费马大定理电影图片

本片从证明了费玛最后定理的安(an)德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的歷史始末(mo)，往前🚎回溯来看，1994年正是我在念大学的时候，当时完全没有(you)一位教授在课堂上提到这件事🚢，也(ye)许他们认为，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位(wei)不是天才的学生🧮来说，他需要的是老师的指引，引导他走(zou)向更高深的专业认知，而指引的道路，就🌟在科普的精神上。 從费玛最后定理(li)的历史中可以發现，有许多研究成果，都是研究人🥅员燃烧热情，试图提出(chu)「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数🎲解 1. 1963年(nian) 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸(xi)引，「最后问题😄 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 毕达哥拉(la)斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的平方=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕🦜达哥拉斯三(san)元组：毕氏定理的整數解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数(shu)」第2卷的问题8时，在页边写下了註记 「不可💺能将一个立方数写成两个立方数之(zhi)和；或者将一个四次幂写成两个四次(ci)幂之和🐳；或者，总的来说，不可能将一个高於2次(ci)幂，写成两个同样次幂的和。」 「对这个命题我有🐗一个十分美妙的证明，这(zhe)里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢(diu)番图的算数」 5. 在Fermat的🎗️其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱(lai)昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解(jie)🦄 3是质数，现在只要证明费玛最后定理对於所有的质数都成立(li) 但 欧基里德 证明「存🕜在无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛(ma)🍰最后定理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒(lei)瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德🗨️ 延伸热尔曼的(de)证明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解🐁 9. 1847年 拉梅 与(yu) 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明(ming)了 费玛最后定理 最后是刘🍃维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与(yu)拉梅的证明，都因🐮为「虚數没有唯一因子分解性质(zhi)」而失败 库默尔证明了 费玛最后定理的完整证明(ming) 是当时数学方法不可能😋实现的 10.1908年 保罗(luo)‧沃尔夫斯凯爾 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明 这表示 費玛最(zui)后定理的完整证明 尚未被解决 沃🛍️尔夫斯(si)凯尔提供了 10万馬克 给提供证明的人，期限是到2007年📥9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔(er)伯特，提出数学上23个未解决的问题且相信这是(shi)迫切需🌳要解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可(ke)判定性定理 第一不可判定性定理：如果公理集合论是🌿相容的，那(na)么存在既不能证明又不能否定的定理。 => 完(wan)全性是不🔮可能达到的 第二不可判定(ding)性定理：不存在能证明公理系统是(shi)相容的构造性过程。 => 相容性永远不可(ke)能🚘证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以(yi)检验给定问题是不是不可判定的方🎉法（只适用少数情形） 证明希(xi)尔伯特23个問题中，其中一个「连续统假设」问题是不可判定的，这对(dui)於費玛最后🧮定理来说是一大打(da)击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma編码 的反转机🥮 开始有人(ren)利用暴力解决方法，要对 费玛最後定理 的n值一个(ge)一个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提🧆出的 x4+y4+z4=w4 不存在(zai)解这个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯(si) Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭💝圆曲线 研究椭圆曲线的目的(de)是要算出他们的整数解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组🐮整数解(jie) 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在一个數26，他是夹在一个🤑平方数与一个立方(fang)数中间) 由於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为(wei)了简化问题，数学家採用「时🥃鐘运算」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭(tuo)圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在(zai)五格时鐘🚂运算中，有四个解 对於椭圆曲线，可写出一(yi)个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与🔍 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型(xing)式 模型式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式(shi)的 M序列 要素🔥個数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的(de)范例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圆(yuan)曲线的 E序列，两个不同领域的理论突然🐋被(bei)连接在一起 安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜(cai)想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个统一化猜想🎟️的理论，并开始寻找(zhao)统一的环链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设(she)费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整🐵数解，则可将方(fang)程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圓方程式(shi) (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致於无(wu)法被模型式化 (3) 谷山-志村🎳猜想 断言每一(yi)个椭圆方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是错误的 反过来说 (1) 如(ru)果 谷山-志村猜想🍅 是对的，每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每(mei)一个椭圆方程式都可以被模⏰型式化(hua)，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方(fang)程式，那么xn+yn=zn 没🎏有整数解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆(yuan)方程式无法被模型式化 如果有人📕能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛(ma)最后定理也是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个(ge)月发☀️表一篇小论文，然后自己独力尝试证明谷山-志(zhi)村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽🐖罗瓦 的群论，希望(wang)能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利📂用微(wei)分几何学证明谷山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方(fang)程式拆解成无限多项，然后也🎞️证明了第一项必定是模型式的第一项，也尝(chang)试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但🚟结果失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所(suo)有分类后的椭圆方程式都👛奏效 25.1993年 寻求同事 尼(ni)克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会議，安🎇德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发(fa)表谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德🥿鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又(you)开始隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望在🥏这时候公布证明，讓(rang)其他人分享完成证明的甜美果实 28.安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles 在🏗️接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的(de)建议下，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论🚎与 科利瓦(wa)金-弗莱契 方法就能够完全解决问题 30.「谷山-志(zhi)💖村猜想」被证明了，故得证「费玛最后定理」 ii 费马大定理 300多年以前(qian)，法国😼数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是(shi)大于🦓2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣称他发(fa)现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书(shu)🎣上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专业(ye)数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图🛳️证(zheng)明它，但不是无功而返就是進展甚微。这就(jiu)是纯数学中最着名☔的定理—费马大定理。 费(fei)马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他(ta)最初学习法律并以当律师谋生，后来成为🐱议会议员，数学(xue)只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇來研究。虽然(ran)年近30才认真注意🚙数学，但费马对数論和微积分做(zuo)出了第一流的贡献。他与笛卡兒几乎同时创立了解析(xi)几何，同时又是😎17世纪兴起的概率论的探索(suo)者之一。費马特别爱好数论，提出了许多定理，但费馬只🐑对其中一个定理给出(chu)了证明要点，其他定理除一个被證明是错的，一个未🥪被证明外，其余的陆(lu)续被后来的数学家所证实。這唯一未被🐳证明的定理就是上面所(suo)说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定🥞理，所以又称为费马(ma)最后定理。 費马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已(yi)经有了很大🐩进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫(fu)证明了对小于105的素数费马大🥸定理(li)都成立。1983年一位年轻的德国数學家法尔廷斯证明了不(bu)定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出貢献(xian)使他在1986年🎋获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英國数(shu)学家威尔斯宣布😁证明了费马大定理，但随后(hou)发现了證明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔🛕斯证明(ming)費马大定理还没有得到数学界的一致公认，但🪖大多数数(shu)学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了希望(wang)。 为了🎰尋求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家🍦们前(qian)赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀(huai)尔斯教授经过8年的孤军奋🕠战，用13 0页长的篇幅(fu)证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数學界的英雄。 费马大定理(li)提出的问题非常简📊单，它是用一个每个中学生都熟(shu)悉的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生🐢的毕达哥拉(la)斯定理说：在一个直角三角形中， 斜边的平方等于两直角边的平方之(zhi)和。即X2＋Y2=Z2。大约在公🍗元1637年前后 ，当费马在 研究毕达哥拉斯方程时，他(ta)写下一个方程，非常类似于畢达哥拉(la)斯方程😅：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠(kao)近问💰题8的页边处记下这 个结论的同时又写下一個附加的评注：“对此(ci)，我确信已发🚅现一个美妙的证法，这里的(de)空 白太小，写不下。”这就是数⏱️学史上着名(ming)的费马大定理或称费马最后的定理。费马制(zhi)造了 一个数学史上最深😄奥的谜。 大问题 在物理(li)学、化学或生物学中，还没有任何問题可以叙述得如此🧡简单和清(qing)晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界也许在(zai)费马🌞大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费馬大定(ding)理成为数论中最 值得为之奋斗的事。 安德鲁·怀尔斯🥤1953年出生在英国剑(jian)桥，父亲是一位工程学教授。少年時代的怀(huai)尔斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆中🐫写到：“在学校里我喜欢做题目，我(wo)把它们带回家， 编写成我自己的新题目。不过📗我以前找(zhao)到的最好的题目是在我们社区的图(tu)书馆里發现的。 ”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见📧了一本书，这本书(shu)只有一个问题而没有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就(jiu)是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了🥢费马大定理的历史，这个(ge)定理让一个又 一个的數学家望而生畏，在长达300多年(nian)的🐗时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆 起被(bei)引向费马大定理时的感觉📃：“它看上去如此简单，但历史上(shang)所有的大数学家都未能解 决它。这裡正摆着我——一个🐷10岁的孩子——能理解(jie)的问题，从那个时刻起，我知道我永 远不会放弃(qi)它。我必须解决它。” 怀尔斯1974年从牛津大学📰的(de)Merton学院获得數学学士学位，之后进入(ru)剑桥大学Clare 学院做博士。在研究生階(jie)段，怀尔斯并没有从事费马📅大定理研究。他说：“研究费马可能 带来的问题是(shi)：你花费了🥎多年的时间而最终一事无成。我的导师(shi)约翰·科茨(John Coate s)正在研究📊椭圆曲線的Iwasawa理论，我开(kai)始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事 告诉我，他有一个(ge)非🏯常好的、刚完成数学学士荣誉学(xue)位第三部考试的学生，他催促我收其 为学生。我非常(chang)荣幸有安德鲁这样的⛑️学生。即使从对研究生的要求來看，他也有很(hen)深刻的 思想，非常清楚他将是🛞一个做大事情的数学家。当然(ran)，任何研究生在那个阶段👻直接开始研 究费马大定理是不可能的，即使对资历(li)很深的数学家来说，它也🍡太困难了。”科茨的责(ze)任 是为怀尔斯找到某种至少能(neng)使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究🌑 生(sheng)导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有(you)成果的方向。当然，不能🥯保证它一定 是一个富有成(cheng)果的研究方向，但是也许年长的数学家在👚这个過程中能做的一件事(shi)是使用他 的常识、他对好领域的直觉。然后，学(xue)生能在这个方向上有多大成绩就(jiu)是他🥼自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域(yu)。这个决定成🪕为懷尔斯职业生涯中的 一个转折点，椭(tuo)圆方程的研究是他实现梦想的工具。 孤獨的战士(shi) 1980年怀尔斯🦼在剑桥大学取得博士学位后來到(dao)了美国普林斯顿大学，并成为这所大学🕡 的教授(shou)。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更(geng)懂得椭圆方程，他已经成为一 个着名🥛的数论學家，但他清楚地意识(shi)到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证(zheng)明🎶費马 大定理的任务也是极为艰巨的。 在怀尔斯的费马大定理的证(zheng)明中，核心是证明“谷山－志🌛村猜想”，該猜想在两个非 常不同(tong)的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年(nian)夏末的一🥰个傍晚，我正在一个朋 友(you)家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山－志(zhi)村猜想与费马🧆大 定理间的联系。我感到极大的震(zhen)动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为 这意🍈味着为了(le)证明费马大定理，我必须做的一切就是证明穀山－志村猜想……我十分清楚 我(wo)应该回家去研究🍼穀山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路(lu)。 20世纪初，有人问伟大的数学家大卫🖊️·希(xi)尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他 回答说：“在开始著(zhe)手之前，我必须用3年的时间作📱深入的研究，而我没有那么多的时间 浪费在一(yi)件可能会失败的事情上。”怀爾斯知道，为了找🍤到证明，他必须全身心地(di)投入到 这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿(yuan)意冒这个风險。 怀尔斯作了🚏一个重大的决定：要完(wan)全独立和保密地进行研究。他說：“我意识到与费 马大定理(li)有关的🌂任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不(bu)可能很多年都使自己精力集中 ，除非你🐺的专心不被他人(ren)分散，而这一点会因旁观者太多而做(zuo)不到。”怀尔斯放弃了所有 与證明费马大定理无(wu)直🕦接关系的工作，任何时候隻要可能他就回到家里工作(zuo)，在家里的顶 楼🐖书房里他开始了通过谷山－志村猜想来证明费马大(da)定理的战斗。 这🫘是一场长达7年的持久战，这期间只有他的妻子知道他在证明(ming)费马大定理。 欢呼🏥与等待 经过7年的努力，怀爾斯(si)完成了谷山－志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了 費马大定理🍏。现在是(shi)向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会議要在剑桥大 学的牛👘顿(dun)研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会向(xiang)一群杰出的听众宣布他的工作。他选择 在牛顿研究🎵所宣布(bu)的另外一个主要原因是剑桥是他的家(jia)乡，他曾经是那里的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举🎞️行(xing)了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名數学家聆 听了这一演讲，但他们之(zhi)中只有四💓分之一的人完全懂得黑板(ban)上的希腊字母和代数式所表达 的意思。其余的人来这里是为了见证他🛟们(men)所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安 德鲁·怀😂尔斯。怀尔斯(si)回忆起演讲最后時刻的情景：“虽然新闻界已经(jing)刮😹起有关演讲的风 声，很幸运他们没有来听演講。但是听众中有(you)人拍摄了演讲结🚅束时的镜头，研究所所长肯 定事(shi)先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场(chang)上保持着特别庄重的📨寂静，当我写完 费马大定(ding)理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一🌓阵持(chi)久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头版以《终于欢呼(hu)“我发现了!”，久遠的数学之谜获解》为题🖥️报道 费马大定理被(bei)证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最着名的数🔔学家，也(ye)是唯一的数 学家。《人物》杂志将怀尔斯(si)与戴安娜王🧁妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创 意的赞美来自(zi)一家国际制衣大公司，他们🐚邀请这位温(wen)文尔雅的天才作他们新系列男装(zhuang)的模 特💄。 当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这个证明的工作(zuo)也在进行。科学的程🏒序要 求任何数学家将完整的手稿(gao)送交一个有声望的刊物，然後这个刊物的编辑将它送交(jiao)一组审🌖 稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手(shou)稿投到《数学发明》，整整一个🦞 夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈(qi)求能得到他们的祝福🥲。可是，证明的一个(ge)缺陷被发 现了。 我的心灵归于平静 由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方(fang)法，编🎶辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定 2－3个审稿(gao)人，而是6个审稿人。200页的证明被分成(cheng)6章，每位审稿🛟人负责其中一章。 怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理(li)审稿人在电子邮件中提出的问🕠题，他自信這 些问题(ti)不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章(zhang)，1993年8月🌜23日，他发现了 证明中的一个小缺陷(xian)。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑(yi)地证明他的方法🥘中的每一步都 行得通。怀尔斯以(yi)为这又是一个小問题🐟，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了(le) ，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准(zhun)备承认失☁️败。他向同事彼得·萨克說明自己(ji)的情 况，萨克向他暗示困🏅难的一部分在于他缺少一个能(neng)够和他讨論问题并且🥩可信赖的人。经过 长时间的考虑后，怀尔斯决定(ding)邀請剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林(lin)斯顿和🌧️他一起工作 。 泰勒1994年1月份(fen)到普林斯顿，可是到了9月，依然沒有💍结果，他们准备放弃了。泰勒 鼓励他们再(zai)坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作🛶最后一次检查。9月19日，一(yi)个星期一的早 晨，怀尔斯发现了问题的答案，他(ta)叙述了这一时刻：“突然间，不🐢可思议地，我有了一个 难以(yi)置信的发现。这是我的事业中🏩最重要的时刻，我不会再有这样的经历……它(ta)的美是如 此🥫地难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我(wo)呆🪖望它不敢相信。然后白天我 到系里转了一圈(quan)，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里(li)。” 这是少年时代的梦🥙想和8年潜心努力的终极，怀爾斯终于向世界(jie)证明了他的才能。世 界不再怀🚡疑这一次的(de)证明了。这两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底的(de)数学稿🦫 件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现(xian)在《纽约时报》的头版 上🧮，标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数(shu)学的術语来说，这个最 终的证明可与分裂🎊原子或发现DNA的结构相比，对费(fei)马大定理的证明是人类智力活动的一 曲凯(kai)歌，同时，不能忽视的💙事实是它一下(xia)子就使数学发生了革命性的变化。对我说来，安 德鲁成果的美和魅力(li)在于它是走向代🕔数数论的巨大的一步。” 声望和荣誉纷至沓(da)来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学🍄獎，199 6年，他获得沃尔(er)夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。 怀尔斯說：“……再没(mei)有别的问题能像费马大定理🧥一样对我有(you)同样的意义。我擁有如 此少有的特权，在我的成(cheng)年時🚖期实现我童年的梦想……那段(duan)特殊漫长的探索已经結束了， 我的心已(yi)归于平🥘静。” 费马大定理只有在相对数学理论的(de)建立之后，才會得到最满意的答案。相对数学理论没有完成之前，谈这(zhe)🐛个问题是无力地.因为人们对数量和自身的认识，还没有达(da)到一定的高度. iii 费馬大定理与怀尔斯🔋的因果律-美(mei)国公众广播网对懷尔斯的专访 358年的难解之谜 数学爱好者费🌞馬提出(chu)的这个问题非常简单，它用一个每个中学生(sheng)都熟悉的数学定理——毕达💌哥拉斯定理来表达(da)。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中🥡，斜边的平(ping)方等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大(da)约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方🌅程(cheng)时，他在《算术》这本书靠近问题8的页边处写下了这段文字👓：“设n是大于(yu)2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已发现一個(ge)美妙的证🍄法，但这里的空白太小，写(xie)不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马🎐大定理是其中困扰数学家(jia)们时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（費马最后的定理）——公认为(wei)有史以来最着名🚢的数学猜想。 在畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这(zhe)段神秘留言引发的长达😲358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜(xi)。这段历史先后涉及到最多产的数学大师欧拉👟、最(zui)伟大的数学家高斯、由业余转为职业数学家的柯西、英年早逝(shi)的天🌹才伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和被誉为“法国历史上知识最🥳为高(gao)深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本(ben)数学界的明日之星谷山丰的神秘自(zi)杀、德国🥥数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯(kai)尔最后一刻的舍死求生等等，都仿😆佛是冥(ming)冥間上帝导演的宏大戏剧中的一幕，为最后谜底的解开埋(mai)下伏笔。终於，普林斯顿的怀尔斯出现了🏎️。他找到(dao)谜底，把这出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐(nai)人回味的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马大定(ding)理不🥣僅是破译一个难解之谜，更是去实現一个儿时的梦想。“我10岁时在图书馆(guan)找到一本数学书，告诉我有这👚么一个問题，300多年前就已经有人解决了它(ta)，但却没有人看🌩️到过它的证明，也(ye)无人确信是否有这个证明，从那以后，人们🎪就不断地求证。这是(shi)一个10岁小孩就能明白的问题，然后历史上诸多伟大的数学(xue)家们却🦎不能解答。于是从那时起，我就试过解决它，这个问题就是费(fei)马大定理。” 怀尔斯于🦪1970年先后在牛津大学和剑(jian)桥大学获得数学学士和数学博士🐷学位。“我进入剑桥时，我真正把费马(ma)大定理搁在一边了。這不是🦊因为我忘了它，而是(shi)我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技術已经反复使用了130年。而(er)💷这些技术似乎沒有触及问题根本。”因(yin)为担心耗费太多📍时间而一无所获，他“暂时放下了”对费馬大(da)定理的思索，开始研🍔究椭圆曲线理论——这个看似与证明费马大定理不相关的(de)理论后来却成为他实現梦想的🏆工具。 时间回溯至20世纪60年(nian)代，普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要数学领(ling)域之间原本就🎵存在着的统一的链接。如果(guo)這个猜想被证实，意味着在某个数学领(ling)域中无法解答的任何问题都有可能🥈通过这种链接被转换成另一个领域(yu)中相应的问题——可以被一整套新方案解决🛩️的问题。而如果在另一个(ge)领域内仍然难以找到答案，那么可以把问题再(zai)转换到下一个數学领域中……直🥕到它被(bei)解决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够解(jie)决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法😜是领着这些问题周游数学王国的各(ge)个风景胜地”。这个纲领为饱🥼受哥德尔不完备定理打击的费马(ma)大定理证明者们指明了救赎之路——根据不完备定理，费(fei)馬大定理是不可证明🌩️的。 怀尔斯后来正是依賴于这(zhe)个纲领才得以证明费马大定理的：他的證明——不同于任何前人的尝(chang)试——是现代数学🛸诸多分支（椭圆曲线论，模(mo)形式理论，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用(yong)的结果。20世纪50年代由🦒兩位日本数学家（谷山丰和志村(cun)五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个截然(ran)不同🧾的数学岛屿间隐藏着一座沟通的桥梁。随后在1984年，德國数学家格哈德·费(fei)赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想🦑成立，则费马大定理为真。这(zhe)个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明🌥️。从此，费马大定理不可摆(bai)脱地与谷山—志村猜想链接在一起：如果有人能证明谷山—志村猜想（即“每一(yi)个😂椭圆方程都可以模形式化”），那么就(jiu)證明了费马大定理。 “人类智力活🦪动的一(yi)曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数学家(jia)同事們困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪(guai)🐩怀尔斯在做些什么？……他总是静悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克🐢·凯兹则(ze)感叹到：“一点暗示都没有！”对于這(zhe)次惊天“大预谋”，肯·里比特🎢（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来见(jian)過的唯一例子，在如此长的📤时间裡没有泄露任(ren)何有关工作的信息。这是空前的。 1993年晚春，在經过反复的试错和绞尽脑汁的演(yan)算，怀尔斯终于🏨完成了谷山—志村猜想的(de)证明。作为一个结果，他也证明了费马大定理。彼得·萨奈克是(shi)最早得知此👢消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪(xu)失常……我记得当晚我失眠了”。 同年6月，怀尔🌍斯决定在剑桥大学的大型系列讲座(zuo)上宣布这一证明。 “講座气氛很热烈(lie)，有很多数学界重要人物到场，当(dang)大家🍳终于明白已經离证明费马大定理一步之遥时，空气中充满了緊张(zhang)。” 肯·里比特回🏐忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如(ru)此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所未闻的💭新思想，还有戏(xi)剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲(jiang)座结尾宣🍮布他证明了费马大定理时，他成了全世界媒体的(de)焦点。《纽约时报》在头版以《终於欢呼“我发现🎩了!”久远(yuan)的数学之谜獲解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明🚀的消息。一夜之间(jian)，怀尔斯成为世界上唯一的数学家。《人物》杂志(zhi)将懷尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年🔇度25位最具魅力者”。 与此同时，认真核(he)对這个证明的工作也在进行。遗憾的是，如同这之前的“费马大📸定理(li)终结者”一样，他的证明是有缺陷的。怀(huai)尔斯现在不得不在巨大的压力之🧇下修正錯误，其间数度感到绝望(wang)。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中說: “当时我们其他人（怀尔斯(si)的同事）的行为有🦡点像‘苏联政体研究者’，都想(xiang)知道他的想法和修正错误的进展，但沒有🥺人开口问他。所以，某人(ren)会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有(you)微笑🦑，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年(nian)9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励📩他再坚持一(yi)个月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯发现(xian)了问题的答案，他叙述了🚄这一时(shi)刻：“突然间，不可思议地，我发现了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着它🍫发(fa)了20多分钟呆。然后我到系里轉了一圈，又(you)回到桌子旁看看它是否还在那里——它(ta)确实还在那里。” 怀尔🩱斯的证明为他赢得了最慷慨的褒(bao)扬，其中最具代表性的是他在剑桥时的导師、着名数学家约翰·科茨(ci)🐌的评价：“它（证明）是人类智力活动的一曲(qu)凯歌”。 一场旷日持久的🦜猎逐就此结束，从(cong)此费马大定理与安德魯·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了(le)一起，提到一个就不得不🌳提到另外一个。这是费马大定理与(yu)安德魯·怀尔斯的因果律。 历时八年的最终证明 在(zai)🎞️怀尔斯不多的接受媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专訪相(xiang)当精彩🍎有趣，本文节选部分以飨读者。 七年(nian)孤独 NOVA：通常人们通过团队来获得工作上的支持，那么当你碰壁时是(shi)怎么🚇解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我会(hui)沿着湖边散散步，散步的好💘处是使你会处于放(fang)松状态，同时你的潜意识却在继续工作。通常遇到(dao)困扰♠️时你并不需要书桌，而且我随时把笔纸带(dai)上，一旦有好主意我🛳️会找个长椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一定交织着自我怀(huai)疑与成功……你不可能绝对有把握证明🌮。 懷尔(er)斯：我确实相信自己在正确的轨道上，但那并不(bu)意味着我一定能达到目标——也许仅仅因(yin)為解决难题的方♟️法超出现有的(de)数学，也許我需要的方法下个世纪也不会出现。所以即便我在正确的(de)🪖轨道上，我却可能生活在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀(huai)尔斯：对，那是个🌧️5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我坐在书桌前思(si)考最后的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的🥭一行字引起了我的(de)注意。它提到了一个19世纪的数学结(jie)構，我😉霎时意识到这就是我该用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四(si)点时我确信已🎨經证明了费马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我这时才回家(jia)，我告诉她，我解决了费马📊大定理。 最(zui)后的修正 NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现(xian)了!”，久远的数学之谜获解》，但他们并不知道🌕这个(ge)证明中有个錯误。 怀尔斯：那是个存在于关键(jian)推导中的错误，但它如此微妙以至(zhi)于我忽略了。它很抽🚡象，我无法用简單的语言描述，就算是(shi)数学家也需要研习两三个月才能弄(nong)懂。 NOVA：后🐃来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒來协助工作，并在1994年修🌀正了这个最(zui)后的错误。问题是，你的证明和费马的證明是同一个吗(ma)？ 怀尔斯：不可能。這个证明有150页长，用的是🥕20世纪的方法，在费马(ma)时代还不存在。 NOVA：那就是说费马的最初证明还在某(mou)个未被发现的角落？ 怀尔斯：我不⏲️相信(xin)他有证明。我觉得他说已经找到解(jie)答了是在哄自己。这个难题对业(ye)余爱好者如此特别在于它可能被17世🪖纪的数学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所(suo)以也许还有数学家追寻这最初的🐵证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说都(dou)一样，费马是我童📍年的热望。我会再试其他问题……证明了它我有(you)一丝伤感，它已经和我們一起这么久了……人🍫们对我说“你把我的问题夺(duo)走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感觉到有(you)责任。我希🕐望通过解决这个问題带来的兴奋可以激(ji)励青年数学家们解决其他许许多多的难题。 iv 谷🌱山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圓曲线(xian)(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的周期性全⛺纯函数(shu))之间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安(an)德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个質🎇数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线(xian)，我们可以简化定义E的⭐方程模p;除了有限(xian)个p值，我们会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭(tuo)圆曲线。然后考虑如下序列🔉 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不变量。從傅里叶变换(huan)，每个模形式也会产生一个数列。一个其(qi)🏞️序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫(jiao)做模的。 谷山-志村定🦓说: "所有Q上的椭圆曲線是(shi)模的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止(zhi)，他和志村五郎一📬起改進了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数(shu)学中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是关键的组成(cheng)部🌖分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广，Weil的名(ming)字有一段时间和它联系在一起。尽管有明显的用🍾处，这个问题的深度在後来(lai)的发展之前并未被人们所感觉到。 在1980年(nian)代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那時还是猜🏵️想)蕴含着费马最后定理的时候，它吸(xi)引到了不少注意力。他通过试图(tu)表明费尔马大定理的任何范♟️例会导致一个非模的椭圆曲线来做到这一(yi)点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志(zhi)村🌼定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情况)，这个特殊情况(kuang)足以证🍬明费尔马大定理。 完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基(ji)础上，一块🕖一块的逐步证明剩下的情况直到全(quan)部完成。 数论中类似于费尔马最后定理得几(ji)个⭐定理可以从穀山-志村定理得到。例如:没有立(li)方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已👟为(wei)欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都没(mei)有完成给🍞予他们这个成就的定理的完整形式，他们还(hai)是被认为对最终完成的证明有着决定性影🍻响。