费马大定理讲解

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧懷尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的(de)历史始末，往前回溯🐑来看，1994年正是我在念大学的时候，当时(shi)完全没有一位教授在课堂上提到这件事，也许🐻‍❄️他們认为(wei)，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然(ran)而对一位不是天才的学生来说，他需要🌃的是(shi)老师的指引，引导他走向更高深的专业認知，而指引的(de)道路，就在科普的精神上。 从费玛最后定理的历史中🕗可以發(fa)现，有许多研究成果，都是研究人员燃(ran)烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后再尝试🎍用逻(luo)辑验证。 费瑪最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数(shu)解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃裡克‧坦普尔🐈‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸(xi)引，「最后问题 The Last Problem」，故事从這里开始。 2. 毕达哥拉💧斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形(xing)，斜边的平方=另外两边的平方和(he) x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元組🔔：毕氏定理的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢(diu)番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边寫下了註记 「不(bu)可能将一个立方数写成🛰️两个立方数之和；或者将一个四次(ci)幂写成两个四次幂之和；或者，总的来说，不可能将(jiang)一个高於2次幂，写🌙成两个同样次幂的和。」 「对这个命题我有一个(ge)十分美妙的😝证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出(chu)版了载有Fermat註记的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记(ji)中，隐含🐂了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 時无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数(shu)，现在只要证明费玛最后定理对於所有🚲的質数都成立 但 欧基里德 证明「存(cun)在无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧熱尔曼 针对 (2p+1)的(de)质🥪数，证明了 费玛最后定理 "大概" 无解(jie) 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃📔‧勒让德 延伸热(re)尔曼的证明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布裡尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路(lu)易💶斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理 最后是刘维尔宣读了 恩斯(si)特‧库默😯尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都(dou)因为「虚数没有唯一因子分解性(xing)质」而失败 库默尔证明了 费🧄玛最后定理的完整证(zheng)明 是当时数学方法不可能实现的 10.1908年 保🥯罗‧沃尔夫斯(si)凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明 这表示 费玛最🏉后定理的完整证明 尚未被解决 沃(wo)尔夫斯凯尔提供了 10万马克🗞️ 给提供证明的人，期限(xian)是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯(bo)特，提出数学上23个未解📥决的问题且相信这是迫切需要解决的重(zhong)要问题 12.1931年 庫特‧哥德尔 不可判定性定理 第(di)一不可判定性🍹定理：如果公理集合论(lun)是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。 => 完全性(xing)是不可能达到的🗞️ 第二不可判定性定理：不存在能证明公理系统是相容的构(gou)造性过程。 => 相容性永🐗远不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检(jian)验給定问题是不是不可判定💧的方法（只适用少数情形） 证明希尔伯特23个问(wen)题中，其中🏜️一个「连续统假设」问题是不(bu)可判定的，这对於费玛最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿伦(lun)‧图灵 Alan Turing 发明破📮译 Enigma编码 的反转机 开始有人利用暴力解(jie)决方法，要对 费玛最后定理 的n值一個🐏一个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基(ji)斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解這个推想，找到了一个反(fan)例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约🦫翰‧科次，研究椭圆曲(qu)線 研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整(zheng)数解，这跟💽费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组(zu)整数解 52=33-2 (费玛證明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方🧈数与一个立(li)方数中间) 由於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为了简化问题，数学💬家(jia)採用「时鐘运算」方法 在五格时鐘运算中(zhong)， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时🧂鐘运(yun)算中，有四个解 对於椭圆曲线，可写出一個 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年(nian) 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对🌱称性的 modular form 模型式 模型式(shi)的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的🚎 M序列 要素(su)个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模(mo)型式的 M序列 可以对应到椭圆曲线(xian)的 E序列，两个不同领域的🩳理论突然被连接在一起 安德列‧韦依 採(cai)纳这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出(chu)「朗兰兹🌥️纲领」的計画，一个统一化猜想的理论，并开始(shi)寻找统一的🦡环链 19.1984年 格哈德‧弗赖(lai) Gerhard Frey 提出 (1) 假设费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解📋，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的(de)椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以(yi)致於无法被模型式化 (3) 谷山🧣-志村猜想 断言每一个椭圆方(fang)程式都可以被模型式化 (4) 穀山-志村猜想 是错误的 反过(guo)来说 (1) 如果 谷山-志村👝猜想 是对的，每一个椭圆方程式都可(ke)以被模型式化 (2) 每一个椭圆方程式都🕊️可以(yi)被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没(mei)有整📮数解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模(mo)型式化 如🕓果有人能够证明谷山-志村猜想(xiang)，就表示费玛最后定理也是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始(shi)🫘一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然后自己(ji)独力尝试证明谷山-志村猜想，策略是利(li)用归纳🏙️法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序(xu)列以「自然次序」一🏅一对應到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学证明谷(gu)山-志村猜💝想，但结果失败 23.1989年 安德鲁(lu)‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无限多项，然后也证明了(le)第一项必定是模型式的🕍第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败 24.1992年 修(xiu)改 科利瓦金-弗莱契 方法，对🕌所有分类后的椭圆方程式都(dou)奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验证🌍证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安(an)德魯‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证(zheng)明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁🐝‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居(ju)，尝试獨力解决缺陷，他不希望在这(zhe)时候公布证明，让⛲其他人分享完成证明的甜(tian)美果实 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接👡近放弃的边缘，在彼得‧萨(sa)纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协🌚助 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论與(yu) 科利瓦金-弗莱契 方🚎法就能够完全解决问题 30.「谷山-志村(cun)猜想」被证明了，故得证「费玛最后定理」 ii 费(fei)马大🍲定理 300多年以前，法国数学家费马在一(yi)本书的空白处写下了一🏫個定理(li)：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣称他发(fa)现了这个定理的一个真正🚤奇妙的证明，但因书上空(kong)白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知🧄有多少专业数学家(jia)和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微(wei)。这就是✨纯数学中最着名的定理—费马大定理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色(se)彩的🎛️数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议🧅员(yuan)，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽🥄然年近30才认真注意(yi)数学，但费马对数论和微积分做(zuo)出了第一流的贡献。他💋与笛卡儿几乎同时创(chuang)立了解析几何，同时又是17世纪兴起的(de)概率论的探索者之一。费马特别爱好数🛹论，提出了许多定理(li)，但费马只对其中一个定理给出了證明要点，其他定理(li)除一个被证明是👗错的，一个未被证明外，其余的陆(lu)续被後来的数学家所证实。这唯(wei)一未被证明的定理就是上面所說的费马(ma)大定🧿理，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费(fei)马最后定理。 费马大定理虽然至今仍没有完全被证🎾明(ming)，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更(geng)快。1976年瓦格斯塔夫证明🍊了对小于105的素数费马大定理都成立(li)。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明(ming)了不定方🎧程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献(xian)使他在1986年获得了数学界的最高🤩奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威爾(er)斯宣布证明了费马大定理，但🕖随后发现了证明(ming)中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没🐁有得到数(shu)学界的一致公认，但大多数数学家认为(wei)他证明的思路是正确的。毫无疑🌅問(wen)，这使人们看到了希望。 为了寻求费马大定理的解答，三個(ge)多世纪以来，一代又一♣️代的数学家们前赴后继(ji)，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安(an)德鲁·怀尔斯教授经过🥣8年的孤军奋战，用13 0页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔(er)斯成为整个数学界的英雄。 费马大定理提出的问🥗题非(fei)常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达 哥(ge)👁️‍🗨️拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直(zhi)角三角形中， 斜边的平方等于🎢两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约(yue)在公元1637年前后 ，当费马在 研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程🚙，非常类(lei)似于畢达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方程没有任何整数解🍞。费马在《算(suan)术》这本书的靠近问题8的页边处记下這 个结论的(de)同时😋又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发現(xian)一个美妙的证法，这里的📦空 白太小，写不下。”这(zhe)就是数学史上着名的费马大定理或称费马最后的🕹️定理(li)。费马制造了 一个数学史上最深奥的谜。 大问题(ti) 在物理学、化⛑️學或生物学中，还没有任何问题可以叙述(shu)得如此簡单和清晰，却长久不 解😮。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写(xie)到， 文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到😽了(le)尽头。证明费马大定理成为数论中最 值得為之奋斗的事。 安德鲁·怀尔斯1953年(nian)出生在💧英国剑桥，父亲是一位工程学(xue)教授。少年时代的怀尔斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆中(zhong)🛎️写到：“在學校里我喜欢做题目，我把它们带回家， 编写成我(wo)自己的新题目。不过我以前找到的最🥣好的题目是在我们社区的图(tu)书馆里发现的。 ”一天，小怀尔斯在彌☎️尔顿(dun)街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答 ,怀尔斯(si)被吸😯引住了。 这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费馬大定理的历史，这个🎴定(ding)理让一个又 一个的数学家望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决它(ta)。怀尔斯30多年后回忆 起被引向费🌗马大定理时的感觉：“它看上去如此简(jian)单，但历史上所有的大数学家都未能解 决它。这里正摆着(zhe)我⏰——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我(wo)永 远不会放弃它。我必须解决它🍘。” 怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学(xue)學士学位，之后进入剑桥大学Clare 学院做博士。在研究生阶段，怀(huai)尔斯并没📫有從事费马大定理研究。他说：“研(yan)究费马可能 带来的问题是🖲️：你花费了多年的時间而最终一事无(wu)成。我的导师约翰·科🛬茨(John Coate s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理(li)论，我開始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事 告(gao)訴我，他有一个非常好的、刚完成数🌰学学(xue)士荣誉学位第三部考试的学生(sheng)，他催促我收其 为学🍀生。我非常荣幸有安德鲁這(zhe)样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻(ke)的 思🎴想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在(zai)那个階📙段直接开始研 究费马大定理是不可能的，即使对资历🔈很深的数(shu)学家来說，它也太困难了。”科茨的责任 是为怀爾斯找到📍某种至少能使他在今(jin)后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究 生导(dao)师💋能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方嚮(xiang)。当然🎵，不能保证它一定 是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学(xue)家在这个过程中能做的一件事是使🏍️用他 的常识、他对好领域的直觉。然(ran)后，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己🥿的事了。 ” 科(ke)茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线(xian)的領域。这个👻决定成为怀尔斯职业(ye)生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。 孤⏱️独的战士(shi) 1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国(guo)⛪普林斯顿大学，并成为这所大学 的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世(shi)界上其他🍇人都更懂得椭圆方程(cheng)，他已经成为一 个著名的数论学家，但他清楚地(di)意识到，即使以他广博🔖的基础知识和数学修养，证明(ming)费马 大定理的任务也是极為艰巨的。 在怀(huai)尔斯的费马大定理的证明中，核心是证🌎明“谷山－志村猜想”，该猜(cai)想在两个非 常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末(mo)的一个傍🎄晚，我正在一个朋 友家中啜饮冰(bing)茶。谈话間他随意告诉我，肯·里贝特(te)已经证明了谷山－志村猜想与费马大 定理🌨️间的联系。我感到极大的(de)震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为(wei) 这意味着为🛹了证明费马大定理，我必须(xu)做的一切就是证明谷山－志村猜想……我十分清楚 我(wo)应该回家去♠️研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了(le)一条实现他童年梦想的道路。 20世纪初，有人问伟大的💨数学家大卫·希(xi)尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他 回(hui)答说：“在开始🌘着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究(jiu)，而我没有那么多的时间 浪费在一件可🎠能会(hui)失败的事情上。”怀尔斯知道，為了找到证明，他必须全📱身心地投入到 这(zhe)个問题中，但是与希尔伯特不一样，他愿(yuan)意冒这🌱个风险。 怀尔斯作了一个重大的(de)决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到🧭与费 马大定理有(you)关的任何事情都会引起太多人的興趣。你确实不可能很多年都使自己精力(li)集中 ，除非你🐰的专心不被他人分散，而这一点会因旁觀者太多而做不(bu)到。”怀尔斯放弃了所有 与证明费马大🕤定理无直接关系的工作，任何时(shi)候只要可能他就回到家里工作，在家里的(de)顶🦗 楼书房里他開始了通过谷山－志村猜想来证明费马大定理的(de)战斗。 這是一场长达7年的持久战，这期间只🎞️有他的妻(qi)子知道他在证明费马大定理。 欢呼与等待 经过7年的努力，怀尔(er)斯👘完成了谷山－志村猜想的证明。作为一个结果，他(ta)也证明了 费马大定理。现在是向⛺世界公布的时候了。1993年(nian)6月底，有一個重要的会议要在剑(jian)桥大 学的牛顿研究所举行🐳。怀尔斯决定利用(yong)这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作📘。他选择 在牛顿研(yan)究所宣布的另外一个主要原因是(shi)剑橋是他的家乡，他曾经是那里的一名研究🌿生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了(le)20世纪最重要的一次数学讲座。两百名數(shu)学🌠家聆 听了这一演讲，但他们之中只有四分之一(yi)的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达 的🍮意思。其余的人来这(zhe)里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是📩安 德鲁·怀(huai)尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻(ke)的情景：“虽然新闻界☕已经颳起有关演讲的风 声，很幸(xing)运他们没有来听演讲。但是听眾中有人拍摄了演讲结束时的镜⏱️头，研究所所(suo)长肯 定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会(hui)场上保持着🍒特别庄重的寂靜，当我写完 费马大(da)定理的证明時，我说：‘我想我就在这里结束’，会场(chang)上爆发出🚅一阵持久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头版以《终于(yu)欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道 费马大定理被🥅证明的消(xiao)息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最着名的数学(xue)家，也是唯一的数 学🌜家。《人物》杂志将懷尔斯与戴安娜王(wang)妃一起列为“本年度25位最具魅力者🖥️”。最有创 意的赞美来自一家国际制衣(yi)大公司，他们邀请这位温文尔雅的天👁️‍🗨️才作他们新系列男装的(de)模 特。 当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这(zhe)个证明的工作也在📗进行。科學的程序要 求任何数学家将完整的手稿送(song)交一个有声🕢望的刊物，然后这個刊物的编辑将它送交一组审 稿人，审稿人的(de)职✏️责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整(zheng)一个 夏天他焦急地等待审稿人的意见，并🍾祈求能得到他们的祝福。可是，证(zheng)明的一个缺陷被发 现了。 我的心(xin)灵归于平静 由于怀尔斯的论文涉🚄及到大量的数学方法，編辑巴里·梅(mei)休尔决定不像通常那样指定 2－3个审稿人，而是6个审🍩稿人。200页的证明被分(fen)成6章，每位审稿人负责其中一章。 懷尔斯在此期间中断了他的工作，以处🎖️理审(shen)稿人在电子邮件中提出的问题，他自(zi)信这 些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯💦兹负(fu)责审查第3章，1993年8月23日，他发现了 证明中的一个小缺陷。数学的绝(jue)对🎤主义要求怀爾斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都 行得通(tong)。怀尔斯以为这又是一😌个小問题，补救的办法可能就在近旁，可是6个(ge)多月過去了 ，错误仍未改正，怀尔🦩斯面临绝境，他(ta)准备承认失败。他向同事彼得·萨克說明自己(ji)的情 况，萨克向他📕暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并(bing)且可信赖的人。经过 长时间的考虑(lü)🎉后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯(si)顿和他一🔮起工作 。 泰勒1994年1月份到普林(lin)斯頓，可是到了9月，依然没有结果，他们(men)准备放弃了。泰勒 鼓励他们再坚持一个(ge)📑月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个星期一的早 晨，怀尔斯发(fa)现🎫了问题的答案，他叙述了这一時刻：“突然间，不可(ke)思议地📹，我有了一个 难以置信的发现。这是我的事业中(zhong)最重要的时刻，我不会再有这样的经历……它的美是如 此☂️地难以形容；它又是如(ru)此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢🌜相信。然(ran)后白天我 到系里轉了一圈，又回到桌子(zi)旁看看它是否还在——它🛬还在那里。” 这是少年时代的梦想和8年潜(qian)心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世 界不再怀疑这一📧次(ci)的证明了。这两篇论文總共有130页，是历史上核查得最彻底的数学稿(gao) 件😝，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在(zai)《纽约時报》的头版 上🤍，标题是《数学家称经典之谜已解(jie)决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说(shuo)，這个最 终的证明可与分裂📸原子或发现DNA的结(jie)构相比，对费马大定理的证明是人类智力🐕‍🦺活动的一 曲凯歌，同(tong)时，不能忽视的事实是它一下子就使(shi)数学发生了革命性🚖的变化。对我说来，安(an) 德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。” 声望和(he)荣誉纷至💾沓来。1995年，怀尔斯獲得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，199 6年(nian)，他获得沃尔夫奖，并当选為美国(guo)科学院外籍院士。 怀🐯尔斯说：“……再没有别的问题能像费马大定理一样(yang)对我有同样的意义。我拥有如 此少有的特权(quan)，在我的成年时期🐘实现我童年的梦想……那段特殊漫長的探索已经结束了🌑， 我(wo)的心已归于平静。” 费马大定理只有在相对数学理论的建立之后，才会⭐得到(dao)最满意的答案。相对数学理论没有完成之前，谈(tan)这个问题是无力地.因为人们对🏪数量和自身(shen)的认识，还没有达到一定的高度(du). iii 费马大定理与怀尔斯的因果律-美国公众广🧳播网对怀尔斯的专访 358年的(de)难解之谜 数学爱好者费马提🌳出的这个问题非常简单，它用一个每个中学生(sheng)都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来(lai)表达。2000多☘️年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个(ge)直角三角形中😲，斜边的平方等于两个直角边的(de)平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，當费马在(zai)研究⛄毕达哥拉斯方程时，他在《算術》这本书靠(kao)近问题8的页边处写下了这段文字：“设n是大于2的(de)正整数，则不定方🏯程xn+yn=zn没有非整数解，对(dui)此，我确信已发现一个美妙的证法，但这里的空白太小，写不下。”费马习惯(guan)在页边寫下📧猜想，费马大定理是其中困擾数学家们时(shi)间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后(hou)的定理）——公🛳️认为有史以来最着名的数学猜想。 在(zai)畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘📰留言引发的长(zhang)达358年的獵逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂(kuang)喜。这段歷史先后涉及到最多产的数学大师欧☎️拉(la)、最伟大的数学家高斯、由业余转(zhuan)为职业数学家的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理(li)论兼试验大师库默尔和🥙被誉为“法国历史上知(zhi)识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦的遗(yi)言、日本数学界的明日🌂之星谷山丰的神秘自杀、德国数学爱(ai)好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后一刻的舍死求生(sheng)等等，都仿佛是冥冥間上帝⛅导演的宏大戏剧中的一幕，为最(zui)后谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找(zhao)到谜🦼底，把这出戏推向高潮并戛然而止(zhi)，留下一段耐人回味的传奇。 对怀尔斯而(er)🦭言，证明費马大定理不仅是破译一个难解之谜，更是去实现一个儿时的梦想(xiang)。“我10岁时在圖书馆找到一👝本数学书，告(gao)诉我有这么一个问题，300多年前就已(yi)经有人解决了它，但💒卻没有人看到过它的证明，也无人(ren)確信是否有这个证明，从那以后，人们就不(bu)断🌮地求证。這是一个10岁小孩就能明白的问题，然后历史上诸(zhu)多📷伟大的数學家们却不能解答。于是从(cong)那时起，我就试過解决它🚊，这个问题就是费马大定理。” 怀尔(er)斯于1970年先後在牛津大学和剑桥大学获得数学学🏕️士和(he)数学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是(shi)因为我忘了它，而是我🍼认识到我们所掌握的用来(lai)攻克它的全部技术已经反复使🛫用了130年。而这些技术似(shi)乎没有触及问题根本。”因为担心耗费太多时(shi)间而一无所获🥩，他“暂时放下了”对费马大(da)定理的思索，开始研究椭圆曲线理论❤️‍🔥——这个看似与(yu)证明费马大定理不相关的理论后来(lai)却成为他💋实现梦想的工具。 時间回溯至20世纪60年代，普林(lin)斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所(suo)有主要数学🍂领域之间原本就存在着的統一的链接。如果这个(ge)猜想被证实，意味著在某个🐻‍❄️数学领域中无法解答的任何問题(ti)都有可能通过这种链接被转换成另一个领域中相应的(de)问题——可以被一👛整套新方案解决的问题。而如果在另一(yi)个领域内仍然🍛难以找到答案，那么可以把问题再(zai)轉换到下一个数学领域中……直到它被解决为止(zhi)。根📤据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能夠解决曾(ceng)经是最深奥最难对付的问题——“办法是领着这🥖些問题周游数学(xue)王国的各个风景胜地”。这个纲领為饱受哥德尔不完备定(ding)理打击的费马大定理证明者们指明🐤了救赎之路——根据不(bu)完备定理，费马大定理是不可证明的。 怀尔🐬斯后来正是依赖于(yu)这个纲领才得以证明费马大定理的：他的证🎫明——不同于任何前人的(de)尝试——是现代数学诸多分支（椭圆曲线论，模形式理论，伽羅华表示理论等等)综(zong)合发挥🎃作用的结果。20世纪50年代由(you)两位日本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山(shan)—志村猜🥰想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个截然不同的数学岛屿間隐藏(cang)着一座沟通的桥梁。随后在1984年，德国数学家🌰格哈德·费赖（Gerhard Frey）給出了如下猜想(xiang)：假如谷山—志村猜想成立，则费马大定理为真(zhen)。这个🥨猜想紧接着在1986年被肯·裡贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马大(da)定理不可擺脱地与谷山—志村猜想(xiang)链接在一起：如果有人🚇能证明谷山—志村猜想（即“每一个椭圆方程都(dou)可以模形式化”），那么就证明了费🏤马大定理(li)。 “人类智力活动的一曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数学家🥼同(tong)事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪怀(huai)尔斯在做些什么？……他总是靜悄悄的，也许他已(yi)经⏰‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗(an)示都没有！”对于这次惊天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾(ceng)评价说：“这可能是我🌆平生来见过的唯一例子，在如此长的时间里没有泄(xie)露任何有关工作的信息。这是空前的。 1993年晚春🐶，在经过反复的試(shi)错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷山—志村猜(cai)🕛想的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定(ding)理。彼得·萨奈克是最早得知此👓消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情(qing)绪失常……我记得当晚我失眠了”。 同年6月，怀尔斯决(jue)定在剑💸桥大学的大型系列讲座上宣布这一(yi)证明。 “讲座气氛很热烈，有很多数🕝学界重要人(ren)物到場，当大家终于明白已经离证(zheng)明费马大定理一步之遥时，空气中充满了緊张。” 肯·里比特(te)回忆说🪐。巴里·马佐爾（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到(dao)过如此精彩的講座，充满了美妙的、闻🐢所未闻的新(xin)思想，还有戏剧性的鋪垫，充满悬念，直到最后到达高潮。”当怀爾斯🚂在讲座结(jie)尾宣布他证明了费马大定理时，他成了全世界媒(mei)体的焦点。《纽约时报》在头版以《终🦆于欢呼“我发现了!”久远的數学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题(ti)报道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯🧢成(cheng)為世界上唯一的数学家。《人物》杂志將怀尔斯与戴安娜王(wang)妃一起列为“本年度25位最具魅力者🌟”。 与此同时，认真核对这个证明(ming)的工作也在进行。遗憾的是，如同这之前的“费马大定理终🦪結者”一样，他(ta)的证明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之下修正⚽错误，其间数(shu)度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中說: “当时我们(men)其他人（怀尔斯的同🎛️事）的行为有点像‘苏联政体研究者’，都想知道他(ta)的想法和修正错误的进展，但💚沒有人开口问他。所以，某人(ren)会说，‘我今天早上看到怀尔斯了(le)。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但🕓看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯准(zhun)备放弃了。但他临時邀请的研究搭档泰勒鼓励他💜再坚持一个月(yue)。就在截止日到来之前兩周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯发(fa)现了问题的答🌰案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地(di)，我发现了它……它美得🍨难以形容，简单而优雅。我对著它(ta)发了20多分钟呆。然后我到系里转💧了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在那里(li)——它确实还在那里。” 怀尔斯的🦄证明(ming)为他赢得了最慷慨的褒扬，其中最具代表性的是他(ta)在剑桥时的导师、着名数🏑学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是(shi)人类智力活动的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此🚅结束，从此费马大(da)定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到一个就不📀得不(bu)提到另外一个。这是費马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。 历时八(ba)年的最终证明 在怀尔斯🦼不多的接受媒体采访(fang)中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯(si)的专访相当精彩有趣，本文节选部分以飨读者。 七🍉年孤独 NOVA：通常人们通(tong)过团队来获得工作上的支持，那么當你碰(peng)壁时是怎么解决问题的呢？ 怀尔斯🥻：当我被卡住时我会沿着湖边散散(san)步，散步的好处是使你会🚏处於放松状态，同时你的潜意识却(que)在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌，而(er)且我🕝随时把笔纸带上，一旦有好主意我会找个(ge)长椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一定交织着🏞️自我怀疑与成功……你不可能绝对有(you)把握证明。 怀尔斯：我确🐦實相信自己在正确的轨道上，但那并不意味着我(wo)一定🌸能达到目标——也许仅仅因为解決难题的方法超出现有的数学，也许我(wo)需要的方法下个世纪也不会出现。所😋以(yi)即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错误(wu)的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀尔斯：对，那是🐺个5月末的早上。Nada，我的太太，和(he)孩子们出去了。我坐在书桌前思考(kao)最后的步骤，不经意间🥖看到了一篇论文，上面的一行字引起了我的注意(yi)。它提到了一个19世纪的数学结構，我霎(sha)时意识到🧅这就是我该用的。我不停地工(gong)作，忘记下楼午饭，到下午三四点时我确信已经🛩️证明了费马大定理，然(ran)后下楼。Nada很吃惊，以为我这时才回家，我告诉她，我解决了费🍆马大定(ding)理。 最后的修正 NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获(huo)解》，但他们并不知道这💯个证明中有个錯误。 怀尔(er)斯：那是个存在于关键推导中的(de)错误，但它如此微妙😜以至于我忽略了。它很(hen)抽象，我无法用简单的语言描述，就算是数学家(jia)也需要研习两三個月才能弄懂🕡。 NOVA：后来你邀请剑(jian)桥的数学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个(ge)最后的错误。问题是🥨，你的证明和费马的证明是同一个吗？ 怀尔斯：不可能。这個(ge)证明有150页长，用的🌋是20世纪的方法，在费马时代还不存在。 NOVA：那就是说费马的最(zui)初证明还在某个🕥未被发现的角落？ 懷尔斯：我(wo)不相信他有证明。我觉得他说已经找(zhao)到解答了是在哄自己。这个👖难题对业余爱好者如此特别在於(yu)它可能被17世纪的数学🛰️证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许还有数学家(jia)追寻这最初的证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说(shuo)都🍯一样，费馬是我童年的热望。我会再试其他问题……证明了它我有(you)一丝伤感，它已经和我们一起这么久🌎了……人们对我说(shuo)“你把我的問题夺走了”，我能带给他们其(qi)他的东西吗？我感觉到有责☀️任。我希望通过(guo)解决这个问题带來的兴奋可以激励(li)青年数学家们解决其他许许多多的難题。 iv 谷山-志村定🎾理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆(yuan)曲线(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到(dao)的周期性全🖲️纯函数)之间的重要联系。雖(sui)然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安德(de)鲁·怀尔斯🥨, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个质数而E是一个Q(有理数域)上的一(yi)个椭圆曲线，我们可以简化定🦆义E的方程模p;除了有限个p值，我(wo)们会得到有np个元素的有限域Fp上🌑的一个椭圆曲线。然后考虑如(ru)下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也🏮会(hui)产生一个数列。一个其序列和从模形式得(de)到的序列相同的椭圆曲线🕊️叫做模的。 谷山-志村定说: "所有Q上的椭圓(yuan)曲线是模的"。 该定理在🚏1955年9月由谷(gu)山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五郎一起改进了严格性(xing)。谷山🥣于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起來，并是关(guan)键的组成📤部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广，Weil的名字有一段(duan)时间和它联系在一起。尽管有明显的用处，这📮个问题的深度在后来的发展之(zhi)前并未被人们所感觉到。 在1980年代🥉當Gerhard Freay建(jian)议谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最后定(ding)理的时候，它吸引到了不少注意力。他通过试图表👓明费尔马大定理的(de)任何范例會导致一个非模的椭圆曲线来做到😹这(zhe)一点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半(ban)稳定🥋椭圆曲线的情况)，这个特殊情况足以证明费爾马大定理。 完整的🕔证明最(zui)后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的逐步证明剩下的情况直到(dao)全部完成。 数论中类🙊似于費尔马最后定理得几个定理(li)可以从谷山-志村定理得到。例如:没有立方可(ke)以🔌寫成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情(qing)况已为欧拉所知) 在1996年三♥️月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖(jiang)。虽然他们都沒有完成给予他们这个🎎成就的定理的完整形式，他(ta)们还是被认为对最终完成的证明(ming)有着决定性影响。