费马大定理百度百科

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末(mo)，往前回溯来看，1994年正是我在念🐿️大学的时候，当时完全没有一(yi)位教授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真正的研究(jiu)者，自然🌍而然地会被数学吸引，然而对(dui)一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更(geng)高深的专业🏗️认知，而指引的道路，就在科普的精神(shen)上。 从费玛最后定理的历史中可以发(fa)现，有許多研究成果🍐，都是研究人员燃烧热情，试图(tu)提出「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑验证。 费玛最后(hou)定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不🩲存在整数解 1. 1963年 安德鲁‧懷尔斯 Andrew Wiles被(bei)埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事從这里🐆开始。 2. 毕达(da)哥拉斯 Pythagoras 定理，任一個直角三角形，斜边的平(ping)方=另🖲️外两边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解 3. 费玛 Fermat 在(zai)研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题🚖8时，在页边写下了註记 「不可(ke)能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两(liang)个四次幂之和🐅；或者，总的来说，不可能将一个(ge)高於2次幂，写成两个同样次幂的和(he)。」 「对这个命📝题我有一个十分美妙的證明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子(zi)出版💞了载有Fermat註记的「丢番图的算數」 5. 在Fermat的其他註记中，隐含(han)了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了(le) n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时🌧️无解 3是质数，现在只要证(zheng)明费玛最后定理对於所有的质数都成立 但 欧基里德 证明🎆「存(cun)在无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 針对 (2p+1)的(de)质数，证明了 费玛最后定理 "大😘概" 无解 7. 1825年 古(gu)斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔(er)曼的证明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔🍿‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易(yi)斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费(fei)玛最后定理 最后是刘维尔宣读🚐了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信(xin)，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯(wei)一因子分🚦解性质」而失败 库默尔证明了 费玛最后定理的完整证(zheng)明 是当時数学方法不可能实现的 10.1908年 保🎬罗(luo)‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了庫默尔的证明 这表示 费玛最后定理的完(wan)整证明 尚📿未被解决 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提(ti)供证明的人，期限是🌬️到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特(te)，提出数学上23个未解决的问题且相信这是迫切需要解决(jue)的重要问题 12.1931年💤 库特‧哥德尔 不可判定性定理 第(di)一不可判定性定理：如果公理集合💡论是相容的，那么存在既不(bu)能证明又不能否定的定理。 => 完全性是不可能达到的(de) 第二不可判定性定🛟理：不存在能证明公理系统是相容(rong)的构造性过程。 => 相容性永远不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发❤️‍🩹展了(le)可以检驗给定问题是不是不可判定的方法（只(zhi)适用少数情形） 证明希尔🌓伯特23个问题中，其中一个「连续统假设」问题(ti)是不可判定的，这对於费玛最后定🙃理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译(yi) Enigma编码 的反转机 开始有人利用暴🗒️力解决方法，要对 费玛最后(hou)定理 的n值一个一個加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对🪖於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不(bu)存在解這个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯(si) Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线 研🍬究(jiu)椭圆曲线的目的是要算出他们的整数解，这(zhe)跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2 (费(fei)玛证明☀️宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一个(ge)立方数中间) 由於要🌦️直接找出椭圆曲线是很困难的，为(wei)了简化问題，数学家採用「时鐘运算」方法 在五格(ge)时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程🩳式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然(ran)后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个📩解 对於椭圆曲线，可写出一个 E序(xu)列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有⛑️非同寻常(chang)的对称性的 modular form 模型式 模型式的要素可从(cong)1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序📕列 要素个数(shu) 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圓曲线(xian)的 E序列，两个不同领域的🎹理论突然被连接(jie)在一起 安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗(lang)兰兹纲領」的计画🍐，一个统一化猜想(xiang)的理论，并开始寻找统一的环链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出(chu) (1) 假设費玛最后定理是错📱的，则 xn+yn=zn 有(you)整数解，则可將方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖(lai)椭圆方程式太💿古怪了，以致於无法被模型式化 (3) 穀山(shan)-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都(dou)可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜❤️‍🩹想 是错误的 反过来说 (1) 如果 谷山-志村猜想 是(shi)對的，每一个椭圆方🌰程式都可以被模型式化 (2) 每(mei)一个椭圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗(fu)赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗💶赖(lai)椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝(bei)里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型式化 如(ru)果🐋有人能够证明谷山-志村猜想，就表示費玛最后定理也(ye)是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个🌧️小阴谋，他每隔6个月发(fa)表一篇小论文，然后自己独力尝试证明谷山-志村猜想，策略是利用归(gui)纳🔦法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的(de)群论，希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表(biao)利用微分几🙃何学证明谷山-志村猜想，但结果失败 23.1989年(nian) 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经😮将椭圆方程式拆解成无限多(duo)项，然后也证明了第一项必定是模型式的第一💛项，也尝试利(li)用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法(fa)，对所有分类后的椭圆方程式都奏效📑 25.1993年 寻求同事 尼克‧凱兹 Nick Katz 的(de)协助，开始对验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术(shu)」會议👘，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想(xiang)的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开(kai)始隐居，尝试🥭独力解决缺陷，他不希(xi)望在这时候公布证明，让其他人分享完成证明的甜美果实 28.安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃🍚的边緣，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的(de)协助🌆 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就(jiu)能夠完全解决问题 30.「谷山-志村猜想(xiang)」被證🥇明了，故得证「费玛最后定理」 ii 费马大定理 300多年以前，法国数学家费(fei)😝马在一本书的空白处写下了一个(ge)定理：“设n是大于2的正整数，则不定🦦方程(cheng)xn+yn=zn沒有非零整数解”。 费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的(de)证明，但因书上空白太小，他😂写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专(zhuan)业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是(shi)🍧无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理—费马大(da)定理。 费马(1601年📋～1665年)是一位具有传奇色彩的(de)数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成為🍣议会议员，数(shu)学只不过是他的业余爱好，隻能利用闲暇来研究。虽(sui)然年🩴近30才认真注意数学，但费马对数论和微積分做出了第一(yi)流的贡献。他与笛卡儿几🥗乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起(qi)的概率论的探索者之一。费马特(te)别爱好数论🔔，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出了證明要(yao)点，其他定理除一个被证明是📔错的，一个未被证明外，其余的陆续被后(hou)來的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大(da)定🕍理，因為是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为🏗️费马最(zui)后定理。 费馬大定理虽然至今仍没有完全被证(zheng)明，但已经有了🌮很大进展，特别是最(zui)近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数🖋️费馬(ma)大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了(le)不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡🐆献使他(ta)在1986年获得了數学界的最高奖之一费尔兹(zi)奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大😚定理，但随后发現了证明(ming)中的一个漏洞并作了修正。虽然威🎭尔斯证(zheng)明费马大定理還没有得到数学界的一致公认，但大多数(shu)数学家认为他证👢明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了(le)希望。 为了尋求费马🐣大定理的解答，三个多(duo)世纪以来，一代又一代的数学家们前(qian)赴后繼，却壮志未酬🦍。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔(er)斯教授经过8年的孤军奋战，用13 0页长的篇幅证明了费(fei)马大定理🧃。怀尔斯成为整个数学界的英雄。 费马大定理提(ti)出的问题非常简单🦦，它是用一个每(mei)个中学生都熟悉的數学定理——毕达 哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞🐾生(sheng)的畢达哥拉斯定理说：在一个直角三(san)角形中， 斜边的平方📉等於两直角边的(de)平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在 研(yan)究毕🏣达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕(bi)达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方程没有🐰任何整数解(jie)。費马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处記下这 个结论的同时又写下一(yi)个附加的评注：“对🐴此，我確信已发现一个(ge)美妙的证法，这里的空 白太小，写不👑下。”这就是数学史(shi)上着名的费马大定理或称费马最後的定理。费马制造了 一个数学(xue)史💬上最深奥的谜。 大问题 在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题(ti)可以叙述得如此简单和清晰，却🏮长久不 解(jie)。E·T·貝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界(jie)也许在费馬大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明⏰费(fei)马大定理成为数论中最 值得为之奋斗的事。 安德鲁·怀(huai)尔斯🧡1953年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时代的(de)怀爾斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆中😗写到：“在学校里我喜欢做题(ti)目，我把它们带回家， 编写成我自己的新题目。不过我(wo)以前找到的最好的题目🖨️是在我們社(she)区的图书馆里发现的。 ”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上🍊的图书馆(guan)看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答 ,怀尔斯被(bei)吸引住了。 这就🚝是E·T·贝尔写的《大问題》。它叙述了费马大(da)定理的历史，这个定理让一个又 一🎽个的数学家(jia)望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯🥃30多年后回忆(yi) 起被引向费马大定理时的感觉：“它看(kan)上去如此简单，但历史上所有🦫的大数学家都未能解 决(jue)它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个(ge)时刻起，我知🌠道我永 远不会放弃它。我必須解决它。” 怀尔斯1974年从牛津大(da)学的Merton学院获得数学学士学位，之后🌘进入剑桥大学Clare 学院做博士。在研究(jiu)生阶段，怀尔斯并没😂有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能 带来的(de)问题是：你花🥎费了多年的时间而最终一事无成(cheng)。我的导师约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭🌒圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他(ta)工作。” 科茨说：“我记得一位同事 告诉我，他有一个非常好的、刚完(wan)成数学学士🎓荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其 为学生(sheng)。我非🕑常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求來看，他也有很(hen)深刻的 思想，非常清楚他将是一個做🌌大事情的数学家。当然，任何研究生在那(na)个阶段直接开始研 究费马大定理是不🙈可能的，即使对资历很深的(de)数学家来说，它也太困难了。”科茨的责任 是为怀尔(er)🎶斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究(jiu)的问题。他说：“我认🏫为研究 生导师(shi)能为学生做的一切就是设法把他推(tui)向一个富有🕙成果的方向。当然，不能保證它一定(ding) 是一个富有成果的研究方向，但🍒是也许年长的数学家在這个过程中能(neng)做的一件事是使用他 的常识、他对好领(ling)域的🔮直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决(jue)定怀尔🦝斯应该研究数学中称为椭(tuo)圆曲线的领域。这個决定成为怀尔斯职业生涯中的 一个转折点(dian)，椭圆方程🐱的研究是他实现梦想的工具。 孤独的戰士 1980年怀尔斯在剑桥(qiao)大学取得博士学位后🐄来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大(da)学 的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或許比世界上其他人都🍮更懂得(de)椭圆方程，他已经成为一 个着名的数论学家，但(dan)🎧他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养(yang)，证明费马 大定理的任务也是极为艰🧈巨的。 在怀尔(er)斯的费马大定理的证明中，核心是(shi)证明“谷山－志村猜想”，该猜🚄想在兩个非 常不同的数学领域间建立了(le)一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我(wo)正在一個🚎朋 友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特(te)已经证明了谷🍙山－志村猜想与费马大 定理间的联系。我感(gan)到极大的震动。我记得那个🎪时刻，那(na)个改变我生命历程的时刻，因为 这意味着为了证(zheng)明费马大定理，我必须做的一切就是证🏵️明谷山－志村猜(cai)想……我十分清楚 我应该回家去研究穀山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他(ta)🍄童年梦想的道路。 20世纪初，有人问伟大的(de)数学家大卫·希尔伯特为什么不(bu)去尝试证明费马大定理，他 回答说：“在开🎨始着手之前，我必須用3年(nian)的时间作深入的研究，而我没有🏜️那么多的时间 浪费在一件(jian)可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找🦀到证明，他必须(xu)全身心地投入到 这个問题中，但是与希尔伯特不一样😸，他愿意冒這个(ge)风险。 怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地(di)进行研究。他说：“我意识到与费🍕 马大定理有关的任何事(shi)情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年(nian)都使自己精力集中 ，除非你的专🛬心(xin)不被他人分散，而这一点会因旁观者(zhe)太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有 与证明费马大定理无直(zhi)接关🐞系的工作，任何时候隻要可能他就回(hui)到家里工作，在家里🎂的顶 楼书房里他开始了通过谷山－志村(cun)猜想来证明费🍞马大定理的战斗。 这是一场长达7年的持久战，这期间(jian)只有他的👁️‍🗨️妻子知道他在证明费马大定理。 欢呼与等待(dai) 经过7年的努力，怀尔🕶️斯完成了谷山－志村猜想的证明(ming)。作为一个结果，他也证明了 费马大定理。现在是向世界公布的时候(hou)了。1993年6月🍙底，有一个重要的会议要在剑(jian)桥大 学的牛顿研究所举行。怀尔斯(si)决定利🌷用這个机会向一群杰出的听众宣布(bu)他的工作。他选择 在牛顿研究所🐏宣布的另外一个主(zhu)要原因是剑桥是他的家乡，他曾经是那里的一名研究(jiu)生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了🕋20世纪最(zui)重要的一次数学讲座。两百名数学家聆 听了这一演讲，但他们之中只(zhi)🥸有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数(shu)式所表达 的意思🌙。其余的人来这里是为了见(jian)证他们所期待的一个真正具有意义的时🗓️刻。演讲者是安(an) 德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最後时刻的情景：“虽然新闻界已🚲经(jing)刮起有关演讲的风 声，很幸运他們没有来听演讲。但是听众中有人拍摄(she)了演讲结束时的镜头，研究🍕所所(suo)长肯 定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读證明(ming)时，会场上保持着特别庄重的🥝寂静(jing)，当我写完 费马大定理的证明时，我说：‘我想我(wo)就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌🤑声 。” 《纽约时报》在头版以《终(zhong)于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜(mi)获解》為题报道 费马大定理被证明的(de)消息。一夜之间🧾，怀尔斯成为世界上最着名的数学(xue)家，也是唯一的数 学家。《人物》杂志将怀🚙尔斯与戴(dai)安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创(chuang) 意的赞美来自一家国际制衣大公司(si)，他🦤们邀请这位温文爾雅的天才作他们(men)新系列男装的模 特。 当怀尔斯成(cheng)为媒体🏝️报道的中心时，认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序要 求(qiu)任何数学家将完整😌的手稿送交一个有声望的刊物，然後(hou)这个刊物的编辑将它送交一组审(shen) 稿人，审稿人的职🌗责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数學发明(ming)》，整整一个 夏天他焦急地等待审(shen)稿人的意见🔊，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一(yi)个缺陷被发 现了。 我的心灵归于平(ping)🌼静 由于怀尔斯的論文涉及到大量(liang)的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样🎥指定 2－3個审稿人，而是6个审(shen)稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿🗾人负责其中一章(zhang)。 怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处⛳理审稿人在电子邮件中提(ti)出的问题，他自信这 些问题不会给(gei)他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负🍛责审查第3章，1993年8月23日，他发现(xian)了 证明中的一个小缺陷。数學的绝对主义要求(qiu)🐭怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都(dou) 行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办法可😚能就在近旁，可是6个(ge)多月過去了 ，错误仍未改正，怀尔斯面临(lin)绝境，他准备承认失败。他向同事🕊️彼得·萨克说明自己的情 况，萨克向他暗示困(kun)难的一部分在于他缺少一个能够和他讨論问🎾题并且可信(xin)赖的人。经过 长时间的考虑后，懷尔斯(si)决定邀请剑桥大学的讲师理查德(de)·泰勒到普🎲林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了(le)9月，依然没有🎺结果，他们准备放弃了。泰(tai)勒 鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最(zui)后一次检⏱️查。9月19日，一个星期一的早 晨，怀尔(er)斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突(tu)然间，不可思议🌎地，我有了一个 难以置信的发现。这是我的事业中最(zui)重要的时刻，我不会再有这样的经历……它的美是🛵如 此地难以形容；它又是如(ru)此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我 到系里转了(le)一🥥圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。” 这是少年时代的(de)梦想和8年潜心努力的终极，懷尔斯终于📚向世界证(zheng)明了他的才能。世 界不再怀疑这一(yi)次的证明了。这两💛篇論文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数學稿 件(jian)，它们发表在1995年5月的🚊《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时(shi)报》的头版 上，标题是《数学家称经(jing)典之谜已解决》。约翰·科茨🏷️说：“用数(shu)学的术语来说，这个最 终的证明可与分裂原(yuan)子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是🪀人类智力活动的一 曲凯歌，同(tong)时，不能忽视的事实是它一下子就使数学(xue)发生了革命性的变化。对我說来，安🕚 德鲁成果的美和魅力在于(yu)它是走向代数数论的巨大的一步。” 声望和荣誉纷至沓来(lai)。1995年，怀尔斯获得瑞典皇💕家学会颁(ban)发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并當选为美国(guo)科学院外籍院士。 怀尔斯💧说：“……再没有别的问题能像费马大(da)定理一样对我有同样的意义。我拥有如 此少有🐇的特权，在我的成(cheng)年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已經结束了， 我的(de)心已归于平静。” 费🏠马大定理只有在相对数学理论的建立之(zhi)后，才会得到最满意的答案。相对数学理论(lun)没有完成之前，谈这个🎵问题是无力地.因为人们对数量和自身的(de)认識，还没有达到一🏰定的高度. iii 费马大定理与怀尔斯的(de)因果律-美国公众广播网对怀尔斯的专访 358年的难📖解之谜 数学爱(ai)好者费马提出的这个问题非常简单，它用(yong)一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达(da)哥拉🥰斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个🌭直(zhi)角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大🐳约在(zai)公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书靠近问题8的(de)页邊🦙处写下了这段文字：“设n是大于(yu)2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已發现(xian)一个美妙的证🍏法，但这里的空白太小，寫不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马(ma)大定理是其中困扰数学家们时间最长🎎的，所以(yi)被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公认为有史以来最着名的数学猜想。 在畅销书作(zuo)家西蒙🛴·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发(fa)的长达358年的猎逐充满了驚险、悬疑、绝望和狂喜。这段历(li)史先后涉及到最🀄多产的数学大師欧拉、最伟大的数(shu)学家高斯、由业余转为职业数🍇學家的柯西(xi)、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试验大师庫默尔和被🍩誉为(wei)“法国历史上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法國数学天才伽罗(luo)💵瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德(de)国数学爱好者保罗·沃尔夫🏠斯凯尔最后一刻(ke)的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间(jian)上帝🖤导演的宏大戏剧中的一幕，为最后谜底(di)的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出(chu)戏🎋推向高潮并戛然而止，留下一段耐(nai)人回味的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马大定理不仅(jin)是破👁️‍🗨️译一个难解之谜，更是去实现一個儿时的梦想。“我10岁时在图(tu)💯书馆找到一本数学书，告诉我有这么一個问题，300多年前就已经有人(ren)解决了🗞️它，但却没有人看到过它的证明(ming)，也无人确信是否有这个证明，从那(na)以后，人们就不断地求证。这是✉️一个10岁小孩就能明白的(de)问题，然后历史上诸多伟大的数學家(jia)们却不能解答🚇。于是从那时起，我就试过解决它，这个问题就是费馬大定(ding)理。” 怀尔斯于1970年先后在牛津大學💵和剑桥(qiao)大学获得数学学士和数学博士学(xue)位。“我进入剑桥时，我真🍬正把费马大定理搁在一(yi)边了。这不是因为我忘了它，而是我认识到我们所掌(zhang)握的用来攻克它的全部🗺️技術已经反复使用了130年。而这(zhe)些技术似乎没有触及问题根本。”因为(wei)担心耗费太多时间而一无所获，他“暫时💟放下(xia)了”对费马大定理的思索，开始研究椭圆曲线(xian)理论——这个看似与证明费马大定理不相🛸关的理论后来却成为他(ta)实现夢想的工具。 时间回溯至20世纪📫60年代，普林斯顿数(shu)学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要数学领域之间原本(ben)就存在著的统一🛍️的链接。如果这个猜想被证实，意味着在某個数学领域中无(wu)法解答的任何问题都有可🌝能通過这种链接被转换成另一个领域中相应的(de)问题——可以被一整套新方案解决的问题。而如果(guo)在另一🌖个领域内仍然难以找到答案，那么可以把问题再转换到下一(yi)个数学领域中……直到它被解决为止。根🌞据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将(jiang)能够解决曾经是最深奥🐛最难对付的问(wen)题——“办法是领着这些问题周游数学王国的各个风景胜地”。这个纲领为(wei)饱🛰️受哥德尔不完备定理打击的费马大定理证明者们指明了救📧赎之路(lu)——根据不完备定理，费马大定理是不可證明的。 怀尔斯后来正是(shi)依赖于这个纲👚领才得以证明费马大定理的：他的证明——不同于任何前人(ren)的尝试——是现代🚊數学诸多分支（椭圆曲线论，模形式(shi)理论，伽罗华表示理論等等🕑)综合发挥作用的结果。20世纪50年代由两位日本(ben)数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜(cai)想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圓🐕方程与模形式两个截然不同的(de)数學岛屿间隐藏着一座沟通的桥梁。随后在1984年🏑，德国数学家格哈(ha)德·費赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大(da)定理为真。这个猜想紧接✒️着在1986年被肯·里贝特(te)（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不可摆脱地与谷山—志村猜想链接(jie)在一起：如果有人能证明🐛谷山—志村猜(cai)想（即“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那么(me)就证明了费馬大定理。 “人类智力🌋活(huo)动的一曲凱歌” 怀尔斯诡秘的行踪让(rang)普林斯顿的着名数学家同事们🎶困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇(qi)怪怀尔斯在做些什么？……他总是静悄悄的⭐，也许他已(yi)经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一(yi)点暗示都没有！”对于这次惊天“大预谋”，肯(ken)·里📥比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在如此长的时(shi)间里沒😅有泄露任何有关工作的信息。这是空前的。 1993年晚春，在经过反复的试(shi)错和绞尽脑汁的演算，懷尔斯终于(yu)😃完成了谷山—志村猜想的证明。作为一个结果，他(ta)也证明了费马大定理。彼得·萨奈克(ke)是最早得知此消息的人🎢之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常(chang)……我记得当晚我失眠了”。 同年6月，怀爾斯决🎀定在剑(jian)桥大学的大型系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很(hen)多数学界重🍅要人物到场，当大家终于明白已(yi)经离證明费马大定理一步之遥时，空气中充满了紧(jin)張。” 肯·里比特回忆说。巴里🎒·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不(bu)了那一刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的(de)、闻所未🥸闻的新思想，还有戏劇性的铺垫，充满悬念，直到最后到达(da)高潮。”當怀尔斯在讲💾座结尾宣布他证明了费马(ma)大定理时，他成了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在头版以《终(zhong)📻于欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为題报道费(fei)马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯🕘成为世界上唯一的数学家(jia)。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年(nian)度25位最具魅力者”。 與此同时⛰️，认真核对这个证明(ming)的工作也在進行。遗憾的是，如同这之前的“费马大定理终结者”一样，他的☔證(zheng)明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之下修正错误，其间(jian)数度感到绝望🦓。John Conway曾在美国公众广播网(wang)（PBS）的访谈中说: “当時我们其他人（怀尔斯的同事）的行为🥑有点像‘蘇(su)联政体研究者’，都想知道他的想法和修(xiu)正错误的进展🌳，但沒有人开口问他。所以，某人会说，‘我(wo)今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容(rong)了吗？’‘他倒是有微🥺笑，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年(nian)9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请🏔️的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个(ge)月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一個星期(qi)一的早晨📪，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议(yi)地，我发现了它……它美得难以🍓形容，简单而優雅。我对着它发了20多分钟呆(dai)。然后我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它💋是否还在那里——它确实还在那(na)里。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨(kai)的褒扬，其中最具代表性的🐮是他在剑桥时的导师、着名數学家约翰·科茨(ci)的评价：“它（证明）是人类🏫智力活动的一曲凯歌(ge)”。 一场旷日持久的猎逐就此结束，从此费马大定理与安🥜德鲁·怀尔斯的名字紧(jin)紧地被綁在了一起，提到一个就🌐不得不提到另外一个。这是费马大定理(li)与安德鲁·怀尔斯的因🚉果律。 历时八年的最终證明 在怀尔斯不多的接(jie)受媒体采访中，美国公众广播网(wang)🐯（PBS）NOVA節目对怀尔斯的专访相当精彩有趣，本文節选部分以飨读者。 七年💘孤独(du) NOVA：通常人们通过团队来获得工作上的支持，那么當(dang)你碰壁时是怎么解决问题的呢？ 怀尔斯：当📦我被卡住时我(wo)会沿着湖边散散步，散步的好处是使你会处于放松状态，同时(shi)你的潜意识却在继续🌁工作。通常遇到困扰(rao)时你并不需要书桌，而且我随时把笔纸(zhi)带上，一旦有好主意我会找个长椅😅坐下来打草稿(gao)…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与(yu)成功……你不可能绝對有把握证明。 怀尔斯：我确实相信自己在正🗼确(que)的轨道上，但那并不意味着我一定能达到目標——也许仅仅(jin)因为解决难题的方法超出现有的数学，也许🐄我需要的方(fang)法下个世纪也不会出现。所以即便我在正确的(de)轨道上，我却可能生活在错误的世纪(ji)🐓。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀尔斯：对，那是(shi)個5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子🍊们出去了。我坐(zuo)在书桌前思考最后的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行🎎字(zi)引起了我的注意。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎时👞意识到这(zhe)就是我该用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点(dian)時🌏我确信已经证明了费马大定理，然后下(xia)楼。Nada很吃惊，以为我这时才回家，我告诉她🏗️，我解决了费(fei)马大定理。 最后的修正 NOVA：《纽约时报》在头版以《终(zhong)于欢呼“我发现了!”，久🍬遠的数学之谜获解》，但他们并不知道这个证明中有个(ge)錯误。 怀尔斯：那是个存在于关键🚞推导中的错误，但它如(ru)此微妙以至於我忽略了。它很抽✏️象，我无(wu)法用简单的语言描述，就算是数学家也需要研習两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你(ni)邀🧢请剑桥的数学家理查德·泰勒(lei)来协助工作，并在1994年修正了这个最后🐚的错误。问题(ti)是，你的证明和费马的证明是同一个嗎？ 怀尔斯：不可能。这个证明(ming)有🐼150页长，用的是20世纪的方法，在费马时代还不存在。 NOVA：那就是说费马的最🥉初证(zheng)明还在某个未被发现的角落？ 怀尔斯：我不相信(xin)他有⛪证明。我觉得他说已经找到解答了是(shi)在哄自己。这个难题对业余爱好⛄者如此特別在于它可能被17世纪的数(shu)学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所(suo)以也许還有数学🕧家追寻这最初的证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对(dui)我來说都一样，费马☘️是我童年的热望。我会再试其他问题……证明了(le)它我有一丝伤感，它已经和我们一起这么久了……人们对我⚓说“你(ni)把我的問题夺走了”，我能带给他(ta)们其他的东西吗？我感觉到有责任。我希望(wang)通过解决这个问题🍢帶来的兴奋可以激励青年数(shu)学家们解决其他许许多多的难题(ti)。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立📆了椭圆曲线(代(dai)数几何的对象)和模形式(某种数论中用🚅到的周期性全纯(chun)函数)之间的重要联系。雖然名字是从谷山-志村猜想(xiang)而来,定理的证明是由安德👚鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是(shi)一个质數而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆(yuan)曲線，我们可以简化定义💟E的方程模p;除了有限个p值，我们會(hui)得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑(lü)🐦如下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个(ge)模形式也会🌮产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列(lie)相同的椭圆曲線叫做模的。 谷山-志村定说: "所💧有Q上(shang)的椭圆曲线是模的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年🍄为止，他和志村五(wu)郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在🍌1960年代，它和统一数学中的猜(cai)想Langlands纲领联系了起来，并是关键的组成部分。猜想由André Weil于📧1970年代重新提起并得(de)到推广，Weil的名字有一段时间和它联系(xi)在一起🌓。尽管有明显的用处，这个问题的深度在后来的(de)发展之前并未被人们所感觉到。 在1980年代当(dang)Gerhard Freay建议谷🎫山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它(ta)吸引到了不少注意力。他通过试🐷图(tu)表明费爾马大定理的任何范例会导致一个非模的椭圆曲线来做🎼到(dao)这一點。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和(he)Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳🌏定椭圆曲线(xian)的情况)，这个特殊情况足以证明费尔马大定理。 完整的证明最后😛于1999年(nian)由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的(de)逐步证明剩下的情况直到全部完成🍯。 数论中类似(shi)于费尔马最后定理得几个定理可以从谷山(shan)-志村定理得到。例如:没有立方可以(yi)写📅成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫(fu)獎。虽然他们🧾都没有完成给予他们这个成就的定理的完整形式，他(ta)们还是被认为对最终完成的🚡证明有着决定性影响。