费马大定理是什么意思

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈💹起(qi)，描述了 Fermat's Last Theorm 的歷史始末，往前回溯来看，1994年(nian)正是我在念大学的时候，当時完全没有一位教📩授在课堂上提到这件(jian)事，也许他们认为，一位真正的研究者，自然(ran)而然地会被数学吸引，然而🐬对一位不是天才的学生(sheng)来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更高深的专业认知，而(er)指引的道路，就🦮在科普的精神上。 從费玛最后定理的历史中可(ke)以发现，有许多研究成果，都是研究人员燃烧热📖情，试图(tu)提出「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑驗证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数(shu)解 1. 1963年 安德🧶鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔(er) Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后問题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 毕达哥拉(la)斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形🍮，斜边的(de)平方=另外两邊的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕氏🍫定理的整(zheng)数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数(shu)」第2卷的问题8时，在页边写下了註🎰记 「不可能将一个立方数写(xie)成兩个立方数之和；或者将一个四次幂(mi)写🚙成两个四次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂☕，写(xie)成两个同样次幂的和。」 「对这个命题我有一个十分美(mei)妙的证明，这里空白🐽太小，寫不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子(zi)出版了载有Fermat註记的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记中，隱含了对 n=4 的(de)证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解🦗 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是(shi)质数，现在只要证明费玛最后定理(li)对於所有的质数都成立🎞️ 但 欧基里德 证明「存在无穷多個质(zhi)数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了(le) 费⛱️玛最後定理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒(lei)瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-瑪利埃‧勒让德 延伸热(re)尔曼的证明，证明了 n=5 无🐕‍🦺解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路(lu)易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证🛬明了 费玛最后定理 最后(hou)是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，說科西与🔖拉梅的证明，都因为「虚(xu)数没有唯一因子分解性质」而失败 库默爾证明了 费🎼玛最(zui)后定理的完整证明 是当时数学方法不可能实现的 10.1908年 保(bao)📔罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明 这(zhe)表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决🧣 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马(ma)克 给提供证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年💳8月8日 大卫‧希尔(er)伯特，提出数学上23个未解决的问题且相信😼这是迫切需要解决(jue)的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理 第一🥁不(bu)可判定性定理：如果公理集合论(lun)是相容的，那么存在🖍️既不能证明又不能否(fou)定的定理。 => 完全性是不可能达到的 第(di)二不可判定性定理：不🐗存在能证明公理系统是相容的构造性过程。 => 相容性(xing)永远🕙不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以檢验给(gei)定问题是不是不可判定的方🕣法（只适用(yong)少数情形） 证明希尔伯特23个问题中，其中一个「連续统(tong)假设」问题是不可判📨定的，这对於费玛最后(hou)定理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反轉机 开始有人利(li)用暴力解决方法🥾，要对 费玛最后定(ding)理 的n值一个一個加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这個推(tui)想，找到了一个反🛣️例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭(tuo)圆曲线 研究椭圆曲线的目的是要算🐅出他们的整数解，这跟费玛(ma)最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2 (费瑪证明宇宙中指(zhi)存在一个数26，他是夹在一个平🔕方数與一个立方数中(zhong)间) 由於要直接找出椭圓曲线是很困难的，为了简化问💛题，数学家採用「時鐘(zhong)运算」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭(tuo)圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能🌳的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个(ge)解 對於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村🎏五郎 与 谷山丰 研究具(ju)有非同寻常的对称性的 modular form 模型式 模型式的要素可从1开始标号到(dao)无穷（M1, M2, M3, ...） 每🌨️个模型式的 M序列 要素个数(shu) 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可🐕以对应到椭圆曲线的 E序列(lie)，两个不同领域的理论突然被連接在一起 安德列‧韦依 採(cai)纳这个想法，「谷山-志村猜想🍅」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画(hua)，一个统一化猜想的理论，并开始寻(xun)找统一的环链 19.1984年 格哈德🌗‧弗赖 Gerhard Frey 提(ti)出 (1) 假设费瑪最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有(you)整数解，则可将方程式🦗转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖椭(tuo)圆方程式太古怪了，以致於无法被模型式🎊化(hua) (3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型(xing)式化 (4) 谷山-志村猜想 是错误的 反过来说(shuo) (1) 如果 谷山-志🚠村猜想 是对的，每一个椭(tuo)圆方程式都可以被模型式化 (2) 每🛤️一个椭圓方程式都可以被(bei)模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方程(cheng)式，那么xn+yn=zn 没有整數🩲解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗賴椭圆方程式(shi)无法被模型式🌁化 如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后(hou)定理也是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始(shi)一🥼个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然后自己独力(li)尝试证明谷山-志🗾村猜想，策略是(shi)利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽羅瓦 的群论，希望能将👡E序列(lie)以「自然次序」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学(xue)证明🌚谷山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方(fang)程式拆解成无限多项，然后也证😛明了第一项必定是模型式的第一项，也尝试(shi)利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败 24.1992年 修(xiu)⛱️改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方程(cheng)式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验证💽证明 26.1993年(nian)5月 「L-函數和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村(cun)猜🐀想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现(xian)一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐(yin)居，尝试独力解決👟缺陷，他不希望在(zai)这时候公布证明，让其他人分享完成證明的甜美果实 28.安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的🎮边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助(zhu)📇 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法(fa)就能够完全解决问题 30.「穀山🎺-志村猜想」被证明了，故得证「费玛最后定理」 ii 费(fei)马大定理 300多年以🦌前，法国数学家费马(ma)在一本书的空白处寫下了一个定理：“设n是大于2的(de)正整数，则不定方程🐐xn+yn=zn没有非零整(zheng)数解”。 费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇🍈妙(miao)的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年(nian)过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞💹尽(jin)脑汁企图证明它，但不是无功而(er)返就是进展甚微。这就是🎑纯数學中最着名的定理—费马大定理。 費马(1601年～1665年)是一(yi)位具有传奇色彩的數学家，他最初学习法律并以当律师谋(mou)🛷生，后來成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇🕓来(lai)研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对(dui)数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿(er)幾🏵️乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪(ji)兴起的概率论的探索者之一。费马特别🧳爱好数(shu)论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理(li)给出了证明要点，其他定理除一个被证🕣明是錯的，一个未被证(zheng)明外，其余的陆续被后来的数学家(jia)所證🦆实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，因为是最后一(yi)个未被证明对或错的定理，所🩱以又稱为费马最后定理。 费马大定理虽然(ran)至今仍没有完全🦺被证明，但已经(jing)有了很大进展，特别是最近几十年，进展(zhan)更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费🛫马大定理(li)都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能(neng)有有限多组解🍹，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最(zui)高奖之一费尔兹奖。1993年英国🥫数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发(fa)现了证明中的一个漏洞并作了修正。雖😺然威尔斯证明(ming)费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明(ming)的思路是正确的。毫🦗无疑问，这使人们看到了希望。 為了寻求费马大定(ding)理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数🦀学家们前赴后继，却(que)壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安🕊️德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用(yong)13 0页长的篇幅证明了费马大定理。怀🌷尔(er)斯成为整个数学界的英雄。 费马大定理提出的问题非常简单，它是用一(yi)个每个中学生都熟悉🌝的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的(de)毕达哥拉斯定理说：在一🐥个直角三角形中， 斜边(bian)的平方等于两直角边的平方之(zhi)和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在 研究🌽毕达哥拉斯方程时，他写下一个方(fang)程，非常类似于毕達哥拉斯方程(cheng)🐎：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书(shu)的靠近问题8的页边处记下这 个结🐒論的同时又写下一个附加的评注：“对此(ci)，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空 白太小，写(xie)不下。”這就是数学😉史上着名的费马大定理或称费马最后的定理。费(fei)马制造了 一个数学史上最深奥的(de)谜🎹。 大问题 在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简(jian)单和清晰🚤，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到， 文明世(shi)界也许在费马大定理得以🖌️解决之前就已走到了尽头。证明费(fei)马大定理成为数论中最 值得为之奋(fen)斗的事。 安德鲁·怀尔斯1953年🏫出生在英国剑桥(qiao)，父亲是一位工程学教授。少年时代的💜怀尔斯 已着迷于(yu)数学了。他在后来的回忆中写到：“在(zai)学校里我喜欢做题目，我把它们带回家， 编写🛟成我自己的新题目。不过(guo)我以前找到的最好的题目是在我们🦚社区的图书馆里发现的(de)。 ”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书🏑，这本书只有一(yi)个问题而没有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是(shi)E·T·贝尔写🧉的《大问題》。它叙述了费马大定理的历(li)史，这个定理让一個又 一个的数学家(jia)望而生畏，在长达300多年的时间里💗沒有人能解(jie)决它。怀尔斯30多年后回忆 起被引向费(fei)马大定理時🚤的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数(shu)学家都未能解 决它。这里正摆着我(wo)——一💛个10岁的孩子——能理解的问题，從(cong)那个时刻起，我知道我永 远不会放😚弃它。我必须解决它。” 怀(huai)尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位(wei)，之后进入剑桥大学Clare 学院做博士。在研👁️‍🗨️究生阶段，怀尔斯并没有从事费(fei)马大定理研究。他说：“研究费🩱马可能 带来的问题是：你花费了多年的时间(jian)而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圓曲线🏅的Iwasawa理(li)论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事 告诉我，他有一個非常好(hao)的、刚完成数学学士荣誉学位👛第三部考试(shi)的学生，他催促我收其 为学生。我非常荣幸有安德鲁这样(yang)的学生。即使从对研究生的要🐕‍🦺求来看(kan)，他也有很深刻的 思想，非常清楚他将是一个做大(da)事情的数学家。当然，任何研究生在那🌜個阶段直接开(kai)始研 究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学(xue)家💵来说，它也太困难了。”科茨的责任 是为怀尔斯(si)找到某种至少🌂能使他在今后三年里(li)有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究 生导师能为学🗻生做的一(yi)切就是設法把他推向一个富有成果的方向📙。當(dang)然，不能保证它一定 是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学(xue)家🛩️在这个过程中能做的一件事是使用他(ta) 的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在这個方向上有💓多大成绩就是他(ta)自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该研究数学中称為椭圆曲线(xian)的领域。这🏬个决定成为怀尔斯职业生涯中的 一个转(zhuan)折点，椭圆方程的研究🩳是他实现梦想的工具。 孤獨的战士 1980年(nian)怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国🌩️普林斯顿大学，并(bing)成为这所大学 的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上(shang)其他人都更懂得椭圆👛方程，他已经成为一 个着名的数论学家(jia)，但他清楚地意识到，即使以他廣博的基础知识和数学修养，证明费☀️马(ma) 大定理的任务也是极为艰巨的。 在怀尔斯的费馬大定理⛑️的证明中，核心(xin)是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两个非 常不同的数学领域间建(jian)🥝立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋(peng) 友🐖家中啜饮冰茶。谈话間他随意告诉我，肯·里贝特已经(jing)证明了📁谷山－志村猜想与费马大 定理间的联系。我感到极大(da)的震动。我记得那个时刻，那个改变我生🌁命历程的时刻，因为 这意味着为了(le)证明费马大定理，我必须做的一切就(jiu)是证明谷山－志村猜想……我十分清🖤楚 我(wo)应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条實(shi)现他童年🐏梦想的道路。 20世纪初，有人问(wen)伟大的数学家大卫·希爾伯特为什么不去(qu)尝试证明费🎶马大定理，他 回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深(shen)入的研究，而我没有那么多的时间 浪費在一件可(ke)🛑能会失败的事情上。”懷尔斯知道，为了找到证明，他必须全😁身心(xin)地投入到 这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿(yuan)意冒这🌛个风险。 怀爾斯作了一个重大的决定：要(yao)完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费 马🥽大定理有关的任何事情(qing)都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年(nian)都使自己精力集中 ，除非你的🍃专心不被他人分散(san)，而這一点会因旁观者太多而做不到。”怀爾斯放弃了所💝有 与证明(ming)费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工🐅作(zuo)，在家里的顶 楼书房里他开始了通过谷山－志村猜想来证(zheng)明费马大定理的战斗。 这是一场长达7年的🚉持久战，这期间(jian)只有他的妻子知道他在证明费马大定理🕘。 欢呼与等待 经过(guo)7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证(zheng)明。作为一个结果，他也证明了 费马大☀️定理。现在是向世界公布的时(shi)候了。1993年6月底，有一个重要的会🥭议要在剑桥大 学的牛顿研(yan)究所举行。怀尔斯决定利用这个机📄会向一群杰出(chu)的听众宣布他的工作。他选择 在牛顿(dun)研究🛷所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他(ta)曾经是那里的一名研📌究生。 1993年6月(yue)23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一(yi)次数学讲座。两百名数学家聆 听了这一(yi)演讲，但他们之中📉只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数(shu)式所表达 的意思。其余的🕢人来这(zhe)里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是⌨️安 德鲁·怀(huai)尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有(you)关演讲的风 声，很幸运他🏫们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演講结束(shu)时的镜头🔮，研究所所长肯 定事先就(jiu)准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场(chang)上保持着特🕞别庄重的寂靜，当我写完 费马大定理(li)的证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，会场🩱上爆(bao)发出一阵持久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头(tou)版以《终于欢呼“我🍉发现了!”，久远的数学(xue)之谜获解》為题报道 费马大定理被证明的(de)消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最著📂名的数学家，也是唯一的数 学家。《人(ren)物》杂志將怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创(chuang) 意🧣的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请這位温文🎞️尔雅的天才作他(ta)们新系列男装的模 特。 当怀尔斯成为媒体(ti)报道的中心时，认真核对这個证明的工作也在进(jin)行💰。科学的程序要 求任何数学家将完整的手稿送交一个有🦤声望的刊物，然后(hou)這个刊物的编辑将它送交一组审 稿人，审稿人的职🚊责是進行逐行的审(shen)查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个 夏天他🍜焦急地等待审稿(gao)人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的(de)一个缺陷被发 现了。 我的🛴心灵归于平静 由于怀(huai)尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑(ji)巴里·梅休尔🌗決定不像通常那样(yang)指定 2－3个审稿人，而是6個审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责(ze)其🛳️中一章。 怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在(zai)电子邮件中提出的问题，他自信这😄 些问题不会给他造成很大的麻(ma)烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现(xian)了 证明🎷中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑💒地证明他的(de)方法中的每一步都 行得通。怀尔斯以为这又是一个小問题，补救的办(ban)法可能✨就在近旁，可是6个多月过(guo)去了 ，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境🥬，他准备承(cheng)认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的(de)情 況，萨克👡向他暗示困难的一部分在於他缺(que)少一个能够和他讨论问🥳题并且可信赖的人(ren)。经过 长时间的考虑后，怀尔斯決定邀请剑桥大学(xue)的讲师理查☃️德·泰勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月份到(dao)普林斯顿，可是到了9月，依然🏑没有结果(guo)，他们准备放棄了。泰勒 鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在(zai)9月底作最後一次检查🏞️。9月19日，一个星期一的早 晨，怀尔斯发现了问题(ti)的答案，他叙述了这一时刻：“突🥰然间，不可思议地，我有了一(yi)个 难以置信的发现。这是我的💕事业中最重要的时刻，我不會再有这(zhe)样的经历……它的美是如 此地难以形容；它又是如此简单和(he)优美🦚。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白(bai)天我 到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在(zai)——它还在那里🩲。” 这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于(yu)向世界证明🏭了他的才能。世 界不(bu)再怀疑這一次的证明了。这两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底(di)的数❤️学稿 件，它们发表在1995年5月的《数学年刊(kan)》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版 上，标题💾是《数学家称经典之(zhi)谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来(lai)🗨️说，这个最 终的证明可與分裂原子或发现DNA的结构相比，对费馬大(da)定理的证明是人类🍈智力活动的一 曲凯歌，同(tong)时，不能忽视的事实是它一下子就使数(shu)学发生了革命性的变化。对我说来，安🚍 德鲁成果的美和魅力(li)在于它是走向代数数论的巨大的一步。” 声望和荣誉纷至沓来(lai)。1995年🌭，怀尔斯获得瑞典皇家学會颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并(bing)当選为美国科学院外籍✉️院士。 怀尔斯说：“……再没有别(bie)的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我(wo)拥有如🕚 此少有的特权，在我的成(cheng)年时期實现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已🧂经結束了(le)， 我的心已归于平静。” 费马大定理只有在相对数学理论的建立之(zhi)后，才会得到最满意的答⛸️案。相对数学理论没有完成之前，谈这(zhe)个问题是无力地.因为人們对数量🌭和自(zi)身的认识，还没有达到一定的高度. iii 费马大定理与(yu)怀尔斯的因果律-美国🎷公众广播网对懷尔斯的专访 358年的(de)难解之谜 数学爱好者费马提出的🌩️这個问题非常简单，它用一(yi)个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯🔮定理来表达。2000多年前诞生(sheng)的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三😅角形中，斜边的平方等于两(liang)个直角邊的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前(qian)后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他在📁《算术》这本书靠近问题8的页边处写(xie)下了这段文字：“设n是大于🐤2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确(que)信已发🍫現一个美妙的证法，但这里的空白太小，写不下。”费马习惯在页(ye)邊写下猜想，费马大定理是其中困扰✨數学(xue)家们时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费(fei)马最后的定理）——公认为有史以来(lai)最着名的🚐数学猜想。 在畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的(de)笔下，这段神秘留言引发的长达🏑358年的猎逐充满了惊(jing)险、悬疑、絕望和狂喜。这段历史先后涉及到最多产的数学大师欧拉🌗、最伟大(da)的数学家高斯、由业余转為职业数学家的柯西、英年早🏗️逝(shi)的天才伽罗瓦、理論兼试验大师库默(mo)尔和被誉为“法🗻国历史上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼(man)……法国数学📢天才伽羅瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的🪐神(shen)秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后一刻(ke)的舍死求生等等，都仿佛是🕐冥冥间上帝导演的宏大戏(xi)剧中的一幕，为最后谜底的解开埋下(xia)伏笔。终于，普🖨️林斯頓的怀尔斯出现了。他找到谜底(di)，把这出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐人(ren)回味的传奇。 对怀🐣尔斯而言，证明费马大定理不仅是破译(yi)一个难解之谜，更是去实现一个儿时的梦想。“我10歲时在图书馆找到一🌂本数(shu)学书，告诉我有这么一个问题，300多年前就已经有人解决了它(ta)🗼，但却没有人看到过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那以后(hou)，人们就不断地求证。这是一个10岁📮小孩就能明白的问题，然后历史上诸(zhu)多伟大的数学家们却不能解答。于是从(cong)那时起，我✉️就试过解决它，这个问题就(jiu)是费马大定理。” 怀尔斯于1970年先后在🎴牛津大学和剑桥大(da)学获得数学学士和数学博士学位。“我進入剑桥时，我真正把费马🎥大(da)定理搁在一边了。这不是因为我忘了它，而是我认识到(dao)我们所掌握的😅用来攻克它的全部技术已经反复使用了(le)130年。而这些技术似乎没有触及问题根本。”因为担(dan)心💤耗费太多时间而一无所获，他“暂时放下(xia)了”对费马大定理的思索，开始研究椭圆(yuan)曲线理论——这个☀️看似与证明费马大定理不相关的理论后(hou)来却成为他实现梦想的工具。 時间回溯至20世纪🚠60年代(dai)，普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个(ge)大胆的猜想：所有主要数学领域之间原本就存🕛在着的统一的链(lian)接。如果这个猜想被证实，意味着在某个数学领域中无🗾法解答的任何问题(ti)都有可能通过這种链接被转换成另一个领域中(zhong)相📝应的问题——可以被一整套新方案解决的问题。而如果在另一个领(ling)域内仍然难以找到答案，那么可以把问💫题再转换到(dao)下一个数學领域中……直到它被解决为(wei)止。根据朗兰兹纲领，有一天，數学家🏙️们将能够解决曾经是最深奥最难对付(fu)的问题——“办法是领着这些问题周游数学王国的各(ge)🍬个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完(wan)备定理打击的費马大定理证明🕒者们指明了(le)救赎之路——根据不完备定理，费马大定理是不🌓可证明的。 怀尔斯后来正是依赖(lai)于这个纲领才得以证明费马大定(ding)理的：他的证明——不同于任何前人🐦的尝试——是现代数学(xue)诸多分支（椭圓曲线论，模形式理论，伽罗华表示理论等(deng)等)綜合发挥作用的🏅结果。20世纪50年代由两位日本数学(xue)家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜想(xiang)（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个截然❤️‍🩹不同的数学岛屿间隱藏着一座沟通的桥(qiao)梁。随后在1984年，德国🐧数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜📧想成(cheng)立，则费马大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特(te)（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不可摆⛳脱地与谷山—志村猜想(xiang)链接在一起：如果有人能证明谷山—志村猜想（即(ji)“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那🧐么就证明了费马大定理。 “人类(lei)智力活动的一曲凯歌” 懷尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数🌅學(xue)家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪懷尔斯(si)在做些🐓什么？……他总是静悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹(tan)到：“一点暗示🛻都没有！”对于这次惊天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评(ping)价说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在如此长(zhang)的时🤪间里没有泄露任何有关工作的信息。这是空前的。 1993年晚春，在经(jing)过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终於🤍完(wan)成了谷山—志村猜想的证明。作为一個结果，他也证明了费马大定(ding)理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的🐺人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情(qing)绪失常……我记得当晚我失眠了”。 同(tong)年6月，怀尔斯决定在剑桥大學的⛄大型系列讲座上宣布这一证明。 “讲(jiang)座气氛很热烈，有很多数学界重要人物到场，当大家终于明(ming)白已经❣️离证明费马大定理一步之遥时，空气中(zhong)充满了紧张。” 肯·里比特回忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不(bu)了那一刻：“我🦍之前從未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所(suo)未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫，充🐜满(man)悬念，直到最后到达高潮。”当懷尔斯在讲座结尾宣布他证明了费马大(da)定理时，他成了全世😹界媒体的焦点。《纽约时报》在头版以(yi)《终于欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获🥒解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马(ma)大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成(cheng)为世界上唯一的数学家。《人物⛄》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为(wei)“本年度25位最具魅力者”。 与此同时，认真核对🌄这(zhe)个证明的工作也在进行。遗憾的是，如同(tong)这之前的“费马大定理终结者”一样，他的证明是有缺陷的。怀爾斯现(xian)🌀在不得不在巨大的压力之下修正错误，其间數度(du)感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中说: “当时我們🕜其他人（怀尔斯的(de)同事）的行为有点像‘苏联政体研究者’，都想知道他的想法和修正错误的(de)进展，但没有人开😋口问他。所以，某人会说，‘我今天(tian)早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗🏖️？’‘他倒是有(you)微笑，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临(lin)🥇时邀请的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就(jiu)在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期🦨一的早晨，怀尔斯发现了(le)问题的答案，他敘述了这一时刻：“突然间，不可(ke)思议地🧊，我发现了它……它美得难以形容(rong)，簡单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里转了一圈，又回到桌子(zi)旁看看🥃它是否还在那里——它确实(shi)还在那里。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的褒扬(yang)，其中最具代表性的是他🕛在剑桥时的导(dao)师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是人类🦡智力活(huo)动的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此结束，从此费馬大(da)定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧🏡紧地被绑在了一起，提到一个就(jiu)不得不提到另外一个。这是费马大(da)定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。 历(li)时八年的🍝最终证明 在怀尔斯不多的接受媒(mei)体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔(er)斯的专访相当精彩有趣，本文节🍒选部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常(chang)人们通过团队来获得工作上的支持(chi)，那么当你碰壁时🎼是怎么解决问题的呢？ 怀尔(er)斯：当我被卡住时我会沿着湖边散(san)散步，散步的好处是使你会处于放松(song)状⌛态，同时你的潜意识却在继续工作。通常遇到困(kun)扰时你并❤️‍🔥不需要书桌，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主(zhu)意我会找个长椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一定交织👚着(zhe)自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证明。 怀尔斯：我(wo)确实相信🌮自己在正确的轨道上，但那并不意味着我一(yi)定能达到目标——也许仅🏒仅因为解决难(nan)题的方法超出現有的数学，也许我需要的方法下个(ge)👜世纪也不会出现。所以即便我在正确的轨道上，我(wo)却可能生活在错误的世纪。 NOVA：最🥑终在1993年，你取得了(le)突破。 懷尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出(chu)去了。我坐在书桌前思考最后的步(bu)🤑骤，不经意间看到了一篇論文，上(shang)面的一行字引起了我的注意。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎🥛时(shi)意识到这就是我该用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午(wu)三四点时我确信已经证明了费🕦马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我這时才回(hui)家，我告诉她，我解决了费马大定理。 最后的修正 NOVA：《纽约时报》在头版以🥕《终于欢呼(hu)“我发現了!”，久远的数学之谜获解》，但(dan)他们并不知道这🥭个证明中有個错误。 怀尔斯：那是个存在于关键推导中的(de)錯误，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我无⛵法用简单的语言描述(shu)，就算是数学家也需要研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀(yao)请剑😄桥的数学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了這(zhe)个最后的错误。问题是，你的证明和费马的证✒️明是同一个吗(ma)？ 怀尔斯：不可能。这个证明有150页长(zhang)，用的是20世纪的🍝方法，在费马时代还不存在。 NOVA：那就是说费马的最(zui)初证明还🦚在某个未被发现的角落(luo)？ 怀尔斯：我不相信他有证明。我觉得他说已经找到(dao)🐬解答了是在哄自己。这个难题对业余爱(ai)好者如此特别在于它可能被♨️17世纪的数学证(zheng)明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许还有数学家追寻这最🤓初的证明。你该(gai)怎么辦呢？ 怀尔斯：对我来说都一样，费马是我童年的热望。我会再试其他(ta)问题……證明了它我🐖有一丝伤感，它已经和我们一起(qi)这么久了……人们對我说🎺“你把我的问题夺走了”，我能带给(gei)他们其他的东西吗？我感觉到有责任。我希望通过解决这个问题带来✒️的(de)兴奋可以激励青年数学家们解决其他许许多多的(de)难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭🌠圆曲线(代(dai)数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的(de)周期性全纯函数)之间的重要联系(xi)。雖然名字🚖是从谷山-志村猜想而来,定理的证(zheng)明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完💐成. 若p是一个质数(shu)而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，我们可以简化定🥒义E的方程模p;除了有(you)限个p值，我们会得到有np个元素的有(you)限域Fp上的一個椭🦡圆曲线。然后考虑如下序列 ap = np − p, 这(zhe)是椭圆曲线E的重要的不变量。從傅里叶变换，每⛄个模形式(shi)也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序🍡列相同的(de)椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说: "所有Q上的椭圆曲线(xian)是模的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想😅。到1957年为止(zhi)，他和志村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数(shu)学🚐中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是关键的组成部分。猜想由André Weil于(yu)1970年代重新提起并得到推广，Weil的名字有一段时间🚘和(he)它联系在一起。尽管有明显的用处，这个问题的深度在(zai)后来的发展之前并未被人们所感觉到。 在🏎️1980年代当Gerhard Freay建议谷山(shan)-志村猜想(那時还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它吸引到了不少注(zhu)意力。他通过🦫试图表明费尔马大定理的任何(he)范例会導致一个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证🍋明了这一结果。在(zai)1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线(xian)的情况)，这个特殊情況足以🌭证明费尔马大定(ding)理。 完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他(ta)们在Wiles的基础上，一🚦块一块的逐步证明剩下的情況直到全(quan)部完成。 数论中类似于费尔马最後定理得几个定理可以从谷山-志🦔村定理(li)得到。例如:没有立方可以寫成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为(wei)欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖🌳。虽然他们(men)都没有完成给予他们这个成就的定理的完🥡整形式，他们还是被(bei)認为对最终完成的证明有着决定性影响。