费马大定理电影感悟

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles开始谈⏲️起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看，1994年(nian)正是我在念大学的时候，当时完全没有一位教授在课堂上提🪕到这件(jian)事，也许他們认为，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位(wei)不🏗️是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更高深的(de)专业认知，而指引的道路，就🎩在科普的精神(shen)上。 从费玛最后定理的歷史中可(ke)以发现，有许多研究成果，都是研究(jiu)人员燃🐪烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑(ji)验证。 费玛最后📼定理：xn+yn=zn 当 n>2 時，不存在整数解 1. 1963年 安(an)德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸(xi)引，「最✨后问题 The Last Problem」，故事从这里開始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角(jiao)形，斜邊🐋的平方=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕(bi)氏定理的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究🏭丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问(wen)题8时，在页边写下了註记 「不可能将一个立方数写成兩个立方数之(zhi)和；或者将🏢一个四次幂写成两个四次幂之(zhi)和；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂，写成两个(ge)同样次幂的和。」 「对🎽这个命题我有(you)一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛📙 Fermat的儿子(zi)出版了载有Fermat註记的「丢番图的算數」 5. 在Fermat的其他註☀️记中，隐含了对(dui) n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无(wu)🕙解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只要证明费玛最后定理對於所(suo)有的质数都成立🕖 但 欧基里德 证明(ming)「存在无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的(de)质数，证明了 费玛最后定理 "大👁️‍🗨️概" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利(li)克雷 和 阿得利昂-玛利埃📋‧勒让德 延伸热爾曼的证(zheng)明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里爾‧拉梅⚽ Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与(yu) 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证🦧明了 费玛最后定理 最后是刘维(wei)尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的💗信，说科(ke)西与拉梅的证明，都因为「虚数没有(you)唯一因子分解性质」而失败 库默尔🐈‍⬛证明了 费玛最后定理的完整(zheng)证明 是当时数学方法不可能实现的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯🩴凯尔 Paul Wolfskehl 補救(jiu)了库默尔的证明 这表示 费玛最后定理的完整🍤证明 尚未被解决 沃(wo)尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明(ming)的人，期💾限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希爾伯特(te)，提出数学上23个未解决的问题且相🐻‍❄️信(xin)这是迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理(li) 第一不可判定性定🦭理：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证(zheng)明又不能否定的🥯定理。 => 完全性是不可能(neng)达到的 第二不可判定性定理：不存在🥺能证明公理系统(tong)是相容的构造性过程。 => 相容性永远不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展🥼了可以检(jian)验给定问题是不是不可判定的方法（只适用少数情形） 证明希📽️尔伯(bo)特23个问题中，其中一个「连续统假设」问题是不可判定(ding)的，这對於费玛最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图🩲灵 Alan Turing 发(fa)明破译 Enigma编码 的反转机 开始有人利用暴力解决方法，要对 费玛最后(hou)定理 的n值一个一个加以证明。 15.1988年 內奥🗽姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对(dui)於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科(ke)次，研究椭🏟️圆曲线 研究椭圆曲线的目的是要算出他们的(de)整数解，这跟费玛最后定理一🐈‍⬛样 ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在(zai)一个数26，他是夹在一个平方数与🎊一个立方數中间) 由於要直接找出椭圆曲线(xian)是很困难的，为了简化问题，数学(xue)家採用「时鐘🏖️运算」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解為(wei) (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算🐷中，有四个解 对於椭圆曲线，可写出一(yi)个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究🕢具有非(fei)同寻常的对称性的 modular form 模型式 模型式的要素可从(cong)1开始标号到无穷🦤（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要素個(ge)数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到(dao)椭🕯️圆曲线的 E序列，两个不同领域的理论突然被连接在一起 安德(de)列‧韦依💐 採纳这个想法，「穀山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领🏫」的计(ji)画，一个統一化猜想的理论，并开始寻找统一的环链 19.1984年 格🧋哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出(chu) (1) 假設费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解🥋，则可将方程式转换为(wei)y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以🌷致於无法被模(mo)型式化 (3) 谷山-志村猜想 断言每一个(ge)椭圆方程式都可以被模型式化 (4) 谷山(shan)-志村猜想 是错误的 反🏡过来说 (1) 如果 谷山-志村猜想 是對的，每一个椭圆方程式(shi)都可以被模型式化 (2) 每一个椭圆方程式都(dou)🥜可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗(fu)赖椭圆方程🐟式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特🎮 证明(ming) 弗赖椭圆方程式无法被模型式化 如果有人能够证明谷(gu)山-志🥮村猜想，就表示费玛最后定理也是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯(si) Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他🦽每隔6个月发表一篇小论文，然后自己独力(li)尝试证明谷山-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯🏛️特‧伽罗瓦(wa) 的群论，希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列💖 22.1988年 宫冈洋(yang)一 发表利用微分几何学证明谷山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安(an)德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经將椭圆方🐠程式拆解(jie)成无限多项，然后也证明了第一项必定(ding)是模型式的第一项，也尝🚥试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结(jie)果失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗⚾莱契 方(fang)法，对所有分类后的椭圆方程式都奏效 25.1993年(nian) 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的🍛协助，开始对验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安(an)德魯‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村📞猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安(an)德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居💍，尝试独力解(jie)决缺陷，他不希望在这时候公布证明，让其他人分享完成(cheng)证明的甜美果实 28.安德鲁‧怀👕尔斯(si) Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建(jian)议下，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年🧦9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论與 科利瓦金(jin)-弗莱契 方法就能够完全解决问(wen)题 30.「谷山-志村猜想」被证明了，故得证(zheng)「费🖍️玛最后定理」 ii 费马大定理 300多年以(yi)前，法国数学家费马在一本书的空(kong)白处写下了一个定理：“设n是大于2的正🦪整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解(jie)”。 费马宣称他发现了这個定理的一个真正奇妙的(de)🍻证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专🍀业数(shu)学家和业余數学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是(shi)无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名🧉的(de)定理—费马大定理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的(de)数学家，他最初学习法律并以当律🤪师(shi)谋生，后来成为议会议员，数学只(zhi)不过是他的业余爱好，只能利用闲🍖暇来研究。虽然年(nian)近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分(fen)做出了第一流的贡献。他❣️与笛卡儿几乎同时(shi)创立了解析几何，同时又是17世纪兴起(qi)的概🍈率论的探索者之一。費马特别爱好数论，提出了许多定(ding)理，但费马只對其中一个定理🖊️给出了证明要点，其他定(ding)理除一个被证明是错的，一个未被🥼證明外，其余的陆续被后来的数学家所证(zheng)实。这唯一未被证明的定理就是上🎷面所说的费马大定理，因为是最后一个(ge)未被证明對或错的定理，所以又称为费马最后📻定理。 费馬大定理虽(sui)然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展(zhan)，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦🌒格斯塔夫证明了对(dui)小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年(nian)轻🧁的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn隻(zhi)能有有限多组解👚，他的突出贡献使他在(zai)1986年获得了数学界的最高獎之一费尔兹奖。1993年(nian)英国数学家威尔斯宣布证🌘明了費马大定理，但随后(hou)发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证🪁明费马大定理还(hai)没有得到數学界的一致公认，但大多(duo)数数学家认为他💍证明的思路是正确的。毫无疑問，这使人们看到了(le)希望。 为了寻🎡求费马大定理的解答，三个多世纪以來，一(yi)代又一代的数学家们前赴后继🍁，却壮志未酬。1995年，美国普林斯(si)顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经🎢过8年的孤军奋战，用13 0页长(zhang)的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。 费🦨馬大定理(li)提出的问题非常简单，它是用一(yi)个每个中学生都熟悉的数學定理——毕达 哥拉斯定理——来🌼表达的。2000多年前诞生的(de)毕达哥拉斯定理说：在一個直角三角形中🐜， 斜边的平(ping)方等于两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前🥟後(hou) ，当费马在 研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个(ge)方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方💰程没有任何整数解。费(fei)马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这 个结论的同时(shi)又写下一个附加👢的评注：“对此，我确信已发(fa)现一个美妙的证法，这里的空 白太小，写不下。”这就是数学史上着名(ming)的费马大定理或🍫称费马最后的定理。费马制造了(le) 一个数学史上最深奥😮的谜。 大问题 在物理学、化学或生物学中，还没有任何问(wen)题🏏可以叙述得如此简单和清晰(xi)，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书🦉中(zhong)写到， 文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了(le)尽头。证明费马大定理成🤗为数论中最 值得为之奋斗的事(shi)。 安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲(qin)是一位工程学教授。少年时代的(de)怀尔🍔斯 已着迷于数学了。他在后(hou)来的回忆中写到：“在学校里我喜🍁欢做题目，我把(ba)它们带回家， 编写成我自己的新题(ti)目。不过我以前找👛到的最好的题目是(shi)在我们社区的图书馆里发现的。 ”一天，小怀爾斯在弥尔顿(dun)街上的图书馆看见了🗼一本书，这本书只有一个问(wen)题而没有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是E·T·贝尔写的🐺《大問题(ti)》。它叙述了费马大定理的历史，这个定理(li)让一个又 一个的数学家望而生畏🏠，在长达300多年的时間里没有人能解(jie)决它。怀尔斯30多年后回忆 起被引向费马大定理时的感觉：“它看(kan)上去🥟如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解 决它。这裡正摆(bai)着我——一个10岁的孩子——能理解的问(wen)题，从那个时🍙刻起，我知道我永 远不会放弃它。我必须解决它。” 懷尔斯1974年从牛津(jin)大学的Merton学😜院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare 學院做(zuo)博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究🎓。他说：“研究(jiu)费马可能 带来的问题是：你花费了多年的时间而🤣最终一事无成。我(wo)的导师约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工(gong)🍆作。” 科茨说：“我记得一位同事 告诉我，他有一个非常好的、刚🚠完成数学學士荣(rong)誉学位第三部考试的学生，他催促我收其 为學生。我🌝非常荣(rong)幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的 思(si)想💗，非常清楚他将是一个做大事情(qing)的数学家。当然，任何研究生在那个阶段(duan)直接开始研 究费马大定理是不可能的🏮，即使对(dui)资历很深的数学家来说，它也太困难了。”科茨的责任 是为(wei)怀尔斯找到🌲某种至少能使他在今后三年里有興趣去研(yan)究的问题。他说：“我认为研究🍳 生导师能为学生做的一切就是设法把他(ta)推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定 是一个富有成(cheng)果🥕的研究方向，但是也许年长的数学家在这个过程中(zhong)能做的一件事是使用他 的常识、他对🚝好领域的直觉。然后，学生能在这个方(fang)向上有多大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该研究(jiu)数学🛎️中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的 一(yi)个转折点，椭圆方🦆程的研究是他实现梦想(xiang)的工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑桥大(da)学取得博士学位后🛖来到了美国普林斯顿大(da)学，并成为这所大學 的教授。在科茨🎯的指导下，怀(huai)尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一 个(ge)着名🚄的数论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的基(ji)础知识和数学修养，证明费马🌧️ 大定理的任务也是极为艰巨的。 在怀爾斯的费(fei)马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在🏭两个非(fei) 常不同的数学领域間建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正🎆在(zai)一个朋 友家中啜饮冰茶。谈話间他随意告(gao)诉我，肯·里贝特已经💨证明了谷山－志村猜想與(yu)费马大 定理间的联系。我感到极大的震動(dong)。我记得那个时🔮刻，那个改变我生命历程的时刻，因(yin)为 这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一(yi)切就是证明谷山🌊－志村猜想……我十分清楚 我应该回家去研究谷(gu)山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童(tong)年梦想的道路。 20世纪🍕初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试(shi)证明费马大定理，他 回答说：“在🎻开始着手之前，我必须用3年的时(shi)间作深入的研究，而我没有那么多的🍦时间 浪费在(zai)一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，為了(le)找到证明，他必须全身♦️心地投入到 这个问(wen)题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。 怀尔斯作了(le)一个重大📨的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到(dao)与費 马大定理有关的任何🧆事情都会引起太多人的兴趣。你确实(shi)不可能很多年都使自己精力集中 ，除🎉非你的专心不被他人分散，而這一(yi)点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有 与证(zheng)明🤍费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作(zuo)，在家💜里的顶 楼书房里他開始了通(tong)过谷山－志村猜想来证明费马大定🐶理的战斗。 这是一场长达(da)7年的持久战，这期间只有他的妻子知道他在(zai)证明费马大定理🦆。 欢呼與等待 经过(guo)7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证明。作为一个结果，他🐚也证明了 费(fei)马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一個重要的会议要在剑桥(qiao)大 学的牛顿研🩳究所举行。怀尔斯决(jue)定利用這个机会向一群杰出的听众宣布他🎣的工(gong)作。他选择 在牛顿研究所宣布的另外一个主要原(yuan)因是剑桥是⭐他的家乡，他曾经是那里的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所(suo)举行了20世纪最重要的一次數学🦺讲座。两(liang)百名数学家聆 听了这一演讲，但他们之中只有四分之一💓的人完全懂(dong)得黑板上的希臘字母和代数式所表达 的意思。其余的人来这里是为了(le)見证他📄们所期待的一个真正具有意义的时(shi)刻。演讲者是安 德鲁·怀🕤尔斯。怀尔斯回忆起演讲最(zui)后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风 声，很幸运🦙他们(men)没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长(zhang)肯 定事先就准备了🏦一瓶香槟酒。当(dang)我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完 费马(ma)大定理的证明时，我说：‘我想我🌨️就在这里结束’，会场上(shang)爆发出一阵持久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头版以(yi)🍷《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题(ti)报道 费馬大定理被证明的💖消息。一夜之间，怀尔斯(si)成为世界上最着名的数学家，也是唯一的数 学家。《人物🐮》杂志将怀尔斯与戴安(an)娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有(you)创 意的赞美来自一家国际制衣大💟公司(si)，他們邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模 特。 当怀尔斯成为(wei)媒体报道的中心时，认真核对🏎️这个证明的工作(zuo)也在进行。科学的程序要 求任何数学家將完整的手稿送🧵交一个有声(sheng)望的刊物，然后這个刊物的编辑将它送交一组审 稿人，审稿人的职责是(shi)进行逐行的🌋审查证明。怀尔斯将手稿投到《数學发明》，整整一个 夏天他焦(jiao)急地等待审稿人的意🍮见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一(yi)个缺陷被发 现了。 我的心灵归于平(ping)📋静 由于怀爾斯的论文涉及到大量的数学方(fang)法，编辑巴里·梅休尔😍决定不像通常那样指定 2－3個审稿人，而是6个审稿人。200页的证(zheng)明被🥂分成6章，每位审稿人负责其(qi)中一章。 怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在(zai)电子邮件🤑中提出的问题，他自信这 些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯(kai)兹负责审查🍻第3章，1993年8月23日，他發现了 证明中的一个小缺陷。数学的绝(jue)對主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他🍨的方法中的每(mei)一步都 行得通。怀尔斯以为这又是一个小(xiao)问题🎾，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了 ，错误仍未改正，怀尔斯(si)面临绝境，他准🧤备承认失败。他向同事彼得·萨克说(shuo)明自己的情 况，萨克向他暗示困🥚难的一部(bu)分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经(jing)过 长时间的考虑后，怀尔斯决定🧂邀请剑桥大学的讲(jiang)师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰🛩️勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了(le)9月，依然没有结果，他们准备放弃(qi)了。泰勒🏎️ 鼓励他们再坚持一個月。怀尔斯决定在9月底作最后一次(ci)检查。9月19日，一个星期🀄一的早 晨，怀尔斯发(fa)现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一个 难(nan)以置信📮的发现。这是我的事业中最重(zhong)要的时刻，我不会再有这🎩样的经历……它的美是如 此地难以形容；它(ta)又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆(dai)🏏望它不敢相信。然后白天我 到系里轉了一圈，又回到桌子旁看看它是否还(hai)在——它還在🍊那里。” 这是少年时代的梦想和8年潜心努力的(de)终极，怀尔斯终于向💟世界证明了他的(de)才能。世 界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论文总共有130页，是历史上(shang)核查得最彻底🧅的数学稿 件，它们发表在1995年5月的《数(shu)学年刊》上。怀爾斯再一次出现在《纽(niu)约时报》的头版🍩 上，标题是《数学家称经典之谜已解决(jue)》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最 终的证明可🔮与分裂原子或发现DNA的结(jie)构相比，对費马大定理的证明是人类智力活动的一 曲凯歌，同时(shi)，不能忽视的事实是🎓它一下子就使数学发生了革命性的變化。对我说来，安(an) 德鲁成果的美和魅力在於它💧是走向代数数论的巨大的一步。” 声(sheng)望和荣誉纷至沓来。1995年🛰️，怀尔斯获得瑞典皇家學会颁发的Schock数学奖，199 6年，他获(huo)得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士🍹。 怀尔斯说：“……再没有别的问题能像(xiang)费马大定理一样对我有同样的意义。我拥☁️有如 此少有的特权，在我的成年时(shi)期实現我童年的梦想……那段特殊漫长🚎的探索已經结束了， 我的心已归于平(ping)静。” 费馬大定理只有在相对数学理(li)论的建立之后，才🦭会得到最满意的答(da)案。相对数学理论没有完成之前，谈这个问题是无力地.因为人们对數量(liang)🏅和自身的认识，还没有达到一定的高度. iii 费马大定理與(yu)怀尔斯的因果律-美国公众广播网对怀尔🥐斯的专访 358年的难解(jie)之谜 数学爱好者费马提出的这个问题非常简单，它用(yong)一个每个中学生都熟悉的数学定🐋理(li)——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯🧥定理(li)说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大(da)约在公元📘1637年前后 ，当费马在研究毕達哥拉斯方程时(shi)，他在《算术》这本书靠近问🌏題8的页边处写下了这段文(wen)字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确(que)信已发现一🥌个美妙的证法，但这里的空白太小，写(xie)不下。”费馬习惯在页边写下猜想，费马大定理是🕘其中困扰数学家們时(shi)间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公认为有史以来最着名的数学(xue)猜想。 在畅销💎书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引(yin)发的长达358年的猎逐充满了惊险(xian)、懸疑、绝望和狂喜。这段历史🍓先后涉及到最多产的数学大师欧拉(la)、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业📣数学家的柯西、英年早逝(shi)的天才伽罗瓦、理论兼試验大师库默尔(er)和被誉为“法国历史🐆上知识最为高深的女性”的苏菲(fei)·姬尔曼……法国數学天才伽罗瓦的遗言、日本数学🐒界的明日之星谷山丰的神(shen)秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后一刻的舍死求📗生等等，都(dou)仿佛是冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的一幕，为最后谜底的解开(kai)埋下伏笔。终于，普林斯顿🤪的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推嚮(xiang)高潮并戛然而止，留下一段耐人(ren)回味的传奇。 对怀尔斯而言，证🧉明(ming)费马大定理不仅是破译一个难解之谜，更是去实现一(yi)个儿時的梦想。“我10岁时在图书馆找到👻一本数学书，告诉我有这么(me)一个问题，300多年前就已经有人解决了它，但(dan)却沒有人看到过它的证明，也🕌无人确信(xin)是否有这个证明，从那以后，人们就不断地求(qiu)证。这是一个10岁小🧦孩就能明白的问题，然后歷史上诸多(duo)伟大的数学家们却不能解答。于是從那时起，我就试过解决它(ta)🌼，这个问题就是费马大定理。” 怀尔斯於1970年先后在牛津大学和剑桥大学获得数(shu)学学士和数学博士学位。“我🎮进入剑桥(qiao)时，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因为我忘了它，而是我(wo)认识到我们所掌握的用来攻🏣克它的全部技术已经反复使用了130年。而这(zhe)些技术似乎没有触及问题根本。”因为担心耗费太多(duo)时间而🎸一无所获，他“暂时放下了”对费(fei)马大定理的思索，开始研究椭圆曲线理论——这个看似🐒与证明费马大定理不(bu)相关的理论后来却成为他实现梦想的工(gong)具。 时间回溯至20世纪60年代，普林斯顿(dun)数学家🧾朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主(zhu)要数学领域之间原本就存在着的统一的链接。如(ru)果这个猜想被证实，意📝味著在某个数学领域中无法(fa)解答的任何问题都有可🐇能通过这种链接被转换(huan)成另一个领域中相应的问题——可以被一整套新方🖼️案解(jie)决的问题。而如果在另一個领域内仍(reng)然难以找到答案，那么可以把问题再转换到下一个数學领域中……直到🗞️它被解(jie)决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够🐋解决曾经是最深奥最难对(dui)付的问题——“办法是领着这些问题周游数学王國的各个(ge)风景胜地”。这个纲领为饱受🏝️哥德爾不完备定理(li)打击的费马大定理证明者们指明了救赎之路——根据不完备定理，费马大定(ding)理是不💹可证明的。 懷尔斯后来正是依赖于这个纲领才得(de)以证明费马大定理的：他的证明📚——不同於任何前人的尝试——是现(xian)代数学诸多分支（椭圆曲线论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综合🖌️发(fa)挥作用的结果。20世纪50年代由两位日本(ben)数学家（谷山丰和志🎎村五郎）提出的(de)穀山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个截然不同的数学岛屿间隐藏著(zhe)一座沟通的桥🖊️梁。随后在1984年，德国数学(xue)家格哈德·费赖（Gerhard Frey）給出了如下猜想：假如谷(gu)山—志🐝村猜想成立，则费马大定理为真。这个猜想緊接着在1986年被肯·里贝特(te)🙃（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不可摆脱地与谷山—志村(cun)猜想链接在一起：如果有人能证明谷山😹—志村猜想（即“每一个椭(tuo)圆方程都可以模形式化”），那么就证明了🏑费马大定理。 “人类智力(li)活动的一曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让普(pu)林斯頓的着名数学🎊家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说(shuo)：“ 我常常奇怪怀尔斯在做些什么？……他总是静悄🕘悄的，也许他已经‘黔驴(lü)技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一點暗示都没有！”对于🚗这次(ci)惊天“大預谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是(shi)我平生🤎来见过的唯一例子，在如此长(zhang)的时间里没有泄露任何有关工作的信息(xi)。这🕣是空前的。 1993年晚春，在经过反复的试错和绞尽脑汁的演(yan)算，怀尔斯终于完成🏆了谷山—志村猜想的证明。作(zuo)为一个结果，他也證明了费马🌋大(da)定理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我目🗳️瞪口呆、異(yi)常激动、情绪失常……我记得当晚我失眠了”。 同(tong)年6月🚃，怀尔斯決定在剑桥大学的大型系列讲座(zuo)上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多数学界重要人物到场🥛，当大家(jia)终于明白已经离證明费马大定理一步(bu)之遥时，空气中充满了緊张。” 肯·里比特回(hui)忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也🌕忘不了那一刻：“我之前(qian)从未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所未闻的新思(si)🧉想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮。”当怀尔斯(si)在讲座结尾宣布他证明了费马大定👓理時，他成了全世界媒体(ti)的焦点。《纽约時报》在头版以《终于欢呼“我发🔈现了!”久(jiu)远的数學之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证(zheng)明的消息。一🦢夜之间，怀爾斯成为世界上唯一的数学家。《人物》杂志(zhi)将懷尔🗞️斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅(mei)力者”。 与此同时，认真核对这个证(zheng)明的工🥿作也在進行。遗憾的是，如同这之前的“费马大定理终结者”一样🌕，他的证(zheng)明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之下修正错误(wu)，其间数度感到绝🏝️望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中说: “当时我们其他人（怀尔(er)斯的同事）的行为有点像‘苏联政体研究者(zhe)’，都想🥳知道他的想法和修正错误的进展，但没有人开口问他。所以，某人会(hui)说，‘我今天早上看到🎗️怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但(dan)看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临时🕰️邀请的(de)研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就在截止日到来之⌛前两(liang)周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯发現了问(wen)题的答案，他叙述📘了这一时刻：“突然间，不可思议地，我发现了它……它美得难以形(xing)容🐜，简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里轉了一圈，又回到桌子(zi)旁看看它是否还在那里🐫——它确实还在那裡。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨(kai)的褒扬，其中最具代表性的是他在剑桥(qiao)时的⛵导师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是人类智力活(huo)动的一曲🌍凯歌”。 一场曠日持久的猎逐就此结束，从此费马大定理与安(an)德魯·怀尔💳斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到一个就不得不提到另(ling)外一个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果(guo)律🥢。 历时八年的最终证明 在怀尔斯不多的接受媒体采访中(zhong)，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访🎥相当精彩有趣，本文节选部分以飨读(du)者。 七年孤独 NOVA：通常人们通过团隊来🦁获得工作上的支持，那么当你(ni)碰壁时是怎么解决问题的呢🍍？ 怀尔斯：当我(wo)被卡住时我会沿着湖边散散步，散步的好处是使🌥️你会(hui)处于放松状态，同时你的潜意识(shi)却在继续工作。通常遇到困🏮扰时你(ni)并不需要书桌，而且我随时把笔(bi)纸带上，一旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿…… NOVA：這七(qi)年一定🧵交织着自我怀疑与成功……你不可(ke)能绝对有把握证明。 怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨道上(shang)，但那并不⏳意味着我一定能达到目标——也许(xu)仅仅因为解决難题的方法超出现有💴的数学，也许我需要的方法下个世(shi)纪也不會出现。所以即便我在正确的轨道上，我(wo)却可能生🎆活在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取(qu)得了突破。 怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩(hai)子们出🍠去了。我坐在书桌前思考最后(hou)的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一🧁行字引起了我的注意(yi)。它提到了一個19世纪的数学结构，我🖤霎时(shi)意识到这就是我该用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午(wu)三四点时我确信已经证明了费🧶马大定理，然后下(xia)楼。Nada很吃惊，以为我這时才回家，我告诉她，我解决了费马大定理🐒。 最後的修正(zheng) NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数學之(zhi)谜获解》，但🔈他们并不知道这个证明中有个錯误(wu)。 怀尔斯：那是个存在于关键推导中的错误，但它如此微(wei)妙以至於🏩我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言描述，就算是(shi)数学家也需要研习兩三个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀请🕣剑桥的数(shu)学家理查德·泰勒来协助工作，并在(zai)1994年修正了这个最后的错误。问题是，你的🗼证明和费马(ma)的证明是同一个吗？ 怀尔斯：不可能。这个证明有150页长🤠，用的是20世纪的方法，在费(fei)马時代还不存在。 NOVA：那就是说费马的(de)最初证📌明还在某个未被发现的角落？ 怀尔斯：我不相信他有(you)证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄自🥼己。这个難题(ti)对业余爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数学证明，尽管可能性(xing)极其微小。 NOVA：所🐔以也许还有数学家追寻这最初的证明(ming)。你该怎么办呢🥨？ 怀尔斯：对我来說都一样，费马(ma)是我童年的热望。我会再试🗞️其他问题……证明(ming)了它我有一丝伤感，它已经和我们一起这么🐯久了……人们对我说“你把我的问题(ti)奪走了”，我能带给他们其他的🛶东西吗？我感(gan)覺到有责任。我希望通过解决这个问题带来(lai)的兴奋可以激勵青年🙉数学家们解决其他许许多多的难题。 iv 谷山-志(zhi)村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了🎹椭圆曲线(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到(dao)的周期性全纯函数)之间的重要联系。虽(sui)然名字🥺是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安德魯·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是(shi)一个质数而E是🌌一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，我们可以简化定義E的方(fang)程模p;除了有限个p值，我们会得到有np个元素的有限域🚊Fp上(shang)的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列 ap = np − p, 这是(shi)椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里葉变换，每个👞模形式也会产生一个(ge)数列。一个其序列和从模形式得到的序列(lie)相同的椭圆🧀曲线叫做模的。 谷山-志(zhi)村定说: "所有Q上的椭圆曲线是模的"。 该定理在1955年9月由穀山丰提出猜想。到1957年为(wei)🥐止，他和志村五郎一起改进了严格性。谷山于(yu)1958年自杀身亡。在1960年代🐪，它和统一数學中的猜想Langlands纲领联系了起来(lai)，并是关键的组成部🍯分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得(de)到推广，Weil的名字有一段时间和它联系在一起。尽管🤪有明显的用处，这个(ge)问題的深度在后来的发展之前并未被🖨️人们(men)所感觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含著费马最后定(ding)理🎳的时候，它吸引到了不少注意力。他通(tong)过试图表明费尔马大定🙉理的任何范例会导致一(yi)个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后來证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷(gu)🏪山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的情况)，这个🤪特殊情况足(zu)以证明费尔马大定理。 完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块(kuai)一块的逐步证明🥏剩下的情况直到全部完成。 数论中类似于费尔马最后定(ding)理得几个定理可以从谷山-志🥤村定理得(de)到。例如:没有立方可以写成两个互質n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的(de)📤情况已为欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。雖然(ran)他们都没有完成给予他🐌们這个成就的定理的完整形式，他们还是被(bei)认为对最终完成的证明有着决定(ding)性影响。