“费马大定理”

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述(shu)了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回🐅溯来看，1994年正是我在念(nian)大学的时候，当时完全没有一位教授在课堂上提到这件事，也许🚙他们认为(wei)，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位不是天才(cai)的学生来说，他需要的是🚤老师的指引，引导他走向更高深的专业认知，而(er)指引的道路，就在科普的精神🧈上。 从费玛最后定理的历史中可以(yi)发现，有许多研究成果，都是研究人员燃烧热情，试图(tu)提出「有趣🃏」的命题，然后再尝试用逻辑验证。 费玛最后定理(li)：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在🖨️整数解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一(yi)本书吸引，「最后问💍题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 畢达哥拉斯 Pythagoras 定理，任(ren)一个直角三角形，斜边的平方=另(ling)外两边的平方和 x2+y2=z2 毕🐹达哥拉斯三元组：毕氏定理的(de)整数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图🛻 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边写下了註记 「不(bu)可能将一个立方数写成两個立方数🥛之(zhi)和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的(de)来說，不可能将一个高於2次幂，写成两个同样次幂🏖️的和。」 「对这个命题我有(you)一个十分美妙的证明，这里空白太(tai)😅小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了載有Fermat註记的「丢番(fan)图的算数」 5. 在Fermat的🥘其他註记中，隐含了對 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂哈(ha)德‧欧拉 Leonhard Euler 证明🧳了 n=3 時无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只要证明费玛最后定理对(dui)於所有的质数都♠️成立 但 欧基里德(de) 证明「存在无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质(zhi)数♨️，证明了 费玛最后定理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄(di)利🐿️克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德(de) 延伸热尔曼的證明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔☄️‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无(wu)解 9. 1847年 拉梅 與 奥古斯汀‧路易斯‧科(ke)西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理 最后是(shi)💳刘维爾宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的(de)证明，都因为「虚数没有唯一因子分解性质」而失败 库默尔🎠证明了(le) 费玛最后定理的完整证明 是当时数学方(fang)法不可能实现的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔(er)的证🐁明 这表示 費玛最后定理的完整(zheng)证明 尚未被解决 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马(ma)克 给提供证明的人，期📺限是到2007年9月(yue)13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希爾伯特，提出数学上23个未解❣️决的(de)问题且相信这是迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库特🥘‧哥德尔 不可(ke)判定性定理 第一不可判定性定理：如果公理集合论是相容的，那么存在既(ji)不能🌽证明又不能否定的定理。 => 完全(quan)性是不可能達到的 第二不可🦚判定性定理：不存在能证明公理系统是相(xiang)容的構造性过程。 => 相容性永💖远不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展(zhan)了可以检验给定问题是不是不可判定的方法（只适用少数情形） 证明(ming)希尔伯特🛖23个问题中，其中一个「连续统假设」问题是不可判定(ding)的，这对於费玛最后定理来🦙说是一大(da)打击 14.1940年 阿伦‧图靈 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机 开始有人利用暴力解决方法，要对(dui) 费玛最🌧️后定理 的n值一个一個加以证(zheng)明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不(bu)存在解🥻这个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线 研究椭圆曲🏮线的目的是要算(suan)出他们的整数解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只🥪有一组整数解 52=33-2 (费玛證明(ming)宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一個(ge)立方数中间) 由於要直接找🧡出椭圆曲线是很困难(nan)的，为了简化问题，数学家採用「时鐘运算」方♥️法 在五格時鐘运算中， 4+2=1 椭(tuo)圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后(hou)可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个解 对於椭🤪圆曲线，可写出一个 E序列(lie) E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模🧿型(xing)式 模型式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序🖲️列 要素个数 可写(xie)成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭(tuo)圆曲线的 E序列，两个不同领域的🥕理论突然被連接在一(yi)起 安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村🖊️猜想」 18.朗兰(lan)兹提出「朗兰兹纲領」的计画，一个统一化猜想的理(li)论，并开始寻找统一的环链 19.1984年 格哈🙉德‧弗賴 Gerhard Frey 提出 (1) 假设费玛最后定理是错的，则(ze) xn+yn=zn 有整数解，則可将方程式🍻转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖椭(tuo)圓方程式太古怪了🦪，以致於无法被模型式化 (3) 谷山-志村(cun)猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型(xing)式化 (4) 谷山-志村猜想 是错误的 反🦊过来说(shuo) (1) 如果 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圓方(fang)程式都可以被模型式化 (2) 每🍎一个椭圓方程式都可以被模型式化(hua)，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方(fang)程🌓式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 費玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭(tuo)圆方程式无法被模型式🔦化 如果有人能够证(zheng)明穀山-志村猜想，就表示费玛最后定理也是正确的 21.1986年(nian)⛄ 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一個小阴谋，他每隔6个月发表一篇小(xiao)论文，然后自🚂己独力尝试证明谷山-志村猜想，策略(lüe)是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能📼将E序列(lie)以「自然次序」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利🥓用微分几何学证明(ming)谷山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安(an)德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无限多项，然后(hou)也🛴证明了第一项必定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙(sha)娃 Iwasawa 理論，但结果失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法🕯️，对(dui)所有分类后的椭圆方程式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克(ke)‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验🚤证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」會议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表(biao)谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安(an)德🎓鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决缺陷，他不希(xi)望在这时候公布证明，让其他人分享完成🛶证明的甜美果实 28.安德魯‧怀尔(er)斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨(sa)纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日🐫 发现结(jie)合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法(fa)就能够完全解决问题 30.「谷😄山-志村猜想」被(bei)证明了，故得证「费玛最后定理」 ii 费马(ma)大定理 300多年以前，法国数学家费马🌠在一本书的空白处写(xie)下了一个定理：“設n是大于2的正整数，则不(bu)定方程xn+yn=zn没有非零整🐤数解”。 費马宣称他发现了这个定理(li)的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不(bu)下他的证明。300多年🩲过去了，不知有多少专(zhuan)业數学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证📕明它，但不是无功而返就是进(jin)展甚微。这就是纯数学中最着名的定理—费马大定理。 费马(ma)(1601年～1665年🌏)是一位具有传奇色彩的数學家，他最初学习法律并以当(dang)律师谋生，后来成为議会议员，数学只不过是他的🌝业余爱好，只能利用(yong)闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学🥜，但费马对数论和微积分做出(chu)了第一流的貢献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析(xi)几何，同🕊️时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好數论，提(ti)出了许多定理，但费马📸只對其中一个定理给出了证明(ming)要點，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆🎺续被(bei)后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定(ding)理就是上🚞面所说的费马大定理，因为是最后一个(ge)未被证明对或错的定理，所以又称为(wei)费😆马最后定理。 费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经(jing)有了🍋很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了🥭对小(xiao)于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法🦎尔廷斯证明了(le)不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出貢献使他在1986年获🍀得了数(shu)学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数(shu)学家威尔斯宣布证明了费马大定(ding)理，但随🍾后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯(si)证明费马大定理还沒有得到数学界的一致公🗾认，但大多数数学家(jia)认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这(zhe)使💿人们看到了希望。 为了寻求费(fei)马大定理的解答，三个多世纪📉以来，一代又一代的数学家们前赴后继，卻壮(zhuang)志未酬。1995年，美国普林斯顿大學的安德鲁·怀尔(er)斯教授经过8年的🌁孤军奋战，用13 0页长的篇幅证明了費(fei)马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英🏏雄。 费马(ma)大定理提出的问题非常简單，它是用一个每个中学(xue)生都熟悉的数学🛞定理——毕达 哥拉斯定理——來表达的。2000多年前诞生的(de)毕达哥拉斯定理说：在一🐝个直角三角形中， 斜边的平方等于(yu)两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年(nian)前后 ，当費马在 研究毕达哥拉斯方🏯程时，他(ta)写下一个方程，非常类似于毕达哥(ge)拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方程没有任何整🌐数解。费马在《算术》这本书(shu)的靠近问题8的页边处记下这 個结论💜的同时又写下一个附加的评注：“对此，我(wo)确信已发现一个美妙的证法，这里的空 白太小⏱️，写不下。”这就是数学(xue)史上着名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制(zhi)造了 一个🕑数学史上最深奥的谜。 大(da)问题 在物理学、化学或生物學中，还🕦没有任何问题可以叙(xu)述得如此简单和清晰，却长久不 解。E·T·贝爾🥦(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到， 文(wen)明世界也許在费马大定理得以解决之前就已(yi)走到了尽头。证明📺费马大定理成为数论中最 值得为之奋斗的事(shi)。 安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲是一位(wei)工🕗程学教授。少年时代的怀尔斯 已着迷于数(shu)学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题(ti)目，我把它们带回💕家， 编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的(de)题目是在我们社区的图书馆里发现😆的。 ”一天(tian)，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问🗺️题(ti)而没有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是E·T·贝尔写的《大🌤️問题》。它叙(xu)述了费马大定理的历史，这个定理让一个又 一个的数学家望而生畏(wei)，在长达300多年的时间里🥄沒有人能解决它。怀尔斯30多年后回(hui)憶 起被引向费马大定理时的感觉(jue)：“它看上去如此简单，但🥳历史上所有的大数学家都未能解 决它(ta)。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解🧈的问题，从那個(ge)时刻起，我知道我永 远不会放弃它。我必须解决它。” 怀爾斯1974年从牛津大(da)学的Merton学院🐳获得数學学士学位，之后进(jin)入剑桥大学Clare 学院做博士。在研究生阶段，懷尔斯并没有从事费马大(da)定理研究。他说：“研🎧究费马可能 带来的问题是：你花(hua)费了多年的时間而最终一事无成。我的导师约🧤翰·科茨(John Coate s)正(zheng)在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我🍨记得一(yi)位同事 告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学(xue)士荣誉学位第三部考试的学生，他催(cui)促我收其 为📧学生。我非常荣幸有安德鲁这样的(de)学生。即使从对研究生的要求来看，他(ta)也有很深刻的 思想，非常🥘清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任(ren)何研究生在那个阶段直接🎧开始(shi)研 究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家來说，它也太📣困难了(le)。”科茨的责任 是为怀尔斯找到某種至少能使他在今后(hou)三年里有興趣去研究的问题。他😻说：“我认为研究 生(sheng)导师能为学生做的一切就是设法把他推向(xiang)一个富有成果的方向。当然，不能保证(zheng)它一👕定 是一个富有成果的研究方向(xiang)，但是也许年长的数学家在🍡这个过程(cheng)中能做的一件事是使用他 的常识、他对好领(ling)域的直🦃觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就(jiu)是他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该(gai)研究数学中称为椭圆曲线☁️的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中(zhong)的 一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。 孤🏜️独的战士 1980年怀(huai)尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯⏰顿大(da)学，并成为这所大学 的教授。在科(ke)茨的指导下，怀尔斯或许比世界上🐆其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一(yi) 個着名的数论学家，但他清楚地意识🕤到，即使以他广博的基础知识和数(shu)学修养，证明费马 大定理的任务也是极🔥为艰巨的。 在怀爾(er)斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该(gai)猜想在两个非 常不同的数📆学领域间建立了一座(zuo)新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋(peng) 友家♨️中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝(bei)特已經证明了谷山－志村猜想与(yu)费马大 定🐶理间的联系。我感到极大的震(zhen)动。我记得那个时刻，那个改变我生命(ming)历程的时刻，因为 这意味着为了证明费🍸马大定理，我必须做(zuo)的一切就是证明谷山－志村猜想……我十分清楚 我应该回家去研究(jiu)谷山－志村猜想。”怀尔斯望见🧂了一条实现他童年夢想的道(dao)路。 20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什(shen)么不去尝试证明🩴费马大定理，他 回答说：“在开始着手(shou)之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的⏲️时间 浪费(fei)在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为🎠了找到(dao)证明，他必须全身心地投入到 这(zhe)个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这🍬个风險。 怀尔斯作了一(yi)个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费 马(ma)大🔦定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年(nian)都使自己精力集中✈️ ，除非你的专心不被他(ta)人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”懷尔斯放弃了所有(you) 与证明费马大定理无直🌕接关系的工作，任何时候只要可能他(ta)就回到家里工作，在家里的🥝顶 楼书房里他开始了通过谷山－志村猜想来证(zheng)明费马大定理的戰斗。 这🦇是一场长达7年的持久战，这期间只有他(ta)的妻子知道他在证明费馬大定(ding)理。 欢呼🍺与等待 经过7年的努力，怀尔(er)斯完成了谷山－志村猜想的证明(ming)。作为一个结果，他也证明了🌖 费马大定理。现在是向世界公布的时候了(le)。1993年6月底，有一个重要🕟的会议要在剑桥大 学的牛(niu)顿研究所举行。怀尔斯决定利用🧂这个机(ji)会向一群杰出的听众宣布他的(de)工作。他選择 在牛顿研究所宣布的另(ling)外一个主要原因是剑桥是他的💙家乡，他曾经(jing)是那里的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世(shi)纪最重要的一次数学讲座。两百名數📧学家聆(ling) 听了这一演讲，但他们之中只有(you)四分之一的人完全懂得黑板上的(de)💨希腊字母和代数式所表達 的意思。其余的人来这里是为了见证他們(men)所🍃期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安 德鲁·怀尔斯。怀尔斯(si)回忆起🍂演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关(guan)演讲的風 声，很幸运他们没有来🐛听演讲。但是听众中有人(ren)拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯(ken) 定事先就准备了一瓶香🍆槟酒。当我宣读(du)证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完 费马大定理的证明(ming)时，我说：‘我想我就在这🏣里结束’，会场(chang)上爆发出一阵持久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头版以《终於欢呼“我(wo)发现💻了!”，久远的数学之谜获解》为题报道 费马大定理被证明的消息。一夜(ye)之间，怀尔斯成为世界上最着名📻的數学家，也是唯(wei)一的数 学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃(fei)一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有(you)🚦创 意的赞美来自一家国际制衣大公(gong)司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他(ta)们新系列男装☘️的模 特。 当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这个🛑证明(ming)的工作也在进行。科学的程序要 求任何数学家將完整的手稿送(song)交一个有声望的刊物，然后这个刊🏑物的编辑将它送交(jiao)一组审 稿人，审稿人的职责是进行逐行的(de)审查证明📷。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整(zheng)一个 夏天他焦急地等待审稿人的意🪢见，并祈求能得(de)到他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被发 现了。 我的心灵归于平(ping)静 由🥞于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编(bian)辑巴里·梅休尔决定不像通常那(na)样指定 2－3个审🏮稿人，而是6个审稿人。200页的证明被(bei)分成6章，每位审稿人负责其中🍿一章。 怀尔斯在此(ci)期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子🏞️邮件中提出的问题，他(ta)自信这 些问题不会给他造成很大的(de)麻烦。尼克·凯兹負责审查第3章，1993年8月🥫23日，他发现了 证明中的一个小缺陷。数学(xue)的绝對主义要🚕求怀尔斯无可怀疑地证明(ming)他的方法中的每一步都 行得🕒通。怀尔斯以为这又是一个(ge)小问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去🥤了 ，错误仍未改正，怀尔斯(si)面临絕境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情 况，萨克🌱向(xiang)他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和(he)他讨论问题并且可信赖的人。經过 长时间的🐶考虑后，怀尔(er)斯决定邀请劍桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工(gong)作 。 泰勒1994年1月份到普🕜林斯顿，可是到了(le)9月，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒 鼓(gu)勵他们再坚持♠️一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月(yue)19日，一个星期一的早 晨，怀尔斯发现了问题的📫答案，他叙述了(le)这一时刻：“突然间，不可思議地，我有了一个 难以(yi)置信的发现。这💘是我的事业中最重要的時(shi)刻，我不会再有这样的经历……它的美是如 此🚦地难以形容；它又是如此简单和优(you)美。20多分钟的时间我呆望它不敢相(xiang)信。然后白天我 到系里轉了一圈(quan)，又回🥇到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。” 这是(shi)少年时代的梦想和8年🌓潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能(neng)。世 界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论🌌文总共有130页，是历史上核查得最彻(che)底的数学稿 件，它们发表在1995年5月的《数学✈️年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时(shi)报》的头版 上，标题是《数学家稱经典之谜已解🥈决》。约(yue)翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最(zui) 终的证明可與分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定(ding)理的证🥻明是人类智力活动的一 曲凯歌，同时，不能(neng)忽視的事实是它一下子📄就使数学发(fa)生了革命性的变化。对我说来，安 德鲁成果的(de)美⛄和魅力在于它是走嚮代数数论的巨大的一步。” 声(sheng)望和荣誉🎎纷至沓来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学會(hui)颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖(jiang)，并当选为美国科学院外籍🎡院士。 懷尔斯说：“……再没有别的问题(ti)能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如 此少👞有的特权，在(zai)我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫長的探索(suo)已经结束🦄了， 我的心已归于平静。” 费马大定理只有在相对数学理论的建(jian)立之后，才会得到最满意的答案(an)。相对数学理🍵論没有完成之前，谈这个问题是无力(li)地.因为人们对数量和自身的認识，还没有🏠达到一定的高度. iii 费马(ma)大定理与怀尔斯的因果律-美国公众广播网对怀尔斯的专访 358年的难解之谜(mi)🐩 数学爱好者费马提出的这个问题非常簡单，它用一个每🎰个中学生(sheng)都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉(la)斯定理说：在一🖍️个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方(fang)之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，當费马在研🥤究毕达哥拉斯方程时，他(ta)在《算术》这本书靠近问题8的页边处写下了这段文字：“设(she)n是大于2的正整数，则不定方程🚘xn+yn=zn没有非整数解，对(dui)此，我确信已发现一个美妙的证法，但这里的空白太小(xiao)，写不🏟️下。”费马习惯在页边写下猜想，费马大定理是其中(zhong)困扰数🪐学家们时间最长的，所以(yi)被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公认为有史以来最著名🎎的数学猜想。 在(zai)畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的长达358年(nian)的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和🎖️狂喜。这段历史先后涉及到最多(duo)产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由🍚业余转(zhuan)为职业数学家的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试🌩️验大师(shi)库默尔和被誉为“法国历史上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国(guo)数学天才伽羅瓦👘的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德国(guo)数🌸学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后一(yi)刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的🥃一幕，为(wei)最後谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜(mi)底，把这出戏推向🐌高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的传奇。 对怀尔(er)斯而言，证明费马大定理不仅是破译一个難解之谜🎀，更是去实现一(yi)个儿时的梦想。“我10歲时在图书馆找到一本数学书，告诉我有(you)这🏸么一个問题，300多年前就已经有人解决了它，但却没有人看到过(guo)它的📤证明，也无人确信是否有这个证明，从那以后，人们就不断地求(qiu)证。这是一个10岁小孩就能明白的问题，然后历史💓上诸多伟大的数(shu)学家们却不能解答。于是从那时起，我(wo)就试过解决它，这🏦個问题就是费马大定理。” 怀尔斯于1970年(nian)先后在牛津大学和剑橋大学获得数学学士和数学博📜士学位。“我进(jin)入剑桥时，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因为🐶我(wo)忘了它，而是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技(ji)术已经☂️反复使用了130年。而这些技术(shu)似乎没有触及问题根本。”因为担心耗费🐕太多时间而一无所获，他“暂时(shi)放下了”对费马大定理的思索，開始💤研究椭圆曲线(xian)理论——这个看似与证明费马大定理不相关的理论后(hou)来却成为他🥰实现梦想的工具。 時间回溯至20世纪60年(nian)代，普林斯顿数学家朗兰兹提🕰️出了一个大胆的猜想：所有主(zhu)要数学领域之间原本就存在着的统(tong)一的链接。如果这个猜想被证实，意味着🥯在某个数学领域中无法解答(da)的任何问题都有可能通过这种链接(jie)被转换成另一📸个领域中相应的问(wen)题——可以被一整套新方案解决的(de)问题。而如果在另一个领域内仍然难以找到答🖼️案(an)，那么可以把问题再转换到下一個数学领域中……直到它被解决为止。根据朗(lang)兰兹纲领，有一天，数学家们🕥将能(neng)够解决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法(fa)是领着这些问题周游数学王国的🗯️各个风景勝地”。这个纲领为饱受哥德尔(er)不完备定理打击的费马大定理证明者們指明了救赎之路🐢——根据不(bu)完备定理，费马大定理是不可证明的。 怀爾斯后来正是依赖于这个纲领才(cai)得以🌁证明费马大定理的：他的证明——不同于任何前人的尝试——是现代数学(xue)诸多分支（椭圆曲线论，模形式理论，伽罗🍓华表示理论等等)综合发挥作用的(de)结果。20世纪50年代由两位日🎯本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的(de)谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方🛷程与模形式两个截然不同的数学岛屿间隐藏着(zhe)一座沟通的桥梁。随后在1984年，德国数(shu)学🐰家格哈德·费賴（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大定理(li)为🧡真。这个猜想紧接着在1986年被肯(ken)·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不🎓可擺脱地与谷山—志村猜想链接在一(yi)起：如果有人能证明谷山—志村猜想（即“每🚠一个椭(tuo)圆方程都可以模形式化”），那么就证明了费马大定(ding)理。 “人类智力活动的一曲凱歌” 怀尔斯诡秘的行踪(zong)让普🥬林斯頓的着名数学家同事们困惑。彼(bi)得·萨奈克（Peter Sarnak）回憶说：“ 我常常奇怪怀尔斯在(zai)做些什么？……他总🦙是静悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹(zi)则感叹到：“一点暗示都没有！”对於这次惊天“大🍼预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能(neng)是我平生来见过的唯一🕤例子，在如此长的时间(jian)里没有泄露任何有关工作的信息。这(zhe)是空前的。 1993年晚春，在经过反复的试🚖错和绞尽脑汁的演算(suan)，怀尔斯终于完成了谷山—志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马(ma)大定理。彼🚉得·萨奈克是最早得知此消息(xi)的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚(wan)我失眠了”。 同👁️‍🗨️年6月，怀尔斯决定在剑桥大学的大型系列讲座上宣布这一证明(ming)。 “讲座气氛很热烈，有很多数学界👖重要人物到场，当大家终于明白已经离(li)证明费马大定理一步之遥时，空气🐌中充满了紧张。” 肯·里比特回忆说。巴(ba)里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之(zhi)前从未看到过如此精彩的讲座🙈，充满了美妙(miao)的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的(de)铺垫，充👔满悬念，直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣布他证明了(le)费马大定理时，他🎀成了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼(hu)“我发📧现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道(dao)费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成為世界🌼上唯一的数学家(jia)。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力(li)者”。 与此同时，认真核😃对这个证明的工作也在进行。遗憾的是，如同(tong)这之前的“费马大定理终结者”一样，他的证明🥦是(shi)有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨(ju)大的压力之下修正错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美国公众广💴播网(wang)（PBS）的访谈中说: “当时我们其他人（怀尔斯的同事）的行为有点像‘苏(su)联政体研究者’，都想知道他的想法和修正错🐝误的进展，但没有(you)人开口问他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗(ma)？’‘他倒是有微笑😃，但看起来并不高兴。’” 撑到(dao)1994年9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请的研究(jiu)搭档🐆泰勒鼓励他再坚持一个月。就(jiu)在截止日到來之前两周， 9月19日 ，一个星期一(yi)🗼的早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述(shu)了这一时刻：“突然间，不可思议✈️地，我发(fa)现了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对著它发了(le)20多分钟呆。然后我到系里转了🎨一圈，又回到桌子旁看看它是否还(hai)在那里——它确实还在那里。” 怀尔斯的(de)📮证明为他赢得了最慷慨的褒扬，其中最(zui)具代表性的是他在剑桥时的导师(shi)、着名数学家约翰·科茨的评🐁价：“它（证明(ming)）是人类智力活动的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此结(jie)束，从此费马大定🎚️理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到(dao)一个就不得不提到另外一个。这♥️是费马大定理与安德鲁·怀尔斯(si)的因果律。 历时八年的最终证明 在怀尔斯不多的接受媒(mei)体采访中，美國⛅公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访相当精彩有趣，本文(wen)节选🌻部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们通过團队来获得工作上(shang)的支持，那么当你🏙️碰壁时是怎麼解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时(shi)我会沿著湖边散散步，散步的好处是(shi)使你会处于放松状🥗态，同时你的潜意识却(que)在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌，而且我随时把笔纸带(dai)上，一旦有好主意🐭我会找个长椅坐下来打草稿(gao)…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与💌成功……你不可能绝对有把握证明。 怀尔斯：我确(que)实相信自己在正确的轨道上，但那并不(bu)意味着我一定📂能达到目标——也许仅仅因为(wei)解决难题的方法超出现有的数学，也许我需要的方(fang)法下个世纪🦼也不会出现。所以即便我在(zai)正确的轨道上，我却可能生活在错误的(de)🗒️世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩(hai)子们出去了。我坐在书桌🗻前思考最后的步骤，不经意(yi)间看到了一篇论文，上面的一行字引起了我的注📥意。它提到了一个19世纪的數(shu)学结构，我霎时意识到这就是我该用的。我不(bu)停地工作，忘记下楼午饭，到下午三💦四点时我确信已经证明了费马大定理，然(ran)后下楼。Nada很吃🦀惊，以为我这时才回家，我告诉她，我解决了费马(ma)大定理。 最后的修正 NOVA：《纽约时报》在头版以《終于欢呼“我发现了!”，久😜远的(de)数学之谜获解》，但他们并不知道(dao)这个证明中有个错📘误。 怀尔斯：那是个存在于关键推导中的錯误(wu)，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简(jian)單的语言描🍐述，就算是数学家也需要研习(xi)两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀请剑橋的数学家理🚅查(cha)德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最后的错误。问题是，你的证(zheng)明和💬费马的证明是同一个吗？ 怀尔斯：不(bu)可能。这个证明有150页长，用的是20世纪的🤿方法，在(zai)费馬时代还不存在。 NOVA：那就是说费马的最(zui)初证明还在某个未被发现的角落？ 怀尔斯：我不相信他有🦊证明。我觉得他说已(yi)经找到解答了是在哄自己。这个难题对业余爱(ai)好🦑者如此特别在於它可能被17世纪的数学证明(ming)，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许还(hai)🍪有数学家追寻这最初的证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说都一樣，费(fei)马是我童年的热望。我会再试其他🕠問题……证明了它我有一丝伤感(gan)，它已經和我们一起这么久了……人们(men)对我說“你把我的📓问题夺走了”，我(wo)能带给他们其他的东西吗？我感觉到有🧳责任(ren)。我希望通过解决这个问题带来的兴奋可以激励青年数学家們解决(jue)其他🦇许许多多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(xian)(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的🦢周期性全纯函数)之间(jian)的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而🩱来,定理的证明是由安德鲁·怀(huai)尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个质数而E是一个Q(有理数域)上⚽的一个椭圆曲线，我们(men)可以简化定義E的方程模p;除了有限(xian)个p值，我们会得到有np个元素的有限域Fp上🐵的一(yi)个椭圆曲线。然后考虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圓曲线E的重要的不变量。从傅里叶变(bian)换，每个模形式也会产生一🕙个数列。一个其序列和从模形式得到(dao)的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说: "所💟有Q上的椭圆曲线是模的(de)"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜(cai)想。到1957年為🪢止，他和志村五郎一起(qi)改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数学中的猜想Langlands纲领联(lian)系了起来，并是🚠关键的组成部分。猜想由André Weil于(yu)1970年代重新提起并得到推广，Weil的🐵名字有一段时间和它联(lian)系在一起。尽管有明显的用处，这个问题的深🌨️度在后(hou)来的发展之前并未被人們所感觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那(na)时还是猜想)蕴✈️含着费马最后定理的时候，它吸引到了不少注意力。他通(tong)过试图表明费尔马大定理的任何范例🌁会(hui)导致一个非模的椭圓曲线来做到这一(yi)点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了穀(gu)山-志👘村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲線的情况)，这个特(te)殊情况足以证明费尔馬大定理。 完整的证明最后🦮于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他(ta)们在Wiles的基础上，一块一块的逐步证明剩下(xia)的情况直到全部完成。 数论中类似🥧於费尔马最后定理得几个定理可(ke)以从谷山-志村定理得到。例如:没有😽立方可以写成两(liang)个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情況已为欧(ou)拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃爾夫奖(jiang)。虽然他们都没🌸有完成给予他们这个成就的定理的完整形(xing)式，他们还是被认为对最终完成的证🥭明(ming)有着决定性影响。