费马大定理证明者

本片从证明了费玛最后定理的(de)安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了(le) Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯🤿来看，1994年正是我在念大学的(de)时候，当时完全没有一位教授在课堂上提到这件事🐥，也许他们认为，一位真(zhen)正的研究者，自然而然地会被數学吸引，然而对一🃏位不(bu)是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更高深👝的专业(ye)认知，而指引的道路，就在科普的精神(shen)上。 从费玛最后定理的歷史中可以发现，有许多研究成果，都(dou)是🦍研究人员燃烧热情，试图提出(chu)「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑验证。 费玛(ma)💭最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃(ai)里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里(li)👁️‍🗨️开始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜邊的平方=另外两边(bian)的平方和 x2+y2=z2 毕🩰达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解 3. 费瑪 Fermat 在研究丢番(fan)图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8時，在页边写下了🐦註(zhu)记 「不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写(xie)成两个四次幂之和🌾；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂，写成(cheng)两个同样次幂的和。」 「对这个命题🕧我有一个十分美妙的(de)证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿(er)子出版了载有Fermat註记的「丢番图的🚊算数」 5. 在Fermat的其(qi)他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 時无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时(shi)无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只🎻要證明(ming)费玛最后定理对於所有的质数都成立 但 欧基里德 证明「存在无(wu)穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 針对 (2p+1)的🧃质数，证明了 费玛最后(hou)定理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛(ma)利埃‧勒让德 延伸热爾曼的证💐明(ming)，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里爾‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科(ke)西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证🎍明了 费玛最后定理 最后(hou)是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信(xin)，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯(wei)一🌼因子分解性质」而失败 库默尔证(zheng)明了 费玛最后定理的完整证明 是当時数学方法🌽不可能实现的 10.1908年 保(bao)罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明 这表示 费玛最后定理的完整证明 尚(shang)未🧂被解决 沃尔夫斯凯爾提供了 10万马克 给(gei)提供证明的人，期限是到2007年9月13日止(zhi) 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯☁️特，提出数学上23个(ge)未解决的问题且相信这是迫切需要解决的重要问题(ti) 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理 第一🌘不可判定性定理：如果公理集合论是(shi)相容的，那么存在既不能证😹明又不能否定的定理。 => 完全性是(shi)不可能达到的 第二不可🚟判定性定理：不存在能证明公理系統是相容的构(gou)造性过程。 => 相容性永远不可能证明🕧 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检(jian)验给定问题是不是不可判定的方法（只🗞️适用少数情形） 证明希爾伯特23个问(wen)题中，其中一个「连续统假设」问题是不可判定的🏝️，这对於費玛最后定(ding)理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编碼 的反转机 开始有✉️人利用暴(bao)力解决方法，要对 费玛最后定理 的n值一个一个加以证🐅明。 15.1988年 内奥(ao)姆‧埃爾基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解(jie)这个推想，找到了一个🐈反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯(si) Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线 研究椭圓曲(qu)线的目🐘的是要算出他们的整数解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有(you)一🦧组整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平(ping)方数🍦与一个立方数中间) 由於要直接找出椭圆曲线是很困难(nan)的，为了简🦇化问题，數学家採用「时鐘(zhong)运算」方法 在五格時鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解(jie)为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然後可用 E5=4 来代表在五格🌩️时鐘运算中，有四个解 对於椭圆(yuan)曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的(de)💟 modular form 模型式 模型式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每(mei)个模型式的 M序列 要素个数 可写(xie)成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例🥼 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圆(yuan)曲线的 E序列，两个不同領域💐的理论突然被连接(jie)在一起 安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领(ling)」的计畫，一个统一🍒化猜想的理论(lun)，并开始寻找统一的环链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提(ti)出 (1) 假设費玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数🔮解，则可将方(fang)程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这樣的椭圆方程式 (2) 弗赖椭(tuo)圆方程🏢式太古怪了，以致於无法被模型式化 (3) 谷山(shan)-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以🌽被模型式(shi)化 (4) 谷山-志村猜想 是错误的 反过来说 (1) 如果(guo) 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圆方程式都可以😚被模型式化 (2) 每一个(ge)椭圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭(tuo)圆方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方程式，那🦔么(me)xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗(fu)赖椭圆方程式无法被模型🧄式化 如果有人能够证明谷山-志(zhi)村猜想，就表示费玛最后定🎎理也是正确的 21.1986年 安德鲁(lu)‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月🎄发表一篇小论文，然后自(zi)己独力尝试证明谷山-志村猜想，策略是利用(yong)归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希🧶望能将E序列以「自然次序(xu)」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发(fa)表利用微分几何学證明谷山-志村猜想(xiang)，但🛷结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经將椭圆方程式拆(chai)解成无限多项，然后也证明了第一项必(bi)定是模🍲型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败 24.1992年 修改 科利(li)瓦金-弗莱契 方法💈，對所有分类后的(de)椭圆方程式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹(zi) Nick Katz 的协助，开始对验证🏢证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔(er)斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克🦜‧凯(kai)兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决(jue)缺陷，他不希望在这时候公布证(zheng)明，讓其🎱他人分享完成证明的甜美果實 28.安(an)德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼(bi)得‧萨纳克的建议下😽，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发现结合(he) 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完🎧全解决问题 30.「谷山-志村(cun)猜想」被证明了，故得证「费玛最后定理」 ii 费马大定理 300多(duo)🐒年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设(she)n是大🙊於2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非(fei)零整数解”。 费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因(yin)书🕹️上空白太小，他写不下他的证明。300多年过(guo)去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑🎷汁(zhi)企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学(xue)中最着名的定理—费马大🍻定理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传(chuan)奇色彩的数学家，他最初💺学习法律并以当律师谋生，后来成为议会(hui)議员，数学只🥕不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认(ren)真注意数学，但费马对数論和微(wei)积分做出了第一流🚍的贡献。他与笛卡儿幾乎同时创立了解析几何，同时(shi)又是17世纪兴起的概🕡率论的探索者之一。费(fei)马特别爱好数論，提出了许多定理，但费马只对📁其中一个定理给出了證(zheng)明要点，其他定理除一个被证明是錯的，一个未被证明外(wai)，其余的陆续被后来的数学🐼家所证实。这唯一未(wei)被證明的定理就是上面所说的费马大定理，因为(wei)是最后一个未被證明对或错的(de)👘定理，所以又称为费马最后定理。 费马大定(ding)理虽然至今仍没有完全🥧被证明，但已(yi)经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯(si)塔夫证明了对🚠小于105的素数费马大定理(li)都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯證明🌘了不定方程xn+yn=zn只(zhi)能有有限多组解，他的突出貢献使(shi)他在1986年获得了数学界的最高奖之一費尔🌓兹奖。1993年英国数学家(jia)威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现(xian)了證明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯🥒证明(ming)费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数數(shu)学家认为👜他证明的思路是正确的。毫无疑问(wen)，这使人们看到了希望。 为了🦮寻求费马大定理的解答，三个(ge)多世纪以来，一代又一代😍的数学家(jia)们前赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普(pu)林斯顿大学的安德鲁·怀尔🥺斯教授经过8年的孤(gu)军奋战，用13 0页长的篇幅证明了费马大定理。懷尔斯成为整(zheng)个数学界的英雄。 费✒️马大定理提出的问(wen)题非常簡单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定(ding)理——毕达 哥拉✈️斯定理——来表达的。2000多(duo)年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角(jiao)形中， 斜边的🏝️平方等于两直角边(bian)的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马(ma)在 研究毕达哥拉斯方程时，他🍾写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方(fang)程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书🦔的靠近问题8的页(ye)边处记下这 个结论的同时又写下一个附加的评注(zhu)：“对此，我確🌽信已发现一个美妙的证法，这里的空 白(bai)太小，写不下。”这就是🎰数学史上着名的费马(ma)大定理或称费马最后的定理。费马制造了 一个数学史上最深奥🍫的谜(mi)。 大问题 在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如(ru)此简单和清晰，却長久🛟不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界也许在(zai)费马大定💞理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定(ding)理成为数论中最 值得为之奋斗的事。 安德鲁·怀🏝️尔斯1953年出生在(zai)英国剑桥，父亲是一位工程学教(jiao)授。少年🎋时代的怀爾斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我(wo)喜歡做题目，我把它们带☀️回家， 编写成我自(zi)己的新题目。不过我以前找到的(de)最好的题目🏠是在我们社区的图书(shu)馆里发现的。 ”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上(shang)的图书馆看见了一本书，这本书只有一个🪁问题而没有解答 ,怀尔斯(si)被吸引住了。 這就是E·T·贝尔写的《大问(wen)题》。它叙述了費马大定理的历史🛣️，这个定理让一个又 一个的数学(xue)家望而生畏，在长达300多年的时间里沒有人能🧀解决它。怀尔斯30多(duo)年后回忆 起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所(suo)有的大🧂数学家都未能解 决它。这里(li)正摆着我——一个10岁的孩子——能理解🏙️的问题，从那个时刻起，我知道我永 远(yuan)不会放弃它。我必须解決🀄它。” 怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得(de)数学学士学位，之🐅后进入剑橋大学Clare 学院做博士。在研究(jiu)生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可🥏能 带来的问(wen)题是：你花费了多年的时间而最终一事(shi)无成。我的导师约翰·科茨(John Coate s)正🌻在研究椭圆曲线的Iwasawa理(li)论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一📣位同事 告诉我，他有一(yi)个非常好的、刚完成数學学士荣誉学位💞第三(san)部考试的学生，他催促我收其 为学生。我非常荣幸(xing)有安德鲁这样🛰️的学生。即使从對研究生的要求来看，他也(ye)有很深刻的 思♨️想，非常清楚他将是一个做大事(shi)情的数学家。当然，任何研究生在那个阶段(duan)直接开始研🦜 究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家🍐来(lai)說，它也太困难了。”科茨的责任 是为怀尔斯找到某种(zhong)至少能使🎼他在今后三年裡有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究 生导🤣师(shi)能為学生做的一切就是设法把他推向一个富(fu)有成果的方向。當然，不能保证它一定 是🐬一个富有成果的研(yan)究方向，但是也许年长的数学家在这个过程🕥中能做的一件事(shi)是使用他 的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能(neng)在这🍾个方向上有多大成绩就是(shi)他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该🎬研究数学中称为椭圓曲线的领域。这(zhe)个决定成为怀尔斯职業生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究是他(ta)🛥️实现梦想的工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学(xue)位后来到了美国普林🗯️斯顿大学(xue)，并成为这所大學 的教授。在科茨(ci)的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方(fang)程，他已🌃经成为一 个着名的数论学家，但他清楚地意识到，即(ji)使以他广博的基础知识和数学修养，证🥋明费马 大定理的任务也(ye)是极为艰巨的。 在怀尔斯的费马大定理的證明中，核心是证(zheng)明“谷山－志村📠猜想”，该猜想在两个非 常不同的数(shu)学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的(de)一个傍晚，我正在一个朋 友📤家中啜饮冰茶。谈话间他随(sui)意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山－志(zhi)村猜想与费马大 定理间😄的联系。我感(gan)到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为 这意味着(zhe)为了证明费马🚁大定理，我必須做的一切就是证明谷山－志村猜想……我十分清(qing)楚 我應该回家去研究谷山－志村猜想。”怀(huai)尔斯🍚望见了一条实現他童年梦想的道路。 20世纪初，有人(ren)问伟大的数学家大卫·希爾伯特为什么不去尝试🥨证明(ming)费马大定理，他 回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时(shi)间作深入的研究，而我沒有那么多🖥️的时间 浪费在一件(jian)可能会失败的事情上。”怀爾斯知道(dao)，为了找到证明，他🏍️必须全身心地投入到 这个问(wen)题中，但是與希尔伯特不一样，他💧愿意冒这個风险。 怀尔斯作了一个(ge)重大的决定：要完全独立和保密地进行⛩️研究。他(ta)说：“我意识到与费 马大定理有关的任何事情都(dou)会引起太多人的⏱️兴趣。你确实不可能很(hen)多年都使自己精力集中 ，除非你的專心不被他人🦍分散，而这一点会因旁观(guan)者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有 与证(zheng)明费马大定理无直接🥯关系的工作，任何时候只要可能他就回到家裡工(gong)作，在🌺家里的顶 楼书房里他开始了通(tong)过谷山－志村猜想来证明费马大定理的战斗。 这是一(yi)场🐀长达7年的持久战，这期间只有他的妻子知道他在证明费马大(da)定理。 歡呼与等待 经过7年🥽的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的(de)证明。作为一个结果，他也证明了 费馬大定理📇。现(xian)在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥(qiao)大 学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定🥁利用这個机(ji)会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择 在牛顿研究所宣布的(de)另💸外一个主要原因是剑桥是他(ta)的家乡，他曾经是那里的一名研究(jiu)生。 1993年6月23日，牛顿研究所🎩举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学(xue)家聆 听了这一演讲，但他们之中只有四分之一🕍的人完全懂得黑板上(shang)的希腊字母和代数式所表达 的意思。其余的人来这里是为了🕜见证他(ta)们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安 德鲁·怀(huai)尔斯。怀尔斯回忆🥼起演讲最后时刻(ke)的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风 声，很幸运他们没有来听演(yan)讲。但是听🐛众中有人拍摄了演讲(jiang)结束时的镜头，研究所所长肯 定事先就准备了一瓶🐇香槟(bin)酒。当我宣读证明时，会场上保持着特別庄重的寂静，当我(wo)写完 费马大定理的🦥证明时，我說：‘我(wo)想我就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的(de)鼓掌🥨声 。” 《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学♥️之(zhi)谜獲解》为题报道 费马大定理被证明的消息(xi)。一夜之间🐪，怀尔斯成为世界上最着名的数学家，也是(shi)唯一的数 学家。《人物》杂志将🎩怀尔斯与戴(dai)安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创 意的(de)赞美来自一家国🪀际制衣大公司，他们邀请這(zhe)位温文尔雅的天才作他们新系(xi)列男装的模 特。 当😊怀尔斯成为媒體报道的中心时(shi)，认真核对这个证明的工作也在进(jin)行。科学的程序要 求任何🚡数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊(kan)物，然后这个刊物的编辑将它送(song)交一组审 稿人，审稿人的职责是进💵行(xing)逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数(shu)学发明》，整整一个 夏天他焦急地等🖱️待审稿人的意见，并(bing)祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被发 现了。 我的心🏟️灵歸(gui)于平静 由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑🚂巴里·梅休尔决定(ding)不像通常那样指定 2－3个审稿人，而是6個审稿人🕋。200页的证明被分成6章，每位审(shen)稿人负责其中一章。 怀爾斯在此期间中断了他的工🐢作，以处理审稿人在电子(zi)邮件中提出的问題，他自信这 些问题不会给他造成很(hen)大🚉的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发(fa)现了 证明中🛳️的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证(zheng)明他的方法中🏘️的每一步都 行得通。怀尔斯以為这又是一个小问题(ti)，补救的办🦢法可能就在近旁，可是6個多月过去了 ，错误(wu)仍未改正，怀爾斯面临绝境，他准备⭐承认失(shi)败。他向同事彼得·萨克说明自己的情 况，萨克向他暗示(shi)困难的一部分在于他缺少一个能🕧够和他讨论问题并且可信赖的人。经(jing)過 长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大(da)🔈学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工(gong)作 。 泰勒1994年🌐1月份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒(lei) 鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决🍾定(ding)在9月底作最后一次檢查。9月19日，一个星期(qi)一的早 晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突🏷️然间，不(bu)可思议地，我有了一个 难以置信的发现。这是我的事业中(zhong)最重要的时刻，我不会再有这样🏎️的经历……它的美是如 此地难以形容(rong)；它又是如此简单和优美。20多分💵钟的时間我呆望它不敢相信(xin)。然后白天我 到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否😙还在——它还在那里。” 这(zhe)是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极，怀尔🐥斯终于向(xiang)世界证明了他的才能。世 界不再怀疑这一次的证🍜明了。这两篇论文总共有130页(ye)，是历史上核查得最彻底的数学稿 件，它们发表在1995年5月💿的《数学年刊(kan)》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版 上🎐，标题是《数学家(jia)称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最🤠 终的证明(ming)可与分裂原子或发现DNA的结构相比，對费马大定理的(de)证明是人类智力🚃活动的一 曲凯歌，同时(shi)，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变(bian)化。对我说来，安🔔 德鲁成果的美和魅力在于它是走(zou)向代数数论的巨大的一步。” 声望和荣誉纷至沓来。1995年🦑，怀尔斯获(huo)得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得(de)沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍👻院士。 怀尔斯说：“……再(zai)没有别的问题能像費马大定理一样对我有同样的意义。我拥(yong)有如 此少🎑有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的(de)探索已经结束了， 我的心已归于🥕平静。” 费马大定理只有在相对数学理论的建(jian)立之后，才会得到最满意的答⛰️案。相对数学理论没有完成之前，谈这个問题(ti)是无力地.因为人们对数量🎀和自身的认识(shi)，还没有达到一定的高度. iii 费马大定理与怀尔斯🎳的因果(guo)律-美国公众广播网對怀尔斯的专访 358年的难解之谜🛖 数学爱好者(zhe)费马提出的这个问题非常简單，它用一个每个中学生都熟悉的🧤数学定理(li)——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯(si)定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方🧶等于兩个直角边(bian)的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马👝在研究毕達哥拉斯方程时，他在《算(suan)术》这本书靠近问题8的页边处写下了这段文字：“设n是🎞️大于2的正整数(shu)，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已发现一个⛩️美(mei)妙的证法，但这里的空白太小，写不下。”费马习(xi)惯在页边写下猜想，费马大定理是其(qi)⛱️中困扰数学家们时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（費马(ma)最后的定理💬）——公认为有史以来最着名的数学猜想。 在畅销書(shu)作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的长达358年的猎逐🦞充满了驚(jing)险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先(xian)后涉及到最多产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由(you)业🚄餘转为职业数学家的柯西、英年早逝的天(tian)才伽罗瓦、理💙论兼试验大師库默尔和被誉为(wei)“法国历史上知识最为🚆高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国(guo)数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘自杀(sha)、德国数学💡爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔(er)最后一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥(ming)冥间上帝🚊导演的宏大戏剧中的一幕，为最后谜底的解开埋下伏笔。终于，普(pu)林⛳斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然而止，留下一(yi)段耐人回味的🦆传奇。 对怀尔斯而言(yan)，证明费马大定理不仅是破译一个难解之谜，更是去(qu)实现一个儿时的梦想。“我🍙10岁时在图(tu)書馆找到一本数学书，告诉我有这么一个問题，300多年前就(jiu)已经💈有人解决了它，但却没有人看到过它的证明，也无人确信(xin)是否有这个证明，从那以后，人们(men)就💾不断地求证。这是一个10岁小孩就能明白的问题，然后历(li)史上诸多伟大的数学家們却不能解答。于是🎂从那时起，我就试过解(jie)决它，这个问题就是费馬大定理。” 怀(huai)尔斯于1970年先后在牛津大学和剑😝桥大学获得数学学士和数學博士学(xue)位。“我进入剑桥时，我真正🐆把费马大定理搁在一边(bian)了。这不是因为我忘了它，而是我认识到我们(men)所掌握的用来攻克🤪它的全部技术已(yi)经反复使用了130年。而这些技术似乎没有触及问题根本。”因为担心耗費(fei)太多时🦃间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定理的思索，开始研究(jiu)椭圆曲线理论——这🎃个看似与证明费马大定理不相(xiang)关的理论后来却成为他实现梦想的工具。 时间(jian)回溯至20世纪60年代🐯，普林斯顿数学家朗蘭兹提出(chu)了一个大胆的猜想：所有主要数学领域之间原本就存在着的统一的链(lian)接。如📒果这个猜想被证实，意味着在某个数学领域中无法解答的(de)任何问😜题都有可能通过这种链接被转换成另一个领域中(zhong)相应的问題——可以⚽被一整套新方案解决的问题。而如果在另一(yi)个领域内仍然难以找到答案，那么可(ke)以把问题再转換到下一个🐣数学领域中……直到它被解决(jue)为止。根据朗兰兹纲領，有一天，数学家们将能够解(jie)决曾经是最深奥最難对🍬付的问题——“办法是领着这些问题周游数学王国的各(ge)个风景胜地”。这個纲领为饱受🚎哥德尔不完备定理打击的(de)费马大定理证明者們指明了救赎之路——根(gen)据不完备💸定理，费马大定理是不可证明的。 怀尔斯后来正是依赖于这(zhe)👞个纲领才得以证明费马大定理的：他的证明——不同于任何前人的尝试——是现代(dai)数学诸多分支（椭圆曲线📇论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综合发挥(hui)作用的结果。20世纪50年代由两位🧊日本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志(zhi)村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式🚂两(liang)个截然不同的数学岛屿間隐藏着(zhe)一座沟通的桥梁。随后在1984年，德國数学家⛲格(ge)哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大定理(li)为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里🛕贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不可擺脱(tuo)地与谷山—志村猜想链接在一起：如果有人能证🥾明谷山(shan)—志村猜想（即“每一个椭圆方程都可以模(mo)形式化”），那么就证明了费马大定理。 “人类智力活动的(de)一📷曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名數学家同(tong)事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我(wo)常常奇📄怪怀尔斯在做些什么？……他总是静悄(qiao)悄的，也许他已經‘黔驴技🎟️穷’了。”尼克·凯兹则感叹(tan)到：“一点暗示都没有！”对于这次惊天“大预谋(mou)”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价🌁说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在如此长(zhang)的时间里没有泄露任何有关工作的(de)信🎽息。这是空前的。 1993年晚春，在经过反复的(de)试错和绞尽脑汁的演算，懷尔斯终于完成😆了谷山—志村猜想(xiang)的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定理👖。彼得·萨奈克(ke)是最早得知此消息的人之一，“我目(mu)瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失眠了”。 同年6月，怀🌾尔斯(si)决定在剑桥大学的大型系列講座上宣布这一证明。 “讲(jiang)座气氛很热烈，有很多数学界重🥐要人物到场，当大家终于明白已经(jing)离证明费马大定理一步之遥时，空气中🦺充满了紧张。” 肯·里比特回忆(yi)说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一🦭刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座，充(chong)满了美妙的、闻所未闻的新思想，還有戏剧性的铺垫，充满(man)悬念🐼，直到最後到达高潮。”当怀尔斯在(zai)讲座结尾宣布他证明了费马大定理时，他成了📑全世界媒体的焦点。《纽(niu)约时报》在头版以《终于欢呼“我发(fa)🗼现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）為题报道费马大(da)定理被证明的消息。一🏕️夜之间，怀尔斯成为世界(jie)上唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最🛣️具(ju)魅力者”。 与此同时，认真核对这个(ge)证明的工作也在进行。遺🍩憾的是，如同这之前(qian)的“费马大定理终结者”一样，他的证明🌟是有缺陷的。怀尔斯现在(zai)不得不在巨大的压力之下修正错误，其间数度感到(dao)绝望。John Conway曾在美国公眾广播🦉网（PBS）的访谈中说: “当时我们其他人（怀尔斯的同事(shi)）的行为🍐有点像‘苏联政体研究者’，都想知道他的(de)想法和修正错误的进展，但没有人开口问📯他。所以，某人会说，‘我今天(tian)早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是🩰有(you)微笑，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临时邀(yao)請的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个📩月。就在截止日到来之前(qian)两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯发现了问题(ti)的答案，他叙述了🦜这一时刻：“突然间，不可思议地，我发现了它……它美得难以形(xing)🥊容，简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里转(zhuan)了一圈，又回到桌子旁看看它是否还🥿在那里——它确实還在那里。” 怀尔斯的证明(ming)为他赢得了最慷🎯慨的褒扬，其中最具代表(biao)性的是他在剑桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价🔉：“它（证明）是人(ren)类智力活动的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就(jiu)此结束，从此费马🦥大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧(jin)地被绑在了一起，提到一个就不得不提到另外(wai)一个。这是🌙费马大定理与安德鲁·怀尔斯(si)的因果律。 歷时八年的最终证明 在怀尔斯不多的接受媒体采访中(zhong)，美国公眾🎭广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访相当精彩(cai)有趣，本文节选部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们通过團队来获得🎿工(gong)作上的支持，那么当你碰壁时是怎么解决問题(ti)的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我會沿着☁️湖边(bian)散散步，散步的好处是使你会处于放松状态，同时你的潜意识却在继续📤工作(zuo)。通常遇到困扰时你并不需要书桌(zhuo)，而且我随时把笔纸🫘带上，一旦有好主意我会找个长椅坐下(xia)来打草稿…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与成功……你不可能绝对🥄有把握证明(ming)。 怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨道上，但那并🕝不意味着(zhe)我一定能达到目标——也许仅仅因为解决难题的方(fang)法超出现有的數学，也许我需要的方法下🍶个世纪(ji)也不会出现。所以即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错误(wu)的世纪。 NOVA：最終在1993年，你取得了突破。 怀🌾尔斯：对，那是个5月末(mo)的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经(jing)意间看到了一篇论♥️文，上面的一行字引起了我的注意(yi)。它提到了一个19世纪的数學结构，我(wo)霎时意识到这就🧧是我该用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点时(shi)我确信已经证明了费马大定理，然🎖️後下楼。Nada很吃惊，以为我这时(shi)才回家，我告诉她，我解决了费马大定理。 最后的修正 NOVA：《纽约🌦️时报(bao)》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》，但他们并不(bu)知道这个证🎢明中有个错误。 怀尔斯：那是个存在于关键推导中的错误，但它(ta)如此🔖微妙以至于我忽略了。它很抽(chou)象，我无法用简单的语言描述，就算是数学家也需要研(yan)🥣习两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰🛟勒來协(xie)助工作，并在1994年修正了这个最后的错误。问题是，你的证明和費马的🥉证明是同(tong)一个吗？ 怀尔斯：不可能。這个证明有150页长，用的🕟是20世纪的方法(fa)，在费马时代还不存在。 NOVA：那就是说费马的最初证明还✒️在某个(ge)未被发现的角落？ 怀尔斯：我不相信他有证(zheng)明。我觉得他说🌍已经找到解答了是在(zai)哄自己。这个难题对业餘爱好者如此特别在于🧂它(ta)可能被17世纪的数学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以(yi)也许还有数学家追寻这最初的🖌️证明。你该(gai)怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说都一样，费马是我童(tong)年的热望。我会再试🚞其他问题……证明(ming)了它我有一丝伤感，它已經和我们一起这么久了……人们对我说(shuo)“你把我💗的问题夺走了”，我能帶给他们(men)其他的东西吗？我感觉到有责任。我希(xi)望通过解决这个问题带来的兴🧇奋可以激励青年數学家们解(jie)决其他许许多多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几(ji)何的对象🐹)和模形式(某种数论中用到的周期性全纯函数(shu))之间的重要联系。虽然名字是从谷♠️山-志(zhi)村猜想而来,定理的證明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个质🦐数而E是一个(ge)Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p;除了有限个p值，我(wo)们会得🧤到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考(kao)虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圆💻曲線E的重要的不变量。从傅里(li)叶变换，每个模形式也会产生🕜一个数列。一个其序列和从模形(xing)式得到的序列相同的椭圆📮曲线(xian)叫做模的。 谷山-志村定说: "所有Q上的椭(tuo)圆曲线是模的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村(cun)♥️五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数学中(zhong)的猜想Langlands纲领联系🎧了起来，并是关键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重(zhong)新提起并得到推广，Weil的名🥰字有一段时间和它联(lian)系在一起。尽管有明显的用处，这个问题的深度在后来的发展之前(qian)并未被人们所🛥️感覺到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时(shi)还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它吸引(yin)到了不少注意力🛰️。他通过试图表明费尔马大定理的任何范例会导致(zhi)一个非模🔉的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明(ming)了谷山-志村定理的一个特🗺️殊情况(半稳定椭(tuo)圆曲線的情况)，这个特殊情况足以证明费尔马大定理。 完(wan)整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们💤在Wiles的基础(chu)上，一块一块的逐步证明剩下的情况直(zhi)到全部完成。 数论中类似于费尔马📓最后定理得几个(ge)定理可以从谷山-志村定理得到(dao)。例如:没有立方可以写成两個😻互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知) 在1996年三月(yue)，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有完成給予他🌐们这个成就的定(ding)理的完整形式，他们还是被认为对最终完成的证明(ming)有着决定性影响。