费马大定理电影完整版

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始(shi)末，往前回溯来看，1994年🍡正是我在念大学的时候，当时完全没有一位(wei)教授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真正📅的研究者，自然而(er)然地会被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指(zhi)引，引导🍁他走向更高深的专业认知(zhi)，而指引的道路，就在科普的精神上。 从費玛🎾最后定理的历史(shi)中可以发现，有许多研究成果，都是研究人🛹员燃烧热情，试图(tu)提出「有趣」的命题，然後再尝试用逻辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不🚎存在整数(shu)解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦(tan)普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问(wen)题 The Last Problem」，故事从这里开😲始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一(yi)个直角三角形，斜边的平方=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯💌三元组：毕氏定理(li)的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题(ti)8时，在页边写下了註记 「不可能將一个🥈立方数写成两个立方数之和；或者将(jiang)一个四次幂写成兩个🌨️四次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於(yu)2次幂，写成两个同样🍽️次幂的和。」 「对这个命题我有一个十分美(mei)妙的证明，这里空白太小，写不🍷下。」 4. 1670年，费瑪 Fermat的儿子(zi)出版了载有Fermat註记的「丢番圖的算数」 5. 在Fermat的其(qi)他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂哈德‧欧🗽拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解(jie) 3是质数，現在只要证明费玛最后定理对於所有的(de)质数都成立 但 欧基里德 证明「存🚐在无穷多个质数(shu)」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最后定理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞(rui)-狄利克雷 和 阿得🎨利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热(re)尔曼的证明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了🥩 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古(gu)斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费瑪最(zui)后😅定理 最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，說科西与(yu)拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一因❤️‍🩹子分解性(xing)质」而失败 库默尔證明了 费玛最(zui)后定理的完整证明 是当时数🚅学方法不可能(neng)实現的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明 这表🐺示(shi) 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决 沃尔夫斯凯(kai)尔提供了 10万马克 给提供证明的人，期(qi)限是到🦅2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数學上23个未(wei)解决的问题且🍅相信这是迫切需要解(jie)决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不🦆可判定性定理 第一不可判(pan)定性定理：如果公理集合论是相容💺的，那么存在既不能证明又不能(neng)否定的定理。 => 完全性是不可能达到的 第二不可判定性定🍥理：不存(cun)在能证明公理系统是相容的构造性过程。 => 相容性(xing)永远不可能證明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发(fa)展了可以检验給定问🥛题是不是不可判定的方法（只(zhi)适用少数情形） 证明希尔伯特23个问题中，其中一个🐎「连续统假设」问題是(shi)不可判定的，这对於费玛最后定理来(lai)♥️说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机 开始(shi)有人利用暴力解决方法，要对 费玛最後定理 的n值一(yi)🕠个一个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於(yu) Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存🥉在解这个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安(an)德鲁‧懷尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆(yuan)曲线 研究椭圆曲线的📇目的是要算出他(ta)们的整数解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组(zu)整数解 52=33-2 (费玛⛴️证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一个(ge)立方数中间) 由🛤️於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为了(le)简化问题，数学家採用「时鐘运算」方法 在(zai)五🚂格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可(ke)能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个🌄解(jie) 对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年(nian) 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的(de)对🐁称性的 modular form 模型式 模型式的要素可(ke)从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范(fan)例 1955年9月 提出💹模型式的 M序列 可以对應到椭圆曲线的 E序列，两个不同领(ling)域的理论突然被连接在一起 安德列‧韦🛹依 採纳这个想(xiang)法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗蘭兹纲领」的计画，一(yi)个统一化猜想的理论💮，并开始尋找统一的环链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设(she)费玛最🥳后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方(fang)程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆(yuan)方程式太🦦古怪了，以致於无法被模型式化 (3) 谷(gu)山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型(xing)式化 (4) 谷😼山-志村猜想 是错误的 反过来说 (1) 如果 谷山-志村猜想 是(shi)对的，每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每一个📥椭圆方程(cheng)式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程(cheng)式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方程🍔式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是對的(de) 20.1986年 肯‧贝里特🎮 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型式化 如果有(you)人能够证明谷山-志村猜想，就表示(shi)费玛最后定理也是正🥎确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋(mou)，他每隔6个月发表一篇小论文，然后自🌘己独力尝试证明穀山(shan)-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯(si)特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序列以⛸️「自然次序」一一对应到(dao)M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分(fen)几何学证明谷🚀山-志村猜想，但结果失败(bai) 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无(wu)限多项，然后也證明了🥃第一项必定是模型式的第一项(xiang)，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失🏣败 24.1992年 修改 科利瓦(wa)金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方程(cheng)式🏦都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验(yan)证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志🦡村猜想的证明 27.1993年(nian)9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯🍰 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解(jie)决缺陷，他不希望在这时候公布证明，让其他人分享完(wan)成证明🚏的甜美果实 28.安德魯‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边(bian)缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发(fa)🐧现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完(wan)全解決问题 30.「谷山-志村猜🏛️想」被证明了，故得证「费玛最后定理」 ii 费马大定理(li) 300多年以前，法国数学家费马在一🥗本书的(de)空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非(fei)零整数📘解”。 费馬宣称他发现了这个定理的一个真正奇(qi)妙的證明，但因书🩴上空白太小，他写不下他的证(zheng)明。300多年过去了，不知有多少专業数学家和(he)业余数学爱🍣好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功(gong)而返就是进展甚微。这就是🍽️纯数学中最着名的定理—费馬大(da)定理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩(cai)的数学家，他最🦞初学習法律并以当律师谋生，后来成(cheng)为议会议员，数学只不过是他的业余🎱爱好，隻能利用闲暇来研(yan)究。虽然年近30才认真注意数学，但♨️費马对数论和微积分做出了第(di)一流的贡献。他與笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同🙊时又是(shi)17世纪興起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数(shu)论，提出了許多定理⛺，但费马只对其中一个定(ding)理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未🐨被证明(ming)外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的🎥定理就是上面所(suo)说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的(de)定理，所以又称为🍦费马最后定理。 费马大定理虽然至今仍没有完全被证(zheng)明，但已经🍐有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔(ta)夫證明了对小于105的素数费马大定🥢理(li)都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷(ting)斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡🍾献使他在1986年(nian)获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英🍦国数学家威尔(er)斯宣布证明了费马大定理，但随后发现🛹了证明中的一个漏(lou)洞并作了修正。雖然威尔斯证明费马大定☄️理还没有得到数学界的(de)一致公认，但大多数數学家认为他证明的思(si)路是正确的。毫无疑问，这使人📺们看到了(le)希望。 为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一🏝️代又一代的(de)数学家們前赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿🚋大学的安德鲁·怀尔(er)斯教授经過8年的孤军奋战，用13 0页长的篇幅证明了费马大定(ding)📹理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。 费马大定理提出的问题非(fei)常简单，它是用一个每个中學生都熟悉的数🦋学定理——毕达 哥拉斯(si)定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯(si)定理说：在一个直角三角形👔中， 斜边的平(ping)方等于两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公(gong)元1637年前后🎳 ，当费马在 研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常💞类(lei)似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个(ge)方程没有任何整数解。费马在《算😊术》这本书的靠近(jin)问题8的页边处记下这 个结论的同时(shi)又写下一个附加的评注🐎：“对此，我确信已发現一个(ge)美妙的证法，这里的空 白太小，写不下。”这🚀就是数學史上着名的费马大定理(li)或称费马最后的定理。費马制造了 一个数学史(shi)上最深奥的谜。 大问題 在🥗物理学、化学或(huo)生物学中，还没有任何问题可以叙述得(de)如此简单和🌸清晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书(shu)中写到， 文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了😽尽头。证明费(fei)马大定理成为数论中最 值得为之奋斗的事。 安德鲁🚃·怀(huai)尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时代的怀(huai)尔斯 已着迷于數学📱了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我(wo)把它们带回家， 编寫成我自己的(de)新题📠目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的圖书馆里发现的(de)。 ”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆(guan)看😳见了一本书，這本书只有一个问题而没有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这(zhe)就是E·T·贝尔写的《大問🥅题》。它叙述了(le)费马大定理的历史，這个定理让一(yi)个又 一个的数学家望而生畏，在长达300多年🚦的时(shi)间里没有人能解决它。怀尔斯30多年後回忆 起被引向(xiang)费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单🗾，但历史上所有的大数(shu)学家都未能解 决它。这里正摆着(zhe)我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻🍌起，我知道我永 远不会放(fang)弃它。我必须解决它。” 怀尔斯1974年从牛津大学(xue)的Merton学院获得数学学士学位，之后进入(ru)剑🙃桥大学Clare 学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究(jiu)。他🕢说：“研究费马可能 带来的问题是：你花费了多年的时间而最終一(yi)事无成。我的🐺导师约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭(tuo)圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作(zuo)🥑。” 科茨说：“我记得一位同事 告诉我，他有一个(ge)非常好的、刚完成数学学士荣誉😃学位第三部考试的学生，他催促我收(shou)其 为学生。我非常荣幸有安德魯这样的学生。即使从(cong)🦢对研究生的要求来看，他也有很深刻的 思想，非常(chang)清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究🐸生在那个阶段(duan)直接开始研 究费马大定理是不可能的，即使对资历(li)很深的数学家来说，它也🖨️太困难了。”科茨的责任 是为怀尔斯找到某种至少能(neng)使他在今后三年里有兴趣🌜去研究的问题。他说：“我认为研究 生导师能(neng)为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果🎶的方向。当然(ran)，不能保证它一定 是一个富有成果的研究方(fang)向，但是也许年长的数學家在这(zhe)个🌶️过程中能做的一件事是使用他 的常识、他对好领域的(de)直觉。然后，学🍐生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决(jue)定怀尔斯应该研究数学🐊中称为椭圆曲线的领域。這个决定成为怀尔斯职业(ye)生涯中的 一个转折点，椭圆🕹️方程的研究是他实现夢想的(de)工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普🎫林斯(si)顿大学，并成为这所大学 的教授(shou)。在科茨的指導下，怀尔斯或许比世界上其他人都更🍱懂得椭圆方(fang)程，他已经成为一 个着名的数论学家，但他清楚地意识到(dao)，即使以他广博🦊的基础知识和数学修养，证明费马 大定理的任务(wu)也是极为艰巨的。 在怀尔斯的费马大定理的證(zheng)明🍏中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该(gai)猜想在两个非 常不同的数学领域间建立了一座(zuo)新的桥梁🍡。“那是1986年夏末的一个傍(bang)晚，我正在一个朋 友家中啜饮冰茶🎞️。谈话间他(ta)随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山－志(zhi)村🦢猜想与费马大 定理間的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个(ge)改变我生🍂命历程的时刻，因为 这意味着为了证明費马大定理，我🛖必须做的一(yi)切就是证明谷山－志村猜想……我十分清楚 我应该(gai)回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望🕹️见了(le)一条实现他童年梦想的道路。 20世纪初，有人问伟大的数学家大🍔卫·希(xi)尔伯特为什么不去尝试证明費马大定理，他 回答说：“在开(kai)始着手之前，我必须用3年的时间📦作深入的研究(jiu)，而我没有那么多的时间 浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知(zhi)道，为💻了找到证明，他必须全身心地投入到 这个问题中，但是与希尔伯特不(bu)一样，他愿意冒这个♨️风险。 怀尔斯作了一个重大的决定：要(yao)完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费 馬大定(ding)理有关的任何事🥾情都会引起太多人的兴趣。你确实(shi)不可能很多年都使自🛎️己精力集中 ，除非你的专心不被他人分(fen)散，而这一点会因旁观者太多而做🏍️不到。”怀尔斯放弃(qi)了所有 与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能(neng)他就回到家里工💖作，在家里的顶 楼书房里他开始了通过谷山－志(zhi)村猜想来证明费马大定理的战斗(dou)。 这是一场长达7年🎻的持久战，這期间只有他的妻子知道他在证明费马大(da)定理。 欢呼与等待 经过7年的努🍌力，懷尔(er)斯完成了谷山－志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了 费马大(da)定理。现在是向世界公🍁布的时候了。1993年6月底，有一(yi)个重要的會议要在剑桥大 学的牛顿研究所举🐨行。怀尔斯(si)决定利用这个机会向一群杰出的听(ting)众宣布他的工作。他选择 在牛顿研究所🏔️宣(xuan)布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡(xiang)，他曾经是那里的一🔔名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行(xing)了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名(ming)数學家聆 听了这一演讲🍈，但他们之中只有四分之一的人(ren)完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达 的意思。其余的人来💯这裡(li)是为了见证他们所期待的一个真正具有(you)意义的时刻。演讲者是安 德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演🚄讲最后时刻(ke)的情景：“雖然新闻界已经刮起有关演讲的风 声，很幸运他们没有来(lai)听演讲。但是听众中有人🍯拍摄了演讲结束时的镜头，研究(jiu)所所长肯 定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证(zheng)明时，会场上🎼保持着特别庄重的寂静，当我写完 费马大定理的证明时，我说(shuo)：‘我想我就🕕在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声 。” 《纽约时(shi)报》在头版以《终于欢📜呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道(dao) 费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯(si)成为世界上最着名🖲️的数学家，也是唯一的数 學家。《人物》杂志将怀尔斯与(yu)戴安娜王妃一起列为“本年度🖊️25位最具魅力者”。最有创 意的赞美来自一家国(guo)际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他(ta)们新系列🥜男装的模 特。 当怀尔斯(si)成為媒体报道的中心时，认真核对这个证明的工(gong)作也在进行。科学的程序要📺 求任何数学家将完整(zheng)的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编(bian)辑将它送交一组审 稿人，审稿🎙️人的职责是进行逐行的审(shen)查证明。懷尔斯将手稿投到《数学发明(ming)》，整整一个 夏天📂他焦急地等待审稿人的意見，并祈求能得到(dao)他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被发 现了。 我的心灵归于平静🛍️ 由于懷尔斯(si)的论文涉及到大量的数学方法，编(bian)辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指(zhi)定 2－3个审稿人，而是🌇6个审稿人。200页的(de)证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。 怀尔斯在此期🏀间中断了他的工作(zuo)，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这 些(xie)问🏥题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了 证(zheng)明中的一個小🎽缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑(yi)地证明他的方法中的每一步都 行得通。怀尔斯以为这又是(shi)一個🚀小问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了(le)⛴️ ，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准备承認失败。他向同事彼得·萨克说🦗明(ming)自己的情 况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论(lun)问题并🧂且可信赖的人。经过 长时间的考虑后，怀尔斯(si)决定邀请剑🧆桥大学的講师理查德·泰勒到普(pu)林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月份到普林🌓斯顿，可是到了9月，依(yi)然没有结果，他们准备放弃了。泰勒 鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决(jue)定在9月底作最后一🚞次检查。9月19日，一个星期一的早 晨，怀尔斯发现了问题的(de)答案，他叙述了这一时🦗刻：“突然间，不可思议地，我有了(le)一个 难以置信的发现。这是我🌆的事业中最重(zhong)要的时刻，我不会再有这样的经历……它的美是如 此地难以形容；它(ta)又是如此简单和优美。20多分钟的🌿时间我呆(dai)望它不敢相信。然后白天我 到系里转了一圈，又回到(dao)桌子旁看看它是否还🔮在——它还在那里。” 这是少年时代的梦想和8年潜心努力(li)的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世 界🌎不再怀(huai)疑这一次的证明了。这两篇论文总共有130页，是历史(shi)上核查得最彻底的数学稿 件，它们(men)发表在1995年💚5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的(de)头版 上，标题是《數学家🌝称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用(yong)数学的术语来说，这個最 终的📟证明可与分裂原子或(huo)发现DNA的结構相比，对费马大定理(li)的证明是人类智力活動的一 曲凯歌，同时，不能忽(hu)视🦄的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来，安 德鲁(lu)成果的美和魅力🏛️在于它是走向代数数论的巨大的一步(bu)。” 声望和荣誉纷至沓🦋来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发(fa)的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院(yuan)外籍院士。 懷尔斯说⏲️：“……再没有别的问题(ti)能像费马大定理一样对我有同样的意义(yi)。我拥有如 此少有的特权，在我的成(cheng)年时期🏪实现我童年的梦想……那段特殊漫长的(de)探索已经结束了， 我的心已归於平静。” 费马大定理🥮只有(you)在相对数学理论的建立之后，才会得到最满意的答(da)案。相对数🤎学理論没有完成之前，谈这个问题是无力地.因为人们对数(shu)量和🚃自身的认识，还没有达到一定的(de)高度. iii 费马大定理与懷尔斯的因果律-美国公众广播网(wang)💜对怀尔斯的专访 358年的难解之谜 数学爱好者费马提出的这🛰️个问题(ti)非常简单，它用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥(ge)🍢拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜(xie)边的平方等于兩个直角边的📥平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年(nian)前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程(cheng)时，他在《算术》这本书靠近问题8的页🎀边处写下了这段文字(zi)：“设n是大于2的正整数，则不定方程🍃xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信(xin)已发现一个美妙的证法，但这😸里的空白太小，写不下。”费马(ma)习惯在页边写下猜想，费马大定理是其🎲中(zhong)困扰数学家们时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理(li)）——公认为有史以来最着名⛅的数学猜想。 在畅(chang)销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的长达358年的猎逐(zhu)充🐌满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后(hou)涉及到最多产🌻的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职(zhi)业数学家的🚠柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试驗大师库默尔和被(bei)誉为“法国历史上知识最为高深的女性”的苏🗾菲·姬尔曼……法国数学(xue)天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德(de)國数学爱好者保罗·沃尔🖨️夫斯凯尔最后一刻的舍死求生等等，都仿佛(fu)是冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的一幕，为最🌆後谜底的解开埋下伏笔。终于(yu)，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底，把這出(chu)戏推向📃高潮并戛然而止，留下一段耐(nai)人回味的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马大定理不仅是破(po)译一个難解之谜，更是🔥去实现一个儿时的梦想。“我10岁时在图书馆找到(dao)一本数学书，告诉我有这麼🛝一个问题，300多年前就已经有人(ren)解决了它，但却没有人看到过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那以(yi)后，人🍗們就不断地求证。这是一个10岁(sui)小孩就能明白的问题，然后🗺️历史上諸多伟大的数学家们却(que)不能解答。于是从那时起，我就试过解决它🍱，这个問(wen)题就是费马大定理。” 怀尔斯于1970年先后在牛津大学和剑(jian)桥大🦎学获得数学学士和数学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把(ba)费马大🐟定理搁在一边了。这不是因为我忘了它，而(er)是我认识到我们所掌握的用来攻克它的(de)全部🗯️技术已经反复使用了130年。而(er)这些技术似乎没有触及问题根本。”因为担心耗费太多时间而(er)一无所获，他“暂🛟时放下了”對费马大定理的思索，开始研究(jiu)椭圆曲线理论——这个看似与证明费马大定理不相关的(de)理论后来却🐆成为他实现梦想的工具。 时间回溯至(zhi)20世纪60年代，普林斯顿数学家朗兰兹提出了📇一个大胆的猜想：所有主要数学(xue)领域之间原本就存在著的统一的链接。如果这个猜(cai)想🏀被证实，意味着在某个数学领域中无(wu)法解答的任何问题都有可能通过这种链(lian)接🍛被转换成另一个领域中相应的问题——可以被一整套新方(fang)案解决的问题。而如果在另一个领域內仍然难🍤以找到答案，那么可以把问题(ti)再轉换到下一个数学领域中📱……直到它被(bei)解決为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数(shu)学家们将能够解决曾經是最深奥最难对付的问题——“办法是📖领着(zhe)这些问题周游数学王国的各个风景胜地”。这个纲领为(wei)饱受哥德尔不完备定🥍理打击的费马大定理证明者们指(zhi)明了救赎之路——根据不完备定理，费馬大定理是不可证明的。 怀(huai)尔斯🌉後来正是依赖于这个纲领才得以证明费马大定理的：他的证(zheng)明——不同于任何前人的尝试——是现代数(shu)学🎋诸多分支（椭圆曲线论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综合(he)发挥作用的結果。20世纪50年代由两位日(ri)本数学家💳（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜(cai)想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方🍡程与模形式两個截然不同的数学岛屿间隐藏著(zhe)一座沟🧩通的桥梁。随后在1984年，德国数学家格哈德·费賴（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如(ru)谷山—志村猜想成立，則费马大定理为真。这个🥇猜想紧接着在1986年被(bei)肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，費马大定理不💦可摆脱地与谷山—志村猜想链(lian)接在一起：如果有人能证明谷山—志村猜想（即“每一个🎥椭圆方程都可以模(mo)形式化”），那么就证明了费马大定理。 “人类🌒智力活動的一曲凯歌” 怀尔(er)斯诡秘的行踪讓普林斯顿的着名数学家同事們困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回(hui)🎧忆说：“ 我常常奇怪懷尔斯在做些什么？……他总是静悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷(qiong)🍱’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对(dui)于这次惊天“大预谋”，肯·里比特🌊（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来见过的唯一(yi)例子，在如此🐪长的时间里没有泄露任何有关工作的信息。这是空前(qian)的。 1993年晚春，在🐽经过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷🐡山—志(zhi)村猜想的证明。作为一个结果，他(ta)也证明了费马大定🌠理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我目瞪(deng)口呆📈、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失(shi)眠了”。 同年6月，怀尔斯决定在剑桥大学🔦的大(da)型系列講座上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多数学界重要人(ren)物到场，当大🏵️家终于明白已经离证明费马大定理一步之遥时，空气(qi)中⌚充满了紧张。” 肯·里比特回忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永遠也忘不了那一刻：“我之前(qian)从未看到过如此精彩的讲座，充🔈满了美妙的、闻所未闻的新思(si)想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮。”當怀尔斯在讲(jiang)🏈座结尾宣布他证明了费马大定理时，他成了全(quan)世界媒体的🏕️焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发現了(le)!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明的消🚂息。一夜(ye)之间，怀尔斯成为世界上唯一的(de)数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本🎋年(nian)度25位最具魅力者”。 与此同时，认真核对这个证明的工作(zuo)也在进🌁行。遗憾的是，如同这之前的“费马大(da)定理终结者”一样，他的证明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不在(zai)📩巨大的压力之下修正错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访(fang)谈中说🕘: “当时我们其他人（怀尔斯的同(tong)事）的行為有点像‘苏联政体研究者🤪’，都想知(zhi)道他的想法和修正错误的进展，但没有人开口问他。所以，某🏢人会说，‘我今天(tian)早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑(xiao)，但🕋看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔(er)斯准备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他再坚持(chi)一个月。就在截📝止日到来之前两周(zhou)， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯发(fa)现了问题的答案，他敘述了这一时刻：“突然间，不可思议🌍地，我发现了它……它美得(de)难以形容，简单而優雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我(wo)🏷️到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否(fou)还在那里——它确实还在那里😹。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨(kai)的褒扬，其中最具代表性的是他在🐭剑(jian)桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证明(ming)）是人类智力活动的一曲凯歌”。 一场🥽旷日持久的猎逐就(jiu)此結束，从此费马大定理与安德鲁·懷尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到(dao)一🐅个就不得不提到另外一个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的🖼️因果(guo)律。 历时八年的最终证明 在怀尔斯不多的接受媒体采访中，美🦙国公众广(guang)播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专訪相当精(jing)彩有趣，本文节选部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们(men)通过团💕队来获得工作上的支持，那么当你碰壁时是怎(zen)么解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我会(hui)沿🕟着湖邊散散步，散步的好处是(shi)使你会处于放松状态，同❤️‍🩹时你的潜意识却在继续工作。通常遇到(dao)困扰时你并不需要书桌，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主意我会找🛰️个(ge)长椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑(yi)与成🗾功……你不可能绝对有把握证明。 怀尔斯：我(wo)确實相信自己🐠在正确的轨道上，但那并不意味着我一定能达(da)到目标——也許仅仅因为解决难题的方法超出现有的数学，也许我🍥需要的方法(fa)下个世纪也不会出现。所以即便我(wo)在正确的🤑轨道上，我却可能生活在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你(ni)取得📿了突破。 怀爾斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩(hai)子们出去了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经📿意间看到了一(yi)篇论文，上面的一行字引起了我的注意。它提到了一个(ge)19世纪的数学結构，我霎时意识到这⛳就是我该用的。我不停地工作，忘记下楼(lou)午饭，到下午三四点时我确信已经证明了(le)费马大定理，然后下楼🌤️。Nada很吃驚，以为我这时才回(hui)家，我告诉她，我解决了费马大定理。 最后的修(xiu)正🥨 NOVA：《纽约时報》在头版以《终于欢呼“我发现(xian)了!”，久远的数学之谜获解》，但他🗻们并不(bu)知道这个证明中有个错误。 怀尔斯：那是个存在于关键推导中的错误，但(dan)它如此微妙以至于我忽⛑️略了。它很抽象，我(wo)无法用简单的语言描述，就算是数学家(jia)也需要研习兩三个月才能🍷弄懂。 NOVA：后来你邀请劍桥的数学(xue)家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了這个最🥋后的错误。问(wen)题是，你的证明和费马的证明是同(tong)一个吗？ 怀尔斯：不可能。这個证明有150页长，用的是20世纪的方法🐻，在费马(ma)时代还不存在。 NOVA：那就是说费馬的最初证明还在某个未🥰被发现的(de)角落？ 怀尔斯：我不相信他有证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄(hong)自己。这个难题对业余爱🐅好者如此特别在(zai)于它可能被17世纪的数学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所(suo)以也许还有数学家追寻这📆最初的证明。你(ni)该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说都一样，费马是(shi)我童年的热望。我会再试其他问題……证明了它🏉我有一丝伤感，它已经和我(wo)们一起这么久了……人们对我说“你把我🌮的问题夺走了”，我能帶给他们其(qi)他的东西吗？我感觉到有责任。我希📹望(wang)通过解决这个问题带来的兴奋可以激励青年數学家(jia)们解决其他许许多多的难题。 iv 谷山-志🗺️村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆(yuan)曲线(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的(de)周期性全纯函数)之间的重😌要联系。虽然名字是从谷山(shan)-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁(lu)·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个🥖质数而E是一個Q(有理数域)上的一(yi)个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方(fang)程模p;除了有限个🛎️p值，我们会得到有np个元素的(de)有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列🌖 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重(zhong)要的不变量。从傅里叶变換，每个模形⛸️式也会产生一个(ge)数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山(shan)-志村定🥙說: "所有Q上的椭圆曲线是模(mo)的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想(xiang)。到1957年🏣为止，他和志村五郎一起改进了严格性。谷山于(yu)1958年自殺身亡。在1960年代，它和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了💿起来，并是关(guan)键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推🤓广，Weil的名字有一(yi)段时间和它联系在一起。尽管有明显的😉用处，这个问题的深(shen)度在后来的發展之前并未被人们所感觉(jue)到🔥。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是猜想(xiang))蕴含着费马最后定理的时候，它吸引到了(le)不少注意👑力。他通过试图表明费尔马大(da)定理的任何范例会导致一个非模的(de)椭圆曲线来做到这🥼一点。Ken Ribet后来證明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了(le)谷山-志村定理的一🧾个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情(qing)况)，这个特殊情况足以证明费尔马大定理。 完整的🏺证明最后(hou)于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一(yi)块的逐步证明剩下的🍴情况直到全(quan)部完成。 数论中类似于费尔马最后(hou)定理得几个定理可以从谷山-志村定(ding)理得到。例如😋:沒有立方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所(suo)知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖⌨️。虽然他们都没有完成給(gei)予他们这个成就的定理的完整形式，他們还是被认为对最(zui)终完成的证明有著🐕决定性影响。