费马大定理电影

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史(shi)始末，往前回溯来🪁看，1994年正是我在念大学的时候，當时完全没有一位教授在(zai)课堂上提到这件事🥁，也许他们认为，一位真正(zheng)的研究者，自然而然地会被数学吸引😻，然(ran)而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向(xiang)更高深的专业认知，而指引🥲的道路，就在科普(pu)的精神上。 从费玛最后定理的历史中可以发现，有许多研究成果，都是(shi)研🐈究人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命(ming)题，然后再尝试用逻辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当🦙 n>2 时，不存在(zai)整数解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝爾 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问(wen)题 The Last Problem」，故事从这📝里開始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜(xie)边的平方=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元組：毕💒氏定理的整(zheng)数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时(shi)，在页🐊邊写下了註记 「不可能将一个立方数写成两个(ge)立方数之和；或者将一个四次幂写成两🩰个四次幂之和；或者，总(zong)的来說，不可能将一个高於2次幂，写成两个同样次幂的和。」 「对這个(ge)命题我有一个十分美妙🏏的证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版(ban)了载有Fermat註记的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记中，隐🐊含(han)了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解(jie) => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只要证明费玛最後定理对於所有的(de)🍁质数都成立 但 欧基里德 证明「存在(zai)无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的(de)質数，证明了 费玛最后定理 "大🤩概" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞(rui)-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延(yan)伸热尔曼的证明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉🎬梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯(si)汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛🌠最後定理(li) 最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉(la)梅的證明，都🔍因为「虚数没有唯一因子分解性质」而失败(bai) 库默尔证明了🦘 费玛最后定理的完整证明 是当时数学方法不(bu)可能实现的 10.1908年 保罗‧沃尔夫👟斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了(le)库默尔的证明 这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决 沃尔(er)夫斯凯尔提供了 10万🐭马克 给提供证明的人，期(qi)限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出🧵数学上23个未(wei)解决的问题且相信这是迫切需要解决的重要🃏问题 12.1931年 库特‧哥德尔(er) 不可判定性定理 第一不可判定(ding)性定理：如果公理集合论是相容的，那(na)么存在既不🐔能证明又不能否定的定理。 => 完全性是不可能达到的 第二不可判(pan)定性定☃️理：不存在能证明公理系統是相容的构造性过程(cheng)。 => 相容性永远不🍜可能证明 13.1963年 保罗‧科恩(en) Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不是不可判定的方法💐（只适用少数情形(xing)） 证明希尔伯特23个问题中，其中一个「連续统假设」问题是不可判定的，这对(dui)於费玛最后定理来说🎎是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机 开始(shi)有人利用暴力解决方法，要对 费玛最👑后定理 的n值一個一个(ge)加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提(ti)出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一🌎个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承(cheng) 约翰‧科次，研究椭圆曲线 研究椭(tuo)圆曲线的目📀的是要算出他們的整数解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一(yi)组整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在一个数😻26，他是夹(jia)在一个平方数与一个立方数中间) 由(you)於要直接找出椭🦁圆曲线是很困难的，为了(le)简化问题，数学家採用「时鐘运算」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式📋 x3-x2=y2+y 所有(you)可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在(zai)五格时鐘运算中，有四个解 对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年🐪 至村五郎 与 谷(gu)山丰 研究具有非同寻常的对称(cheng)性的 modular form 模型🛣️式 模型式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要(yao)素个數 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范🌽例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可(ke)以对应到椭圆曲线的 E序列，两个不同领域的理论突然被连接在一起 安(an)德列‧韦🐢依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个(ge)统一化猜想的理论，并开始寻找统🍹一的环链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假(jia)设费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数(shu)解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这樣的椭圆方程式🖊️ (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以(yi)致於无法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 断👖言每一个椭圆方程式都可以被模型(xing)式化 (4) 谷山-志村猜想 是错误的 反过来说 (1) 如(ru)果 谷山-志村猜想 是对的，每一个🥤椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭(tuo)圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在(zai)🍟弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理(li)是对的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法🌗被模型式化 如果有人能够证(zheng)明谷山-志村猜想，就表示费玛最后定理也是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔(er)斯 Andrew Wiles 开始🪢一个小阴谋，他每隔6个月(yue)发表一篇小论文，然后自己独力尝试(shi)证明穀山-志村猜想，策🦞略是利用归纳法，加上 埃(ai)瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列🔍 22.1988年 宫(gong)冈洋一 发表利用微分几何学证明谷山-志村猜想(xiang)，但结果♠️失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圓方程式(shi)拆解成无限多项，然后也证明了第一项必定是模型式的第一(yi)项，也尝😽试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理論，但结果失(shi)败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有🐺分类后的椭圆方程式都(dou)奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凱兹 Nick Katz 的协助，开始(shi)对验🕢证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会議，安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯(kai)兹 Nick Katz 发现一个重大缺🚖陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开(kai)始隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望在这时候公布证🐠明(ming)，让其他人分享完成证明的甜美果实 28.安德(de)鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃🐎的边缘，在彼得‧萨纳克的建議下，找到理查(cha)德‧泰勒的协助 29.1994年🌁9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金(jin)-弗莱契 方法就能够完全解决问题(ti)🗻 30.「谷山-志村猜想」被证明了，故得证「费瑪最后定理」 ii 费马大定理 300多(duo)🐇年以前，法国数学家费馬在一本书(shu)的空白处写下了一个定理：“设n是大(da)于2的正整数，则不定🏥方程xn+yn=zn沒有非零整数解”。 费马宣称他发现了这个定理的一(yi)个🧆真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不(bu)知有多少专業数学家和🧩业余数学爱好者绞尽脑汁企图(tu)证明它，但不是无功而返就是進展甚微。这就是纯数学中最着名(ming)的定理—费马大🍔定理。 費马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数(shu)学家，他最初学习法律并以当律师🦥谋生，后来成为议会议员，数学只不(bu)过是他的業余爱好，只能利用闲暇🥰来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费(fei)马对数论和微积分做出了第🪡一流的贡献。他与笛卡儿几(ji)乎同时创立了解析几何，同时又是🚃17世纪兴起的概率论的探索者之(zhi)一。费马特别爱好数论，提出了许多定理(li)，但费马只对🍤其中一个定理给出了证明要(yao)点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明📬外，其余的陸续被(bei)后来的数学家所证实。这唯一未被证明(ming)的定理就是上面所说的💕费马大(da)定理，因为是最后一个未被证明对(dui)或错的定理，所以又称為费马最后定理。 费马大定理虽然至今(jin)仍🐥没有完全被证明，但已经有了很大进展，特别是最(zui)近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔🚤夫证明了对小于105的素数(shu)费马大定理都成立。1983年一位年轻的😼德国数学家法尔廷斯(si)证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他(ta)在🍽️1986年获得了數学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学(xue)家威尔斯宣布证🎃明了费马大定理，但随后发现了证明中(zhong)的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理🕶️还没有得到(dao)数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问(wen)，这使人们看到💎了希望。 为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一(yi)代又一代的数学家们前赴后继，却壮志🚥未酬。1995年，美国普林(lin)斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用13 0页长的篇✏️幅证明(ming)了费马大定理。怀尔斯成为整个数學(xue)界的英雄。 费马大定理提出的问题非常(chang)简单，它是🍆用一个每個中学生都熟悉的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来表(biao)达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯🐳定理说：在一个直角三角形中， 斜(xie)边的平方等于两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元(yuan)1637年前后 ，当费马在 研究毕达📍哥拉斯方程时，他(ta)写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯🦢方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方程没有(you)任何整数解。费马在《算术》這本书🕚的靠近问题8的页边处记下这(zhe) 个结论的同时又寫下一个附加的评🪕注：“对此(ci)，我确信已发现一个美妙的证法，这里的(de)空 白太小，写不下🎪。”这就是数学史上着名的费马大定理或称费马最后(hou)的定理。费马💓制造了 一个数学史(shi)上最深奥的谜。 大问题 在物理学、化学或生物学中，还没有(you)任何问题🐤可以叙述得如此简单和清晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的(de)《大问题🕒》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界也许在(zai)费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数(shu)🥥論中最 值得为之奋斗的事。 安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国劍桥，父(fu)亲是一位工程学教授。少年时代的怀爾(er)斯 已着🌳迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把(ba)它们带回📟家， 编写成我自己的新题目。不(bu)过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的(de)。 ”一天，小怀尔📮斯在弥尔顿街上的图(tu)书馆看见了一本书，这本书只有一个❣️问题而没有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这(zhe)就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费馬🍺大(da)定理的历史，这个定理让一個又 一个的数(shu)学家望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能🏨解决它。懷尔斯30多年后回(hui)忆 起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如(ru)此简单，但历史上所有的大⛪数学家都未能解 决它。这里正摆着我——一个10岁的(de)孩子——能理解的问题，从那个🚈时刻(ke)起，我知道我永 远不會放弃它。我必须解决它。” 怀尔斯1974年从🎡牛津大学的Merton学院(yuan)获得数学学士学位，之後进入剑桥大(da)学Clare 学院做博士。在研究生📰阶段，怀尔斯并没有(you)从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能 带来的问題是：你花费(fei)了多年的时间而最🍬终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆曲线(xian)的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我🍭记得一位同事 告诉我(wo)，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第📇三部考试的学生，他催(cui)促我收其 为学生。我非常荣幸有🦙安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要(yao)求来看，他也有很深刻的 思想，非(fei)常清楚🏗️他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个🤍阶(jie)段直接開始研 究费马大定理是不可能的，即使对(dui)资历很深的🐜数学家来说，它也太困难了。”科茨的责任 是(shi)为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三🛎️年裡有兴趣去研究(jiu)的问题。他说：“我认为研究 生导师能为(wei)学生做的一切就是设法把他推向🚍一个富有成果的方向。當然(ran)，不能保证它一定 是一个富有成果的(de)研🖋️究方向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的💰一(yi)件事是使用他 的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在(zai)这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决✈️定怀尔斯应该研(yan)究数学中称为椭圆曲线的領域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的 一个(ge)转折🐵点，椭圓方程的研究是他实现梦想的工具。 孤独的(de)战士🥨 1980年怀尔斯在剑桥大学取得(de)博士学位后来到了美国普林🧃斯顿大学，并成为这所(suo)大学 的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其(qi)他人都更懂得🌯椭圆方程，他已经成为一 个着名的(de)数论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博(bo)👓的基础知识和数学修养，证明费(fei)马 大定理的任務也是极为艰巨的。 在(zai)怀尔斯的😅费马大定理的证明中，核(he)心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在⚾两个非 常不同的数学领(ling)域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个(ge)朋 友家中啜🏥饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了穀山－志村(cun)猜想与费马大 定理间的联系。我感到极大的🚙震动(dong)。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为 这意味着为了证明费(fei)马大🚎定理，我必须做的一切就是证明(ming)谷山－志村猜想……我十分清楚 我应该回家去研究谷山－志村猜想(xiang)。”怀尔斯望📺见了一条实现他童年梦想的道路。 20世纪初，有人问(wen)伟大的数学家大卫·希🥞尔伯特为什么不去尝试证明费马大定(ding)理，他 回答说：“在开始着手之前，我必須用3年的时间作深入的研(yan)究💰，而我没有那么多的時间 浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯(si)知🚕道，为了找到证明，他必须全身心地投入到 这个问(wen)题中，但是与希尔😘伯特不一样，他愿意冒这个风险(xian)。 怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和(he)保密地进行研究。他說：“我意识到🐮与费 马大定(ding)理有关的任何事情都會引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使(shi)自己精力🐅集中 ，除非你的专心不被他人分散，而这一(yi)点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有 与证明(ming)🔉费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作(zuo)，在家里🕹️的頂 楼书房里他开始了通过谷(gu)山－志村猜想来证明费马大定理的战(zhan)斗。 这是一场长达7年的持久战，这⛲期(qi)间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。 欢呼与等待(dai) 经过7年的努力，怀尔斯📮完成了谷山－志村猜想的证明。作为(wei)一个结果，他也证明了 费馬大定理。现在是(shi)向世界公布的时候了。1993年6月底，有🍯一个重要的会(hui)议要在剑桥大 学的牛顿研究所举行(xing)。怀尔斯🍢决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择 在牛顿(dun)研究所宣🥤布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他曾經(jing)是那里的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了🐀20世纪最重要的一(yi)次数学讲座。两百名数学家聆 听(ting)了这一演🕯️讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得(de)黑板上的希腊字母和代数式所表🎫达 的意思。其余的人来这(zhe)里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安 德鲁·怀(huai)尔斯😽。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起(qi)有关演讲的风 声，很幸运他们没有来(lai)听演讲。但🌰是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯 定事先(xian)就准备了一瓶香槟酒。当我宣读(du)证明🔈时，会场上保持着特別庄重的寂静，当我写完 费马大(da)定🏍️理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，會场上爆发出一阵持(chi)久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头版以《终于欢🌇呼“我发现了!”，久远的数(shu)学之谜获解》为题报道 費马大定(ding)理被证明的消息。一夜之🌏间，怀尔(er)斯成为世界上最着名的数学家，也是唯一的数 学家。《人物》杂志将怀(huai)尔斯与戴安娜王妃一起🎚️列为“本年度25位最(zui)具魅力者”。最有创 意的赞美来自一家国际🗾制衣大公司，他们邀请这位温文尔(er)雅的天才作他们新系列男装的模 特。 当怀尔斯成为媒体🥯报道的中(zhong)心时，认真核对这个证明的工作也在进行。科🗽学的程序要(yao) 求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物(wu)，然后这個刊物的编辑将它送🏺交一组审 稿人，审稿人的职责是进行逐行(xing)的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个 夏天(tian)他焦急地等🔇待审稿人的意见，并祈求能得到(dao)他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被发 现了。 我的(de)心灵归于平静🎽 由于懷尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编(bian)辑巴里·梅休尔🧤决定不像通常那样指定 2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的(de)证明被分成6章，每位🚏审稿人负责其中一(yi)章。 怀尔斯在此期间中断了他的工作，以(yi)处理审稿人在电子邮件中📓提出的问题，他自信这 些问题(ti)不会給他造成很大的麻烦。尼克(ke)👢·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了 证明中的一个(ge)小缺陷。数学的绝对主義要求怀尔斯无可怀疑地证(zheng)明他的😜方法中的每一步都 行得通。怀尔斯以为这又(you)是一个小问题，补救的办法可能🐩就在近旁，可是6个多月(yue)过去了 ，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境(jing)，他准备承认失败。他向同事彼得🐫·萨克说明自己的情 况，萨克向(xiang)他暗示困难的一部分在🥡于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人(ren)。经过 长时间的考虑🥫后，怀尔斯决定(ding)邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒(lei)到普林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年🦽1月份到普林斯顿，可是到了9月(yue)，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒😳 鼓励他们再坚持一个月(yue)。怀尔斯决定在9月底作最后一🚆次检查。9月19日，一个星期一的早 晨，怀(huai)尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时😮刻：“突然间，不可思议地(di)，我有了一个 难以置信的发現。这是我的事业中🧤最重要的时(shi)刻，我不会再有这样的经历……它的美是(shi)如 此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多(duo)🛤️分钟的时间我呆望它不敢相信。然後白天我 到系里转(zhuan)了一圈，又🌄回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。” 这是少年(nian)时代的梦想和8年潜心努力的🌨️终极，怀尔斯(si)终于向世界证明了他的才能。世 界不再怀疑这一次🥐的证明(ming)了。这两篇論文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数学稿 件，它们发(fa)表在1995年5月的🌔《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的(de)頭版 上，标题是《数学⛲家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说(shuo)：“用数学的术语来说，这个最 终的证明可与分裂原子或发😊现DNA的结(jie)构相比，对费马大定理的证明是人类智(zhi)力活动的一 曲凯歌，同时，不能忽視的🌐事实是它(ta)一下子就使数学發生了革命性的变化(hua)。对我说来，安 德鲁成果的美和魅力在于它是(shi)走向代数数论🏉的巨大的一步。” 声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯获(huo)得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，199 6年，他獲🍧得沃尔夫奖，并当选为美国科學(xue)院外籍院士。 怀尔斯说：“……再没有别的问题能像费马大定(ding)理一樣对我🛞有同样的意义。我拥有如 此少有的(de)特權，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特🌽殊漫(man)长的探索已经结束了， 我的心已归于平静。” 费马大定理只有(you)在相对数学理论的建立之后，才会得💹到最满意的答案。相对数学理论(lun)没有完成之前，谈这个問题是无力地.因为人们(men)对数量和自身的认识，还没🍃有达到一定的高度. iii 费马大定理与怀(huai)尔斯的因果律-美国公众广播网对怀尔斯的专访 358年的(de)难🃏解之谜 数学爱好者费马提出的这个(ge)问题非常简单，它用一个每个中学生都(dou)熟悉的数学定🧡理——毕达哥拉斯定(ding)理来表達。2000多年前诞生的毕达哥拉斯🎒定理说：在一个直角(jiao)三角形中，斜边的平方等于两个直角邊的平方之和。即(ji)X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在🌦️研究毕达哥(ge)拉斯方程時，他在《算术》这本书靠近问题8的页边处写下了(le)这段文📧字：“设n是大于2的正整数，則不定方程xn+yn=zn没有非整(zheng)数解，对此，我确信已发现一个美妙的证法💒，但这里的空白(bai)太小，写不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马🧶大定理是其中(zhong)困扰数学家们时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公🌉认为有史以(yi)来最着名的数学猜想。 在畅銷书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这(zhe)段神秘留言引发的长🪢达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望(wang)和狂喜。这段历史先后🛬涉及到最多产的数(shu)学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余轉为职业数学家的柯西、英(ying)年早📗逝的天才伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和被誉为“法国历史上(shang)知识最为高深的女性”的🥣苏菲·姬尔曼……法(fa)国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数(shu)学界的🍌明日之星谷山丰的神秘自杀、德国数学爱好者保(bao)罗·沃尔夫斯凯尔🎂最后一刻的舍死求生等等，都仿佛(fu)是冥冥间上帝导演的宏大戏🚁剧中的一幕(mu)，为最后谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿(dun)的怀尔斯出现📦了。他找到谜底，把这出戏(xi)推向高潮并戛然而止，留下一段耐(nai)人回味的👛传奇。 对怀尔斯而言，证明费马大(da)定理不仅是破译一个难解之谜，更是🌘去实现一个儿时的梦想。“我10岁時在图(tu)书馆找到一本数学📤书，告诉我有这么一个问题，300多年前就已经有人解决了(le)它，但却没有人看到过它的证明(ming)，也无人🌭确信是否有这个证明，从那以后，人們就(jiu)不断地求证。这是一个10岁小孩就能明白的问题，然后历🍫史上诸多伟大的数(shu)学家们却不能解答。于是从那时起，我🐕‍🦺就试过解决它，这个问题就是费马大定(ding)理。” 怀尔斯于1970年先后在牛津大学和(he)剑桥🥻大学获得数学学士和数学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把(ba)费马大定👑理搁在一边了。这不是因为我忘了它，而(er)是我认识到我们所掌🌠握的用来攻克它的全部技术已经反(fan)复使用了130年。而这些技🎲术似乎没(mei)有触及問题根本。”因为担心耗费太多时间(jian)而一💦无所获，他“暂時放下了”对费马大定理的思索，开始研究(jiu)椭圆曲線理论——这🚞个看似与证明费马大定理不相关的理论后來却成为他实(shi)现梦想的工具。 时间回溯至20世纪60年代，普🎳林斯顿数学家朗兰兹(zi)提出了一个大胆的猜想：所有主要数学领域之间原本就存在着🦧的统一的(de)链接。如果这个猜想被证实，意味着在某个數(shu)学领域中无法解答的任何问题都有可能通過这种🍏链接(jie)被转换成另一个领域中相应的问题——可以(yi)被一整套新方案解决的问题😚。而如果在另一个领域内仍然难以找到答(da)案，那么可以把问题再转换到下一个数学领域中……直到它(ta)被解🌾决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们將能够解决曾经是最深(shen)奥✏️最难对付的問题——“办法是领着这些问题周游数(shu)学王国的各个风景胜地”。这个纲领为饱🥍受哥德尔不完备定理打(da)擊的费马大定理证明者们指明了救🦼赎之路——根(gen)据不完备定理，费马大定理是不可证明的。 怀尔斯(si)后来正是🕝依赖于这個纲领才得以证明费马大定理的：他的证明——不同于(yu)任何前人的尝试——是现代数学诸多分📫支（椭圆曲线论，模形式理(li)论，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果。20世纪50年代由两位日本数学(xue)家（谷🎧山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与🚋模形式兩个截(jie)然不同的数学岛屿间隐藏着一座沟通的桥梁。随后在1984年，德国数学家格哈(ha)德·费🚌赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大(da)定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特🍡（Ken Ribet）证明。从此，费(fei)马大定理不可摆脫地与谷山—志村猜想链接在一(yi)起：如果有人能證明谷山—志村猜想（即(ji)“每🗯️一个椭圓方程都可以模形式化”），那么就證明了费马大🥳定理。 “人类智力(li)活动的一曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名(ming)数学家同事们困惑。彼得·萨奈克🖌️（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪怀尔斯在做些什(shen)么？……他总是静悄悄的🍁，也许他已经‘黔驴技穷’了(le)。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对于这次惊天(tian)“大预谋”，肯·里比🌿特（Ken Ribet)曾评价說：“这可能是(shi)我平生来见过的唯一例子，在如此长的时🦧间里没有泄露(lu)任何有关工作的信息。这是空前的。 1993年晚春，在经过反复的试错(cuo)和绞尽脑汁🤣的演算，怀尔斯终于完成了谷山—志村猜想的证明。作为一(yi)个结果，他也证明了费馬大定🏙️理。彼得·萨奈克是最早(zao)得知此消息的人之一，“我目瞪口獃、异常激动、情绪失常🥚……我记得(de)当晚我失眠了”。 同年6月，怀尔斯决定在剑(jian)桥大学的大型系列讲座上🗞️宣布这一(yi)证明。 “讲座气氛很热烈，有很多数学界重要人物到场，当大(da)家终于明白已经离证明费⚓马大定理一步之遥时，空气中充满了紧张(zhang)。” 肯·里比特回忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘🖋️不了那一(yi)刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所(suo)未闻的新思🌜想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮。”当怀尔(er)斯在讲座结尾宣布他证明了🌹费马大定理时，他成了全世界(jie)媒体的焦点。《纽约时报》在头版📹以《终于欢呼(hu)“我发现了!”久远的数学之谜获解(jie)》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明的消息✉️。一夜(ye)之间，怀尔斯成为世界上唯一的(de)数学家。《人物》杂志将怀爾斯与戴安娜王妃一起列为“本年(nian)度25位最🚝具魅力者”。 与此同时，认真(zhen)核对这个证明的工作也在进行🌫️。遗憾的是(shi)，如同这之前的“费马大定理终结者”一样，他的證明是有缺陷的。怀尔(er)斯现在不得不在巨大的压力之💨下修正错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美(mei)国公众广播网（PBS）的访谈中说: “当时我们(men)其他人（怀尔斯的🍨同事）的行为有点像‘苏联政体研究者’，都想知道他的想😘法和(he)修正错误的进展，但没有人开口问他。所以，某人会说，‘我今(jin)天早上看到怀尔斯了。’‘他露出⌚笑容了吗？’‘他倒(dao)是有微笑，但看起来并不高兴。’” 撑到(dao)1994年9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请👖的研究搭档泰勒鼓励他再坚(jian)持一个月。就在截止日到来🎇之前(qian)两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他🍭敘述了这一(yi)时刻：“突然间，不可思议地，我发现了它(ta)……它美得难以形容⛱️，简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到(dao)系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在那里——它确实还在🦘那里(li)。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的褒扬，其(qi)中最具代表性的是他在剑桥时的🐡导师、着名(ming)数学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是人类智力(li)活动🥔的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此结束，从此费马大定理与安德(de)鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了(le)一🎸起，提到一個就不得不提到另外一个。这是费马大定理与安德鲁(lu)·怀🍄尔斯的因果律。 历时八年的最终证明 在怀尔斯不多的接受媒(mei)体采访中，美国公众广播🕙网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访相当精彩有趣，本文(wen)節选部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们通过(guo)🎡团队来获得工作上的支持，那么当你碰壁时(shi)是怎么解决问题的呢？ 怀尔斯：當我被(bei)卡住时🥯我会沿着湖边散散步，散步的好处是使你会处于放松状态，同时(shi)🌆你的潜意识却在继续工作。通常遇(yu)到困擾时你并不需要书桌，而且我随时把笔(bi)纸带上，一旦有好主意我会找个🍉长椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一定交織着(zhe)自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证明。 怀📀尔斯：我确实相信自己在正(zheng)确的轨道上，但那并不意味着我一✈️定能达到(dao)目标——也许仅仅因为解决难题的方法超出现有的(de)数学，也许我需要的方法下个世纪也不(bu)会出🎥现。所以即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错误(wu)的💝世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀尔斯：对，那是个5月末的早上(shang)。Nada，我的太太，和孩子们🧁出去了。我坐在书桌(zhuo)前思考最后的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字引起了(le)我的注✏️意。它提到了一个19世纪的数(shu)学结构，我霎时意识到这就是我该🎑用的。我不停地工(gong)作，忘记下楼午饭，到下午三四点时我(wo)确信已经证明了费📻马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我這时才回家，我告诉(su)她，我解决了费🎉马大定理。 最后的修正(zheng) NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远(yuan)的数学之謎获解》，但他们并不知道🌊这个证明中有个错(cuo)误。 怀尔斯：那是个存在于关键推導中🐪的(de)错误，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言描述，就(jiu)算是数学家也需要🐑研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀请剑桥的数学(xue)家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最后的错误🍓。问(wen)题是，你的证明和费马的证明是同一个吗？ 怀尔斯：不可能。这个证(zheng)明有150页长，用的是20世纪的方💫法，在费(fei)馬时代还不存在。 NOVA：那就是说费马的最初证明还在某(mou)个未被发现的角落？ 怀尔斯：我不✨相(xiang)信他有证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄自己。这个难题對业(ye)余爱好者如此特别在于它可能被(bei)17世纪🦋的数学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许还有数学家追寻这最(zui)初的🍚证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说都一样，费马是(shi)我童年的热望。我会再🦥试其他问题……证明了它我有(you)一丝伤感，它已经和我们一起这么久了……人们对我说“你把(ba)我的问题夺🩲走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感觉到有(you)责任。我希望通过解决这个问题带来(lai)的兴奋可以🚌激励青年数学家们解决其他许许多多的(de)难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭🐺圆曲线(代数几何的对象)和模形式(某种數论(lun)中用到的周期性全纯函数)之🎞️间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而(er)来,定理的🐌证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个质数而E是一个Q(有理数域(yu))上的一个椭圆曲线，我🌡️们可以简化定义(yi)E的方程模p;除了有限个p值，我们会得到有np个元素的有限域Fp上的一(yi)个椭圆曲线。然后考虑如下序⚓列 ap = np − p, 这(zhe)是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会(hui)产生一个数列。一个其序💡列和从模形式得到的序列相同的椭(tuo)圆曲线叫做模的。 谷山🖌️-志村定说: "所有Q上的椭圆(yuan)曲线是模的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为🕘止，他和(he)志村五郎一起改进了严格性。谷(gu)山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数学中的猜🌍想Langlands纲领联系了起来，并是关(guan)键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重新🔇提起并得(de)到推广，Weil的名字有一段时间和它联系在一起。尽管有明🌅显的用处(chu)，这个问题的深度在後来的发展之前并未被人们所感觉到。 在1980年(nian)代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是猜📆想)蕴含(han)着费马最後定理的时候，它吸引到了不少注意力。他通🌺过(guo)试图表明费尔马大定理的任何范例会导致一个非模的椭圆(yuan)曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证明🚍了这一(yi)结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定(ding)理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的👒情况)，这个特殊(shu)情况足以证明费尔马大定理。 完整的证明最后于(yu)1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基🦝础上，一块一块的逐(zhu)步证明剩下的情况直到全部完成。 数论中(zhong)🚠类似于费爾马最后定理得几个定理可以从谷山-志村定❄️理得到(dao)。例如:没有立方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为(wei)欧拉所知🎼) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他們(men)都没有完成给予他们这个成就的🍇定理的完整形式，他们还(hai)是被认为对最终完成的证明有着决定性影响。