费马大定理电影免费观看

本片从证明了费玛最后定理的(de)安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了🗂️ Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看，1994年正是我在念大(da)学的时候，当时完全没🍈有一位教授在课堂上提到這件事，也(ye)许他们认为，一位👞真正的研究者(zhe)，自然而然地会被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来(lai)说，他需要的是老师的🏤指引，引导他走向更(geng)高深的專业认知，而指引的道路，就在科普的精神上。 从费玛最🍸后定理的历史(shi)中可以发现，有许多研究成果，都是研(yan)究人员🤗燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后再尝试(shi)用逻辑验证。 费玛最后定理🦜：xn+yn=zn 当 n>2 时(shi)，不存在整数解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦(tan)普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最後问🏯题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 毕达哥拉斯(si) Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的(de)平方=另外两边的平方🐀和 x2+y2=z2 毕达哥拉(la)斯三元组：毕氏定理的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番🕟图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在(zai)页边写下了註记 「不可能将一个立方数写成两个立(li)方数之和；或者将🧄一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的来说(shuo)，不可能将一个高於2次幂，写成两个同(tong)样次幂的和。」 「对🥙这个命题我有一(yi)个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，費玛 Fermat的儿(er)子出版了载有Fermat註记🔉的「丢番图的算数(shu)」 5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解(jie) 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是🍭质数(shu)，现在只要证明费玛最后定理對於所有的质数都成立📮 但 欧(ou)基裡德 证明「存在无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧热(re)尔曼 针对 (2p+1)的质數，证明了 费玛最后定理 "大概" 无解 7. 1825年 古🌌斯塔(ta)夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒(lei)让德 延伸热尔曼的证明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加🖼️布里尔‧拉(la)梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证(zheng)明了🥗 费玛最后定理 最后是刘维尔宣读了(le) 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的(de)证明，都因📟为「虚数没有唯一因子分(fen)解性质」而失败 库默尔证明了 费(fei)玛最后定理的完整证明 是当时数学方法(fa)💚不可能实现的 10.1908年 保羅‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证(zheng)明 这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决 沃🦝尔夫斯凯尔提供了(le) 10万马克 给提供证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月(yue)8日 大🥄卫‧希尔伯特，提出数学上23个未解决(jue)的问题且相信這是迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库特(te)‧哥德尔 不可判定🎄性定理 第一不可判定性定理(li)：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能證明又不(bu)能👝否定的定理。 => 完全性是不可能达到的 第二不可判定性定(ding)理：不存在能证明🍘公理系统是相容的构造性(xing)过程。 => 相容性永远不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展(zhan)了可以检验给🐂定问题是不是不可判定的方法（只适用少数情形） 证(zheng)明希尔伯特23个问题中，其🍚中一个「连续统假设」问题(ti)是不可判定的，这对於费玛最后定理✨来说是一大(da)打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机 开始有人利用暴力(li)解决方法，要对 费玛最后🎿定理 的n值(zhi)一个一个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存(cun)在解这个推🙊想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰(han)‧科次，研究椭圆曲线 研究椭圆曲线的目的(de)是🌁要算出他们的整数解，这跟費玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有(you)一组整数🧧解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一(yi)个平方数与一个立方数中间) 由🥤於要直接找出椭圆曲线是(shi)很困难的，为了简化问题，数学家採用「时鐘运算」方法 在(zai)五格时鐘运❤️‍🔥算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所(suo)有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时🎪鐘运算中，有四个解(jie) 对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同(tong)寻常的🌌对称性的 modular form 模型式 模型式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型(xing)😳式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型(xing)式的 M序列 可以对應到椭圆曲线的 E序列🐈，两个不同领域的理论突然被连接(jie)在一起 安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹🍎提出「朗兰兹(zi)纲领」的计画，一个统一化猜想的理论，并开始寻找统一的环链🌮 19.1984年 格(ge)哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数🍐解，則可将(jiang)方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程(cheng)式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致於🕖无法被模型式化 (3) 谷山-志村(cun)猜想 断言每一个椭圆方程式都可以(yi)被模型式🍄化 (4) 谷山-志村猜想 是错误(wu)的 反过来说 (1) 如果 谷山-志村猜想 是对的，每(mei)🥝一个椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭圆方程式都可🌩️以被模型式(shi)化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗📤赖椭圆(yuan)方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖(lai)椭圆方程式无法被模型式化🍒 如果(guo)有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后定💬理也是正确(que)的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然後🏖️自己(ji)独力尝试证明谷山-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗💎瓦(wa) 的群论，希望能将E序列以「自然次序(xu)」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一🍽️ 发表利(li)用微分几何学证明谷山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经將💶椭圆(yuan)方程式拆解成无限多项，然后也证明了第一项必定是模型式的第(di)一项，也尝試利用🙂 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果(guo)失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所(suo)有分类后的椭圆方🏩程式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的(de)协助，开始对验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯(si)🤣 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德魯(lu)‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始🏙️隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望在这时候公布证明(ming)，让其他人分享完成证明的甜🌰美果(guo)实 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理(li)查德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发现結🔔合(he) 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问💴题 30.「谷山-志村猜想(xiang)」被证明了，故得证「费玛最后定理」 ii 费马大定理 300多年以前，法国(guo)数学家🕠费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整数🏟️，则不(bu)定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣称他发現了这(zhe)个💿定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下(xia)他的证明。300多年🍎過去了，不知有多少专业数学家和(he)业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但🕕不是无功(gong)而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理—费马(ma)🌞大定理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他(ta)最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议會🚖议员，数学只不过是他的业余(yu)爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才認真注意数学🐼，但费马对(dui)数论和微积分做出了第一流的貢献。他与笛卡儿几乎同📦时创立(li)了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率論的探(tan)索者之一。费马特别爱好数论，提(ti)出了许多定理，但费马⏲️只对其中一个定理给(gei)出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一個未被🩴证明外，其余的陆续(xu)被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理(li)就是上面所说的费马🌌大定理，因为是最后一个未被证明对(dui)或错的定理，所以又稱为费马最后定理。 费马💵大定理虽然至今(jin)仍没有完全被证明，但已经有了很大进展，特(te)别是最🌿近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫(fu)证明了对小于105的素🌋数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家(jia)法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的(de)🚍突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹🐝奖(jiang)。1993年英國数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后發现💡了证明中(zhong)的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明(ming)费马大定理还没有得到数学⛑️界的一致公(gong)认，但大多数数学家认为他证明的思路(lu)是正确的。毫无🧃疑问，这使人们看到了希望。 为了寻求费马大定理的解答(da)，三个多世纪以来，一代又一🌖代的数学家们前赴后继，却壮志(zhi)未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤(gu)军奋战，用13 0页🏞️長的篇幅证明了费(fei)马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。 费马大(da)定理提出的问题非常简🍆单，它是(shi)用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来(lai)表🍤达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角(jiao)形中， 斜边的平方等于两直角边的平方之🌺和(he)。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在(zai) 研究毕达哥拉斯方程🛤️时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大(da)于2时📗，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的🐕‍🦺页边处(chu)记下这 個结论的同时又写下一个附加(jia)的评注：“对此，我确信已发现一🧂个美妙的证(zheng)法，这里的空 白太小，写不下。”这就(jiu)是数学史上着名的费马大定理或稱费马最后(hou)的定理。费马制造🌮了 一个数学史上最深奥的谜。 大(da)问题 在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如(ru)此🌃简单和清晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界也(ye)许在费马大定理得以解决之前就已🕯️走到了尽头。证明费马大(da)定理成为数论中最 值得为之奋斗的🧥事。 安德鲁·怀尔斯1953年出生(sheng)在英国剑橋，父亲是一位工程学教📌授。少年时(shi)代的怀尔斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆中(zhong)写到♥️：“在学校里我喜欢做题目，我把它們带回家(jia)， 编写成我自己的新题目。不过我以前找🐻到的最好的題目是在我们(men)社区的图书馆里发现的。 ”一天，小怀尔斯在弥尔(er)🛖顿街上的图书馆看见了一本书，这本書只有(you)一个问题而没💶有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是E·T·貝尔写的《大问题》。它叙(xu)述了费马大定理的历史，这個定理让一🥍个又 一个的数学家望而生畏(wei)，在长达300多年的时间裡没有人能🍱解(jie)决它。怀尔斯30多年后回忆 起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此🎰简(jian)单，但历史上所有的大数学家都未能解 决它。这(zhe)里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解(jie)的问题🏫，从那个时刻起，我知道我永(yong) 远不会放弃它。我必须解决它。” 怀尔斯1974年从牛津大学(xue)的Merton学院获得数学🔍学士学位，之后进入剑桥大学Clare 学院做博士。在研究生阶段(duan)，怀尔斯🐀并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能(neng) 帶来的问题是：你花费了多年的時间而最终一事无成。我的导🧮师约翰·科(ke)茨(John Coate s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨说(shuo)：“我记得一位同事 告诉🌆我，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学(xue)位第三部考试的学生，他催促我收其 为学生。我非常荣幸有安😋德鲁这样的(de)学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的 思(si)🍊想，非常清楚他將是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个(ge)阶段直接开始研 究费马大定理是不💚可能的，即使对资历很深的数学(xue)家来说，它也太困难了。”科茨的责任 是(shi)为怀尔斯找到📤某种至少能使他在今后三年里有興趣(qu)去研究的问题。他说：“我认为研究 生导师能为学生做的一切🍋就是设法把他推(tui)向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定 是(shi)一个富有成果🦋的研究方向，但是也许年长的数学(xue)家在这个过程中能做的一件事是使用他 的常识(shi)、他對好领域的直觉。然🌯后，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己(ji)的事了。 ” 科茨決定怀尔斯应该研究数学中🍆称(cheng)为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业(ye)生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究是(shi)他实现梦🐴想的工具。 孤独的战士 1980年怀爾斯在剑桥大学取得博士学位后(hou)来到了美国⛅普林斯顿大学，并成为这所大学 的教授。在科茨的指(zhi)导下，怀尔斯或许比世界上其他人都🛵更(geng)懂得椭圆方程，他已经成为一 个着名的数论学家，但他清楚地意识(shi)到🎂，即使以他广博的基础知识和数学修養，证明费马(ma) 大定理的任务也是极为艰巨的🥻。 在怀尔斯的费马大定理(li)的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该(gai)猜想在两个非 常不同的数学🍵领域间建立了一座新的(de)桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚🍢，我正在一个朋 友家中啜饮冰茶。谈話间他随(sui)意告诉我，肯·里贝特已经证明了📟谷山－志村猜想与费马大 定理间的联系。我感(gan)到极大的震动。我記💫得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因(yin)为 这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一(yi)切就是🎷证明谷山－志村猜想……我十分清楚 我应该回家去研究(jiu)谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条❤️‍🔥实现他童年梦想的道路(lu)。 20世纪初，有人问伟大的数学家大卫🕒·希尔伯特为什么不去尝试证明费(fei)马大定理，他 回答说：“在🥽开始着手之前，我必须用3年的时间(jian)作深入的研究，而我没有那么🪐多的时间 浪费在一件可能会(hui)失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须(xu)全身心🌥️地投入到 这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿(yuan)意冒这个风险。 怀尔斯作了一个重大的决定：要(yao)完全独🍞立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费 马(ma)大定理有關的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实☃️不(bu)可能很多年都使自己精力集中 ，除非你的专心不被他人(ren)分散，而这一点会因旁观者太多而做不🥰到。”怀尔斯放弃了所(suo)有 与證明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就(jiu)回到家里工作，在☀️家里的顶 楼书房里他开始了通过谷山－志村猜想(xiang)来證明费马大定理的战斗。 这是一場长🍤达7年的持久战，这期间只有他的(de)妻子知道他在证明费馬大定理。 欢(huan)呼与等待 经🌈过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证明。作为一个结(jie)果，他🌚也证明了 费马大定理。现在是向世(shi)界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥😻大 学的牛顿研究(jiu)所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣(xuan)布他的工作。他选择 在牛🍺顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑(jian)桥是他的家乡，他曾经💤是那里的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪(ji)最重要的一👟次數学讲座。两百名数学家聆 听了这一(yi)演讲，但他们之中只有四分之一的人(ren)完全懂得黑板上的希腊字母和(he)♠️代数式所表达 的意思。其余的人來这(zhe)里是为了见证他们所🌫️期待的一个真正具有意义的时(shi)刻。演講者是安 德鲁·怀尔斯。怀💿尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界(jie)已经刮起有关演讲的风 声，很幸运他们没有来听演🥈讲。但是听众中有人拍(pai)摄了演讲结束時的镜头，研究所所长肯 定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣(xuan)读证明时，会🧁场上保持着特别庄重的寂静，当我写完(wan) 费马大定理的证明时，我說：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一💺阵(zhen)持久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我發现了🏫!”，久远的数学(xue)之谜获解》为题报道 费马大定理被证明的(de)消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最着名的数學家，也🍻是唯(wei)一的数 学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位(wei)最具魅力者”。最有🍆创 意的赞美来自一家国(guo)际制衣大公司，他们邀请这位温文尔🐪雅的天才作他们新(xin)系列男装的模 特。 当怀尔斯成为媒体😮报道的(de)中心时，认真核对这个证明的工作也在进行。科🏣学的程序要 求(qiu)任何數学家将完整的手稿送交一个有(you)声望的刊物，然🎬后这个刊物的编辑(ji)将它送交一组审 稿人，审稿人的职责是进📨行逐行的审查证明。怀尔斯将手(shou)稿投到《数学发明》，整整一个 夏天他🎛️焦急地等待审稿人的意见，并祈(qi)求能得到他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被🚈发 现了。 我的心灵歸于(yu)平静 由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑🥑巴里·梅休(xiu)尔决定不像通常那样指定 2－3个审稿人(ren)，而是6个審稿人。200页的证明被分成(cheng)6章，每位审稿人负责其中一🧉章。 怀尔斯在此期间中斷了他的工作，以处理审稿(gao)人在电子郵件中提出的问题，他自信这 些(xie)问題不会给他⛵造成很大的麻烦。尼(ni)克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了 证明中(zhong)的一个小缺陷。数学的绝对主🎼义要(yao)求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都 行(xing)得通。怀尔斯以为這又是一个小问(wen)🐕题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了 ，错误仍未改正，怀尔斯(si)面临绝境，他准备承认失败。他向同事🎙️彼得·萨克说明自(zi)己的情 况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问🕚题(ti)并且可信赖的人。经过 长时间的考虑后，懷尔斯决定邀请剑桥(qiao)大学的讲师理🥘查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰(tai)勒1994年1月份到普林斯顿，可是到🏦了9月(yue)，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒 鼓励他们再坚持一个月📿。怀尔(er)斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个星期一的早 晨，怀尔斯(si)发现🐟了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思(si)议地，我有了一个 难以置信的发现。这是⛪我的事业(ye)中最重要的时刻，我不会再有这样的(de)经历……它的美是如 此地難以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟🚂的时间(jian)我呆望它不敢相信。然后白天我 到系(xi)里转了一圈🎟️，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里(li)。” 这是少年时代的梦想和8年潜心努力(li)🥎的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世 界不再怀疑这一次的证(zheng)明了。这两篇论文总共有130页，是历史上🎰核查得(de)最彻底的数学稿 件，它们发表在1995年5月的《数学年刊(kan)》上。怀尔斯再一次出現✏️在《纽约时报》的头版 上，标题是《数学家(jia)称经典之谜已解🏫决》。约翰·科茨说(shuo)：“用數学的术语来说，这个最 终的证(zheng)明可与分裂原子或发现DNA的结構相比，对费马(ma)大📥定理的证明是人类智力活动的一 曲凯歌，同时，不能忽视的事(shi)实是它一下子就使數学发生了革命性的变化。对🍐我说来，安 德(de)鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步(bu)。” 声望和荣誉💐纷至沓來。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会頒发的Schock数学奖(jiang)，199 6年，他获得沃尔夫奖🕣，并当选为美国科学院外籍院士。 怀爾斯说：“……再没有(you)别的问题能像费马大定理一样对我有同样(yang)的意义🌌。我拥有如 此少有的特权，在我的成年(nian)时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长🏩的探索已经结(jie)束了， 我的心已归于平静。” 费马大定(ding)理隻🧃有在相对数学理论的建立之后，才会得到最满意的答案。相对数(shu)学理论😳没有完成之前，谈这个问题是无力地(di).因為人们对数量和自身的认识，还没有達到一定的高度. iii 费(fei)马大定理与⛰️怀尔斯的因果律-美国公众广播网对怀尔斯的专访 358年的难(nan)解之谜 数学爱好者费马提出🥏的这个问题非常简单，它用一个每个中学生(sheng)都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来表达(da)。2000多年前诞生的毕🦽达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜(xie)边的平方等于两个直角边的🧋平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马(ma)在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书靠近(jin)问题🏅8的页边处写下了这段文字：“设n是大于2的正整数，则(ze)不定🌤️方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已发现一个美妙的證(zheng)法，但这里的空白太小🧁，写不下。”费马习惯在页(ye)边写下猜想，费马大定理是其中困扰数学家们时间最长的(de)👜，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公認为有史以来最着名的数学猜想。 在畅(chang)销🐇书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的长达358年的猎逐充(chong)满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历🗓️史先后涉及到最多产的数学大师欧拉、最(zui)伟大的数学家高斯、由业余转为职业数学家的柯西、英🍬年(nian)早逝的天才伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和被(bei)誉为“法国历史上知💙识最为高深(shen)的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦(wa)的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的🕌神秘自杀、德国数学爱好者保(bao)罗·沃尔夫斯凯尔最后一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间(jian)上帝导🏨演的宏大戏剧中的一幕，为最后谜底的解开埋(mai)下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到(dao)谜底，把这🌍出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的传奇。 对怀(huai)尔斯而言🍚，证明费马大定理不仅是破译一个难解之谜，更是去實现(xian)一个儿时的梦想。“我10岁时在图书馆(guan)找到一本数学🏀书，告诉我有这麼一个问题，300多年前就已经有人解决了它，但却(que)没有人看到过它的证明，也无人确信是否有这个🐘證明，从(cong)那以后，人们就不断地求证。这是一个10岁小孩就(jiu)能明白的🐆问题，然后历史上诸多伟大的数(shu)学家们却不能解答。於是从那时起，我就(jiu)试过解决🗽它，这个问题就是费马大定理。” 怀尔斯于(yu)1970年先后在牛津大学和📂剑桥大学获得数学学士和数学博士学位(wei)。“我进入剑桥时，我🦁真正把费马大定理搁在一边了。這不是因为(wei)我忘了它，而🐅是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技術(shu)已经反复使🧂用了130年。而这些技术似乎没有(you)触及问题根本。”因为擔心耗费太多时间(jian)而一无所获，他“暂时放下了”对费马大🖋️定(ding)理的思索，开始研究椭圆曲线理论——這个看似(shi)与证明费马大定理🐶不相关的理论后(hou)来却成为他实现梦想的工具。 时间回溯至20世纪60年代(dai)，普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个🐗大胆的猜想：所有主要數学领域之间原(yuan)本就存在着的统一的链接。如果这个猜想被证实，意味着🎆在某个数学(xue)领域中无法解答的任何问题都有可能通过这种链接被转换成另一个(ge)领域中相应的🌊问题——可以被一整套新方案解决的(de)问题。而如果在另一个领域内仍然难(nan)以🍍找到答案，那么可以把问题再轉换到下一个数学领域中……直到它被解(jie)决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学😉家们将能够解决曾经是最深奥最难对(dui)付的问题——“办法是领着这些问题周游数学✏️王国的各个风景(jing)胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定(ding)理打击的費马大定理证明者们指明📜了救赎之路——根据不完备定(ding)理，费马大定理是不可证明的。 怀尔斯后来正是(shi)依赖于這个纲领才得以🏩证明费马大定理的：他的证明——不(bu)同于任何前人的尝试——是现代数🌥️学諸多分支（椭圆(yuan)曲线论，模形式理论，伽罗華表示理论等等)综合发挥作用的结(jie)果。20世纪50年代由两位日本数📆學家（谷山丰和志村五郎）提出的(de)谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个截然不(bu)同的数学岛屿間隐藏📈着一座沟通的桥梁。随后在1984年，德国数学家(jia)格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜🎓想成立，则费(fei)马大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不(bu)可摆脫地与谷山—志🕓村猜想链接在(zai)一起：如果有人能证明谷山—志村猜想（即🎶“每一个椭圆方程都(dou)可以模形式化”），那么就证明了费马大定理。 “人类智力(li)活动的一曲📀凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数学(xue)家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常🏪奇怪怀尔(er)斯在做些什么？……他总是静悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹(zi)则感叹到：“一点暗示都没有！”对于这🦔次惊天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说(shuo)：“这可能是我平生來见过的唯一例子，在如此长🏩的时间里没有泄露任何(he)有关工作的信息。这是空前的。 1993年(nian)晚春，在🖋️经过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔(er)斯终于完成了谷山—志村猜想的证(zheng)明。作为一个结果，他也证💨明了费马大定理(li)。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我目瞪🦙口呆、异常激(ji)动、情绪失常……我记得当晚我失眠了(le)”。 同年6月，怀尔斯决定在剑桥大學(xue)的大型系列讲座上宣布🦋这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多(duo)数学界重要人物到场，当大家终于明🍖白已经离证明(ming)费马大定理一步之遥时，空气中充(chong)满了紧张。” 肯·里比特回憶说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘💬不了那一(yi)刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所未闻的新💙思(si)想，还有戏劇性的铺垫，充满悬念，直到最后到(dao)达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾❄️宣布他证明了费马大(da)定理时，他成了全世界媒体的焦点。《纽约时报🐃》在(zai)头版以《终于欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报(bao)道费马大🚲定理被證明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上唯一的数学(xue)家。《人物》杂志将🀄怀尔斯与戴安娜王妃一起列(lie)为“本年度25位最具魅力者”。 与此同时，认真(zhen)核对这☘️个证明的工作也在进行。遗憾的是，如同这之前的(de)“费马🕥大定理终结者”一样，他的证明是有缺陷的。怀尔(er)斯现在不🎗️得不在巨大的压力之下修正错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美国(guo)🥔公众广播网（PBS）的访谈中说: “当时我们其他人（怀尔斯的同事）的(de)行为有点像‘苏联政体研究者’，都想知道(dao)他的想🛼法和修正错误的进展，但没有人开口问他。所以，某人會说，‘我今(jin)天早🕣上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但看起来并不🍮高兴(xing)。’” 撑到1994年9月時，怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请的研👒究(jiu)搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期(qi)一的早晨，怀尔斯发现了问🌘题的答案，他叙述了這一时刻：“突然(ran)间，不可思议地，我發现了它……它美得难以形容，简单(dan)而优雅。我对着它发🚘了20多分钟呆。然后我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看(kan)它是否还在那里——它确实还在那🌓里。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨(kai)的褒扬，其中最具代表性的是他在剑桥时的导师、着名数学家约翰(han)·科茨♨️的评价：“它（证明）是人类智力(li)活动的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此结束，从此费马大(da)定理与👁️‍🗨️安德鲁·怀爾斯的名字紧紧地被(bei)绑在了一起，提到一个就不得不提到另外一🏫个。这是费(fei)马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果(guo)律。 历时八年的最终证明 在怀尔斯不(bu)多的接受媒体采🥹访中，美国公眾(zhong)广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访相当(dang)精彩有趣，本文节选部分以飨读者。 七(qi)年孤独 NOVA：通常人们通过🚖团队来获得工(gong)作上的支持，那么当你碰壁时是怎么解决问题的呢🖍️？ 怀尔斯(si)：当我被卡住时我会沿着湖边散(san)散步，散步的好处是使你🍤会处于放松状(zhuang)态，同時你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并(bing)不需📲要书桌，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主意(yi)我会找个長椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年(nian)一定交织着自我😍懷疑与成功……你不可能绝(jue)对有把握证明。 怀尔斯：我確实相信自🎥己在正确的轨道(dao)上，但那并不意味著我一定能达到目标——也许仅🐨仅因为解决难(nan)题的方法超出现有的数学，也许我需要的方法下个世纪😜也(ye)不会出现。所以即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错误的世纪。 NOVA：最终在(zai)1993年，你取得了🍫突破。 怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和(he)孩子们出🐯去了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看到了一篇論文，上(shang)面的一行字引起了我🐀的注意。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎时意识到(dao)这就是我该用的。我不停地工作，忘记(ji)下楼午饭，到下午三🥝四点时我确信已经证明了费马(ma)大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以為我这😮时才回家，我告诉她，我解决了(le)費马大定理。 最后的修正 NOVA：《纽约时报》在头版以(yi)《终于欢呼🥓“我发现了!”，久远的数学之谜获解》，但他们并不知道这个证明中有个(ge)錯误。 怀尔斯：那是个存在于关键推导🚙中的错误(wu)，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语(yu)言描述，就算是🪀数学家也需要研習两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀请剑桥的(de)数学家🍽️理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正(zheng)了这个最后的错误。问题是，你的证明和费🕢马的证明是同一个吗？ 怀(huai)尔斯：不可能。这个证明有150页长，用的是20世纪的🎰方法(fa)，在费马时代还不存在。 NOVA：那就是说费马的最初证明还在某个未被发现的角落(luo)？ 怀尔斯：我🐥不相信他有证明。我觉得他说已经找到解答了是在(zai)哄自己。这个难💖题对业余爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数学证明(ming)，尽管可能性极其微小。 NOVA：所🏙️以也许还有数學家追寻这最初的(de)证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说(shuo)🐤都一样，费马是我童年的热望。我会再试其他问题……证明了(le)它我有一丝伤感，它已经和我们一起这么久🛩️了……人們对我说“你把我(wo)的问题夺走了”，我能带给他们其他(ta)的东西吗？我感觉到有责任。我希(xi)望通过解决这个问☃️题带来的兴奋可以激励青年數学家们解决其他(ta)许许多多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建(jian)立了椭圆🏭曲線(代数几何的对象)和模形(xing)式(某种数论中用到的周期性😽全纯函数)之间的重要联系。虽(sui)然名字是从谷山-志村猜想🌾而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是(shi)一个质数而E是一个Q(有理🌛数域)上的一个椭圆曲线，我们可以简化定(ding)义E的方程模p;除🐷了有限个p值，我们会得到有np个(ge)元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下💎序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的(de)重要的不变量。從傅里叶变换，每(mei)个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形🦽式(shi)得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说: "所有Q上的椭圆(yuan)曲线是模的"。 该定理在1955年9月🍵由谷山丰提出猜想。到1957年(nian)為止，他和志村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在(zai)1960年代，它🍂和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是关键的(de)组成部分。猜想由André Weil于1970年🎯代重新提起并得(de)到推广，Weil的名字有一段时间和它联(lian)系在🍅一起。尽管有明显的用处，这个问题的深度在后来的发展之前(qian)并未被人們所🚉感觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还(hai)是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它吸(xi)引到了🍙不少注意力。他通过试图表(biao)明费尔马大定理的任何范例会(hui)導致一个非模的椭圆曲线来🍧做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一结果(guo)。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲(qu)线的情况)，这个🐟特殊情况足以证明费尔马大定理。 完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和(he)Taylor作出，他们在Wiles的💒基础上，一块一块的逐步证明剩下的情况直(zhi)到全部完成。 数论中类似于费尔马最後🍑定理得几个定理可以从(cong)谷山-志村定理得到。例如:没有立方可以🩳写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情(qing)况已为欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分🚢享了沃尔(er)夫奖。虽然他们都没有完成给予他们这个成(cheng)就的🍇定理的完整形式，他们还是被认为对最终完成(cheng)的证明有着决定性影响。