费马大定理影片

本片从证明了费玛最后定理的安德魯‧怀尔(er)斯 Andrew Wiles开始谈🌫️起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯(su)来看，1994年正是我在念大学的时候，当时完全没🥮有(you)一位教授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真正的研(yan)究者，自然而然地会被数学吸引，然而对🕛一位(wei)不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引(yin)导📭他走向更高深的专业認知，而指引的道路，就在科普的精🕚神(shen)上。 从费玛最后定理的历史中可以发现，有许多研究成(cheng)果，都是研究人员燃烧熱情，试图🍵提出「有趣」的命题，然后再尝试(shi)用逻辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数🏔️解 1. 1963年 安德鲁(lu)‧怀爾斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引🎡，「最后(hou)问题 The Last Problem」，故事从這里开始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边(bian)的平方=另📍外两边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组(zu)：毕氏定理的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算數」第2卷的问(wen)🥮题8时，在页边写下了註记 「不可能将一个立方(fang)数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四(si)次幂之🏯和；或者，总的来說，不可能将一个高於2次幂，写成(cheng)两个同样次幂的和。」 「对这个命题我有一📿个十分美妙的(de)证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费(fei)玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢番图的📝算数」 5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对(dui) n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证(zheng)明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现🎙️在只要证明费玛最后定(ding)理对於所有的质数都成立 但 欧基里德 证明「存(cun)在无穷多个质数🌈」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质數，证明了 费(fei)玛最后定理 "大概🍇" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利(li)克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔(er)曼的证🌖明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉(la)梅 与 奧古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经證明了 费玛最后定🏠理 最后(hou)是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的(de)证明，都因为「虚数没有唯一🍖因子分解性(xing)质」而失败 库默尔证明了 费玛最后定理的完整证明 是当(dang)时数学方法不可能实现🦜的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了(le)库默尔的证明 这表示 费瑪最后定理的(de)完整证明 尚未被解决 沃尔夫斯凯尔🐁提供了 10万马克 给提供证明(ming)的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年👛8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数学上23个未解决的问(wen)题且相信🍌这是迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理⭐ 第(di)一不可判定性定理：如果公理集合论是(shi)相容的，那麼存在既不能证明又不🥡能否定的定理。 => 完全性是不可能达(da)到的 第二不可判定性定理：不存在✈️能證明公理系统是相容的(de)构造性过程。 => 相容性永远不可能🧂证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了(le)可以检验给定问题是不是不可判定的方法（隻适用少数情形） 证明(ming)希尔🌜伯特23個问题中，其中一个「连续统假设」问题是不可(ke)判定的，这对於费玛最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图💮灵 Alan Turing 发(fa)明破译 Enigma编码 的反转机 开始有人利用暴力解决(jue)方法，要对 费玛最后定理 的n值一个一🛍️个加以证明。 15.1988年 内(nei)奥姆‧埃爾基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年🍜 安德(de)鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线 研究椭圆曲线的目的(de)是要🎲算出他们的整数解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组整数解(jie) 52=33-2 (费玛证明宇宙🍪中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一(yi)个立方数中间) 由於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为了简化🐅问题，数(shu)学家採用「时鐘运算」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭😮圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能(neng)的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有(you)四个解 对於椭圆曲线，可写出🥚一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研(yan)究具有非同寻常的对称性的🎹 modular form 模型式 模型式(shi)的要素可从1开始標号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要📣素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这樣的范(fan)例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以(yi)对应到椭圆曲线的 E序列，两个不同领域的理论🐋突然被连接在一起(qi) 安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村(cun)猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个统一📙化猜(cai)想的理论，并开始寻找统一的环链 19.1984年 格哈德(de)‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设🐃费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程(cheng)式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方🪖程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致於无法被模(mo)型式化 (3) 谷山-志村猜想 断言每一个📕椭圆方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志(zhi)村猜想 是错误的 反过来说 (1) 如果 谷山-志村猜想 是对的(de)，每一个椭圆🍎方程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭圆方程式都可以被模(mo)型式化，则不存在弗赖🍴椭圆方程式 (3) 如果不存在(zai)弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝(bei)里特 证明 弗赖椭🧊圆方程式无法(fa)被模型式化 如果有人能夠证明谷山-志(zhi)村猜想，就表示费玛最后定理也是正确的 21.1986年 安德鲁🚕‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一(yi)個小阴谋，他每隔6个月发表一篇(pian)小论文，然后自己独力尝试证明谷山(shan)-志村🍲猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能(neng)将E序列以「自然次🕹️序」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一(yi) 发表利用微分几何学证明谷山-志村猜想，但结果失败 23.1989年🛹 安(an)德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经將椭圆方程式拆解(jie)成无限多项，然后🎧也证明了第一(yi)项必定是模型式的第一项，也尝试利用 依🍅娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果(guo)失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法(fa)，对所有分🚂类后的椭圆方程式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助(zhu)，开始对驗证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德😀鲁‧怀尔(er)斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁‧怀(huai)尔斯🥗 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望在这时候公布证明，让其(qi)他人分享完成证明的甜美果实 28.安🎁德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃(qi)的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒(lei)的协助 29.1994年🍏9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论(lun)与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问题 30.「谷山-志村猜想」被证明了，故(gu)🧁得证「费玛最后定理」 ii 费马大定理 300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白(bai)处写下了一个定理：“设n是大于2的🐶正整数，则不定方程xn+yn=zn沒有非零整数解(jie)”。 费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的🧤证明(ming)，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少(shao)专业数学家和业🍑余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就(jiu)是進展甚🐡微。这就是纯数学中最着名的定理—费马大定理(li)。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩🕐的数学家，他最初学习法(fa)律并以当律师谋生，后来成为议(yi)会議🌺员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽🕣然(ran)年近30才认真注意数学，但费马对數论和微积分做出了第一流的贡🎻献。他与笛(di)卡儿几乎同时创立了解析幾何，同时又是17世(shi)纪兴起的概率论的探索📀者之一。费马(ma)特別爱好数论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定(ding)理给出了证明要🍍点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的(de)陆续被后来的数学家所證实。这唯一未被🗞️证明的定理就是上面(mian)所说的费馬大定理，因为是最后💮一个未被证明对或错(cuo)的定理，所以又称为费马最后定理。 费马大定理虽然至今仍(reng)没🐩有完全被證明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展🦎更快(kuai)。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定(ding)理都成立。1983年一位年轻的德国数学家📷法尔廷斯证明了不(bu)定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了(le)数学界的🐋最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威(wei)尔斯宣布证明了费马大定理🐪，但(dan)随後发现了证明中的一个漏洞并(bing)作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有(you)得到数🥼学界的一致公认，但大多数数学家认为他證明(ming)的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到(dao)了🥁希望。 为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的(de)数学家们前赴🌭后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大學(xue)的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的(de)孤军奋战，用13 0页长的篇幅证🍒明了费馬大定理。怀尔斯成为整个数(shu)学界的英雄。 费马大定理提出的问题非常简单，它是用一(yi)个每🤓个中学生都熟悉的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来表(biao)達的。2000多年前诞🛶生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形(xing)中， 斜邊的平方等于两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后⛰️ ，当费马(ma)在 研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于(yu)毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时💙，这个(ge)方程没有任何整數解。费马在《算(suan)术》这本书的靠近问题8的页邊处记🥸下这 个结论的同时(shi)又写下一個附加的评注：“对此，我(wo)确信已发现一个美妙的证法，这里的空🚞 白太小，写不下。”这(zhe)就是数学史上着名的费马大定(ding)理或称费🐞马最后的定理。费马制造了 一个数学史上最深奥的(de)谜。 大问题 在物理🍷学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简单(dan)和清晰，却长久不 解。E·T·贝🐈尔(Eric Temple Bell)在他的《大问(wen)题》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界也许在费马大(da)定🎰理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定(ding)理成为数論中最 值得为之奋📍斗的(de)事。 安德鲁·懷尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年(nian)时代的怀🍑尔斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里(li)我喜欢做🐞题目，我把它们带回家， 编写成我自己的新题目。不過(guo)我以前找到的最好的🎮题目是在我们社区的(de)图书馆里发现的。 ”一天，小怀爾斯在弥尔顿街上的(de)图书馆看见了一本书🕡，这本书只有一个问题而没有解答 ,懷尔斯被吸引住(zhu)了。 这就🐥是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史(shi)，这个定理让一个又 一个的数学家望而生畏，在🥒长达300多年的(de)時间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆 起被引向费馬大定理时的(de)感觉：“它看🤪上去如此简单，但历史上所(suo)有的大数学家都未能解 决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理(li)解的问题，从那个🎾时刻起，我知道我永 远不会放弃它。我必须解决它(ta)。” 怀爾斯1974年从牛🃏津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大學Clare 学(xue)🥒院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从(cong)事费馬大定理👠研究。他说：“研究费马可能 带来的问题是(shi)：你花费了多年🥕的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(ci)(John Coate s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开(kai)始跟随他工作。” 科茨说：“我记🌺得一位同事 告(gao)訴我，他有一个非常好的、刚完成数学學士荣誉学位第三部考试的学生(sheng)，他催促我🌀收其 为学生。我非常荣幸有安德魯这样的学(xue)生。即使从对研究📧生的要求来看，他也有很深刻的 思想(xiang)，非常清楚他将是一個📇做大事情的数学家。当然，任何研究生(sheng)在那个阶段直接开始研 究费馬大定理是不可能的，即(ji)使对资历很🐁深的数学家来说，它(ta)也太困难了。”科茨的责任 是为怀尔斯找到某种至(zhi)少能使他在今后三年里有兴趣🏨去研究的问题。他说：“我认为研(yan)究 生导师能为学生做的一切就是设☀️法把他推向一个富(fu)有成果的方向。当然，不能保证它一定 是(shi)一个富🚙有成果的研究方向，但是也许(xu)年长的数学家在这个过程中能做🎀的一件事是使用他 的常识、他对好领(ling)域的直觉。然后，学生能在這个🛫方向上有多大成绩就是他自己的(de)事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该研究数學中称🛸为椭(tuo)圆曲线的领域。这个決定成为怀尔斯职(zhi)业生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究是他实💎现(xian)梦想的工具。 孤独的战士 1980年怀尔(er)斯在剑桥大学取得博士学位後来到了美国🌮普林斯顿大学，并成为这(zhe)所大学 的教授。在科茨的指导下，懷尔斯或许(xu)比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已✉️经成为一 个(ge)着名的数论学家，但他清楚地意识到，即使以(yi)他广博的基础知识和数學修养，证明费(fei)马 大定理的任🎗️务也是极为艰巨的。 在怀尔斯的费马大定(ding)理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜(cai)想”，该猜想在🗯️两个非 常不同的数学領域(yu)间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的🍥一个傍(bang)晚，我正在一个朋 友家中啜饮冰茶。谈(tan)话间他随意告诉我，肯·里贝特已经😚证明了谷山－志(zhi)村猜想与费马大 定理间的联系。我感到极大(da)的震动😺。我记得那个时刻，那个改变我生(sheng)命歷程的时刻，因为 这意味着为了证明费马大定(ding)🏐理，我必须做的一切就是证明谷山－志村猜想……我十分清楚 我应该回家去研(yan)究谷山－志🃏村猜想。”怀尔斯望见了(le)一条实现他童年梦想的道路。 20世🚊纪初，有人问伟大的数学家(jia)大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他 回答说：“在开始着手🦆之(zhi)前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我沒有(you)那么多的时间 浪费在一件可能会失败的事情上🐐。”怀尔斯知道，为了(le)找到证明，他必须全身心地投入到 这个问题💐中，但是与希尔伯(bo)特不一样，他愿意冒这个风险。 怀尔斯作了一(yi)个重大的决定：要完全独立和保密(mi)地🧮进行研究。他说：“我意识到與费 马大定理有关的任何事情都会(hui)引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自👓己精力集中 ，除非(fei)你的专心不被他人分散，而這一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了(le)所有🌰 与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可(ke)能他就回到家里工作，在家里的🥂顶 楼书房里他开始了通过谷山－志村猜(cai)想来证明费马大定理🎲的战斗。 这(zhe)是一场長达7年的持久战，这期间(jian)只有他的妻子知道他在证🎢明费马大定理。 欢呼与等(deng)待 经过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的🌁证明。作为一个结果，他也(ye)证明了 费马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月(yue)底，有一个重要的会议要🐤在剑桥大 学的牛顿(dun)研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的(de)听众💋宣布他的工作。他选择 在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因(yin)是剑桥是他的家鄉，他🕚曾经是那里的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了(le)20世纪最☺️重要的一次数学讲座。两百名数学家聆 听了这一演講，但(dan)他们之中只有四分之🐨一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所(suo)表达 的意思。其余的人来这裡是为(wei)了见证他们📄所期待的一个真正具有意义的(de)时刻。演讲者是安 德鲁·怀尔斯。怀🏔️尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新(xin)闻界已经刮起有关演讲的风 声，很幸运他们没有来听演讲。但(dan)是听众🦒中有人拍摄了演讲结束时(shi)的镜头，研究所所长肯 定事先就准备了💼一瓶香槟酒。当我宣读证(zheng)明时，会场上保持著特别庄重的寂静，当(dang)我写完 费马大定理的证🌕明时，我说(shuo)：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头(tou)版以《终于欢呼“我發现了🛹!”，久远的数学之谜获解》为题報道 费马大定理被证(zheng)明的消息。一夜之间🍌，怀尔斯成为世界上最着名(ming)的数学家，也是唯一的数 学家🥅。《人物》杂志将怀尔斯(si)与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创 意的赞美🌋来(lai)自一家国际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新(xin)系列男装的模 特。 当怀尔斯成为😘媒体报道(dao)的中心时，认真核对这個证明的工作也在进行。科(ke)学的程序要 求任何数学家📌将完整的手稿送交一个有声望的刊物(wu)，然后这个刊物的编辑將它送交一组审 稿人，审稿人🔉的职责是进行(xing)逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整🏯整一(yi)个 夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到🏕️他们(men)的祝福。可是，证明的一个缺陷被发(fa) 现了。 我的心灵归於平静 由于怀尔斯的论文涉及到大💳量的(de)数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指🐻定 2－3个審稿人，而是6个(ge)审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负(fu)责其中一章。 怀尔斯在此期间中断⚽了他的工作，以处理(li)审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这 些问题🚲不会给他造成很大的(de)麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年(nian)8月23日，他发现了🛑 证明中的一个小(xiao)缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑(yi)地证明他的方法中的每一步都🀄 行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补(bu)救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了 ，错🐌误仍未改正，怀尔(er)斯面临绝境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨🥛克说明(ming)自己的情 况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个🤭能夠和(he)他讨论问题并且可信赖的人。经过 长时间的考虑后，怀尔斯决定邀(yao)请剑桥大学的讲师理🔉查德·泰勒到普林(lin)斯顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月份到(dao)普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们准备放弃🧁了。泰勒 鼓(gu)励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后(hou)一次检查。9月19日，一个星期一的早 晨，怀尔(er)斯发现了🦊问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了(le)一个 難以🛺置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有这样(yang)的经历……它的美是🎎如 此地难以形容；它又是如此简(jian)单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我 到系里🧸转了一圈，又(you)回到桌子旁看看它是否还在——它(ta)还在那里。” 这是少年时代🤎的梦想和8年潜心努力的終极，怀尔斯(si)终于向世界证明了他的才能。世 界不再怀疑这一次(ci)🎣的证明了。这两篇論文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数学📌稿 件，它们发(fa)表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的🕓头版 上，标题是《数(shu)学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数學的术语来说，这个🐃最 终的证明(ming)可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定(ding)理的证明是人类智力🐦活动的一 曲凯歌，同時(shi)，不能忽视的事实是它一下子就使💟数学发生了革(ge)命性的变化。对我说来，安 德鲁成果的美和魅力在于它是走向代🕙数数论(lun)的巨大的一步。” 声望和荣誉纷至(zhi)沓来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会🏫颁发(fa)的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并当選为美国科学院外籍院(yuan)士。 怀尔🖤斯说：“……再没有别的问题能像费马大(da)定理一样對我有同样的意义。我拥有如 此少有的特权，在我的🏣成(cheng)年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束了(le)， 我的心已归于平靜。” 费马大定理只有在相对(dui)🖲️数学理论的建立之后，才会得到最满意的答案。相对数学理论没有完成之前(qian)，谈这个问题是无力地.因🎙️为人们对数量和自身的认识，还没(mei)有达到一定的高度. iii 費马大定理与怀尔斯的因果📁律-美国公众(zhong)广播网对怀尔斯的专访 358年的难解之谜(mi) 数学爱好者费马提出的这🦨个问题非常简单，它用一个每个(ge)中学生都熟悉的数學定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞(dan)生的毕达🔊哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的(de)平方等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大👒约在公元1637年前后 ，当费马在研究(jiu)毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这(zhe)本书靠近问题8的页邊处写✏️下了这段文字：“设n是大于(yu)2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我(wo)确信已发现一个美妙的证法，但🖥️这里的空白太小，写不下。”费马习惯在页(ye)边写下猜想，费马大定理是其中困扰数(shu)学家们时间最长的，所😍以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后(hou)的定理）——公认为有史以来最着名的数学猜想。 在畅🚎销书作(zuo)家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的(de)长达358年的猎逐充满了惊险、懸疑、绝望和狂喜。这段🥕历史先后涉及到最多(duo)产的数学大师欧拉、最伟大的数學(xue)家高斯、由业余转为职业数学家的柯西、英年早逝的天🌿才伽罗瓦、理论兼(jian)试验大师库默尔和被誉为“法国歷史上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔(er)曼……法国数🕋学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘🚤自(zi)杀、德国数學爱好者保罗·沃尔夫(fu)斯凯尔最后一刻的舍死求生等等🎓，都仿佛是冥冥間上帝导演的宏大戏剧中(zhong)的一幕，为最后谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯(si)顿的怀尔🧵斯出现了。他找到谜底，把这出(chu)戏推向高潮并戛然而止，留下一段(duan)耐人回味的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马🧮大定理(li)不仅是破译一个难解之谜，更是(shi)去实现一个儿时的梦想。“我10岁时在图書馆(guan)找到一本数学书，告诉我🌎有这么一个问题，300多年前就已经有人解决了它，但却(que)没有🐕人看到过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那以后(hou)，人们就不断地求證。这是一个10岁小孩就☕能明白的问题，然(ran)后历史上诸多伟大的数学家们却不能解答。于是从那時起，我(wo)就🐱试过解决它，这个问题就是费马大定理。” 怀尔斯于1970年先后在(zai)牛津大学和剑桥大学获得数學学士(shi)和数🐩学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把费马大定理搁在一(yi)边了。这不是🍞因为我忘了它，而是我认识到我(wo)们所掌握的用来攻克📯它的全部技术已经反复(fu)使用了130年。而这些技術似乎没有触及问题根本。”因为🏨担心耗费太多(duo)时间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定🍙理的思索，开始研究椭圆(yuan)曲线理论——这个看似与证明费马大定理不🧵相关的理论后(hou)来却成为他实现梦想的工具。 时间回溯至20世纪60年代，普林斯顿数🎴学家朗(lang)兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要数学(xue)领😁域之间原本就存在着的统一的链接。如果这个猜想被证实，意味着(zhe)在某个数学领💚域中无法解答的任何问题都有可能通过這种链接被(bei)转换成另一个领域中相应的问题——可(ke)以被一整套新方案🧮解决的问题。而如果在另一个领域内仍然难以(yi)找到答案，那么可以把问题再转🔋换到下一个数學领域中……直到它(ta)被解决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数學家们将能够(gou)解决曾经是最深🎇奥最难对付的问(wen)题——“办法是領着这些问题周游数学王国的各个风景胜地”。这🏵️個纲领为饱受哥(ge)德尔不完备定理打击的费马大定理证(zheng)明者们指明了救赎之路——根据🥡不完备定理，费马大定理是不可证明的(de)。 怀尔斯后来正📥是依赖于这个纲领才得以证明费马大定理的：他的证明——不🕘同(tong)于任何前人的尝试——是现代数学诸多分支(zhi)（椭圆曲線论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综合發挥🔍作用(yong)的结果。20世纪50年代由两位日本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村(cun)猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与🩰模形式两(liang)个截然不同的数学岛屿间隐藏着一座沟通的(de)桥梁。随后在1984年，德国数学家💡格哈德·費赖（Gerhard Frey）给出(chu)了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费(fei)马大定理為真。这个猜想紧接着在1986年(nian)被肯·里贝🎳特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定(ding)理不可摆脱地与谷山—志村猜想链接在一起：如🥳果有人(ren)能证明谷山—志村猜想（即“每一个椭圆方程(cheng)都可以模形式化”），那么就证明了费马大定理。 “人类🍿智力(li)活动的一曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让(rang)普林斯顿的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常🔊奇(qi)怪怀尔斯在做些什么？……他总是静悄悄的，也许(xu)他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一🎵点暗示都没有(you)！”对于这次惊天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可(ke)能是我🚞平生来见过的唯一例子，在(zai)如此长的时间里没有泄露任何有关工作的信息(xi)⛸️。这是空前的。 1993年晚春，在经过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯(si)终于完成🖲️了谷山—志村猜想的证明。作为一个結(jie)果，他也证明了费马大定理。彼得·萨奈克是最早得知🏈此消息的人之一，“我目(mu)瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失(shi)眠了”。 同年6月，怀尔斯🍠决定在剑桥大学的大型系列讲座上宣布这一(yi)證明。 “讲座气氛很热烈，有很多数學界重要人🎭物到场，当(dang)大家终于明白已经离证明費马大定理一步之遥时，空气中充满了(le)紧张☂️。” 肯·里比特回忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那(na)一刻：“我之前从未看到过如此精彩的🗽讲座，充满了美妙的、闻所未闻的新思(si)想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮。”当(dang)怀尔斯🔋在讲座结尾宣布他证明了费马大定理时，他成了全世界媒(mei)体的焦点。《纽约时报》在头版🦅以《终于欢(huan)呼“我发现了!”久远的数學之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为(wei)题报道费马大定理被证明的消息。一夜之間，怀尔斯成为世🐕‍🦺界上唯一的数(shu)学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位🔈最具(ju)魅力者”。 与此同时，认真核对这个证明的工作也在进行。遗憾🥍的是，如同这之前(qian)的“费马大定理终结者”一樣，他的证明是有缺(que)陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之下🥬修正(zheng)错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美(mei)国公众广播网（PBS）的访谈中说: “当时我(wo)们其他人（怀尔斯的同事）的行为🚅有點像‘苏联政体研究者’，都想知道他的想(xiang)法和修正错误💰的进展，但没有人开口问他。所以，某人会说，‘我今天早(zao)上看到怀👖尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他(ta)倒是有微笑，但看起来并不高興。’” 撑到1994年9月(yue)时，怀尔斯🎡准备放弃了。但他临时邀请的研(yan)究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就🏫在截止日到来之前两周， 9月19日(ri) ，一个星期一的早晨，怀尔斯發现了(le)问题的答案，他叙述了这一❄️时刻：“突然间，不可思议地，我(wo)發现了它……它美得难以形容，简单而(er)优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我📲到系里转了一圈，又回到桌子旁看(kan)看它是否还在那里✒️——它确实还在那里。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷(kang)慨的褒扬，其中最具代表性的是🌶️他在剑桥时的导师、着名(ming)数学家约翰·科茨的评价：“它（证明💌）是人类智力活动的一曲凯歌”。 一场(chang)旷日持久的猎逐就此结👚束，从此费马(ma)大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到(dao)一个就不得不😚提到另外一个。这是费馬大定理(li)与安德鲁·怀尔斯的因果律。 历时八年的最终证明 在怀尔斯不多的接(jie)💙受媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访相(xiang)当精彩有趣，本文节选部🥃分以飨读(du)者。 七年孤独 NOVA：通常人们通过团队来获得工作上的支持，那么当你碰(peng)壁时是怎么😅解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖(hu)边散散步，散步📉的好处是使你会处于放松状态，同时你的潜意识却在(zai)继续工作。通常遇到困扰时你并不需🖲️要书桌，而且我随时把笔纸带(dai)上，一旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿…… NOVA：這七年(nian)一🩴定交织着自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证明。 怀尔斯：我确实相(xiang)信自己在正确的轨道上，但那并不📮意味着我一定能达到目标——也许(xu)仅仅因为解决難题的方法超出现有的数学，也许我需(xu)要的方法下🚇个世纪也不会出现。所以即(ji)便我在正确的轨道上，我却可能生💨活在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突(tu)破。 怀尔斯：对，那是個5月末🦘的早上。Nada，我的(de)太太，和孩子们出去了。我坐在书桌前思(si)考最后的步骤，不经意间看到了一篇论🛴文，上面的一行字引起了我(wo)的注意。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎时意识到这就是(shi)我该用的。我🧆不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点時(shi)我确信已经证明了费马大定理，然后(hou)下楼。Nada很🥬吃惊，以为我这時才回家，我(wo)告诉她，我解决了费马大定理。 最后(hou)的修正 NOVA：《纽约时报》在头版以🦃《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获(huo)解》，但他们并不知道这个证明中(zhong)有个错误。 怀尔斯：那是个存在于关(guan)键👠推导中的错误，但它如此微妙以(yi)至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言😇描(miao)述，就算是数学家也需要研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀请剑(jian)桥的数学家理🕑查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最后的错误。問(wen)题是，你的🎃证明和费马的证明是同一(yi)个吗？ 怀尔斯：不可能。这个證明有150页长，用的是20世纪的方法，在费马时代还🎲不(bu)存在。 NOVA：那就是说费马的最初证明还在某个未被发现的角落？ 怀(huai)尔斯：我不相信他💙有证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄自己。这(zhe)个难🍤题对业余爱好者如此特别在于它可(ke)能被17世纪的数学🚟证明，尽管可能性极其微(wei)小。 NOVA：所以也许还有數学家追寻这最初的证明。你该怎么办呢🕞？ 怀尔斯(si)：对我来说都一樣，费马是我童年的热望。我会再试其他问(wen)题……证明了它我有一丝伤感，它已經和我们🧭一(yi)起这么久了……人们对我说“你把我的问题夺走了”，我能带给他们其他的东西吗(ma)？我🦘感觉到有责任。我希望通过解决这个问题带来的興奋可以激励🍅青年数学(xue)家们解决其他许许多多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲🎪线(xian)(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的周期性(xing)全纯函数)之间的🚋重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而来,定(ding)理的证明是由安德鲁🧾·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个质数而E是一个Q(有理数域)上的(de)一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p;除了🎄有限个p值，我們(men)会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后🥾考(kao)虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不变量(liang)。从傅裡叶变换，每个模形式也会产🍀生一个(ge)数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做(zuo)模的。 谷山-志💬村定说: "所有Q上的椭圆曲线是模的"。 该定(ding)理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年🌇为止，他和(he)志村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和(he)统一数学中的猜想🌺Langlands纲领联系了起来，并是关键的组成部分。猜想由(you)André Weil于1970年代重新提起并得到推广🎄，Weil的名字有一段时间和它联系在一起(qi)。尽管有明显的用处，这个问题的深度在后来的发展之前🧅并未被人们所感(gan)觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着(zhe)费马最后🗼定理的时候，它吸引到了不少注意力。他通过(guo)试图表明费尔马大定理的任何(he)范例会导致一个非🍜模的椭圆曲线来做到这一(yi)点。Ken Ribet后来证明了這一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村🖱️定理的一个特殊情况(kuang)(半稳定椭圆曲线的情况)，这个特🎺殊情况足以證明费尔马大定理。 完整的证(zheng)明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一🌳塊的逐步证明剩下的情况直(zhi)到全部完成。 数论中类似于费尔马(ma)最后定🌸理得几个定理可以从谷山-志村定理得到。例如:没有立方可以写成(cheng)两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知) 在😃1996年(nian)三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有完成(cheng)给予他们这个成就的定理的完整形式，他们还是🌙被认(ren)為对最终完成的证明有着决定性影响。