费马大定理 电影

本片从证明了费玛最后定理的(de)安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看🙂，1994年正是我在(zai)念大学的时候，当时完全没有一位教授在课堂上提到这件事，也许(xu)他们认为♨️，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然而對(dui)一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导⏲️他走向更高(gao)深的专业认知，而指引的道路，就在科普的精(jing)神上。 从费玛最后定理💷的历史中可以发(fa)现，有许多研究成果，都是研究人员燃(ran)烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后🖨️再尝试用逻辑验证。 费玛最後定理(li)：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解🍋 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃裡克‧坦普尔‧贝(bei)尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后問题 The Last Problem」，故事从(cong)这里开始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角🍛三角形，斜边的平方(fang)=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番(fan)🐽图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边写下了註记 「不可能将一个立方数写成两(liang)个立方数之✏️和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，總的来(lai)说，不可能将一个高於2次幂，写成两个同样次幂的和🕯️。」 「对这个(ge)命題我有一个十分美妙的证明，这里空白(bai)太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了(le)载有Fermat註👒记的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记中(zhong)，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂哈🎖️德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解(jie) => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只要证明费玛最後(hou)定理对於所有的质数都成立 但 欧📫基里德 证明「存在无穷多个质(zhi)數」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最后定理 "大(da)概" 无解👠 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利(li)昂-玛利埃‧勒让德 延伸🍅热尔曼的证明，证明了(le) n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯😝汀‧路易斯‧科西(xi) Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理 最后是刘维尔宣读了(le) 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说🔥科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一因子分解性(xing)质」而失败 庫默尔证明了 费玛最后定理的完整证🕛明 是当时数学方法不可(ke)能实现的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的🍎证明 这表示 费玛最後定(ding)理的完整证明 尚未被解决 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克🌎 给提(ti)供证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯(bo)特，提出数学上23个未🌀解决的问题且相信这是(shi)迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定🖥️性定理 第一不可判(pan)定性定理：如果公理集合论是相容的(de)，那么存在既不能🌟证明又不能否定的定理。 => 完全性是不可能(neng)达到的 第二不可判定性定理：不存在能证明公🐎理系统是相容的构造性(xing)过程。 => 相容性永远不可能证明 13.1963年 保罗🚌‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是(shi)不是不可判定的方法（只适用少数情形） 证明希尔伯特(te)23个问题中💜，其中一个「连续统假设」問题是不可判定的，这(zhe)对於费玛最后定理来说是一大🐴打击 14.1940年 阿伦‧图(tu)靈 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机 开始有人利用暴力解决方法，要对 费玛最(zui)后定理 的n值一个一🧧个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解(jie)这个推想，找到了一🎸个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔(er)斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线 研究椭🎢圆曲线的目的是要算出他们的(de)整数解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2 (费👛玛证明宇宙中(zhong)指存在一个数26，他是夹在一个平方數与一个立方数中间) 由於要直接📦找(zhao)出椭圆曲线是很困难的，为了簡化问题，数学家採用「时🗯️鐘(zhong)运算」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭(tuo)圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然後可用 E5=4 来代表在五格时鐘(zhong)运🐻‍❄️算中，有四个解 对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究(jiu)具有非同寻常🥅的对称性的 modular form 模型式 模(mo)型式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型(xing)式的 M序列 要素个数 可写👕成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提(ti)出模型式的 M序列 可以对应到椭圆曲线的 E序列，两個不同领域(yu)的理论突然🥪被连接在一起 安德列‧韦依(yi) 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的(de)计画，一个统一化猜想的理💋论，并开始寻找统一的(de)环链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假設费玛最后定(ding)理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解🎧，则可将方程式转换(huan)為y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方(fang)程式太古怪了，以致於无💡法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程(cheng)式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是🕶️错误的 反过来说 (1) 如果 谷山-志村猜(cai)想 是对的，每一个椭圆方程式都🦊可以被模型式化(hua) (2) 每一个椭圆方程式都可以被模型(xing)式化，則不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存(cun)在弗赖椭🦞圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝(bei)里特 证明 弗赖椭圆方程式✈️无法被模型式化 如果有人能够证明谷山-志村猜(cai)想，就表示费玛最🦍后定理也是正確的 21.1986年 安(an)德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇📃小论文，然后自己独力尝(chang)试证明谷山-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃🎟️瓦里斯特‧伽罗(luo)瓦 的群論，希望能将E序列以「自然次序(xu)」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表🧵利用微(wei)分几何学证明谷山-志村猜想，但結果失败 23.1989年(nian) 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程(cheng)式拆解成无🍨限多项，然后也证明了第一项(xiang)必定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但結果失败 24.1992年 修改📒 科利(li)瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方程式都奏效 25.1993年 寻(xun)求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的🐆协助，开始对验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算(suan)术」会议，安德鲁‧怀🧋尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明 27.1993年(nian)9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝⚾试独力(li)解决缺陷，他不希望在这时候公布证明，让其他人分享完成📜证明的(de)甜美果实 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边緣，在彼得🕍‧萨纳(na)克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与(yu) 科利瓦金-弗莱契 方法🍺就能够完全解决问题 30.「谷(gu)山-志村猜想」被证明了，故得证「费玛最后定理」 ii 費马大定理 300多年(nian)以前，法国数学家费📟马在一本书的空白处写下了一個定理：“设n是大于2的(de)正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数💾解”。 费马宣称他發现了(le)这个定理的一个真正奇妙的证(zheng)明，但因書上空白太小，他写不下他的证明。300多年過💨去了，不(bu)知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明(ming)它，但不🥝是无功而返就是进展甚微。这就是纯数(shu)学中最着名的定理—费马大定理。 费马(ma)(1601年～1665年)是一位🥚具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师谋生(sheng)，后来成为🐬议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇(xia)来研究。虽然年近🥃30才认真注意数学(xue)，但费马對数论和微积分做出了第一流🎀的貢献。他(ta)与笛卡儿几乎同时创立了解析几(ji)何，同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费🥑马特别爱好(hao)数论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出(chu)了证明要点，其他定理除一🍃個被证明是错的，一个未(wei)被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实。這唯一未🦦被证明的定理就是(shi)上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或(huo)错的定理，所以又称为费马最后定🌹理。 费马大定理(li)虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年(nian)，进展更快。1976年瓦格⛰️斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理(li)都成立。1983年一位年轻的德國数学家法尔廷斯证明了不定方程📭xn+yn=zn只能有有限多(duo)组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹🫘奖。1993年(nian)英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现了证明中的一个(ge)漏洞并🩰作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理(li)还没有得到数🏸学界的一致公认，但大多数数(shu)学家认为他證明的思路是正确的(de)。毫无🧦疑问，这使人们看到了希望。 为(wei)了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以(yi)来，一代又一代的数学家🐻们前赴后继，却壮志(zhi)未酬。1995年，美國普林斯顿大学的安德鲁·怀(huai)尔斯教授经过8年的孤军奋战，用🐻13 0页长的篇幅证明了费马大定(ding)理。怀尔斯成为整個数学界的英雄。 费马大定理提出的问题非(fei)常简🏠单，它是用一个每个中学生都熟(shu)悉的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来表达的。2000多年(nian)前诞生⛪的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三(san)角形中， 斜边的平方等于两直角(jiao)邊的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在🐆公元1637年前后 ，当费马在 研究(jiu)毕达哥拉斯方程时，他寫下一个方程，非常类(lei)似于毕达哥拉🌾斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2時，这个方程没有任(ren)何整数解。费马在《算术》这本书的(de)靠近问题8的页边处记下🏤这 个结论的同时又(you)写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个(ge)美妙的证法💤，这里的空 白太小，写不下。”这就是数学史上着(zhe)名的费马大定理或称费马最☃️後的定理。费马制造了(le) 一个数学史上最深奧的谜。 大问题 在物理学、化学或生物(wu)学中，还没有任何💴问题可以叙述得(de)如此简单和清晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写(xie)到， 文明世界也许在费🥨马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马(ma)大定理成为🎫数论中最 值得为之(zhi)奋斗的事。 安德鲁·怀尔斯1953年出生在(zai)英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年(nian)时代的怀爾😝斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做(zuo)题目，我把它🧄们带回家， 編写成我自己的新题目。不过我以(yi)前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里🕐发现的。 ”一(yi)天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆(guan)看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解👻答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是(shi)E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马🍑大定理的(de)历史，这个定理让一个又 一个的数学(xue)家望而生畏，在长达300多年的时间(jian)里没有人能解决它。懷尔斯30多年🕘后回忆 起被引向费马大定理(li)时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家🥝都未能解 决它。这(zhe)里正擺着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时(shi)刻起，我知道我永 遠不会放弃它。我💿必须解决它。” 怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学(xue)院获得数学学士學🕶️位，之后进入剑桥大学Clare 学院做博士。在研究生阶段(duan)，怀尔斯并沒有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能🐈 带来的问题(ti)是：你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科(ke)茨(John Coate s)正在研究🔮椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工(gong)作。” 科茨说：“我记得一位✉️同事 告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士(shi)荣誉学位第三部考试的学生，他(ta)催促我收其 为学📠生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从(cong)对研究生的要🕞求来看，他也有很深(shen)刻的 思想，非常清楚他将是一个做大事(shi)情🍭的数学家。当然，任何研究生在那个阶段直接(jie)开始研 究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数🎾学家来說，它也太(tai)困难了。”科茨的责任 是为怀尔斯找到某种至少能使他在🍠今后三年(nian)里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究 生导师🗂️能为学生(sheng)做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向🍠。当然，不能保证(zheng)它一定 是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这個过程🦗中(zhong)能做的一件事是使用他 的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能(neng)在这个方向上有多大成绩就🥝是他自己(ji)的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该研究(jiu)数学中称为📖椭圆曲线的領域。这个决(jue)定成为怀尔斯职业生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究是他实现📀梦想(xiang)的工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到(dao)了美国普林斯顿大📘学，并成为这所大学 的教授。在科茨的(de)指导下，怀尔斯或🚄许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为(wei)一 个着名的数论学家，但他清🤑楚地意识到(dao)，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费马 大定理的任务(wu)也是极🍘为艰巨的。 在懷尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志(zhi)村猜想”，该猜想🦐在两个非 常不同的数(shu)学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末⌛的(de)一个傍晚，我正在一个朋 友家中啜饮冰茶(cha)。谈话间他随意告訴我，肯·里贝特已经证明了谷(gu)山－志村猜想🎹与费马大 定理间的联系。我感到极大的(de)震动。我记得那个时刻，那个改变📭我生命历程的时刻，因为 这意味着为了证明(ming)费马大定理，我必须做的一切就是证(zheng)明谷山－志村猜想……我十🏗️分清楚 我应(ying)该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的(de)道路。 20世纪初，有人问伟大的数🎚️学家大卫·希尔伯特为什么不去(qu)尝试证明费马大定理，他 回答说：“在开始🎊着手之前，我(wo)必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么(me)多的时间💛 浪费在一件可能会失败的事情(qing)上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须(xu)全身心地投入到 这个问题中，但🛰️是(shi)与希爾伯特不一样，他愿意冒这个(ge)风险。 怀尔斯作了一个重♦️大的决定：要完全独立和保密地进(jin)行研究。他说：“我意识到与费 马大定理有关的任何事🍷情都会引起太多(duo)人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精(jing)力集中 ，除非你的专心不被他人分散🎈，而这一点会因旁观者太多(duo)而做不到。”怀尔斯放弃了所有 与证明费马大定理无直接🌱关(guan)系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的(de)頂 楼书房里他开始了通过谷山－志(zhi)村猜想来🕥证明费馬大定理的战(zhan)斗。 这是一场长达7年的持久战，这期间(jian)只有他的妻子知道他在证明费🍯马大定理。 欢呼与(yu)等待 经過7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志(zhi)村猜想的证明。作为一个结果，他也证(zheng)🐾明了 费马大定理。现在是向世界(jie)公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥大 学的🧡牛顿(dun)研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会(hui)向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择 在牛顿研究所宣布的另🌓外一个(ge)主要原因是剑桥是他的家乡，他曾經是那里的一名(ming)研究生。 1993年6月23日，牛顿研究🍾所举行了20世纪最重要的一次数(shu)学講座。两百名数学家聆 听🦝了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完(wan)全懂得黑板上的希腊字母和代数🏭式所表达 的意思。其余的人(ren)来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时(shi)刻。演🌔讲者是安 德鲁·怀爾斯。怀尔斯回(hui)忆起演讲最后时刻的🍜情景：“虽然(ran)新闻界已经刮起有关演讲的风 声，很幸运他们没(mei)有来听演讲。但是听众😀中有人拍摄了演讲结(jie)束时的镜头，研究所所长肯 定事先就准备了一瓶香槟酒。当我(wo)宣读🐁证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完 费马大(da)定理的证明🍄時，我说：‘我想我就在这里结束’，会场上爆(bao)发出一陣持久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头版以《終于欢🐇呼“我发现了!”，久(jiu)远的数学之谜获解》为题报道 费马(ma)大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔🌛斯成为世界上最着名的数学家，也是(shi)唯一的数 学家。《人物》杂志将怀爾斯与戴安娜王妃一📼起列为“本年度(du)25位最具魅力者”。最有创 意的赞美来自一家(jia)国际制衣大公司，他们邀请🤩这位温文尔雅的天才作他们新(xin)系列男装的模 特。 当懷尔斯成为媒体报道的中心时(shi)，认真核对这个证明的工作👞也在(zai)进行。科学的程序要 求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊(kan)🏖️物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审 稿(gao)人，审稿人的职责是进行逐🐼行的审查证明。怀(huai)尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个 夏天他焦急地等待(dai)审稿人的意见，并祈求能得到他们😄的祝福。可是，證明的一个缺陷被发 现(xian)了。 我的心灵归于平静 由于懷尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑🌷巴裡(li)·梅休尔决定不像通常那样指定 2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证(zheng)明被分成6章，每位审稿人负责其中一(yi)⌛章。 怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的(de)问题，他自信这 些问题不会给他造📠成很大的麻(ma)烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了 证明中的一个小缺🍎陷。数学(xue)的绝对主义要求懷尔斯无可怀疑(yi)地证明他的方法中的每一步都 行得🖤通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救(jiu)的办法可能就在近旁，可是6个🖤多月过去了 ，错误仍未改正，怀(huai)尔斯面临绝境，他准备承认失败。他向🗽同事彼得·萨克(ke)说明自己的情 况，萨克向他暗示(shi)困难的一部🕣分在于他缺少一个能够和他(ta)讨论问题并且可信赖的人。经过 长时間的考虑后，怀尔斯决定邀(yao)请剑🍫橋大学的讲师理查德·泰勒到普(pu)林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月份⛺到普林(lin)斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒 鼓励他们(men)再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作🗞️最后一次检查。9月19日，一个星期(qi)一的早 晨，懷尔斯发现了问题的答♥️案，他叙述了这一时刻：“突然間，不可(ke)思议地，我有了一个 难以置信的发(fa)现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会🥨再(zai)有这样的经历……它的美是如 此地(di)难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后(hou)白🏥天我 到系裡转了一圈，又回到桌子旁看看它是(shi)否还在——它🛩️还在那里。” 这是少年时代的梦想和8年潜心努力(li)的终极🍐，怀尔斯终于向世界證明了他的才能。世 界不再怀疑这一次的证(zheng)明了。这两篇论文总共有130页，是历史上🎏核查得最(zui)彻底的数学稿 件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出🕗现在《纽约(yue)时报》的头版 上，标题是《数學家称经典之谜已解决》。约翰💡·科(ke)茨说：“用数学的术语来说，这个最 终的证明可与分裂原子或(huo)发现DNA的结构相比，对🍽️费马大定理的证明是人类智力活动的一 曲(qu)凯歌，同时，不能忽视的事實是它一下子就⛵使数学发(fa)生了革命性的变化。对我说来，安 德鲁成果的美和魅力在於它是走(zou)向代数数论的巨大的一☂️步。” 声望和荣(rong)誉纷至沓来。1995年，怀尔斯獲得瑞典皇家学会颁发的Schock数学獎，199 6年，他获得(de)沃💈尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。 怀尔(er)斯说：“……再没有别的问题能🎄像费马大定理一样对我有(you)同樣的意义。我拥有如 此少有的特权，在我的成(cheng)年时期实现我童年的梦想……那🪀段特殊(shu)漫长的探索已经结束了， 我的心已归于平静。” 费马大定理只有在(zai)相对数学理论的建立之✈️后，才会得到最满意的答案。相对数学(xue)理论没有完成之前，谈这个问题是无力🥍地(di).因为人们对数量和自身的认识，还没有(you)达到一定的高度. iii 费马大定理與怀尔斯的因果律-美🎠国公众(zhong)广播网对怀尔斯的专访 358年的难解之谜 数学爱好者费马(ma)提出的☔这個问题非常简单，它用一(yi)个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯🦥定理来(lai)表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角(jiao)形中，斜邊的平方等于两个直角边的平方之🦡和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前(qian)后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书靠近问题8的页(ye)边📓处写下了这段文字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此(ci)，我📭确信已發现一个美妙的证法，但这里的空白太小，写不下(xia)。”费马习惯在页边寫下猜👜想，费马大定(ding)理是其中困扰数学家们时間最长的，所以被称🦑为Fermat’s Last Theorem（费(fei)马最后的定理）——公认为有史以来最着名的數(shu)学猜想。 在畅销书作家西蒙·辛格🧊（Simon Singh）的笔(bi)下，这段神秘留言引发的长達358年的猎逐充满了惊险、悬疑(yi)、绝望和狂喜。这段历🦫史先后涉及到最多产的数学(xue)大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职業数学家🍰的柯西、英年早逝的(de)天才伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和被誉为“法国历史上知(zhi)识最为高深的女性”的📆苏菲·姬尔曼……法国數学天才伽罗瓦(wa)的遗言、日本数学界的明日之🏛️星谷山丰的神秘自杀(sha)、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯💯尔最后一刻的舍死求生等等，都仿佛是(shi)冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的👚一幕，为最后谜底的解开埋下(xia)伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出(chu)现了。他找到谜底😍，把这出戏推向高潮并戛然(ran)而止，留下一段耐人回味的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马(ma)大定理不仅🥔是破譯一个难解之谜，更是去实现一个儿时的梦想。“我10岁时(shi)在图书馆找到一本数学书，告訴我有这么一个😎问(wen)题，300多年前就已经有人解决了它，但却沒有人看到过它的证明，也无人確信是(shi)否有这个证明🥂，从那以后，人们就不(bu)断地求证。这是一个10歲小孩就能明白的问题，然后历(li)史上诸多伟大的数学🌭家們却不能解答。于是从那时(shi)起，我就试过解决它，这个问题就是费马大定📼理。” 怀尔斯于1970年先后在牛津(jin)大学和剑桥大学获得数学学士和(he)数学博士学位。“我进入剑桥时，我🏉真正(zheng)把费马大定理搁在一边了。这不是因为(wei)我忘了它🧧，而是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技(ji)术已经反复使用了130年。而这🥻些技术似乎没有触及问題根本(ben)。”因为担心耗费太多时间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定🚂理的思索，开(kai)始研究椭圆曲线理论——这个看似与证(zheng)明费马大定理不相关的理论🐬后来却成为他实现梦想的工(gong)具。 时间回溯至20世纪60年代，普林斯顿數学家朗兰兹提出了一个大胆的(de)🌦️猜想：所有主要数学领域之间原本就存在着的统一的(de)链接。如果这个猜想被证实，意味着在某🍟个数学领域中无法解答的(de)任何问题都有可能通过这种链接被转换成另一个领域中🎇相應的(de)问题——可以被一整套新方案解决的问题。而如果在另一个✨领域(yu)内仍然难以找到答案，那么可以把问题再转换到下一个数学(xue)领域中……直到它被🔌解決为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够解决曾(ceng)经是最🦤深奧最难对付的问题——“办法(fa)是领着这些问题周游数学王国的各🧐个风景(jing)胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定理(li)打击的费马大定理证明者们指明了救赎之🕤路——根据不完备(bei)定理，费马大定理是不可证明的。 怀尔斯后来正是依赖于这个纲(gang)領才得以证🎛️明费马大定理的：他的证明——不同于任何(he)前人的尝试——是現代数学诸多分🌑支（椭圆曲线论，模形式(shi)理论，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果(guo)。20世纪50年代由两位😊日本数学家（谷(gu)山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜想😯（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆(yuan)方程与模形式两个截然不同的数学岛屿间隐藏着一座(zuo)沟通的桥梁。随后在1984年，德国数🦤学家格哈德·費赖（Gerhard Frey）给出了如下(xia)猜想：假如谷山—志村猜想成📟立，则费马大定理(li)为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝(bei)特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不可擺脱地与谷🧶山—志村猜想链接在一起：如果(guo)有人能证明谷山—志村猜想（即“每一个椭圆方程都可以(yi)📧模形式化”），那么就证明了费马大定理。 “人类智力活动的一曲凯歌” 怀尔斯(si)诡秘的行踪🕌让普林斯顿的着名数学家同事们困惑。彼得·萨(sa)奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪怀尔斯在做些🎁什么？……他总是静(jing)悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯🍳兹则感叹到：“一点暗(an)示都没有！”对于這次惊天“大预谋(mou)”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“這可能是我平生来见过(guo)的唯一例🌗子，在如此长的时间裡没(mei)有泄露任何有关工作的信息。这是空前的。 1993年晚春，在(zai)经过反复的試错和绞尽脑汁的🎰演(yan)算，怀尔斯终于完成了谷山—志村猜想(xiang)的证明。作为一个结果🍳，他也证明了费马大定理。彼得·萨奈克(ke)是最早得知此消息的人之一，“我目📭瞪口獃、异常激动、情绪失常……我(wo)记得当晚我失眠了”。 同年6月，怀尔斯决定🌏在剑桥大学(xue)的大型系列讲座上宣布这一证明。 “讲座氣氛很热烈，有很多数📪学界(jie)重要人物到場，当大家终于明白已经离证明费(fei)马大定理一步之遥时，空💻气中充满了紧张。” 肯·里比特(te)回忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永遠也忘不了那🕣一刻：“我之前从未看到过如此精彩的(de)讲座，充满了美妙的、闻所未闻的新思想，还👕有戏剧性的铺垫，充满悬念(nian)，直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣布他证(zheng)明了费马大🎡定理时，他成了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在頭版以《终于欢呼(hu)“我发现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题🧄报道费马大定理被证明的(de)消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上唯一的🐻‍❄️数学家。《人物》杂志將怀(huai)尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。 与此同时，认真核对这(zhe)个证明的工作🛴也在進行。遗憾的(de)是，如同这之前的“费马大定理终结者”一样，他的证明是有缺陷(xian)的。怀尔斯现在不📅得不在巨大的(de)压力之下修正错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈(tan)中說: “当时我们其🕛他人（怀尔斯的同事）的行为有点像‘苏联政体研究(jiu)者’，都想知🐅道他的想法和修正错误的进展，但没有人(ren)開口问他。所以，某人会说，‘我今天早上看🪢到怀爾斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是(shi)有微笑，但看起来并不高興。’” 撑到1994年9月时(shi)，怀尔斯准🔍备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓(gu)励他再坚持一个月。就在截止日到(dao)来之前两周， 9月🥔19日 ，一个星期一的早(zao)晨，怀尔斯發现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思📫议地，我发现(xian)了它……它美得难以形容，简单而优雅。我(wo)对着它发了20多分🎇钟呆。然后我到系(xi)裡转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在🌓那里——它确实还在那(na)里。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的褒扬，其中最具代表性的👙是他在剑(jian)桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证(zheng)明）是人类智🗨️力活动的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎(lie)逐就此结束，从此费馬大定理与安德鲁·怀(huai)🚐尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到一個就不得不提到另外一个(ge)。这是费马大定理🥪与安德鲁·怀尔斯的因(yin)果律。 历时八年的最终证明 在怀尔斯不多🚞的接受(shou)媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA節目对怀尔斯的专访🎭相当精(jing)彩有趣，本文节选部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们通🌸过团队来获得(de)工作上的支持，那么當你碰壁时是怎么解决问题的呢？ 怀(huai)尔⛳斯：当我被卡住时我会沿着湖边散散步，散步的好处(chu)是使你会处于放松狀态，同时你的(de)潜意识却🕹️在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌(zhuo)，而且我随时把笔纸带上❣️，一旦有好主意我会找個长椅(yi)坐下来打草稿…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与成功……你不可能绝对有把(ba)握证明🫘。 怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨道上，但那并不意🥦味着我一(yi)定能达到目标——也许仅仅因为解决難题的方法超出🎩现有的(de)数学，也许我需要的方法下个世纪也不(bu)會出现。所以即便我在正确⛵的轨道上，我却可能生活在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年(nian)，你取得了突破。 怀💵爾斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子(zi)们出去了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看到了🍮一篇论文(wen)，上面的一行字引起了我的注意。它提到了一个19世纪的(de)数学结构，我霎时意识到这就是我(wo)🐻該用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点时我确信已经证(zheng)明📗了费马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我這时才回家，我告诉她，我解决(jue)了费马大定理。 最后的🌻修正 NOVA：《纽约时报》在头版以《终(zhong)于欢呼“我发现了!”，久远的数學之谜获解》，但🌿他们并不知道这個证明中有个(ge)错误。 怀尔斯：那是个存在于關键推导中的错误，但它如此微妙🚥以至于我忽略(lüe)了。它很抽象，我无法用简单的语言描述，就算是数学家也需要研习两三(san)个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀🎛️请剑桥的数学家理查德(de)·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最后的错误。问💦题是，你的证明和(he)费马的证明是同一個吗？ 怀尔斯：不可能。这个证明有150页长，用的是20世(shi)纪的方法，在费📙马时代还不存在。 NOVA：那就是说费马的最初證明还在某个未(wei)被发现的角落？ 怀尔斯😺：我不相信他有(you)證明。我觉得他说已经找到解答了是(shi)在哄自己。这個难题对业余爱🌽好者如此特别在于它可能被17世纪的(de)数学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许(xu)还有数学家追寻🏅這最初的证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯(si)：对我来说都一样，费马是我童年🌔的热望。我会再试其他问题……证明(ming)了它我有一丝伤感，它已经和我们一起这🎱么久了……人们对我说“你(ni)把我的问题夺走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感覺到有责任。我希望(wang)😍通过解决这個问题带来的兴奋可以激(ji)励青年数學家们解决其他许许🌝多多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆(yuan)曲线(代数几何的对象)和模形式(某🥡种数论中用到的周期(qi)性全纯函数)之间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而📸来,定理的證(zheng)明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若(ruo)p是一個质数而E是一个🚋Q(有理数域)上的一个(ge)椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p;除了有(you)限个p值，我们会得到有np个元🕠素的有限域Fp上(shang)的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线📖E的重(zhong)要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和(he)从模形式得到的♠️序列相同的椭圆曲线叫做模的。 穀山-志(zhi)村定说: "所有Q上的椭圆曲🍴线是模的"。 该定理在1955年9月由谷山(shan)丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五(wu)郎一起改进👙了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它(ta)和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起🏝️来，并是关键的组成部分。猜想由André Weil于1970年(nian)代重新提起并得到推广，Weil的名字有一段时间(jian)和它🦢联系在一起。尽管有明显的用处，这个(ge)问题的深度在后来的发展之前并(bing)未被人们所感觉到。 在1980年代🌿当Gerhard Freay建议谷山-志村(cun)猜想(那時还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它吸引到了不少注意力(li)。他通过试图💚表明费尔马大定理的任何范例会导致一个(ge)非模的椭圆曲线来做到这一点🌎。Ken Ribet后(hou)来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明(ming)了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线🛩️的情(qing)况)，这个特殊情况足以证明费尔馬大定理。 完整的证明最后于1999年由(you)Breuil,Conrad,Diamond,和📀Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的逐步证明剩(sheng)下的情况直到全😙部完成。 数论中类似于费尔马最后定理得几个定理可(ke)以从谷山-志村定理得到。例如:没有立方可以写成两🍴个互(hu)质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖(jiang)。雖然他们都没有完成给予他们这个成就🎣的定理的完整形式，他们还是被(bei)认為对最终完成的证明有着决定性影响。