费马大定理电影在线观看

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历(li)史始末，往前回溯来看，1994年正是我在念大🍥學的时候(hou)，当时完全没有一位教授在课堂上(shang)提到这件事，也许他们认为，一位真正的研究者🔎，自然而然地会(hui)被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他(ta)需🏆要的是老师的指引，引导他走向更高深的专(zhuan)业认知，而指引🥌的道路，就在科普的精神上(shang)。 从费玛最后定理的历史中可以发现，有许多研(yan)究成果，都🧐是研究人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然(ran)后再尝试用逻辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在⌨️整数解 1. 1963年(nian) 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引(yin)，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一(yi)🗼个直角三角形，斜边的平方=另外两边的(de)平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元組：毕氏定理的整数(shu)解 3. 费玛🥽 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题(ti)8时，在页边写下了註记 「不可能将一个立方数写🍍成两个(ge)立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的(de)来说，不可能将一个高🗺️於2次幂，写成两个同样次幂的和。」 「对这个命题我有一个(ge)十分美妙的证明，这里空🥃白太小，写不(bu)下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记(ji)的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记中，隐含(han)了对 n=4 的证🎷明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时(shi)无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只要证明费玛最后定理对於所有的质(zhi)数🦼都成立 但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数(shu)，证明了 费玛最后定理 "大概" 无💓解(jie) 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利(li)埃‧勒让德 延伸热🧵尔曼的证明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解(jie) 9. 1847年 拉梅 與 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经(jing)证明了🌩️ 费玛最后定理 最后是刘维爾宣读了 恩斯特‧库(ku)默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一🦎因子分解性质」而失败(bai) 库默尔证明了 费玛最后定理的完整(zheng)证明 是當时数学方法不可🎽能实(shi)现的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明 这表示 费(fei)玛最后定理的完整证明 尚未被解😜决 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克(ke) 给提供证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大(da)卫‧希尔伯特，提🐕出数学上23个未解决的问題且相信这是迫(po)切需要解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定(ding)理 第一不可🎍判定性定理：如果公理集合论是相容的，那么存在既不(bu)能证明又不能否定的定理。 => 完📆全性是不可能达到的 第二不可判定性(xing)定理：不存在能证明公理系统是相容🏺的構造性过程。 => 相容性永远(yuan)不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不🕒是不可(ke)判定的方法（只适用少数情形） 证明希尔伯特23个(ge)問题中，其中一个「连续统🥑假设」问(wen)题是不可判定的，这对於费玛最(zui)后定理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编🍦码 的反转机 开始有(you)人利用暴力解决方法，要对 费玛最后定理 的n值一个一个加以证明。 15.1988年 內(nei)奥👻姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles 师承 约🏞️翰‧科次，研究椭圆曲线 研究椭圆曲线的目的是(shi)要算出他🌷们的整数解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 隻有一组(zu)整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹📬在一个平方数与一个(ge)立方数中间) 由於要直接找出椭圆曲(qu)线是很😼困难的，为了简化问题，数学家採(cai)用「时鐘运算」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭(tuo)圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然🛰️後可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个(ge)解 對於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎⏱️ 与 谷(gu)山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式 模型式的要素可从1开始标号(hao)到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序🛟列 要素个数 可写成(cheng) M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圆曲(qu)线的 E序🏝️列，兩个不同领域的理论突然被连接在一起 安德列(lie)‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗🥳兰兹纲领(ling)」的计画，一个统一化猜想的理论，并开始寻找统一的环链(lian) 19.1984年 格哈德‧弗賴 Gerhard Frey 提出 (1) 假设费玛最后定理💶是错的，则 xn+yn=zn 有整数解(jie)，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 這样的椭圆🪁方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪(guai)了，以致於无法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 断言每一(yi)个椭圆方程式都可以🚍被模型式化 (4) 谷山-志(zhi)村猜想 是错误的 反过来說 (1) 如果(guo) 谷山-志村猜想 是对的🛳️，每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每一(yi)个椭圆方程式都可以被模型式化，则不存(cun)在弗赖椭圆💍方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方程式，那(na)么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特(te) 证🎆明 弗賴椭圆方程式无法被模(mo)型式化 如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后定(ding)理也是正🐛确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小陰谋，他每隔6个(ge)月发表一篇小论🕦文，然后自己独(du)力尝试证明谷山-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里(li)斯特‧伽罗🌔瓦 的群論，希望能将E序列以「自然次序」一一对应(ying)到M序列 22.1988年 宫冈洋🔎一 发表利用微分几何学证明(ming)谷山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安德鲁‧懷尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成🏭无限(xian)多项，然後也证明了第一项必定是模型式的第一项，也(ye)尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败 24.1992年(nian) 修🎛️改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圓方程式都奏效 25.1993年 寻求(qiu)同♠️事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔(er)斯 Andrew Wiles 发表谷山🚍-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺(que)陷 安德☁️鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决缺陷，他(ta)不希望在这时候公布证明，让其他人分享完成证🍰明(ming)的甜美果實 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边(bian)缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年9月(yue)🏗️19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金(jin)-弗莱契 方法就能够完全解决问题 30.「谷山-志村猜想」被证明了，故得证「费🍙玛最后(hou)定理」 ii 费马大定理 300多年以前，法国数学家費(fei)马在一本书的空白处写下了一个定理：“设🍕n是大于2的(de)正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整(zheng)数解”。 费马宣称❤️‍🔥他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但(dan)因书上空白太小，他🏎️写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专业数(shu)学家和业余数學爱好者绞尽脑汁企图证明它(ta)，但不是无功🕡而返就是进展甚微。这就是纯数学中(zhong)最着名的定理—费马大定理。 费🏘️马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家(jia)，他最初學习法律并以当律师🏩谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的(de)业餘爱好，只🌆能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注(zhu)意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献⚽。他與笛卡儿几(ji)乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论🥸的探索者之(zhi)一。费马特別爱好数论，提出了许多定理(li)，但费马只对其中一个定理给出(chu)了👡证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其📔余的陆续(xu)被后来的数学家所证實。这唯一未被证明的定理就是上面所(suo)说的费马大定理，因为是最后一🌅个(ge)未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理。 费马大定理虽(sui)然至今仍没有完全被证明，但🎽已经有了很大进展，特别是最近几十年，进(jin)展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数🦚费马(ma)大定理都成立。1983年一位年轻的德國数学家法尔廷(ting)斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有🔔有限多组解，他(ta)的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年(nian)英国🎳数学家威爾斯宣布证明了费马大定理，但随后发现了证明中(zhong)的一个漏洞并作了修正。虽然威🐦尔斯证明费马大定理还没有得到数学(xue)界的一致公认，但大多数数学家认为他(ta)证明的思路是正确的。毫无疑问🦧，这使(shi)人们看到了希望。 为了寻求费马大定理(li)的解答，三個多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继🕖，却壮志未酬。1995年(nian)，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经(jing)过8年的孤军奋战，用13 0页长的篇幅证明🎫了费马大定理。怀尔(er)斯成为整個数学界的英雄。 费马大定理提出的🥖问(wen)题非常简单，它是用一个每个中(zhong)学生都熟悉的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来表达(da)的。2000多🎠年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中(zhong)， 斜边的平方等于两直角边的平方之和(he)。即X2＋Y2=Z2。大约在公元🎈1637年前后 ，当费马在 研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非(fei)常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这☂️個方程没有(you)任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近(jin)问题8的页边处记下这 个结论的同时又写下(xia)一🌨️个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙(miao)的证法，这里的空 白太小，写不下。”这就是数(shu)学史👞上着名的费马大定理或称费(fei)马最后的定理。费马制造了 一个数学史上最深奥的谜。 大问(wen)题 在物理学、化学🍚或生物学中，还没有(you)任何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久不 解。E·T·贝🕋尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书(shu)中写到， 文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到💵了尽头。证明(ming)费马大定理成为数论中最 值得为之奋斗的事。 安🥽德鲁·怀尔斯1953年出生(sheng)在英國剑桥，父亲是一位工程学教(jiao)🍅授。少年时代的怀尔斯 已着迷于数学了。他在后來的回忆中写到：“在学校里(li)我喜📠欢做题目，我把它們带回家， 编写成我自己的新题目。不过我以前找到的(de)最好的题目是在我們社✒️区的图书馆里发现的。 ”一天，小怀尔斯在(zai)弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个🥮問题而没有解(jie)答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是E·T·贝尔写的《大问题(ti)》。它叙述了费马大定理的历史，这个🦤定理让一个又 一个的(de)数学家望而生畏，在長达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多(duo)年后回忆 起🐼被引向费马大定理时的感觉：“它看上(shang)去如此简单，但历史上所🍳有的大数学家都未能解 决它。这里正摆着我——一个(ge)10岁的孩子——能理解的问题，从那个時刻起，我(wo)知道我🌭永 远不会放弃它。我必须解决它。” 怀尔斯1974年从牛(niu)津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare 学🦽院做博士。在研究生(sheng)阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能 带来的问题是(shi)：你花费了多📇年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate s)正在研(yan)究椭圆曲線的Iwasawa理论，我开始跟随他🌕工作。” 科茨说：“我記得一位(wei)同事 告诉我，他有一个非常好的🕊️、刚完成数(shu)学学士荣誉学位第三部考试的学(xue)生，他催促我收其 为学生。我非常荣🛳️幸有安德鲁这样(yang)的學生。即使从对研究生的要求来看，他(ta)也有很深刻的 思想，非常清楚他将是一🔋个做大事情(qing)的数学家。当然，任何研究生在那个阶段直接🛟開始研 究费马大定理是(shi)不可能的，即使对资历很深的数学家💮来说，它也太困难了(le)。”科茨的责任 是为怀尔斯找到某种至少能使(shi)他在今后三年里💴有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究 生导师能为学生(sheng)做的一切就是设法把他🚄推向一个富有成果的方向。当(dang)然，不能保证它一定 是一个富有成果的🎐研究方(fang)向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他 的常识(shi)、他对好领🐆域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就是(shi)他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该研究🛹数学(xue)中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔(er)斯职业生涯中的 一个轉折点，椭圆(yuan)方程👁️‍🗨️的研究是他实现梦想的工具。 孤独的战士 1980年怀(huai)尔斯在剑桥大学取🎨得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大(da)學 的教授。在科茨的指导下，怀尔(er)斯或许比世界📽️上其他人都更懂(dong)得椭圆方程，他已经成为一 个着名的(de)数论学家，但他清楚地意识到，即使🐐以他广博的基础知识和数学修养(yang)，证明费马 大定理的任💒务也是极为艰(jian)巨的。 在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想(xiang)”，该猜想在两个非 常不同的数🍊学领域(yu)间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍🌖晚(wan)，我正在一个朋 友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉🍁我(wo)，肯·里貝特已经证明了谷山－志村猜想与費马大 定理间的联系。我感(gan)到极大的🐻‍❄️震动。我记得那个时刻，那个改(gai)变我生命历程的时刻，因为 这意(yi)味着为了证明費马大定理，我必须(xu)做的一🕰️切就是证明谷山－志村猜想……我十分(fen)清楚 我应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望♨️见了一条实现他童年(nian)梦想的道路。 20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔(er)伯特为什么不去尝试💧证明费马大定理，他 回答说：“在开始著手之(zhi)前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我🌐没有那么多的时间 浪费在(zai)一件可能会失败的事情上🩲。”怀尔(er)斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到 这个问题中，但是与希尔📹伯(bo)特不一样，他愿意冒这个风险。 怀尔斯作了一个重大的决🀄定：要(yao)完全独立和保密地进行研究。他(ta)说：“我意识到与费 马大定理有关的任何事(shi)情都会引起太多人的兴趣。你确🤿实不可能很多(duo)年都使自己精力集中 ，除非你的专心不被他人分散，而这一点会(hui)因旁观者太多而做🥐不到。”怀尔斯放弃了(le)所有 与证明费马大定理无直接關系的工(gong)作，任何时候只要可能他就回到家裡工作，在(zai)家里🎀的顶 楼书房里他开始了通过谷山－志村猜想来(lai)证明费马大定理的战斗。 这是一场长达7年的📚持(chi)久战，这期间只有他的妻子知道他在证明费(fei)马大定理。 欢呼与等待 经🥍过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证(zheng)明。作为一个结果，他也🥳证明了 费马大(da)定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要(yao)在剑桥大 学🎺的牛顿研究所举行。怀(huai)尔斯決定利用这个机会向一群杰出(chu)的听众宣布他的工作。他选择 在牛顿(dun)研究所宣🦑布的另外一个主要原因是剑桥(qiao)是他的家乡，他曾经是那里的一名研🗒️究生。 1993年6月(yue)23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一(yi)次数学讲座。两百名数☁️學家聆 听了这一演讲(jiang)，但他们之中只有四分之一的人(ren)完🚦全懂得黑板上的希臘字母和代数式所表达 的(de)意思。其余的人来这里🌘是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时(shi)刻。演讲者是安 德鲁·怀尔斯。怀尔(er)斯🔍回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关(guan)演讲的风 声，很幸运他们没有来(lai)听🩲演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长(zhang)肯 定事📕先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，會场上保持着特别庄重(zhong)的寂静，当我写完 费马大🎋定理的证明时，我说：‘我想(xiang)我就在这里结束’，会场上爆发出一阵(zhen)持久的鼓掌声 。” 《纽🕞约时報》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获(huo)解》为题报道 费马大定理被证明🎋的(de)消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最著名的数学家，也是唯🐋一的数 学家。《人(ren)物》杂志将怀尔斯與戴安娜王妃一起列为“本年度(du)25位最具魅力者”。最有创 意的赞美来(lai)自一家國🐩际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系(xi)列男装的模 特。 当怀尔斯成🧇为媒体报道的中心时，认真核(he)对这个证明的工作也在进行。科学的程序要 求任何數学家(jia)将完整的手稿🍂送交一个有声望的刊物，然后(hou)这个刊物的编辑将它送交一😳组审 稿人，审稿人的职责是進行(xing)逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个 夏天他焦急🙃地(di)等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福(fu)。可是，证明的一个缺陷被发 現了。 我的心灵归于平静 由于怀📣尔(er)斯的论文涉及到大量的数学方法，编(bian)辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定 2－3个审🦌稿人，而是6个(ge)审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。 怀尔斯在此期间中(zhong)断了他的工作，以处理🛰️审稿人在电子邮件中提出(chu)的问题，他自信这 些问题不会给他造(zao)成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年🍘8月23日，他发现了 证明中的一个小(xiao)缺陷。数学的绝对主義要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法(fa)中的每🥛一步都 行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办(ban)法可🍼能就在近旁，可是6个多月过去了 ，错误仍未改正，怀尔斯面临🏜️絕(jue)境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自(zi)己的情🐵 況，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他(ta)讨論问题并且可信赖的人。经过 长时间的考虑后，怀(huai)🦭尔斯决定邀请劍桥大学的讲师理(li)查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年🔈1月(yue)份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们准备(bei)放弃了。泰勒 鼓勵他们再坚🎈持一个月。怀尔斯决定在9月底作最(zui)后一次检查。9月19日，一个星期一的早 晨，怀尔斯发现了问🥪题的答案，他叙述了这(zhe)一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一⛵个 难以置信的发现。这是我的事(shi)业中最重要的时刻，我不会再有这样的经历(li)……它的🤑美是如 此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望(wang)它不敢相信。然后白🗯️天我 到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还(hai)在——它还在那里。” 这是少🍄年时代的(de)梦想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界(jie)证明了他的才能。世 界不🏤再怀疑这一次的证明了。这两篇论文(wen)总共有130页，是历史上核🖤查得最徹底的数(shu)学稿 件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔🧩斯再一次出现在(zai)《纽约时报》的头版 上，标题是《数学(xue)家称经典之谜已解决》。约翰🌇·科茨说：“用数学(xue)的术语来说，这个最 终的证明可与分裂原子或發现(xian)DNA的结构相比，对费🌿马大定理的证明是人类智力活动的一 曲凱歌，同时，不能(neng)忽视的事实是它一下🦍子就使数学发生了革命性的变化(hua)。对我说来，安 德魯成果的美和魅力在于它(ta)是走向代数数论的巨大的🥑一步。” 声(sheng)望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家(jia)学会颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学📘院外籍(ji)院士。 怀尔斯说：“……再没有别的问题能像费马(ma)大定理一样对我有同样的🐹意义。我拥有如 此少有的(de)特权，在我的成年时期实现我童年的(de)😎梦想……那段特殊漫长的探索已经结束了， 我(wo)的心已归于平静。” 费马大定理只有在相对数学(xue)理论的建立🐢之后，才会得到最满意的答案。相对数学理论没有完成之前，谈这(zhe)♨️个问题是无力地.因为人们对数量和自身的认识，还没有达到一定的(de)高度. iii 费马大定理与怀尔斯的因果律-美国🦃公众广播网对怀爾斯的专访 358年(nian)的难解之谜 数学爱好者费马提出的这个问題(ti)非常简单，它用一个每🚥个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来(lai)表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定🚖理说：在一个直角三(san)角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和(he)。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年🎩前后 ，当费马在研究毕達(da)哥拉斯方程时，他在《算术》这本書靠近问题8的页边处写下(xia)了这段文字：“设n是大于2的🚖正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信(xin)已发现一个美妙的证法，但这里的(de)空白太小，写🌁不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马大定理是其中困扰(rao)数💗学家们时间最長的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理(li)）——公认为有史🧊以来最着名的数学猜想。 在畅销书作家西(xi)蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言🧵引发的长达358年的猎逐充满了(le)惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后涉及到最多产的数学😗大(da)师欧拉、最伟大的數学家高斯、由(you)业余转为职业数学家的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试验👢大师库(ku)默尔和被誉为“法国历史上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼🧥……法(fa)国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰(feng)的神秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫📕斯凯尔最后一刻的舍死求(qiu)生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的一幕，为最(zui)🌏后谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找(zhao)到谜底，把这出戏推向🚂高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的传奇。 对(dui)怀尔斯而言，证明费马大定理不仅是破译一个难解之谜，更📷是去实(shi)现一个儿时的梦想。“我10岁时在图书馆(guan)找到一本数学书，告诉我有这么一个问题，300多年前就已经🕡有人(ren)解决了它，但却没有人看到过它的证明，也无人确信是否有这个(ge)证明，从那以后，人们🥗就不断地求证。这是一个10岁小孩(hai)就能明白的问题，然后历史上诸多伟大的🐑數学家们却(que)不能解答。于是从那时起，我就试过解决它，这🥕个问题就是费(fei)马大定理。” 怀尔斯于1970年先后在牛津大(da)学和剑桥大学获得数学学士和数学博士学位。“我✨进入剑(jian)桥时，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因为(wei)我忘了它，而是我认识到我们所掌🏣握的用来攻克它的全部技术已(yi)经反复使用了130年。而这些技术似乎没有触及(ji)问題根本。”因为🐃担心耗费太多时间而一无所獲，他“暂时放下了”对费马大定理(li)的思索，开始研究椭圆曲线理论——这🛳️个看(kan)似与证明费马大定理不相关的理论后来却成为他实现梦想的工具。 时间(jian)回溯至20世纪60年🦙代，普林斯顿數学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有(you)主要数学领域之间原本就存在着的🎁统一的链接。如果(guo)这个猜想被证实，意味着在某个数学领域中无法解(jie)答的任何问题都有可能通过这🍋種链(lian)接被转换成另一个领域中相應的问题——可以被一整套新方案解决的(de)问题。而😌如果在另一个领域内仍然难以找到答案，那么可以把问题再(zai)转換到下一个数学领域中……直到它被解決为止。根⏰据朗兰兹纲领(ling)，有一天，数学家们将能够解决曾(ceng)经是最深奥最难对付的问题——“办法是领着这🧃些问題周游数学王国的各个风(feng)景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备(bei)定🌘理打击的费马大定理证明者们指明了救赎之路——根据不完备定理(li)，费马大定理是不可证明的🌕。 怀尔(er)斯后来正是依赖于这个纲领才得以证明费马大定理的(de)：他的证明——不同于任何前人的尝试——是(shi)现🍳代数学诸多分支（椭圆曲线论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综合发(fa)挥作用的结果。20世纪50年代由两位日本数💋学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山(shan)—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个截然不同(tong)的🦔数学岛屿间隐藏着一座溝通的(de)桥梁。随后在1984年，德国数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给(gei)出了如下猜想：假如谷山—志村猜💛想成立，則费马(ma)大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝(bei)特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不可摆脱地与谷🕟山—志村猜想链接在一(yi)起：如果有人能证明谷山—志村猜想（即“每一个椭🎫圆方程(cheng)都可以模形式化”），那么就证明了费马大定(ding)理。 “人类智力活动的一曲凯歌😁” 怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数學(xue)家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇(qi)怪怀爾斯在做些什么🐗？……他总是静悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯(kai)兹则感叹到：“一点暗示都🕹️没有！”对于这次惊天“大预谋”，肯·里比(bi)特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来见过的唯📧一例(li)子，在如此长的时间里没有泄露任何有关工作的信息。这是空(kong)前的。 1993年晚春，在经过反复的试错和绞尽🚀脑汁的演算(suan)，怀尔斯终於完成了谷山—志村猜想的证明。作为一个结果💷，他(ta)也证明了费马大定理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我目瞪✒️口呆(dai)、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失眠了”。 同年6月，怀📙尔斯(si)决定在剑桥大學的大型系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈(lie)，有很🛰️多數学界重要人物到场，当大家终于明白已经离证明(ming)费马大定理一🍘步之遥时，空气中充满了紧张。” 肯(ken)·里比特回忆说。巴裡·马佐尔（Barry Mazur）永远也🔎忘不了那一刻：“我之(zhi)前从未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所未闻的🌦️新思想，還(hai)有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮(chao)。”当怀尔斯在讲座结尾宣布他证(zheng)明了费马大🤠定理时，他成了全世界媒体(ti)的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现(xian)了!”久远的数学之谜获⛪解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明的消息。一(yi)夜之间，怀尔斯成为世界🖌️上唯一的(de)数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一🛥️起列为“本年度25位最具魅(mei)力者”。 与此同时，认真核对这个证明的工作也在进行☕。遗憾的(de)是，如同这之前的“费马大定理终结者”一(yi)样，他的证明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不在(zai)巨大的压力之下🌮修正错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美国公众(zhong)广播网（PBS）的访谈中说: “当时我🚆們其他人（怀尔斯的同事）的行为有点像‘苏联政(zheng)体研究者’，都想知道他的想法和修正错(cuo)误🚃的进展，但没有人开口问他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀尔(er)斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是📮有微笑，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年(nian)9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒💟鼓励他再(zai)坚持一个月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期一的早🗒️晨，怀爾斯(si)发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间(jian)，不可思议地，我发现🦆了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着(zhe)它发了20多分钟呆。然后我到系里轉了一圈，又回❤️‍🩹到桌子旁(pang)看看它是否还在那里——它确实还在那裡。” 怀尔🏏斯的证(zheng)明为他赢得了最慷慨的褒扬，其中最具代表性的是他在剑桥时的导(dao)师、着名数学家约翰👝·科茨的评价：“它（证明(ming)）是人类智力活动的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此结束🍐，從此费马(ma)大定理与安德鲁·怀尔斯的名字(zi)紧紧地被绑在了一起，提到一个就(jiu)不得不提到另外一个🕔。这是费马大定理与安德(de)鲁·怀尔斯的因果律。 历时八年的最终证🦜明 在怀尔斯不多的接受媒体(ti)采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀爾🕓斯的(de)专访相当精彩有趣，本文节选部(bu)分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人🏘️们通过团队来(lai)获得工作上的支持，那么当你碰壁时是怎么解决问题(ti)的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我🦩会沿着湖(hu)邊散散步，散步的好处是使你会处于放松(song)状态，同时你🐃的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌(zhuo)，而且我随時把笔纸🌫️带上，一旦有好主(zhu)意我会找个长椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一定交织著(zhe)自我怀🃏疑与成功……你不可能绝对有把握证明。 怀尔斯：我确实相信自己在正(zheng)确的轨道上，但那并不意🐋味着我(wo)一定能达到目标——也许僅仅因为解决难题的方(fang)法超出现有的数学，也许我需要的方法💟下个世纪也不会出(chu)现。所以即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错误的世纪(ji)。 NOVA：最終在1993年，你取得了突破。 怀🏫尔斯：对，那(na)是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我坐在书(shu)桌前思考最后的步骤，不经意间看🍏到了一篇论文，上面的一行字引起了我(wo)的注意。它提到了一个19世纪的数(shu)学结构🀄，我霎时意识到这就是我該用的。我不停地工作，忘记下楼午(wu)饭，到下午三四点时我确信已经证明了费马大定(ding)理☃️，然后下楼。Nada很吃惊，以为我这时才回(hui)家，我告诉她，我解决了费马大定理。 最后的修正 NOVA：《纽约时报》在🎍头(tou)版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解(jie)》，但他们并不知道这个证明🏷️中有个错误(wu)。 怀尔斯：那是个存在于关键推导中的错误，但它如此微(wei)妙以😁至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言描述，就算(suan)是数学家也需要研习两三个月才能🦦弄(nong)懂。 NOVA：后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工(gong)作，并在1994年修正了这个最后的🥢错误。问题是，你的证明和费马的证明是(shi)同一個吗？ 怀尔斯：不可能。这个证明有(you)150页🧵长，用的是20世纪的方法，在费马时代还不存在。 NOVA：那就是说费马(ma)的最初证明还📜在某个未被发现的角落？ 怀爾斯：我不相信他(ta)有证明。我觉得他说已经找到解答了🥟是在哄自己。这个难题对业余(yu)爱好者如此特别在于它可能被17世🎇纪的數学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以(yi)也许还有数学家追寻这🎒最初的证明。你该(gai)怎么办呢？ 怀尔斯：对我來说都一样，费马是我童年的热望(wang)。我会再试其他问题……證明了🌰它我有一丝伤感，它已经和我们一起这麼(me)久了……人们对我说“你把我🌃的问题夺走了”，我能带给他们其他的东(dong)西吗？我感觉到有责任。我希望通过解决这个(ge)問题带来💋的兴奋可以激励青年数(shu)学家们解决其他许许多多的难题。 iv 谷山-志(zhi)村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲🦙线(代数几何的对象)和模形式(shi)(某种数论中用到的周期性全纯函🦄数)之间(jian)的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而(er)来,定🔎理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个质数而E是一(yi)个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，我🌱们可(ke)以简化定义E的方程模p;除了有限個p值，我们会得到有np个元(yuan)素的有限域🎻Fp上的一个椭圆曲线。然后考(kao)虑如下序列 ap = np − p, 這是椭圆曲线E的🎍重要的不变量。从傅里叶变换，每(mei)个模形式也会产生一💞个數列。一个其序列和(he)从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说: "所有🍄Q上的椭(tuo)圆曲线是模的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五🐈郎(lang)一起改进了严格性。谷山於1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一(yi)数学中的⛑️猜想Langlands纲领联系了起來，并是关键的组成部分。猜想由André Weil于1970年♣️代(dai)重新提起并得到推广，Weil的名字有一段时间和它联系在一起。尽管(guan)有明显的用处，这🥿个问题的深度在后来的发(fa)展之前并未被人们所感觉到。 在1980年代🤩当Gerhard Freay建议(yi)谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最后定👝理(li)的時候，它吸引到了不少注意力。他通过试图表明(ming)费💳爾马大定理的任何范例会导(dao)致一个非模的椭圆曲线来做到这一(yi)点。Ken Ribet后🦚来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山(shan)-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情(qing)况)，这个🌌特殊情况足以证明費尔马大定(ding)理。 完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作(zuo)出，他们🥍在Wiles的基础上，一块一块的逐步证明剩下的情况直到全部完(wan)成🌐。 数论中类似于费尔马最后定理得几个定理可以从谷(gu)🍶山-志村定理得到。例如:没有立方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情🍏况已為欧(ou)拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们(men)都没有完成🦜给予他们这个成就的定理的完整形式，他们还是(shi)被认为对最终完成的证🥐明有着決定性影响。