无法解答(da)的任何问题都有可能通过这种链接被转换成另一个领(ling)域中相应🕍的问题——可以被一整套新方案解决的问题。而如果在(zai)另一个领域内仍然难以找到答案，那么可(ke)以把问❣️题再转换到下一个数學领(ling)域中……直到它被解决为止。根據朗兰兹纲领，有一💛天，数学家们将能够解决(jue)曾经是最深奥最难对付的问🌴题——“办法是领着這些问题(ti)周游数学王国的各个风景胜地😜”。这个纲领(ling)為饱受哥德尔不完备定理打击的費马大定理证🏸明者们指明了救赎之(zhi)路——根据不完备定理，费馬大定理是不(bu)可证明的。 怀尔斯后来正是依🍮赖于这(zhe)个纲领才得以证明费马大定理的：他的证明——不同于任何前人的(de)尝试——是现代数学诸多分支（椭🕙圆曲线论，模(mo)形式理论，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果。20世纪(ji)50年代由两位日本数学家（谷山丰和志村😋五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗(an)示：椭圆方程与模形式两个截然不同的数学岛屿间隐藏着一座溝🍫通的(de)桥梁。随后在1984年，德国数学家格哈德·费(fei)赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假🛸如谷山—志村猜想成(cheng)立，则費马大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特🐤（Ken Ribet）證明。从此(ci)，费马大定理不可摆脱地与谷山—志村猜想链接在(zai)一起：如果有人🐤能證明谷山—志村猜想（即“每一个椭(tuo)圆方程都可以模形式化”），那么就证明了费马大定(ding)理。 “人类智力活动的一曲🛷凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让普林斯(si)顿的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆(yi)说：“ 我常常奇怪怀尔斯在🐳做些什么？……他总是静悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了(le)。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对於这次惊天“大预谋😆”，肯·里(li)比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在(zai)如此长的时间里没有泄露任何🎗️有关工作的信息。这是空前的。 1993年晚春(chun)，在经过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终🦓于完成(cheng)了谷山—志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定理。彼得·萨奈(nai)克是最早得知此消息的人📅之一，“我(wo)目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得(de)当晚我失眠了”。 同年6月，怀尔斯决定🎏在剑(jian)桥大学的大型系列讲座上宣布這一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多数学界重(zhong)要人物到场，当大🐳家终于明白已经离证(zheng)明费马大定理一步之遥时，空气中充满了紧(jin)张。” 肯💄·里比特回忆说。巴里·马佐爾（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如(ru)此精彩的讲座，充满📤了美妙的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的(de)铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣(xuan)布他🏞️证明了费马大定理时，他成了全世界媒体的焦点。《纽约时报(bao)》在头版以《终于欢呼“我发现了!”久远的数(shu)学之📔谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明(ming)的消息。一夜之间，怀尔💴斯成为世界上唯一的(de)数学家。《人物》杂志將怀尔斯与戴安娜王🚡妃一起列为“本年度25位最(zui)具魅力者”。 与此同时，认真核对这个证明的工作也在进(jin)🕕行。遗憾的是，如同这之前的“费马(ma)大定理终结者”一样，他的证明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不(bu)💖在巨大的压力之下修正错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网(wang)（PBS）的访谈中说: “当🤗时我们其他人（怀尔斯的同事）的行为有点像‘苏联政体(ti)研究者’，都想知道他的想法和修(xiu)正错误的进🐤展，但没有人开口问他。所以，某人会说，‘我今(jin)天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但看起来🐅并不高兴。’” 撑(cheng)到1994年9月时，怀爾斯准备放弃了。但他(ta)临时邀请的研🛴究搭档泰勒鼓励他再坚(jian)持一个月。就在截止日到来之前(qian)两周， 9月🥠19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯(si)发现了问题的答案，他敘述了这一时刻：“突然(ran)间，不可思议地🏒，我发现了它……它美得难以形容，简单而優雅。我(wo)对着它发了20多分钟呆。然后我到系裡转了一圈(quan)，又回到桌子旁看🍠看它是否还在那里——它确实还在那里。” 怀尔斯的(de)证明为他赢得了最慷慨的褒扬，其中📈最具代表(biao)性的是他在剑桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（證明）是人类智(zhi)力活动的一🪡曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此结束，从(cong)此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名(ming)字紧紧地被绑在了一📪起，提到一个就不得不提到另外一个(ge)。这是费马大定理与安德鲁·懷尔🪢斯(si)的因果律。 历时八年的最终证明 在怀爾斯不多的接受(shou)媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔🎎斯的专访相当精彩有趣，本(ben)文节选部分以飨读者。 七年🦆孤独 NOVA：通常人们通過团队来获得工作上的支持(chi)，那么当你🎱碰壁时是怎么解决问题的呢？ 怀尔斯：當我被卡(ka)住时我会沿着湖边散散步，散步🌗的好处是使你会处於放(fang)松状态，同时你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并🌋不需要书桌(zhuo)，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主意(yi)我会找个長椅坐下来打草🗞️稿…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与成功(gong)……你不可能绝对有把握证明。 怀尔斯：我确🚉实相信自己在正确的轨道上，但那(na)并不意味着我一定能达到目标(biao)——也许僅仅因为解决难题的方法超🎸出现有的数学(xue)，也许我需要的方法下个世纪也不会出现。所以即便(bian)我在正确的轨🛼道上，我却可能生活在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀(huai)尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太(tai)，和孩子🎱们出去了。我坐在书桌前思考最后的步骤(zhou)，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字(zi)引起了我的注意🎛️。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎时意识到这就是我(wo)该用的。我不停地工作，忘記下🏎️楼午饭，到下午三四点(dian)时我确信已经证明了费马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以🦨为我这时才回家，我(wo)告诉她，我解决了费马大定理。 最后的修正 NOVA：《纽(niu)约时报》在头版🚅以《终于欢呼“我發(fa)现了!”，久远的数学之谜获解》，但他们并不知道这个证明中有個(ge)🗒️错误。 怀尔斯：那是个存在于关键推导中的错误(wu)，但它如此微🚝妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言描述(shu)，就算🦃是数学家也需要研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀请(qing)⌛剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最后的错誤(wu)。问题是，你的证明和费马的证📣明(ming)是同一个吗？ 怀尔斯：不可能。这个证明有150页长，用的是🕋20世纪的方法，在费马时(shi)代还不存在。 NOVA：那就是说费马的最(zui)初证明還在某个未被发现的角落？ 怀尔斯：我🎂不相信他有证明。我觉得他(ta)说已经找到解答了是在哄自己。这个难题对业余爱好者如此特别(bie)在于它可能被17世🔔纪的数学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许还有(you)数学家追寻这最🥘初的证明。你该怎么(me)办呢？ 怀尔斯：对我来说都一样，费马是我童年的热望。我会再试其他問题……证(zheng)明了它我有🥸一丝伤感，它已经和我们一起这么久(jiu)了……人们对我说“你把我的问题夺走了”，我能带给他们其他的(de)🥐东西吗？我感觉到有责任。我希望通过解決这个问题带(dai)来的兴奋可以激励青年数学家们解🐣决其他许许多(duo)多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代數几何的对象)和模形式🦊(某种数(shu)论中用到的周期性全纯函数)之间的重要联系🌊。虽然名(ming)字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一(yi)个质数而E是一🕯️个Q(有理数域)上的一个椭圓曲线，我们可以简化定义E的方程模(mo)p;除了有限个p值，我们会得到有np个元素的有🌁限域Fp上的一个椭圆曲线。然后(hou)考虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅(fu)📥里叶变換，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序(xu)列相同的📑椭圆曲線叫做模的。 谷山(shan)-志村定说: "所有Q上的椭圆曲线是模(mo)的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到🛵1957年为止，他和志(zhi)村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自📆杀身亡(wang)。在1960年代，它和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是(shi)关键的组成部🦒分。猜想由André Weil於1970年代重新提起并得到推广，Weil的名字有一段(duan)时间和它联系在📪一起。尽管有明显(xian)的用处，这个问题的深度在后来的發展之前并未被🐟人们所感(gan)觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那(na)时还是猜想)蕴🎺含着费马最后定理的时候，它吸引到了不(bu)少注意力。他通过试图表明费尔马大定理的任何范例🍽️会导致一个(ge)非模的椭圓曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证明了这(zhe)🥕一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor證明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的(de)情况)，这个特殊情况足以证🏓明费尔马大定理。 完整的证明最后于1999年(nian)由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基🍏础上，一块一块的逐步证明剩下的情况直到全部完成(cheng)。 数论中类似于费尔马最后定理(li)得🛫几个定理可以从谷山-志村定理得到。例如:没有立方可以写成两(liang)个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧🌱拉所知) 在1996年(nian)三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都沒有完成给予(yu)他们这个成就的定理的完🍢整形式，他们还是被认为对最终完(wan)成的证明有着决定😲性影响。