费马大定理纪录片中文字幕

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起(qi)，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看(kan)🥪，1994年正是我在念大学的时候，当时完全没有一位教(jiao)授在课堂上提到这件事🐌，也许他们认为，一位真正的研(yan)究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位(wei)不是天才的学💧生来说，他需要的是老师的指引(yin)，引导他走向更高深的专🧃业认知，而指引的道(dao)路，就在科普的精神上。 从费玛最后定理的历史中可以发现，有许多(duo)研究成果，都是研究人员🔉燃烧热情，试(shi)图提出「有趣」的命题，然後再尝试用逻辑验证。 费玛最后(hou)定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解 1. 1963年 安德(de)魯🍁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔(er) Eric Temple Bell 的一本書吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 畢达哥(ge)拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜🌡️边的平方=另外两边的平方和(he) x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解(jie) 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数🦚」第2卷的問题8时，在页边写下了(le)註记 「不可能将一个立方数写成两个立方数之和(he)；或者将一个四次幂写成🌰两个四次幂之和；或者，总的来说，不(bu)可能将一个高於2次幂，写成两个同样次幂的和。」 「对这个命题我有一个(ge)🦓十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载🧈有Fermat註记(ji)的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记(ji)中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时🏑无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解(jie) => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只要证明费玛最后🚠定理对於所(suo)有的质数都成立 但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」 6. 1776年 索(suo)菲‧热尔⛺曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最后定理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔🐝夫‧勒瑞-狄利(li)克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证明(ming)，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅🧾 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同(tong)时宣称已經证明了 费玛最后定🎴理 最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔(er) Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有(you)唯一因子分解性质」而失败🥌 库默尔证(zheng)明了 费玛最后定理的完整证明 是当时数学方法不可能🐣实现的 10.1908年 保(bao)罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明(ming) 这表示 费玛最后🐔定理的完整證明 尚未被解决 沃(wo)尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供(gong)证明的人，期限是到2007年9月🏰13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数学上(shang)23个未解决的问题且相信这是迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库(ku)特‧哥德尔📑 不可判定性定理 第一不可判定性定理：如果公理集合论(lun)是相容的，那么存在既不能证明又不能(neng)否🐖定的定理。 => 完全性是不可能达到的 第二不可判定性定理：不(bu)存在能证明公理系统是相容的构🐆造性过程。 => 相容性永遠不可能证明 13.1963年(nian) 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可😚以检验给定问題是不是不可判定的方法（只适用少(shao)数情形） 证明希尔伯特23个问题中，其中一(yi)个「连续统假设💜」问题是不可判定的(de)，这对於費玛最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发(fa)⛳明破译 Enigma编码 的反转机 开始有人利用暴力(li)解决方法，要对 费瑪最后定理 的n值一个一个加以证明。 15.1988年 内奥🛫姆‧埃尔(er)基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到(dao)了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科(ke)次，研究椭圆曲线 研💺究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数(shu)解，这跟費玛最👕后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在(zai)一个数26，他是夹在一个平方数与一(yi)个立方📜数中间) 由於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为了简(jian)化问题，数学家採用「时🥠鐘运算」方法 在(zai)五格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有(you)可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时(shi)鐘运算中🤿，有四个解 对於椭圆曲线，可寫出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研(yan)究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式 模型(xing)🍳式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要素(su)個数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范📋例 1955年9月 提出模型式(shi)的 M序列 可以对应到椭圆曲线的 E序列，两个🌿不同领域的理论突然(ran)被連接在一起 安德列‧韦依 採纳这(zhe)个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹(zi)纲领」的计画🐐，一个统一化猜想的理(li)論，并开始寻找统一的环链 19.1984年 格哈德‧弗赖💾 Gerhard Frey 提出 (1) 假设费玛最后(hou)定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程🎗️式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆(yuan)方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致於无法被模型式化(hua) (3) 谷山-志村猜😇想 断言每一个椭圆方程式都(dou)可以被模型式化 (4) 谷山-志🦝村猜想 是错误的 反过来说 (1) 如(ru)果 谷山-志村猜想 是對的，每一个椭圆方程式都😋可以被模型式(shi)化 (2) 每一个椭圓方程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式(shi) (3) 如果不存在弗🗂️赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整(zheng)数解 (4) 费玛最後定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭🐖圆方程式无法被(bei)模型式化 如果有人能够证明谷(gu)山-志村猜想，就表示费瑪最后定理也(ye)是正确的🧆 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月发表一(yi)篇🏖️小论文，然后自己独力尝试证明谷山-志村猜想(xiang)，策略是利用归纳法，加上 埃瓦裡斯📻特‧伽罗(luo)瓦 的群论，希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列 22.1988年 宮冈洋一 发表利(li)用📋微分几何学证明谷山-志村猜想，但(dan)结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无(wu)限多项🍙，然后也證明了第一项必定是模型式的第一项，也尝试利(li)用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败❤️‍🩹 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方(fang)法，對所有分类后的椭圆方程🌚式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协(xie)助，开始对验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会議，安德鲁‧怀尔斯🏉 Andrew Wiles 发(fa)表谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发(fa)现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐🌺居，尝试独力解决缺陷，他不希望在(zai)這时候公布证明，让其📢他人分享完成证明的甜美果实 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近(jin)放弃🍺的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协(xie)助 29.1994年9月🛳️19日 發现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全(quan)解决问题 30.「谷山📸-志村猜想」被证明了，故得證(zheng)「费玛最后定理」 ii 费马大定理 300多年以前，法国數学(xue)家费马在一本书的💞空白处写下了一个定理：“设n是(shi)大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣稱他📲发现了(le)这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他(ta)写不下他的证明。300多年过去了，不知有多💄少专业数学家和(he)業余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微(wei)。这就是纯数🐣学中最着名的定理—费马大定理。 费马(1601年～1665年(nian))是一位具有传奇色🍷彩的数学家，他最初(chu)学习法律并以当律师谋生，后来成为议會议员，数学只不过是(shi)他的业余爱好，只🦉能利用闲暇来研(yan)究。虽然年近30才认真注意数学，但费马(ma)对数论和微积分做😊出了第一流的(de)贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪🐈‍⬛興起的概率论(lun)的探索者之一。费馬特别爱好数论，提出了许多定理，但费马只对(dui)其中一个定🔕理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被(bei)证明外，其余的陆续被后来的数(shu)學家所证实。这唯🍄一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，因(yin)为是最后一个未被证明对或😛错的定理，所以又称(cheng)为费马最后定理。 費马大定理虽然♣️至今仍没有完全被证明，但已经(jing)有了很大进展，特别是最近幾十年，进展更快(kuai)。1976年瓦格斯塔夫🎒证明了对小于105的素數费马大定理都(dou)成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯證明(ming)了不定📬方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出(chu)贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年🌓英国(guo)数學家威尔斯宣布证明了费马大定理(li)，但随后发现了证明😼中的一个漏洞并作了修正。虽然威(wei)尔斯证明费马大定理还没有得到数学界(jie)的一致公认，但大多数数学家认🐐为他证明的思路是正(zheng)确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。 为了寻求费马🕣大定理的解答，三个(ge)多世纪以来，一代又一代的数學家们前赴后继，却壮志(zhi)未酬。1995年，美国普林斯顿🖨️大學的安德鲁·怀(huai)尔斯教授经过8年的孤军奋战，用13 0页长的(de)篇幅证明了费马大🌋定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。 费马大定理(li)提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉🚈的数学定理——毕达 哥(ge)拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥(ge)🕗拉斯定理说：在一个直角三角形中， 斜边的平方等于两直角边的平方之和。即(ji)X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当🎊费马在 研究毕(bi)达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥(ge)拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大📇于2時，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这(zhe)本书的靠近问题8的页边处记下(xia)这💮 个结论的同時又写下一个附加的评(ping)注：“对此，我确信已发📣现一个美妙的证法，这里(li)的空 白太小，写不下。”这就是数🍗学史上着名的费马大定理或称費马最后的(de)定理。费马制造了🎼 一个数学史上最深奥的谜。 大问题 在(zai)物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可(ke)以🥏敘述得如此简单和清晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大(da)问题》(The Last Problem)一书中🌃写到， 文明世界也许在费马大定理得以解决之前(qian)就已走到了尽头🥊。证明费马大定(ding)理成为数论中最 值得为之奋斗的事。 安德鲁·怀尔斯1953年(nian)出生在英国剑🛼桥，父亲是一位工程学教(jiao)授。少年时代的怀尔斯 已着迷于数(shu)学了。他在後来的回忆中写到：“在学校里我喜🐤歡做题目，我把(ba)它们带回家， 编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最(zui)好的💾题目是在我們社区的图书馆里发现的。 ”一天，小怀尔斯在弥🐑尔顿(dun)街上的圖书馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有(you)解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就🌉是(shi)E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史(shi)，这个定理让一个又 一个🍭的数学家望而生畏，在长达300多年的时间里(li)没有人能解决它。怀尔斯30多年后🏔️回忆 起被(bei)引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单🩱，但历史上所有的(de)大数学家都未能解 决它。这裡正摆(bai)着🥲我——一个10岁的孩子——能理解的问題，从那个时刻起，我知道我(wo)永 远不会放弃它。我必须解決它。” 怀尔🥰斯1974年从牛津大学(xue)的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare 学院做博士。在研究生(sheng)阶段💯，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费(fei)马可能 带来的问题😄是：你花费了多年的时间而(er)最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate s)正在研究😃椭圆曲线的Iwasawa理论(lun)，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事 告诉我，他(ta)有一个非常好的、刚完成数学📊学士荣誉学位第三部考试的学生，他催(cui)促我收其 为学生。我非常荣幸🐒有安(an)德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻(ke)的 思想，非常清楚他将是一🍗个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个阶(jie)段直接开始研 究费马大定理是不可🏑能的，即使对资历(li)很深的数学家來说，它也太困难了。”科茨的责任(ren) 是为怀📀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研(yan)究的问题。他说：“我认为研究 生🦮导师能为学生做的一(yi)切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它(ta)一定🗽 是一个富有成果的研究方向，但是也许(xu)年长的数学家在这个🦺过程中能做的一件事是使用他 的常识、他对好领域(yu)的直觉。然后，学生能🧵在这个方向上有多(duo)大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该研(yan)究数学中称为椭圆曲线的领域。这个🐛决定成为怀尔斯职业生(sheng)涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具🐞。 孤独的战士(shi) 1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来(lai)到了美国普林斯頓大学，并成为这所大学 的教授(shou)。在📺科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂(dong)得椭圆方程，他已经成为一 個🧿着名的数(shu)论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的🐠基础知识和数学修养，证明(ming)费马 大定理的任务也是极为艰巨的。 在怀尔斯的费(fei)马大定理的证明中🦒，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两(liang)个非 常不同的数学领域間建立了一座新(xin)的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍🦊晚，我正在一个朋 友家中啜(chuai)饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特(te)🍁已经证明了谷山－志村猜想与费馬大 定理间的联系。我感到极大的震动。我(wo)记得那个时刻，那个🍢改变我生命历程的时刻，因为 这意味着为了证明费(fei)马大定理，我必须做🗽的一切就是证明谷山－志村猜想……我十分清楚 我应该回家(jia)去研究谷山📻－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。 20世纪初，有(you)🧆人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大(da)定理，他 回答说：“在开始着手之前，我必须用🥧3年的時间作深入的研究，而我没有(you)那么多的时间 浪费在一件可能会失败的事(shi)情上。”怀尔🪕斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投(tou)入到 这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒(mao)这个風险。 怀尔🐅斯作了一个重大(da)的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费 马大定理有(you)關的任何事情都会😅引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年(nian)都使自己精力集中 ，除非你的专心不被🐄他人分散，而这一點会因旁观(guan)者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有 与证明费马大定理无直接关🏡系的(de)工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶 楼书房里他开(kai)始了通过谷山－志村猜想来🕦证明费马大定理的(de)战斗。 这是一场长达7年的持久战，这期(qi)间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。 欢🦍呼與等待 经(jing)过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证明。作为(wei)一个结果，他也证🎬明了 费马大定理。现在是嚮世界公布(bu)的时候了。1993年6月底，有一🍿个重要的会议要在(zai)剑桥大 学的牛顿研究所举行。怀尔斯🦀决定(ding)利用这个机會向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择 在牛顿🌿研究所宣(xuan)布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他曾(ceng)经是那里的😉一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行(xing)了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家(jia)聆 听了这一演讲，但他们之🕕中只有(you)四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母(mu)和代数式所表达 的意思🕶️。其余的人来这里是为(wei)了见證他们所期待的一个真正具有(you)意义的时刻。演🥬讲者是安 德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽(sui)然新闻界已经刮起有关演讲的风 声，很幸运他🗽們没有来听演讲(jiang)。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研(yan)究所所长肯 定事先就准🏡备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特(te)别庄重的寂静🍩，当我写完 费马大定理的(de)证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一陣持久🦝的鼓掌声 。” 《纽约(yue)时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的🌮数学之谜获(huo)解》为题報道 费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界(jie)上最着名的数學家，也是🕊️唯一的数 学家。《人物》杂志将怀(huai)尔斯与戴安娜王妃一起列为🍥“本年度25位最具魅力者”。最有创(chuang) 意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天(tian)才作他们📀新系列男裝的模 特。 当怀尔斯成为媒体报道的中心时(shi)，认真核🕍对这个证明的工作也在进行。科学的程序(xu)要 求任何数学家将完整的手稿送交🚈一个有声望的刊物，然后这(zhe)个刊物的编辑将它送交一组审😗 稿人，审稿人的职责是(shi)进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数(shu)学发明》，整整一个 夏🌾天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的(de)祝福。可💸是，证明的一个缺陷被发 现了。 我的心灵归于平静 由于怀尔(er)斯的论文🍮涉及到大量的数学方法，编辑巴里·梅休(xiu)尔决定不像通常那样指定 2－3個审稿人，而是6个审稿人(ren)🍇。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。 怀尔斯在此(ci)期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中🛤️提出(chu)的问题，他自信这 些问题不会给他造成很大的麻(ma)烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发🌥️现了 证明中的一个小(xiao)缺陷。数学的绝對主义要求怀尔斯无可怀疑地😆证明他的方(fang)法中的每一步都 行得通。怀尔斯以为这又是(shi)一个小问题，补🎩救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了 ，错误仍未改正，怀(huai)尔斯面临绝境🌻，他准备承认失败。他向同(tong)事彼得·萨克说明自己的情 况，萨克向他暗示困(kun)难的一部分在于他缺少一个能够和🐒他讨论问题并且可信赖的人。经(jing)过 长時间的考虑后，怀尔斯决🍜定邀请剑桥(qiao)大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月份(fen)到🧆普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他(ta)们准备放弃了。泰勒 鼓励他们再坚持一個月。怀尔斯决定在9月底(di)🦮作最后一次检查。9月19日，一个星期一的早 晨，怀尔斯(si)发现了问题的答案，他叙述了这一😆时刻：“突然间，不可思议地，我(wo)有了一个 难以置信的发现。这是(shi)我的事业中最重要🚲的时刻，我不会再有这(zhe)样的经历……它的美是如 此地难以形容；它又(you)是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不🐑敢相(xiang)信。然后白天我 到系里转了一圈，又回到桌子旁看看(kan)它是否还在——它还在那里。” 这是🐣少年时代的(de)梦想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明(ming)了他的才能。世 界不再怀疑这一次的证明🛣️了。这两篇论文总共有130页，是历史上(shang)核查得最彻底的数♠️学稿 件，它们发(fa)表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约時报》的头🚆版 上，标题是《数(shu)学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的術语🥑来说，这个最 终的(de)证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力活(huo)动的一 曲凯歌🐵，同時，不能忽视的事实是(shi)它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来，安 德鲁成🦎果的(de)美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。” 声(sheng)望和荣誉🏒纷至沓来。1995年，怀尔斯獲得瑞典皇家学(xue)会颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士(shi)。 怀尔🌕斯说：“……再没有别的问题能像費马大定理一样对我有同样的意义(yi)。我拥有如 此🧥少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长(zhang)的探索已经结束了， 我的心已归于平静。” 费马🐌大定(ding)理只有在相对数学理論的建立之后，才会(hui)得到最🖨️满意的答案。相对数学理论没有完成之前，谈这个问题(ti)是无力地.因为人们对数量和自身的🏔️认识，还没有达到一定(ding)的高度. iii 费马大定理与怀尔斯的因果律-美国(guo)公众广播网对怀尔斯的专访 358年的难🍲解之谜 数学爱好者费马提(ti)出的这个问题非常简单，它用🍎一个每个中學生都熟(shu)悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕🏦达哥(ge)拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方(fang)等于两个直角邊的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约💓在公元1637年前(qian)后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程時，他在《算术》这本书靠近问题8的页边(bian)🚄处写下了這段文字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有(you)非整🍌数解，对此，我确信已發现一个美妙(miao)的证法，但这里的空🐋白太小，写不下。”费马习惯在(zai)页边写下猜想，费马大定理是其中困扰数學家们时间最长的，所以被(bei)称为Fermat’s Last Theorem（费馬最后😎的定理）——公认为有史以来最着名的数学猜想。 在畅销(xiao)书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的🍽️长(zhang)达358年的獵逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先後涉及到最多产的(de)数学大师欧拉、最伟大的⛰️数学家高斯、由业余转为职业数學家的柯西、英(ying)年早逝的天才伽罗瓦、理论兼試验大师库默(mo)尔和被誉💟为“法国歷史上知识最为高深的(de)女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽🧳罗瓦的遗言、日本数(shu)学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德国数学爱好者保(bao)罗·沃尔夫斯凯尔📀最后一刻的舍(she)死求生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的宏大戏剧🍾中(zhong)的一幕，为最后谜底的解开埋下伏笔。终於，普林斯顿的🦅怀尔(er)斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐(nai)人回味的传奇。 对怀尔🎽斯而言，證明费马大(da)定理不仅是破译一个难解之谜，更是去实现(xian)一个儿时的梦想。“我10岁🥄时在图书(shu)馆找到一本数学书，告诉我有這么一个(ge)问题，300多年前就已经有人解🌇决了它，但却没(mei)有人看到过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那以后，人们就不断(duan)地求证。这是一个10岁小🛳️孩就能明白的問题，然后历史上诸多伟大的数学家(jia)们却不能解答。于是从那時起，我就试过(guo)解决它，这个💐问题就是费马大定理。” 怀尔斯(si)于1970年先后在牛津大学和🩰剑桥大学获得数学学士和(he)数学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把费马大(da)定理搁在一边了。这不💻是因为我忘了它，而是我认识(shi)到我们所掌握的用来攻克🎽它的全部(bu)技术已经反复使用了130年。而这些技術(shu)似乎没有触及问题根本。”因为擔心耗费太多时间(jian)🗯️而一无所获，他“暂时放下了”对费马大(da)定理的思索，开始研究椭圆曲线理论——这个看似(shi)与证明费马大定理不相關🥐的理论后来却成为他实现梦想的工具。 时(shi)间回溯至20世纪60年代，普林斯顿🥄数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜(cai)想：所有主要数学領域之间原本🥯就存在着的统一的链接。如果這个猜想被(bei)证实，意味着在某个数学领域中无法(fa)解答的任何问题都有可能🚐通过这种链接被转换成另一个領域中相应(ying)的问题——可以被一整套新方案解决的问题。而如果在另(ling)一个领域內🦑仍然难以找到答案，那么可以把问(wen)题再转换到下一个数學领域中……直到它被解决为止。根据朗兰🎂兹(zi)纲领，有一天，数学家們将能够解决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法是领(ling)着这些问题周🥩游数学王国的各个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔(er)不完🥎备定理打击的费馬大定理证明者们指明(ming)了救赎之路——根据不🎶完备定理，费马大定理是不可证明的。 怀尔斯后来(lai)正是☕依赖于這个纲领才得以证明(ming)费马大定理的：他的证明——不同于任何(he)前人的尝试——是现代数学诸多分支（椭(tuo)圆曲线🩱论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果(guo)。20世纪50年代由两位日本数学家（谷山丰和志村🕥五郎）提出的(de)谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模(mo)形式两个截然不同的数学岛屿间(jian)隱藏着一座沟通的桥梁。随后🏣在1984年，德国数学家格哈德·费(fei)赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大定理为真(zhen)。这个🦌猜想紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从(cong)此，费马大定理不可摆脱地与谷山💸—志村(cun)猜想链接在一起：如果有人能证明谷山—志村猜想（即“每一(yi)个椭圓方💟程都可以模形式化”），那么就证明了费马大(da)定理。 “人类智力活動的一曲凯歌” 怀🐇尔斯诡秘(mi)的行踪让普林斯顿的着名數学家同事们困惑。彼得·萨奈(nai)克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪懷尔斯在做些什么⛅？……他总是静(jing)悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗(an)示都没有！”对于这次惊天🥚“大预谋”，肯·裡比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来見过(guo)的唯一例子，在如此长的时间里没(mei)有🔎泄露任何有关工作的信息。这是空前的。 1993年晚春，在经过反复的试错和🎆绞(jiao)尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷山—志村(cun)猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定理(li)。彼得·萨奈克🚉是最早得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、異常激动、情绪失(shi)常……我记得当晚我失眠了”。 同年6月，怀尔斯决定在劍桥⛰️大学的大型系列讲座上(shang)宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈，有🎄很多数学界(jie)重要人物到场，當大家终于明白已经离证明费马大定理一步之遥时，空(kong)气中充满了紧张。” 肯·里比💹特回忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一(yi)刻：“我之前从未看💹到过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所未闻的(de)新思想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮(chao)。”当怀🦞尔斯在講座结尾宣布他证明了费马大定理时，他成了全世界(jie)媒体的焦点。《纽约时报》在头版以🧐《终于欢呼“我发现了!”久远的数(shu)学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证(zheng)🍤明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上唯一的数(shu)学家。《人😹物》杂志將怀尔斯与戴安娜王(wang)妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。 与此同时，认真(zhen)核⏲️对这个证明的工作也在进行。遗憾的是，如同这之前(qian)的“费马大定理终🏈结者”一样，他的证明是有缺陷的。怀尔斯现(xian)在不得不在巨大📁的压力之下修正错误，其間数度感到绝望。John Conway曾在美(mei)国公众广播网（PBS）的访谈中说: “當时我们其他人（怀尔斯⛲的同事）的行为有(you)点像‘苏联政体研究者’，都想知道他的想法和修正错误的进展，但(dan)没有人开口问他。所以🥃，某人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容(rong)了吗？’‘他倒是有微笑，但看起来并不高兴。’” 撑(cheng)到1994年📋9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临(lin)时邀请的研究搭档泰勒鼓励📠他再坚持(chi)一个月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀(huai)尔斯发现了问题的答💻案，他敘述了这一时刻：“突然间，不可思议(yi)地，我发现了它……它美得難以形容，简🌇单而优雅。我对着(zhe)它发了20多分钟呆。然后我到系里(li)转了一圈，又回到桌子旁看看它💧是否还(hai)在那里——它确实还在那里。” 怀尔斯的證明为他赢得了最慷慨的褒扬(yang)，其中最具代表性的是他在🧭剑桥時的导师、着名(ming)数学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是人类智(zhi)力活动的一曲凯歌”。 一🍄场旷日持久的猎逐就此結束，从此费马(ma)大定理与安德鲁·懷🌕尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到一个就(jiu)不得不提到💳另外一个。这是费马(ma)大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。 历时八年的🥕最终证明 在怀尔(er)斯不多的接受媒体采访中，美国公眾广播👞网（PBS）NOVA节目对怀尔斯(si)的专访相当精彩有趣，本文节选部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们🧥通过团(tuan)队来获得工作上的支持，那么当你碰壁时是怎(zen)么解決问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖🛥️边散散步，散步(bu)的好处是使你会处于放松状态，同时你的潜意识却🦦在继续工作。通(tong)常遇到困扰时你并不需要书桌，而且我随时(shi)把笔纸带上，一旦有好主意我会找个长椅坐🥐下来打草稿…… NOVA：这七年一定交织(zhi)着自我怀疑与成功……你不🕊️可能绝对有把握证明。 怀尔斯(si)：我确实相信自己在正确的轨道上，但那并不意味着我(wo)一定能达到目标🐅——也许仅仅因为解决难题的方法超出(chu)现有的数学，也许我需要的方法下个世纪也不會出现。所以即便🐜我在正(zheng)确的轨道上，我却可能生活在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你(ni)取得了突破🧧。 怀尔斯：对，那是个5月末的早(zao)上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我坐在书桌前思考最后(hou)的步🔇骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字引起了我的(de)注意。它提到了一个19世纪的數学🪁结构，我霎时意识到这就是我该(gai)用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到🏡下午三四点时我确信已(yi)经证明了费马大定理，然后下楼(lou)。Nada很吃惊，以为我这时才回家，我💐告诉她，我解决了(le)费马大定理。 最后的修正 NOVA：《纽约时报》在头(tou)版以《終于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》，但他(ta)们🪖并不知道这个证明中有个错误。 怀尔斯：那是个存在于关键推导中(zhong)🦨的错误，但它如此微妙以至于我忽(hu)略了。它很抽象，我无法用簡单的语言描(miao)述，就算是数学家也需要🎺研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后来(lai)你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年🐼修正了這个最(zui)后的错误。问题是，你的证明和费马的证明是同一个吗？ 怀(huai)尔斯：不可能。這个证明有150页长，用的🩰是20世纪的方法，在费马时代还不存在。 NOVA：那就(jiu)是说费马的最初证明还在某个未被发🦽現的角落(luo)？ 怀尔斯：我不相信他有证明。我觉得他说已经找到解答(da)了是在哄自己。这个难题对业余爱好者🕊️如此特别在于它可能被17世纪的(de)数学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许还有🌦️数学家追(zhui)寻这最初的证明。你該怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说(shuo)都一样，费马是我童年的热望。我会再试其他问题……证📞明了它我有(you)一丝伤感，它已经和我们一起这么久了……人們📝对我说“你把我的问题夺走了”，我(wo)能带给他们其他的东西吗？我感觉📞到有责任。我希望通过解决(jue)这個问题带来的兴奋可以激励青年数学(xue)家们解决其他许许多多的難题。 iv 谷山-志🥮村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何(he)的对象)和模形式(某种数⛸️論中用到的周期性全纯函数)之间(jian)的重要联系。虽然名💈字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明(ming)是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个质数而E是一🗞️个Q(有理数域)上的一个椭圆(yuan)曲线，我们可以简化定义E的方程模p;除了有限个p值🕗，我们会得到(dao)有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列 ap = np − p, 这🥙是椭圆(yuan)曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生(sheng)一个数列💾。一個其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫(jiao)做模的。 谷山-志村定说: "所有Q上的椭📕圆(yuan)曲线是模的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五(wu)郎一起改进了严格性🚘。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它(ta)和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是关(guan)键的组成部分。猜😎想由André Weil于1970年代重新提起并(bing)得到推广，Weil的名字有一段时间和它联系在一起(qi)。尽管有明显的用处，这个问题的深度🛩️在后来的发展之前并未被人(ren)们所感觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是猜🏣想)蕴(yun)含着费马最后定理的时候，它吸引到了不少注意力。他通过试图(tu)表😅明费尔马大定理的任何范例会导(dao)致一个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后來证🐇明了这一结果。在(zai)1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情况)，这个(ge)特殊情况足以证🌉明费尔马大定理。 完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在(zai)Wiles的基础🍒上，一块一块的逐步证明剩下的情况直到全部完成。 数论(lun)中类似于费尔📩马最后定理得几个定理可以从谷(gu)山-志村定理得到。例如:没有立方可以写(xie)成兩个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的💽情况已为欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃爾(er)夫奖。虽然他们都没有完成给予他们这🌅个成就的定(ding)理的完整形式，他们还是被认为对最终完成的证明有(you)着决定性影响。