费马大定理电影免费版

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯(si) Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末🕡，往前回溯来看，1994年(nian)正是我在念大学的时候，当時完全没有一位教授在课堂🏙️上提到这件事(shi)，也许他们认为，一位真正的研究者，自然而然地会被(bei)数💽学吸引，然而對一位不是天才的学生来说，他需(xu)要的是老师的指引，引导他走向更高深的专业认📉知，而(er)指引的道路，就在科普的精神上。 從费玛最后定理的历史中可以发现(xian)，有许多研究成果，都是研究人员🍿燃烧热情，试图提出「有(you)趣」的命题，然后再尝试用逻辑验🐽证。 费玛最(zui)后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解 1. 1963年 安德鲁‧怀爾斯(si) Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本🌎书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 毕达哥拉斯(si) Pythagoras 定理，任一个直⛳角三角形，斜邊的平方=另外两(liang)边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯🌚三元组：毕氏定(ding)理的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数(shu)」第🧋2卷的问题8时，在页边写下了註记 「不可能将一(yi)个立方数写🌆成两个立方数之和；或者将一个四次(ci)幂寫成两个四次幂之和；或者，总的来说，不可能將一个高於2次幂，写成两(liang)💼个同样次幂的和。」 「对这个命题我有一个十分美妙的证明，这里空(kong)白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子🐠出版了载有Fermat註记(ji)的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註記中，隐含了对 n=4 的证明(ming) => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂🎒哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解(jie) => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只要证明费玛最🐏后定理对於(yu)所有的质数都成立 但 欧基里德 证明「存在无穷多個🦇质数」 6. 1776年 索菲(fei)‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最後定理 "大概" 无解(jie) 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利🌏昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼(man)的證明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解(jie) 9. 1847年 拉梅🌎 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理 最后是(shi)刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的🥪信，说科西与拉梅(mei)的证明，都因为「虛数没有唯一因子分(fen)解性质」而失败 库默尔证明了 费玛最后定(ding)理的完🦓整证明 是当时数学方法不可能实现的 10.1908年 保罗(luo)‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 補救了库默尔的证明 这😺表示 费瑪最后定(ding)理的完整证明 尚未被解決 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人(ren)，期限是到2007年🏬9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特(te)，提出数学上23个未解决的问题且相🐼信这是迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库特(te)‧哥德尔 不可判定性定理🔔 第一不可判定性定理：如果公(gong)理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。 => 完(wan)全🍻性是不可能达到的 第二不可判定性定理：不存在能证明公理系(xi)统是相容的构造性过程。 => 相容性永远不可能🥯证明 13.1963年 保罗(luo)‧科恩 Paul Cohen 發展了可以检验给定问题是不是(shi)不🐌可判定的方法（只适用少数情形） 证(zheng)明希爾伯特23个问题中，其中一个「连续👁️‍🗨️统假设」問题是不可(ke)判定的，这对於费玛最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿🛑伦‧图灵(ling) Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机 开始有(you)人利用暴力解决方法，要对 费玛最后定理 的n值一个一个加以(yi)证明。 15.1988年🔌 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不(bu)存在解这个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安(an)德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰🎀‧科次，研究椭圆(yuan)曲线 研究椭圆曲線的目的是要算出他们的(de)整数解💤，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一(yi)组整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数⛄与一个立方(fang)数中间) 由於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为了简化🍿问(wen)题，数学家採用「时鐘运算」方法 在五格時鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可(ke)能的解🪁为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 來代表在五格时(shi)鐘运算中，有四个解 对於椭🍊圓曲线，可(ke)写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰(feng) 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模🏣型式 模型(xing)式的要素可从1开始标號到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要素个数 可(ke)寫成 M1=1 M2=3 .... 这样的范🚗例 1955年9月 提出模型式的 M序(xu)列 可以对应到椭圆曲线的 E序列，两个不同领域的理论突然被连(lian)👞接在一起 安德列‧韦依 採纳这个(ge)想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲💗领」的计画，一个(ge)统一化猜想的理论，并开始寻找统一的环链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出(chu) (1) 假設费玛🐌最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这(zhe)🥍樣的椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方程(cheng)式太古怪了，以致於无法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 断(duan)🥌言每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村(cun)猜想 是错误的 反过来说 (1) 如果 谷山-志村猜(cai)📚想 是对的，每一個椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭圆(yuan)方🦙程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如(ru)果不存在弗赖椭圆方程式，那么💻xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛(ma)最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖(lai)椭圆方程式无👢法被模型式化 如果有人能够(gou)证明谷山-志村猜想，就表示费玛最🍯后定理也是正確的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始(shi)一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小(xiao)论文，然后自己独力尝试证明🌿谷山-志村(cun)猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的(de)群论，希望能将E序列🍐以「自然次序」一一对应到M序列 22.1988年(nian) 宫冈洋一 发表利用微分几何学证明谷山-志🧢村猜想，但结果失败 23.1989年 安(an)德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圓方程式拆解成无限多项，然后🍍也证明了第一项必(bi)定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃(wa)沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱🦦契 方法，对所有(you)分类后的椭圆方程式都奏效 25.1993年 寻求(qiu)同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协🌤️助，开始对验证证明(ming) 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼(ni)克‧凯🌺兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试(shi)独力解决缺陷，他不希望在这时候公布证明，讓其他人🐻‍❄️分享完成证明的(de)甜美果实 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近(jin)放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建(jian)议下，找到理☁️查德‧泰勒的协助 29.1994年(nian)9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦(wa)金-弗莱契 方法就能够完全解🐤决问题 30.「谷山-志村(cun)猜想」被证明了，故得证「费玛最后定理」 ii 费马大定理 300多(duo)年以前，法国数🐔学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的(de)正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣称📽️他发现了(le)这个定理的一個真正奇妙的证明，但因书上(shang)空白太小，他写不下他的🍅证明。300多年过去了，不知有多(duo)少专业数学家和业余数学爱好者(zhe)绞尽腦汁企图证🎟️明它，但不是无功(gong)而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理(li)—费马大定理。 費马(1601年～1665年)是一✉️位具有传奇色彩的(de)数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为(wei)议会议员，数学隻不过是他的🛺业(ye)余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年(nian)近30才认真注意数學，但费马🥌对数论和微积分做出了第一流的贡献。他(ta)与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世(shi)纪兴起的概🧦率论的探索者之一。费马特别(bie)爱好数论，提出了许多定理，但🍉费马只对其中一个定理给出(chu)了证明要点，其他定理除一个被🏐证明是错的(de)，一个未被证明外，其余的陆续被后来的數学家所证实。这唯一未被(bei)🧣证明的定理就是上面所说的费马大定理，因为是(shi)最后一个未被证明对或错的定理🎭，所以又称為费马最后定理。 费马(ma)大定理虽然至今仍没有完全被证🥫明，但已经有了很大(da)进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年(nian)瓦格📣斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立(li)。1983年一位年轻的德国数學家法尔廷🍽️斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组(zu)解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界(jie)的最🎴高奖之一费尔兹奖。1993年英国数學家威尔斯宣布证(zheng)明了费马大定理，但随后发现了证明中的一个漏洞并作(zuo)了修😂正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学(xue)界的一🍣致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无(wu)疑问，这使人们看到了希望。 为了寻🎍求费馬大定理的解答，三个多世纪以(yi)来，一代又一代的数学家们🧡前赴後继，却壮志未酬。1995年，美国普林(lin)斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授👑经过8年的孤军奋战，用13 0页长的篇幅证明(ming)了费马大定理。怀尔斯成为整📚个数学界的英雄。 费马(ma)大定理提出的问题非常简单，它是用🕣一个(ge)每个中学生都熟悉的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来表达💮的。2000多年前诞(dan)生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中， 斜边的平方等于(yu)两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在(zai)公💎元1637年前后 ，当费马在 研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程🐏，非常类似(shi)于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方程没有任何整数解。费马(ma)在《算术》这本😼书的靠近问题8的页边处记下这 个结论的同时又(you)写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这(zhe)🌟里的空 白太小，写不下。”这就是数学史上着名的费马大定(ding)理或称费马最🌤️后的定理。费马製造了 一个数学史上最深奥的谜(mi)。 大问題 在物理学、化学或生物学(xue)中，还没有任🕖何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的(de)《大问题🌂》(The Last Problem)一书中寫到， 文明世界也许在费马大定理得(de)以解决之前就已走到了尽頭。证明费马大(da)定理⛲成为数论中最 值得为之奋斗(dou)的事。 安德鲁·怀爾斯1953年出生在英国剑桥，父(fu)亲是一位工程学教授。少年時代的怀尔😚斯 已着迷于数学了。他在后来的(de)回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家， 编写成(cheng)我🌫️自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在(zai)我们社区的圖书馆里发🏯现的。 ”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了(le)一本书，这本书只有💐一个问题而没有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是E·T·贝(bei)尔写的《大问题》。它🥲叙述了费马大定理的历史，这个定理让一个又 一个的数學(xue)家望而生畏，在长达300多年的🔉时间里没有人能(neng)解决它。怀尔斯30多年后回忆 起被引向费马大定理时的感(gan)觉：“它看上去如此简单，但👝历史上所有的大数学家都未能解 决它。这里(li)正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的💐问题，从那个时刻起，我(wo)知道我永 远不会放弃它。我必须解(jie)决它。” 怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学(xue)院获得数学😲学士学位，之后进入剑桥大学Clare 学院做博士(shi)。在研究生阶段，怀尔斯并没有👻从事费马大(da)定理研究。他说：“研究费马可能 带来的问题是：你花费了多年的时間而最终(zhong)一事无成。我的导师约🌠翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作(zuo)。” 科茨说：“我记得🛵一位同事 告诉我，他有一个(ge)非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的(de)学生，他催促我收其 为学生。我非🎠常荣幸有安德鲁这样的学生。即使(shi)从对研究生的要求来看，他也有很深刻的 思想，非常清楚他将(jiang)是一个做🥏大事情的数学家。当然，任何研究生在那个(ge)阶段直接开始研 究费马大定理是不可能的，即使对👒资(zi)历很深的数学家来說，它也太困难了。”科茨的责任 是为懷尔斯找到(dao)某种至少能使他在今后三年🎶里有兴趣去研究的问題。他说：“我(wo)认为研究 生导师能为学生做的一切就🏉是(shi)设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一(yi)定 是一个富🤑有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做(zuo)的一件事🚝是使用他 的常识、他对好领域的直(zhi)觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩(ji)就是他自己的事了。 ” 科茨决💳定怀尔斯(si)应该研究数学中称为椭圆曲線的领域。这个决(jue)👕定成为怀尔斯职业生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究(jiu)是🦮他实现梦想的工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士學位(wei)后来到了美国普林斯顿大学😍，并成為这所(suo)大学 的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得(de)椭🪀圆方程，他已经成为一 个着名的数论學家，但他清楚地(di)意识😺到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费马 大定理的🕕任务也(ye)是极为艰巨的。 在怀尔斯的费马大定理的(de)证明中，核心是证明“谷山🍙－志村猜想”，该猜想在两个非 常不同的数(shu)学领域间建立了一座新的桥🗻梁。“那是1986年夏末的一个(ge)傍晚，我正在一个朋 友家中啜饮冰(bing)茶。谈话間他随意告诉我，肯·里贝特已经🥛证明了谷山－志(zhi)村猜想与费马大 定理间的联系。我感到极大的震(zhen)动。我记得那个时刻，那个改变我生(sheng)命历程的🍲时刻，因为 这意味着为了证明费马大定理，我必须(xu)做的一切就是证🎱明谷山－志村猜想……我十分清楚 我应该回家去研究谷山－志(zhi)村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年📿梦想的道路(lu)。 20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试(shi)🥾证明费马大定理，他 回答说：“在开始着(zhe)手之前，我必须用3年的💜时间作深入的研究，而我没有那么多的时间 浪费(fei)在一件可能会失败的事情上。”怀🌰尔斯知(zhi)道，为了找到证明，他必须全身心地投(tou)入到 这个问题中，但是与希尔🍮伯特不一样(yang)，他愿意冒这个风险。 怀尔斯作了(le)一个重大的决定：要完全独立和保密地🌉进行研究。他(ta)说：“我意识到与费 马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴🏈趣。你确(que)实不可能很多年都使自己精力集中 ，除非你的专心不(bu)被他人分散，而这一点会因旁观者太多⚽而做不(bu)到。”怀尔斯放弃了所有 与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只(zhi)要可能他就回到家💋里工作，在家里的顶 楼书房里他开始了通过谷(gu)山－志村猜想来证明费馬大定理的战斗。 这🛷是一场长达7年的持久(jiu)战，這期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理(li)。 欢呼与等待 经过7年🛩️的努力，怀尔斯完成了谷山(shan)－志村猜想的证明。作为一个结果，他也证(zheng)🥇明了 费马大定理。现在是向世界(jie)公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会🌊议要在剑(jian)桥大 学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定(ding)利用这个机会向一群杰出的听众宣布(bu)他的工作。他选择 在😝牛顿研究所宣布的另外一个(ge)主要原因是剑桥是他的家乡，他曾经是(shi)那里的一🛩️名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举(ju)行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆 听🤩了这(zhe)一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希臘字母和代数(shu)🎖️式所表达 的意思。其余的人来这里(li)是為了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安 德(de)鲁🦨·怀爾斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮(gua)起有关演😝讲的风 声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了(le)演讲结束时的镜头，研究所所长肯 定事先就🍾准备了一瓶香槟(bin)酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄🎠重的寂静，当(dang)我写完 费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，會场上爆发🚅出一阵(zhen)持久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发(fa)现了!”，久远的数📢学之谜获解》为题报道 费马大定理被证明的消息。一夜之(zhi)间，怀尔斯成为世🌶️界上最着名的数学家，也是唯一的数 学家。《人物》杂志将怀尔(er)斯与戴安娜王妃一起列🍒为“本年度25位最(zui)具魅力者”。最有创 意的赞美来自一家国际制衣大公司(si)，他📊们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装(zhuang)的模 特。 当怀尔斯成为媒体报道的中心(xin)时，认真核对📖这个证明的工作也在进行。科学的程序要(yao) 求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个(ge)刊🚢物的编辑將它送交一组审 稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查(cha)证明。怀尔斯将手稿投到《数🐧学发明》，整整一个 夏天他焦(jiao)急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的🐆一个(ge)缺陷被发 现了。 我的心灵归于平静 由于怀爾斯的论文涉及到大量的数(shu)学方法，编辑巴里·梅休尔👗决定不像通常那样指定 2－3个审稿人，而是6个审稿(gao)人。200页的证明被分成6章，每位审稿(gao)人负责🦃其中一章。 怀尔斯在此期间中断了(le)他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的问(wen)😌题，他自信这 些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第(di)3章，1993年8月23日，他发现了 证明中的🕰️一个小缺陷。数学(xue)的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方(fang)法中的🧄每一步都 行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补(bu)救的办法可能🔔就在近旁，可是6个多月过去了 ，錯误仍未(wei)改正，怀尔斯面临绝境，他准备承认失败🛩️。他向同事彼得·萨克(ke)说明自己的情 况，萨克向他暗示困(kun)难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问(wen)🐱题并且可信赖的人。经过 长时間的考虑后，怀(huai)尔斯决定邀请剑桥大🌊学的讲师理查德·泰勒到普(pu)林斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月份到普林斯顿(dun)，可是到了9月，依🍧然没有结果，他们(men)准备放弃了。泰勒 鼓励他们再坚持一个月(yue)。怀尔📄斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一(yi)个星期一的早 晨🌶️，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了(le)这一時刻：“突然间，不可思议地，我有了一个 難以置信的发现。这(zhe)是我💹的事业中最重要的时刻，我不會再有这样的经历……它的美是(shi)如 此地难以形容；它又是如此简单和优🚲美。20多分钟的时(shi)间我呆望它不敢相信。然后白天我 到系里转了一圈，又回到桌子(zi)旁看看它🌍是否还在——它还在那里。” 这是少年时代的(de)梦想和8年潜心努力的🌖终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世 界(jie)不再怀疑🕜这一次的证明了。這两篇论文(wen)总共有130页，是历史上核查得最彻🦥底的数学稿 件，它们发表在1995年5月的《数学年(nian)刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽🐳约(yue)时报》的头版 上，標题是《数学家称经典之(zhi)谜已解决》。约翰·科茨說：“用数学的术语来说，这个🕘最 终的证明可与分裂原(yuan)子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的💞证明是人类智力活动(dong)的一 曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命(ming)性的变化。对我🖋️说來，安 德鲁成果的美(mei)和魅力在于它是走向代数数論的(de)巨大🐁的一步。” 声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯获得(de)瑞典皇家学会颁发的Schock数🦋学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并当选为美國科学院外籍(ji)院士。 怀尔斯说：“……再没有别的問题🎆能像费马大定理一样对我有同(tong)样的意义。我拥有如 此少有的特权，在我的成(cheng)年时期实现我童年的梦🍲想……那段特殊漫长的探索已经(jing)结束了， 我的心已歸于平静。” 费马大定理只(zhi)有在相对数学理论的建立之🎳后，才会得到最满意的答案。相(xiang)对数学理论没有完成之前，谈这个问题是无力地.因为人们对数📧量(liang)和自身的认识，还没有达到一定的高度. iii 费马(ma)大定理与怀尔斯的因果律-美国(guo)公众广🏙️播网对怀尔斯的专访 358年的难解之谜 数学爱好者(zhe)费马提出的这个问题非常🎞️简单，它用一个每个中(zhong)学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来(lai)表📑达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直(zhi)角三角形😼中，斜边的平方等于两个直角边的平方之(zhi)和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当費马在研究毕达哥拉斯方(fang)程时，他在🎄《算术》这本书靠近问题8的页边处写下了这段文字：“设n是大于2的(de)正整数，則不定方🕍程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已发现一个美妙的证法，但这(zhe)里的空白太小，写不下。”费马习惯在页边写下🗽猜(cai)想，费马大定理是其中困扰数学家们时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费(fei)马最后的定理🏘️）——公认为有史以来最着名的数学猜想。 在畅销书作家(jia)西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留🌕言(yan)引发的长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后(hou)涉及到最多产的数學大师欧拉、最🥗伟大的数学家高斯、由业余转为(wei)职业数学家的柯西、英年早逝的天才(cai)伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和🌼被誉为“法国历史上知识最为高深(shen)的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数🐤学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的(de)明日之星谷山丰的神秘自杀、德国数(shu)学✏️爱好者保罗·沃尔夫斯凯爾最后一刻的舍死求生等等，都仿佛(fu)是冥冥间上帝导演的宏大👒戏剧中的一幕，为最后谜底的解開(kai)埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现(xian)了。他找到谜底，把这😗出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的传(chuan)奇。 对懷尔斯而言，证明费马大定理不仅是破译一个难解🏮之謎，更是去实现一(yi)个儿时的梦想。“我10岁时在图书馆找到一本数学书，告🚖訴我有这么一个问题(ti)，300多年前就已经有人解决了它，但却没有人看到🏺过它的证(zheng)明，也无人确信是否有这个证明，从那以后，人们就不断地(di)求证。这是一个10岁小孩🛰️就能明白的问题，然(ran)後历史上诸多伟大的数学家们却不🐝能解答。于(yu)是从那时起，我就试过解决它，这个问题就是费马大😽定理。” 怀尔斯于1970年先(xian)后在牛津大学和剑桥大学获得数学学⛳士和數学博士学位。“我进入(ru)剑桥时，我真正把费马大定理☎️搁在一边了。这不是(shi)因为我忘了它，而是我认识到我们所掌握的用来🗼攻克它的(de)全部技术已经反复使用了130年。而这些技(ji)术似乎没有触及问题根本。”因为担心耗费🎆太多时间而一无所获，他“暂时放下(xia)了”对费马大定理的思索，开始研🥩究椭圆曲线理论——这个看似与证(zheng)明费马大定理不相关的理论后🍇来却(que)成为他实现梦想的工具。 时间回溯至20世纪60年代，普(pu)林斯顿数学家朗兰🕟兹提出了一個大胆的猜想：所有主要数学领域之间原(yuan)本就存在着的统一的链接🍅。如果这个猜想被证实，意味着在某个数学领(ling)域中无法解答的任何问题都有可能通过这种链接(jie)🦔被转换成另一个领域中相应的问題(ti)——可以被一整套新方案解决的问题。而如果在另(ling)一个领域内仍然难❤️‍🔥以找到答案，那么可以把(ba)問题再转换到下一个数学领域中……直到它被解决为止。根据朗兰兹(zi)纲领，有一天🚐，数学家们将能够解决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法是领(ling)着这些问题周游数学王国的各个(ge)🎞️风景勝地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定理(li)打击的费😇马大定理证明者们指明了救赎之路——根据不完备定理，费马(ma)大定理是不可证😇明的。 怀尔斯后来正是依赖于这个纲领才得(de)以证明费马大定理的：他🧸的证明——不同于(yu)任何前人的尝试——是现代数学诸多分支（椭圆曲线论，模形🐾式理(li)论，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用(yong)的结果。20世纪50年代由两位日本数学家（谷山丰(feng)和志村五郎）提出🙊的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个截然不同的(de)数学岛屿间隐藏着一座沟通的桥梁。随(sui)后在1984年，德🐫国数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想(xiang)成立，则费马大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被⛰️肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费(fei)马大定理不可摆脱地与谷山—志(zhi)村猜想链接在一起：如果有人能证明穀山—志(zhi)村猜想（即😘“每一个椭圆方程都可以模形式(shi)化”），那么就证明了费马大定理。 “人类智力活动的(de)一曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让🥩普林斯顿的着名数学家同事们(men)困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪懷尔斯在做些什么？……他⛄总是静悄悄的(de)，也许他已經‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对(dui)于这次惊天“大🎬预謀”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来见过的(de)唯一例子，在如此长的时间里没❤️‍🩹有(you)泄露任何有关工作的信息。这是空前的。 1993年晚春，在经过反复的试错和绞(jiao)尽脑汁的演算，怀尔斯终於🎐完成了谷山—志村猜想的证明。作为一个(ge)结果，他也证明🎍了费马大定理。彼得·萨奈克是最早(zao)得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情⛺绪失常……我记得(de)当晚我失眠了”。 同年6月，怀尔斯决定在剑桥大🌯学的大型系列讲座上宣布(bu)这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多數学界重要人物到场，当(dang)大家终于明白🏛️已经离证明费马(ma)大定理一步之遥时，空气中充满了紧张。” 肯·里🌜比特回憶说。巴里·马佐(zuo)尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到(dao)過如此精彩的🚄讲座，充满了美妙的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的🥘铺垫，充(chong)满悬念，直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣(xuan)布他证明了费马大定理时🦊，他成了全世界媒(mei)体的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”久远的(de)数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大🐀定理被证(zheng)明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上唯一的数(shu)学家。《人物》雜志将怀尔斯与戴安娜😁王妃一起列為“本年度25位(wei)最具魅力者”。 与此同时，认真核对这個证明的工作也在进行。遗憾🤿的是，如同这(zhe)之前的“费马大定理终结者”一样，他的证明是有缺陷的。怀尔(er)斯现在不得不在巨大的🚖壓力之下修正错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在(zai)美国公众广播网（PBS）的访谈中📖說: “当时我们其他人（怀尔斯的同事）的行为(wei)有点像‘苏联政体研究者’，都想知道他的(de)想法和修正错误的进展，但🕧没有人开口问他。所以，某(mou)人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑💜，但(dan)看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯准备放弃了(le)。但✨他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就(jiu)在截止日到来之前兩周， 9月19日 ，一个🥁星期一的早晨，怀尔斯发现了问题的(de)答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思📖议(yi)地，我发现了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着它发了20多分💫钟呆。然(ran)后我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在那⛩️里——它(ta)确实还在那里。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的褒扬(yang)，其中最具代表性的是他在剑桥🛰️时的导师、着名(ming)数学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是人类智力活动的😚一曲凯歌”。 一场旷日持久(jiu)的猎逐就此结束，从此费马大定理与安(an)德鲁·怀尔斯的名字緊紧地被绑在了一起(qi)，提到🖲️一个就不得不提到另外一个。这(zhe)是费马大定理与安德鲁·怀尔斯(si)的因果律。 历时八年的最终证明 在怀尔🦓斯不多的接受媒体采访(fang)中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀爾斯的专访相当精彩有趣，本🍈文节选部分以(yi)飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们通过(guo)团队来获得工作上的支持，那么当你碰壁时是怎(zen)么解决问📩题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住(zhu)时我会沿着湖边散散步，散步的好处(chu)🔉是使你会处于放松状态，同时你的潜意识却在继续工作(zuo)。通常遇到困扰时你📼并不需要书桌，而且我随时把筆纸(zhi)带上，一旦有好主意我会找个长椅坐下来(lai)打草稿…… NOVA：这七年一定交织着自我🌋怀疑与成功……你不可(ke)能绝对有把握证明。 怀尔斯：我确实相信自己在正确的🍸轨(gui)道上，但那并不意味着我一定能达到(dao)目标——也许仅仅因为解决难题的方(fang)法🚟超出现有的数学，也许我需要(yao)的方法下個世纪也不会出现。所以即便我在正确的(de)轨道上，我☀️却可能生活在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突(tu)破。 怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去🥹了。我坐在书桌前(qian)思考最后的步骤，不经意间看到了(le)一篇论文，上面的一行字引起了🧩我的注意。它提到(dao)了一个19世纪的数學结构，我霎时意识(shi)到这就是我该用的。我不停地工作，忘记下🎻楼午饭，到下午三四点时我(wo)确信已经证明了费马大定理，然後下楼。Nada很(hen)吃惊，以📇为我这时才回家，我告诉她，我解决了费马大定理(li)。 最后的修正 NOVA：《纽约时🍂報》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之謎获解》，但(dan)他们并不知道这📪个证明中有个错误。 怀尔斯：那是个存在于關键推(tui)导中的错误，但它如此微妙以至🖊️于我忽略(lüe)了。它很抽象，我无法用簡单的语言描述(shu)，就算是数学家也需要研习两三个月才能🗯️弄懂。 NOVA：後来你邀请剑桥的数学家(jia)理查德·泰勒来协助工🎇作，并在1994年(nian)修正了这个最后的错误。问题是，你的证明和费马的证明是同一个吗？ 怀尔斯(si)：不可能。这个证🩴明有150页长，用的是20世纪的方法(fa)，在费马时代还不存在。 NOVA：那就是说费马的最初证明还在某个未被发现的角落(luo)？ 怀尔🦅斯：我不相信他有证明。我觉得他说已经找到解答了是(shi)在哄自己。这個难题对业余爱好者如💤此特别(bie)在于它可能被17世纪的数学证明，尽管可能性极其(qi)微小。 NOVA：所🐖以也许还有数学家追寻(xun)这最初的证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说都一样，费马是我童(tong)年的熱望。我🧶会再试其他问题……证明了它我有一丝伤感，它已经和(he)我🌊们一起这么久了……人们对我说“你把我的(de)问题夺走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感觉到有责(ze)任。我希望通过🤗解决这个问题带来的兴奋可以激励青年(nian)数学家们解决其他许许多多的难题。 iv 穀山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建🏤立了椭(tuo)圆曲线(代数几何的对象)和模形式(某種数论中用到的(de)周期性全纯函数)之间的重🗾要联系。虽(sui)然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀💐尔(er)斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个质数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线(xian)，我们🎱可以简化定义E的方程模p;除了有限个p值，我们会得到有np个(ge)元素的有限域🐭Fp上的一个椭圆曲線。然后考虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线(xian)E的重要的不變量。从傅里叶变换，每个模形式也会产🍌生一個(ge)数列。一个其序列和从模形式得到的序列(lie)相同的椭😆圆曲线叫做模的。 穀山-志(zhi)村定说: "所有Q上的椭圆曲线是模的"。 该定(ding)理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止⏰，他和志村五郎一起改进了严格(ge)性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它(ta)和统一数学中😚的猜想Langlands纲领联系了起来，并是关键的组(zu)成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广，Weil的(de)名字有一🏣段时间和它联系在一起。尽管有明显(xian)的用处，這个问题的深🍟度在后来的发展之前并未(wei)被人们所感觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山(shan)-志村猜想(那时还🥉是猜想)蕴含着费马最(zui)后定理的时候，它吸引到了不少注意力。他通过🍠试图表明费尔马(ma)大定理的任何范例會导致一个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来(lai)证明了這一结果。在1995年，Andrew Wiles和🕖Richard Taylor证明了谷山-志(zhi)村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线(xian)的情况)，这个特殊情况足以证明费尔马🎾大定理。 完整的证明最后于1999年(nian)由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的逐步证明剩🎁下的情况直到全部完(wan)成。 数论中类似于费尔马最后定🍞理得几个定理可以从谷山-志村定理(li)得到。例如:没有立方可以写成🌕两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为(wei)欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有完成給予他们这🍊个(ge)成就的定理的完整形式，他们还是被(bei)认为對最终完成的证明🎢有着决定性影响。