费马大定理电影中文版

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史(shi)始末，往前回溯来看，1994年正是我在念(nian)大🗽学的时候，当时完全沒有一位教授(shou)在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位🏆真正的研究者，自然而(er)然地会被数学吸引，然而对一位不是(shi)天才的学生🧣来说，他需要的是老师的指引，引导他(ta)走向更高深的专业认知，而指引的道🍚路，就在科普的精神上(shang)。 从费玛最后定理的历史中可以发现，有许多研究成果(guo)，都是研究人🕗員燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后再尝试用逻(luo)辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在🚄整数解 1. 1963年 安(an)德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事(shi)从这里开始。 2. 毕🦊达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜邊(bian)的平方=另外两边的平方❤️‍🔥和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三(san)元组：毕氏定理的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图(tu) Diophantus 的「算数🍃」第2卷的问题8时，在页边写下了註记 「不可能将一(yi)个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写☔成两个四(si)次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂(mi)，写成两个同🍀样次幂的和。」 「对这个命题我有一个十分美妙的(de)证明，这里空白太小，写不下🐄。」 4. 1670年，费(fei)玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢(diu)番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明(ming) => n=8, 12, 16, 20 ... 時无解 莱昂哈德‧欧🕥拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质數，现(xian)在只要证明费玛最后定理对於所💾有(you)的质数都成立 但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的💦质(zhi)数，證明了 费玛最后定理 "大概" 无解(jie) 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞📘-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延(yan)伸热尔曼的證明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅(mei) 与💘 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经(jing)证明了 费玛最后定😅理 最後是刘维尔宣(xuan)读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一因子分(fen)解性质」而🌏失败 库默尔證明了 费玛最后定(ding)理的完整证明 是当时🏔️数学方法不(bu)可能实现的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了😺库默尔的证明 这表示 费(fei)玛最后定理的完整证明 尚未被解决 沃尔(er)夫斯凯尔🏒提供了 10万马克 给提供(gong)证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔(er)伯特，提👛出数学上23个未解决的问题且相信这是迫切需要解(jie)决的重💗要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理(li) 第一不可判定性定理：如🧅果公理集合论是相容的，那(na)麼存在既不能证明又不能否定的定理(li)🏅。 => 完全性是不可能达到的 第二不可判定性定理：不存在能证明公(gong)理系统是相容的构造性过程🎀。 => 相容性永远不可能证(zheng)明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题🥳是不是不可判定(ding)的方法（只适用少数情形） 证明希(xi)尔伯特23个问题中，其中一个「连续统假设(she)」问🛎️题是不可判定的，这对於费玛最后定理来说是一大打(da)击 14.1940年 阿伦‧图💼灵 Alan Turing 發明破译 Enigma编码 的反(fan)转机 开始有人利用暴力解決方法，要对 费玛最后定理 的n值一个一个加(jia)以证明。 15.1988年 内奥📿姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一个(ge)反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年🕶️ 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线 研究椭圆曲线的(de)目的是要🎏算出他们的整数解，这跟费(fei)玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组整📭數解 52=33-2 (费玛证明宇宙(zhou)中指存在一个数26，他是夹在一个平方数(shu)与一個立方数中间) 由於要直接找出椭圆📹曲线是很困难的，为(wei)了简化问题，数学家採用「时鐘运算🌩️」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有(you)可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时(shi)鐘运算中，有四个🐟解 对於椭圆曲线(xian)，可寫出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模(mo)型式 模型式🕑的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型(xing)式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例🥧 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到(dao)椭圆曲线的 E序列，两个不同领域的理论突然被连🥇接在一(yi)起 安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提🥚出「朗兰兹纲领」的计画(hua)，一个统一化猜想的理论，并开始尋找统一的环链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提(ti)出 (1) 假設费玛最后🦓定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为(wei)y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方程☃️式太古怪了，以致於(yu)无法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方(fang)程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志⛄村猜想 是错误的 反过來说 (1) 如果 谷山-志村(cun)猜想 是对的，每一🥿个椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭圆方(fang)程式都可以被模型式化，则不存(cun)在弗賴椭圆方程式 (3) 如果不存🎟️在弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 沒(mei)有整数解 (4) 费玛最后定理是对🦁的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模(mo)型式化 如果有人能够证明谷山-志村猜想🐈‍⬛，就表示费玛最后定理也是正(zheng)确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇🐐小(xiao)论文，然后自己独力尝试证明穀山-志村猜想，策略(lüe)是利用归纳法，加上🎉 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群論(lun)，希望能将E序列以「自然次序」一一(yi)对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利用💛微分几(ji)何学证明谷山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将(jiang)椭圆方程式拆解成🚕无限多项，然后也证(zheng)明了第一项必定是模型式的第一项，也尝试(shi)利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失📁败 24.1992年 修改 科利(li)瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方程(cheng)式都奏效🎖️ 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验证证(zheng)明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德🎉鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表(biao)谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开(kai)始隐🐋居，尝试独力解决缺陷，他不希望在这时候公布证明，让其他(ta)人分享完成证明的甜美果实 28.安🥗德鲁‧怀(huai)爾斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查(cha)德🚠‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发现结合 依娃(wa)沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全(quan)⛺解决问题 30.「谷山-志村猜想」被证明(ming)了，故得证「费玛最后定理」 ii 费马大定理(li) 300多🦘年以前，法国数学家费马在一本书的空(kong)白处寫下了一个定理：“设n是大于2的正整(zheng)数，则不定方程🚖xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣称他(ta)发现了这个定理的一个真正奇(qi)妙的证明🏷️，但因书上空白太小，他写不下他的证明(ming)。300多年过去了，不知有多少专业数🐬学家(jia)和业余數学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但(dan)不是无功而返就是进展甚微。这就是纯⛄数学(xue)中最着名的定理—费马大定理。 费马(1601年(nian)～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法(fa)律并以当律💮师謀生，后来成为议会议员，数学(xue)只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来🌙研究。虽然年近30才认真(zhen)注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡🥮献。他(ta)与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世(shi)纪兴起的概率论的💳探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费(fei)🎰马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个🐈被证明是错的，一个(ge)未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所(suo)证实。这唯一未被证明的定理🧡就是上面所说的费(fei)马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为🥽费马最后(hou)定理。 费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进(jin)展，特别是最近几十🏸年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马(ma)大定理都成立。1983年一位🕑年轻的德国数(shu)学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有(you)限🐠多组解，他的突出贡献使他在(zai)1986年获得了数學界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威🐑尔斯宣(xuan)布证明了费马大定理，但随后发(fa)現了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威爾🐇斯证明费(fei)马大定理还没有得到数学界的(de)一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是😮正确(que)的。毫无疑问，这使人们看到了希望。 为了寻求(qiu)费马大定理的解答，三个多🙃世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却(que)壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁🥪·怀尔斯教授(shou)经过8年的孤军奋战，用13 0页长的篇(pian)幅证明了费马大定理🍣。怀尔斯成为整个数学界的(de)英雄。 费马大定理提出的问題非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉📕的(de)数学定理——毕达 哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理(li)说：在一个直角三角形中， 斜边的🛞平方等于两直角邊的平方之和(he)。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在 研究(jiu)毕达哥拉斯🛖方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时(shi)，这个方程没🕝有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的(de)页边处记下这 个结论的同时又写下(xia)一個附🌀加的评注：“对此，我确信已发现一个(ge)美妙的证法，这里的空 白太小，写不下。”這就是🌘数学史上(shang)着名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了 一个数学史(shi)上最深奥的谜。 大問题 在🚖物理学、化学或生物学中(zhong)，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久不 解(jie)。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大問题》(The Last Problem)一⏲️书中写到， 文(wen)明世界也许在费马大定理得以(yi)解决之前就已走🧐到了尽頭。证明(ming)费马大定理成为数论中最 值得为之奋斗的事。 安(an)德鲁·怀尔斯1953年出生🎁在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时(shi)代的怀尔斯 已着迷于数學了。他(ta)在后来的回忆中写到🍵：“在学校里我喜欢做题目，我把它們带回家， 编写成我自(zi)己的新题目。不过我以前找到的最好的题🧈目是在我们社区(qu)的图书馆里发现的。 ”一天，小怀尔斯在弥尔顿(dun)街上的图书馆看见了一本书，这🏒本(ben)书只有一个问题而没有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它(ta)叙述了费馬大🚙定理的历史，这个定理让一个又 一个的数学家望而生畏(wei)，在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀(huai)尔斯30多🥥年后回忆 起被引向费马大定理时的感(gan)觉：“它看上去如🌟此简单，但历史上所有的大数学家(jia)都未能解 决它。这里正摆着我——一个(ge)10岁的孩子——能理解的问题，从那个时🏓刻起，我知道我永 远不会放弃它。我必须解(jie)决它。” 怀尔斯1974年🍷从牛津大学的Merton学院获得数学学士學位，之后进入(ru)剑桥大学Clare 学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没(mei)🚄有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能 带来的问题是：你花费了多(duo)年的時间而最终一🚝事无成。我的(de)导师约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圓曲线的Iwasawa理论，我开始跟随(sui)💚他工作。” 科茨说：“我记得一位同事 告诉我(wo)，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第💞三部考試的学生，他(ta)催促我收其 为学生。我非常荣幸有安德(de)鲁这样的学生。即使从对研究生的🧈要求来看，他也有很深(shen)刻的 思想，非常清楚他将是一个做大事情的💐数学家。当然，任何研究(jiu)生在那个階段直接开始研 究费马大定理是(shi)不可能的，即使对资历很🥚深的数学家来说，它也太困难了。”科(ke)茨的责任 是为怀尔斯找到某种至少(shao)能使他在今后三年裡有兴趣去🏵️研究的问题(ti)。他说：“我認为研究 生导师能为学生做的一切就是设🥍法把他推(tui)嚮一个富有成果的方向。当然，不能保證它一定 是一个富有成(cheng)果的研究方向🎂，但是也许年长的数(shu)学家在这个过程中能做的一件事是使用他 的💒常识(shi)、他对好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的(de)事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该🥃研究数学中称为椭圆曲线的领(ling)域。这个决定成为懷尔斯职业生涯中🌛的 一个转折点，椭圆方程的研究是他实(shi)现梦想的工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑桥大学💝取得博士学位后(hou)来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学 的(de)教授。在科茨🏺的指導下，怀尔斯或(huo)许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成📰为一 个着名的数(shu)论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学(xue)修養，证明费马 大定理的任务🐚也是极为艰巨的(de)。 在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两个(ge)⛩️非 常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏😮末的一个傍晚，我(wo)正在一个朋 友家中啜饮冰茶。谈话间他随意(yi)告诉我，肯·里贝特已经证明了谷✨山－志村猜想与费马(ma)大 定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那(na)个改变我生命😊历程的时刻，因为 这意味(wei)着为了证明费马大定理，我必须做(zuo)的一切就是证明谷山－志村猜想……我(wo)十🧶分清楚 我应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他(ta)童年梦想的道路👠。 20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为(wei)什么不去👛尝试证明费马大定理，他 回答说：“在(zai)开始着手之前，我必须用3年的时間作深入的研究，而我没有🦜那么多(duo)的时间 浪费在一件可能會失败的事情上。”怀尔斯知道，为(wei)了🦥找到证明，他必须全身心地投入到 这个问题中，但是与希尔伯特(te)不一样，他愿意冒這个风险。 怀尔🌀斯作了(le)一个重大的决定：要完全独立和保(bao)密地进行研究。他说：“我意识到与费 马大定🔎理有关的任何事情都会引起太多(duo)人的兴趣。你确实不可能很多年都使自(zi)己精力集中 ，除非你的专心不被他😜人分散，而这一点会因旁观者太多而做(zuo)不到。”怀尔斯放弃了所有 与证明费马大定理无直🛺接关系的工作，任(ren)何时候只要可能他就回到家里工作(zuo)，在家里的顶 楼书房里他开🐦始了通过谷山－志村猜想来证(zheng)明费马大定理的战斗。 这是一场长(zhang)達7年的持久战，这期间只有他的🎱妻子知道他(ta)在证明费马大定理。 欢呼与等待 经过7年的努力，怀尔斯完成了(le)穀山－志村猜想的🎷证明。作为一个结果，他也证明了 费马大定(ding)理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一🥗个重要的会议要在(zai)剑桥大 学的牛頓研究所举行。怀尔🎥斯决定利用这个机会向一(yi)群杰出的听众宣布他的工作。他选(xuan)择 在牛顿研究💐所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家(jia)乡，他曾经是那里的一名研究🎼生。 1993年6月23日(ri)，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学(xue)讲座。兩百名数🐊学家聆 听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的(de)人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式✉️所表(biao)达 的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期(qi)待的一个真正具有🧇意义的时刻。演讲者是安 德鲁(lu)·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时(shi)刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演講的🏔️风 声，很幸运他们(men)没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的鏡头，研(yan)究所所长肯 定事先就准😼备了一瓶香槟酒。当我宣(xuan)读证明时，会场上保持着特别庄🦽重的寂静，当我写完 费马大定理的证明時，我(wo)说：‘我想我就在这里结束’，会👢场上爆发出一阵持久(jiu)的鼓掌声 。” 《纽约时报》在頭版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的(de)数学之谜获解》为题报道🌕 费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔(er)斯成为世界上最着名的数学家，也是唯一的数(shu) 学家。《人物》杂志将怀🚠尔斯与戴安娜王(wang)妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创(chuang) 意的赞美来自一家国际制衣大公🗓️司，他们邀请这位温文尔雅的天才(cai)作他们新系列男装的模 特。 当怀尔斯成(cheng)为媒体报道的中🕢心时，认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序(xu)要 求任何数学家将完整的手稿送交💈一个有声望的刊物，然后这个刊物(wu)的编辑将它送交一组审 稿人，审稿人的职责是进👓行逐行的审查(cha)证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个 夏天他(ta)焦急地等待审稿🐀人的意见，并祈求(qiu)能得到他们的祝福。可是，证明的一个缺🛬陷被发 现了。 我的心灵归于平静(jing) 由于怀爾斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑巴里🐿️·梅休尔决(jue)定不像通常那样指定 2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审(shen)稿人负责其中一章。 怀尔🦥斯在此期间中(zhong)断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件(jian)中提出的問题，他🐘自信这 些问题不会给他造成很大的(de)麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了 证明中的一个小(xiao)缺陷。数📽️学的绝对主义要求怀尔斯无可懷疑地证明他(ta)的方法中的每一📚步都 行得通。怀尔斯以为这又是一个(ge)小问題，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过(guo)去了 ，錯误仍未改正，怀尔🧶斯面临绝境，他(ta)准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情 况，萨克向(xiang)他暗示困难的一部分在于他缺少🥎一个能够和(he)他讨論问题并且可信赖的人。经过 长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥(qiao)大学的讲师理查德·泰🌟勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰(tai)勒1994年1月份到普林斯顿，可是到🌤️了9月，依然没有结果，他们准备放弃了。泰(tai)勒 鼓励他們再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月🎿19日，一个星(xing)期一的早 晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻(ke)🏬：“突然间，不可思议地，我有了一个 难以置信的发现。这是我的事业(ye)中最重要的时刻，我不会🥯再有这(zhe)样的经历……它的美是如 此地难以形容；它又是如此简单(dan)和优美。20多分钟的时间我呆望它(ta)不敢相信。然后白🍚天我 到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否(fou)还在——它还在那里。” 这是少年时代的梦(meng)想和8年潜心努力的终极💞，怀尔斯(si)终于嚮世界证明了他的才能。世 界不再怀疑这一次的(de)证明了。这两篇论文总共有130页，是历⚽史上核查得最彻底的数学稿 件，它们(men)发表在1995年5月的《數学年刊》上。怀尔斯再一次(ci)出现在《纽约时报》的头🍷版 上，标题是《数學(xue)家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说💗，这个最 终的(de)证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力活(huo)⛴️动的一 曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子就使數学发生了革💟命(ming)性的变化。对我说来，安 德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大(da)的一🛝步。” 声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀爾斯获得瑞(rui)典皇家学会颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得🔔沃尔夫奖(jiang)，并当選为美国科学院外籍院士。 怀尔斯说：“……再没有别的问题能像费马大(da)🗨️定理一样对我有同样的意义。我拥有如 此少有的特权，在我的(de)成年📙时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的(de)探索已经结束了， 我的心已归于平🪐静。” 费马大(da)定理只有在相对数學理论的建立之后，才会得到最满意的答案。相对数(shu)学理论没有完成🌭之前，谈这个问题是无(wu)力地.因为人们对数量和自身的认识，还没(mei)有达到一定的高度. iii 费马大📄定理与怀尔斯的(de)因果律-美国公众广播网对懷尔斯的专访 358年的难解之谜 数学爱好者费马(ma)提出的🦃这个问题非常简单，它用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕(bi)达哥🎻拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥(ge)拉斯定理说：在一个直🎒角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和(he)。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究(jiu)毕达哥拉斯方程🥗时，他在《算术》这本書(shu)靠近问题8的页边处写下了这段文(wen)🐮字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已发(fa)现一个美妙🏬的证法，但这里的空白太小，写不下。”费(fei)马习惯在页边写下🦀猜想，费马大定理是其中困扰数学家们时间最长的，所(suo)以被称为Fermat’s Last Theorem（费马🦤最后的定理）——公认为有史以来最着名的数学猜想。 在畅销书作(zuo)家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言👚引发的长达358年的猎逐充满了惊險、悬疑(yi)、绝望和狂喜。这段历史先后涉及到最多产的数學大师(shi)欧拉、最伟大🌨️的数学家高斯、由业余转为职业数学家的柯西、英年(nian)早逝🌹的天才伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和被誉为“法国历史(shi)上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国🍮数學天(tian)才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德国(guo)数学爱好者🕞保罗·沃尔夫斯凯尔最(zui)后一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的宏大🛎️戏剧中的(de)一幕，为最后谜底的解开埋下伏(fu)笔。终于，普林斯顿🍺的怀尔斯出现了。他(ta)找到謎底，把这出戏推向高潮并戛然而🐤止，留下一段耐人回(hui)味的传奇。 对怀尔斯而言，证明費马大定理不仅是破译一个难解之谜，更(geng)是去实现🥪一个儿时的梦想。“我10岁时在图书馆找到一本数(shu)学书，告诉我有这么一个问题，300多年前就已经有人解决了它🕌，但却没有人看到(dao)过它的证明，也无人确信是否有这个证(zheng)明，从那📍以后，人们就不断地求证。这是一個10岁小孩就能明白的问题，然后历(li)史上諸🕑多伟大的数学家们却不能(neng)解答。于是从那时起，我就试过解(jie)决它，这个問题就是费马大定理👚。” 怀尔斯于1970年先后在牛(niu)津大学和剑桥大学获得数学学士和数(shu)学博士学位。“我进入剑桥时，我真正☺️把费马大定理(li)搁在一边了。这不是因为我忘了它，而是我认识(shi)到我们所掌握的用来攻克它🐀的全部技术已经反(fan)复使用了130年。而这些技术似乎没有触及问题根本。”因😇为担心耗费太多(duo)时间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定理的思索，开始研🍆究椭圆曲線理(li)论——这个看似与证明费马大定理不相(xiang)关的理论后来却成為他实现梦想🐓的工具。 时间回溯至20世纪60年代，普(pu)林斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所😳有主要数学领域之(zhi)间原本就存在着的统一的鏈接。如果这个猜想被证实，意味🧅着在某个数學领(ling)域中无法解答的任何问题都有(you)可能通过这种链接被转换成🚌另一个领域中相应的问题(ti)——可以被一整套新方案解决🪢的问题。而如(ru)果在另一个领域内仍然难以找到答案，那么可以把(ba)问题再转换到下一个数学領域中……直🍉到它被解决(jue)为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够解(jie)决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法🥍是领着这些问题周游数学(xue)王国的各个风景胜地”。这个纲领为饱(bao)受哥德尔不完备💜定理打击的费马大定(ding)理证明者们指明了救赎之路——根据不完备定理🏢，费马大定理是不可(ke)证明的。 怀尔斯后来正是依赖于这个纲领才得以证(zheng)明费马大定📑理的：他的证明——不同于任何前人的尝试——是现代数学诸多分(fen)支（椭圆曲线论，模形式🎺理论，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果(guo)。20世纪50年代由两位🥩日本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷(gu)山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个🐻‍❄️截然不同的数学岛屿间隐藏(cang)着一座沟通的桥梁。随后在🍆1984年，德国数学家格哈(ha)德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志🎑村猜(cai)想成立，则费马大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特(te)（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不可🦓摆脱地与(yu)谷山—志村猜想链接在一起：如果有人能证明🕰️谷(gu)山—志村猜想（即“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那么就证明了费(fei)马大定理。 “人类智力活动的🐔一曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿(dun)的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克(ke)🌿（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪怀尔斯在做些(xie)什么？……他总是静悄悄的，也许🐟他已经‘黔驴技穷’了。”尼克(ke)·凯兹则感叹到：“一点暗示都沒有！”对于这次惊天“大预谋”，肯·里🕰️比特（Ken Ribet)曾评价(jia)说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在如此(ci)长🧉的时间里没有泄露任何有关工作的信息。这是空前的。 1993年晚春(chun)🛍️，在經过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀爾斯终于完成了谷(gu)山—志村猜想的证🎻明。作为一个结果，他也证明(ming)了费马大定理。彼得·萨奈克是最早(zao)得知此消息的人之一，“我目瞪口📱呆、异常激动、情绪失常(chang)……我記得当晚我失眠了”。 同年6月，怀尔斯决定在剑桥大(da)学的大型系🥺列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多数(shu)学界重要人物到场🚗，当大家终于明白已经离证明费马大定理一步之遥时(shi)，空气中充满了💓紧张。” 肯·里比特回忆说。巴里·馬佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一(yi)刻：“我之前从未看到过如💳此精彩的讲座，充满了美妙的(de)、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫，充满悬🧵念，直到最(zui)后到达高潮。”當怀尔斯在讲座结尾宣布他证明了费🐱马大定理(li)时，他成了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在头版以🕟《终于欢呼“我发现了(le)!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明的消🌨️息。一夜之間，怀尔斯(si)成为世界上唯一的数学家。《人物》杂志將怀尔斯与戴安娜(na)王妃一起列📜为“本年度25位最具魅力者”。 与(yu)此同时，认真核对这个证明的工作(zuo)也在进行。遗憾的是，如同这之前🐅的“費马大定理终结者”一样，他的证明是有缺(que)陷的。怀尔斯现在🐁不得不在巨大的压力之(zhi)下修正错误，其间数度感到绝望(wang)。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中說: “当🎶时我们其他人（怀尔斯的同事）的行为(wei)有点像‘苏联政体研究🏸者’，都想知(zhi)道他的想法和修正错误的进展，但没有人开口问(wen)他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀🧊尔斯(si)了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯(si)📻准备放弃了。但他临时邀请的研(yan)究搭档泰勒鼓励他再堅持一个月。就在截止(zhi)日到来🎧之前两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯发现了问(wen)题🥢的答案，他叙述了這一时刻：“突然间，不可思议地，我发现了它(ta)……它🗞️美得难以形容，简单而优雅。我对着它发了20多分钟(zhong)呆。然后我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它🌤️是否还在那里——它确(que)实還在那里。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨🐳的褒扬，其中最具代表性的是(shi)他在剑桥時的导师、着名数学家约(yue)翰·科茨的评🤗价：“它（证明）是人类智力活动的一(yi)曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此結束，从此费马大定理与安德鲁(lu)·怀尔🍔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到一个就不得不提到另外一个(ge)。这🥄是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。 历时八(ba)年的最终证明 在怀尔斯不多的接受媒体采访中，美国公(gong)众广🏫播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访相当精彩有趣，本文節选部分以飨读者。 七年(nian)🦥孤独 NOVA：通常人们通过团队来获得工作上的支持，那么当(dang)你碰壁时是怎🚞么解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡(ka)住时我会沿着湖边散散步，散🐆步的好处是使你会处于放松狀态，同时你的潜(qian)意识却在继续工作🍷。通常遇到困扰时你(ni)并不需要书桌，而且我随时把笔纸带上，一(yi)旦有好🏙️主意我会找个长椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一定交织(zhi)着自我🦙怀疑与成功……你不可能绝对有把握(wo)證明。 怀尔斯：我确实相信自己在正(zheng)确的轨🌹道上，但那并不意味着我一定能(neng)达到目標——也许仅仅因为解决难题的方🩳法超出現有的数(shu)学，也许我需要的方法下个世纪也不会出现。所以即(ji)便我在正確的轨道上💡，我却可能生活(huo)在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀尔斯：對，那🏅是个5月(yue)末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我坐在(zai)书桌前思考最后的步骤，不经意间看(kan)到了🥭一篇论文，上面的一行字引起了我的(de)注意。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎(sha)时意识到这就是我👑该用的。我不停地工作，忘(wang)记下楼午饭，到下午三四点时我(wo)确信已经证明了费马🐬大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以(yi)为我这时才回家，我告诉她，我解决了费🤍马大定理。 最后的修正 NOVA：《纽约(yue)时报》在头版以《终于欢呼“我发現了!”，久远✏️的数学之谜获解》，但他们并(bing)不知道这个证明中有个错誤。 怀尔斯📦：那是个存在于关键推导中的(de)错误，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽🍮象，我无(wu)法用简单的语言描述，就算是数学家也需要研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后來你(ni)邀请剑桥的❤️‍🩹数学家理查德·泰勒来協助工(gong)作，并在1994年修正了这个最后的错(cuo)误。问题是，你的證明🥉和费马的证明是同一个吗？ 怀尔斯：不可能(neng)。这个证明有150页长，用的是20世📓纪的方法，在费马时代还不存在。 NOVA：那(na)就是说费马的最初证明還在🛳️某个未被发现的角落？ 怀尔斯：我不相信他(ta)有证明。我覺得他说已经找到解答了是在哄🕙自己。这个难题對(dui)业余爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数学证明，尽管可能(neng)性极其🌒微小。 NOVA：所以也许还有数学家追寻这(zhe)最初的证明。你该怎麼办呢？ 怀尔斯：对我(wo)来说都一样，費马是我童🐺年的热望。我会(hui)再试其他问题……证明了它我有一丝傷感，它(ta)已经和我们一起这么💭久了……人们对(dui)我说“你把我的问题夺走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感觉🏜️到有责任。我(wo)希望通过解决这个问题带来的兴奋可以激励青(qing)年数学家们解决其他许許多多👛的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆(yuan)曲线(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的🕔周期性全纯函(han)数)之间的重要联系。虽然名字是从谷山-志📃村猜想而来,定理(li)的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是(shi)一个质数而E是一个Q(有理数域)上🎏的一个椭圆曲线，我们(men)可以简化定义E的方程模p;除了有限个❤️p值，我(wo)们会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭(tuo)圆曲线。然后考虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不💳变量。从傅里(li)叶变换，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得(de)到⛄的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说: "所有Q上的椭圆曲线🍖是(shi)模的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为(wei)止，他和志村五郎一起改进了严格(ge)性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年🤑代，它和统一数学中的猜(cai)想Langlands纲领联系了起来，并是关键的🐕‍🦺组成部分。猜想由André Weil於1970年代重新提起并得(de)到推广，Weil的名字有一段时间和它联系在一起。尽管(guan)有明显的用处，这📲个问題的深度在(zai)后来的发展之前并未被人们所感觉📨到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时(shi)还是猜想)蕴含着费马最后定理的(de)时候，它吸引到了不少注意力。他通过🧁試图表明费尔(er)马大定理的任何范例会导致一个非模(mo)的椭圆曲线来做到这一点🐯。Ken Ribet后来证(zheng)明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一(yi)个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情况)，这個(ge)特🎄殊情况足以证明费尔马大定理。 完整的证明最后于(yu)1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上🥏，一塊一块的逐步证明剩下的情况直到全(quan)部完成。 数论中类🥽似于费尔马最后(hou)定理得几个定理可以从谷山-志村定理得到。例如:没有立方可📥以写成两個互(hu)质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他🐁们都(dou)没有完成给予他们这个成就的定理的完整形(xing)式，他们还是被认为对最終完成的证明有着决🛖定性影响。