费马大定理有什么实际作用?

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了(le) Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看，1994年正📈是我在(zai)念大学的时候，当时完全没有一位教授在课堂🚞上提到这(zhe)件事，也许他们认为，一位真正的研究者，自然而然地会(hui)被数学吸引，然而对一📕位不是天才的(de)学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更高深📋的专业(ye)认知，而指引的道路，就在科普的精神上。 从费玛🕚最后定理的历史(shi)中可以发现，有许多研究成果，都是研究人员燃烧热情，试图📀提出(chu)「有趣」的命题，然后再尝试用邏辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解 1. 1963年☘️ 安(an)德鲁‧怀爾斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最(zui)后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 毕達哥拉(la)斯 Pythagoras 定理，任一个直💐角三角形，斜边的平方=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕(bi)达哥拉斯三元组：毕氏定♠️理的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究(jiu)丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边写下了註記 「不(bu)可能将一个立📠方数写成两个立方数之(zhi)和；或者将一个四次幂写成两个四次(ci)幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂，写🛥️成两个同样次幂的(de)和。」 「对这个命题我有一个十分美妙的证明，这里空白太小，写🦧不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的(de)儿子出版了载有Fermat註记的「丢番图的(de)算数」 5. 在Fermat的其他🖼️註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 時无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时(shi)无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只要证明费玛最后😅定理(li)对於所有的质数都成立 但 歐基里德 证明「存在无📌穷多个(ge)质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最后定理 "大概" 无解 7. 1825年 古(gu)斯塔夫🐽‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的證明，证明了(le) n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了⌚ n=7 无解 9. 1847年(nian) 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称(cheng)已经证明了 费玛最后定理 最后是刘维🗼尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科(ke)西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一因子分⛵解性质」而失败 库默尔证明了(le) 费玛最后定理的完整证明 是当时数学(xue)方法不可能实🧥现的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了(le)库默尔的证明 这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决 沃尔🐘夫斯凯尔(er)提供了 10万马克 給提供证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月(yue)8日 大卫‧希尔伯特，提出数学上23个🗻未解决的问题且相信(xin)这是迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判(pan)定性定理 第一不可判🔌定性定理：如果公理集合论(lun)是相容的，那么存在既不能证明又不能否定📔的定(ding)理。 => 完全性是不可能达到的 第二不可判定性定理：不存(cun)在能证明公理系统是相容的构(gou)造性🖥️过程。 => 相容性永远不可能证明 13.1963年 保羅(luo)‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不是不可判定😌的方法（只(zhi)適用少数情形） 证明希尔伯特23个问题中，其中一个「连续统假设」问题是🚙不可判(pan)定的，这对於费玛最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码(ma) 的反转机 开始有人利👙用暴力解决方法，要对 费瑪最后定理 的n值一个一个(ge)加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於🌴 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想(xiang)，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔📨斯 Andrew Wiles 师承 约(yue)翰‧科次，研究椭圆曲线 研究椭圆曲线的目的(de)是要算出他们的整数解，这跟费玛📝最后定理一样 ex: y2=x3-2 隻有一组整数解 52=33-2 (费玛证(zheng)明宇宙中指存在一个🏢数26，他是夹在一个平方數与一个立方数(shu)中间) 由於要直接找出椭圆曲线是很困难的，為🦉了简化问题，数学家採用「时鐘(zhong)运算」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解(jie)为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然後可用 E5=4 来代表在🏤五格时鐘运算中(zhong)，有四个解 对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研(yan)究具有非同寻常的对称❤️性的 modular form 模型式 模型式的要素可從1开始标(biao)号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个🦊模型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的(de)范例 1955年9月 提出模⛵型式的 M序列 可以对应到椭圆曲线的 E序列，两个不同领(ling)☃️域的理论突然被连接在一起 安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想(xiang)」 18.朗兰兹提出🐁「朗兰兹纲领」的计画，一个统一(yi)化猜想的理论，并开始寻找统一🕠的环链 19.1984年 格哈(ha)德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设費玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将🚍方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这(zhe)样的椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致於🎏无法被模型式化 (3) 谷(gu)山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型(xing)式化 (4) 谷山-志村猜想🍱 是错误的 反過来说 (1) 如果 谷山-志村猜想 是对的，每一个(ge)椭圆方程式都可🖤以被模型式化 (2) 每一(yi)个椭圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗賴🐅椭圆(yuan)方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方(fang)程式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是对🤣的 20.1986年 肯‧贝里特 证(zheng)明 弗赖椭圆方程式无法被模型式化 如果(guo)有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后🏩定理也是正確的 21.1986年 安德(de)鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每(mei)隔6個月发表一篇小论文，然后🧃自己独力尝试(shi)证明谷山-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗(luo)瓦 的📱群论，希望能将E序列以「自然次序(xu)」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈⛵洋一 发(fa)表利用微分几何学证明谷山-志村猜想(xiang)，但结果失败📲 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成(cheng)无限多项🎻，然后也证明了第一项必定是(shi)模型式的第一项，也尝试利用 依娃(wa)沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败 24.1992年 修改 科利瓦🦓金-弗莱契 方法，对(dui)所有分类后的椭圆方程式都奏效 25.1993年 尋求同(tong)事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对驗证🛍️证明 26.1993年5月(yue) 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹(zi) Nick Katz 发现一个重大缺♠️陷 安德鲁‧怀尔(er)斯 Andrew Wiles 又开始隱居，尝试独力解决缺陷，他不希望在这(zhe)时候🏕️公布证明，让其他人分享完成证明的甜美果实 28.安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边🍤缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德(de)‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙📿娃 Iwasawa 理(li)论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能夠完全解决问题 30.「谷(gu)山-志村猜想」被证明了，故得证♠️「费玛最后定理」 ii 费马大定理 300多年以前(qian)，法国數学家费马在一本书的空白处写下(xia)了一个定🍓理：“设n是大于2的正整數，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费馬宣(xuan)称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因📈书上空白太小(xiao)，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有(you)多少专业数学家和业余数学爱好者绞🐸尽脑汁企图证(zheng)明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中(zhong)最着名的定理—费马大定🃏理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇(qi)色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师谋(mou)生，后来成为议会😼议员，数学只不过(guo)是他的业余爱好，只能利用闲暇来研(yan)🎫究。雖然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一(yi)流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创😃立了解析几何，同(tong)时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马(ma)特别爱好数论，提出了许多定理🎹，但费马只对其中一个定理给出了(le)证明要点，其他定理除一個被证(zheng)明是错的，一个未🍱被证明外，其余的陆续被(bei)后来的数学家所证实。这唯一未被证明(ming)的定理就👙是上面所说的費马大定理(li)，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最🎳后(hou)定理。 费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经🍿有了很大进展，特别是(shi)最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫⏲️证明了对小于105的素数(shu)费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明🔇了不定方程xn+yn=zn只(zhi)能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数(shu)学界的最高奖之一费爾🙊兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理(li)，但随后发现了证明中的一个漏(lou)洞☁️并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学(xue)界的一致公认🕹️，但大多数数学家认为他證明(ming)的思路是正确的。毫无疑问，这🛫使人们看到了(le)希望。 为了寻求费马大定理的解答，三个多(duo)世纪以来，一代又一代的数学家们前赴🗒️后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯(si)顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过(guo)8年的孤军奋战🛣️，用13 0页长的篇幅证(zheng)明了费马大定理。怀爾斯成为整个数学界的英雄。 费马大定理提出的问🌠题非(fei)常简单，它是用一个每个中学生都熟悉(xi)的數学定理😘——毕达 哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的(de)毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中(zhong)， 斜边的平方等于两直角邊📈的平(ping)方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前後 ，当费马在 研究毕达哥拉⏲️斯(si)方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这(zhe)个方程没有任何整数解。费马在《算🐘术》这本书的靠近问题8的页边处记下这 个(ge)结论的同時又🌂写下一个附加的评注(zhu)：“对此，我确信已发现一个美妙的证(zheng)法，这里的空 白太小，写不下。”这🦗就是数学史上着名的费马大定理或称费马最(zui)后的定理。费馬制造了 一个数学史上最深奥的🛎️谜。 大问题 在物理(li)学、化学或生物学中，还没有任何问题可以敘述得如此简单和🚥清晰，却长(zhang)久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界也许在费马大(da)定理得以解🍯决之前就已走到了尽头。证明(ming)费马大定理成为数论中最 值得为之奋斗的事。 安德魯·怀尔斯1953年出(chu)生在英国🕒剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯 已着(zhe)🥘迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校(xiao)里我喜欢做题目，我把它们带回家， 编写成我🛼自己的新题目。不过我以(yi)前找到的最好的题目是在我们社区的图🍝书馆(guan)里发现的。 ”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看(kan)见了一本书，这本书💟只有一个问题而没有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是E·T·贝(bei)尔写的《大问题》。它叙述了費马大定理(li)的历史，这🎭个定理让一个又 一个的数學家望(wang)而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯(si)30多年后回🎽忆 起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去(qu)如此简单，但历史上🐕‍🦺所有的大数学(xue)家都未能解 决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能(neng)理解的问题，从那🌭个时刻起，我知道我永 远不會放弃它。我必须解决它。” 怀(huai)尔斯1974年从牛津大學的Merton学院获得数学学士学位，之后✒️进入剑桥大學Clare 学院(yuan)做博士。在研究生阶段，怀尔斯并(bing)没有从事费马大定理研究。他😄说：“研究费马可能 带来的问题是：你花费了多年(nian)的时间而最终一事无成。我的导师约(yue)翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆📜曲线的Iwasawa理论，我(wo)开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事 告诉我，他(ta)有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位📖第三部(bu)考试的学生，他催促我收其 为学生。我非常荣幸有安德鲁这🛥️样的学生。即(ji)使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的 思想，非常清楚他将是一个做大(da)事情的数学家🔋。当然，任何研究生在那个阶段直接开始研 究费(fei)马大定理是不可能的，即使对资历很(hen)📝深的数学家来說，它也太困难了。”科茨的责任 是为怀尔(er)斯找到某种至少能使🥡他在今后三年里有兴趣(qu)去研究的问题。他说：“我认为研究 生导师能為学生做的一切就是设法把(ba)他推🏕️向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定 是一(yi)个富有成果的研究方向，但是也许年(nian)🍲长的数學家在这个过程中能做的一件事是使用他 的常识、他對(dui)好领域的直觉。然后，学生📁能在这个方向上有多(duo)大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决定(ding)怀尔斯应💚该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定(ding)成为怀尔斯职业生涯中的 一个转折点(dian)🀄，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑桥大学(xue)取得博士学🦡位后来到了美国普林斯顿大学(xue)，并成为这所大学 的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他(ta)人🍤都更懂得椭圓方程，他已经成为一 个着名的数论学家，但他清(qing)楚地意识到，即使以他广博的基础知🎆识(shi)和数学修养，证明费马 大定理的任务也是极为艰巨的。 在(zai)怀爾斯的费马大定理的证明中，核🧾心是证明“谷山－志村(cun)猜想”，该猜想在两个非 常不同的数😙学领域间建立了一座新的(de)桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋 友家(jia)中啜飲冰茶。谈话间🏬他随意告诉我，肯·里(li)贝特已经证明了谷山－志村猜想(xiang)与🌔费马大 定理间的联系。我感到极大的震動。我(wo)记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为 这意味着为了(le)证🕚明费马大定理，我必须做的一(yi)切就是证明谷山－志村猜想……我十分清楚 我应该回家去研究谷⭐山－志村(cun)猜想。”怀尔斯望见了一條实现他童年梦想的道路。 20世(shi)纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么📦不去尝(chang)试证明费马大定理，他 回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时(shi)间作深入的研究，而我没有那么🍂多的时间 浪费在一件可能会失败的(de)事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到 这个问题中，但(dan)🌞是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风(feng)险。 怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地进(jin)行研究。他说：“我🥗意识到与费 马大定理(li)有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可🙂能很多年都使自(zi)己精力集中 ，除非你的专心不被他人🎻分散，而这一点会因旁观者太多而做不(bu)到。”怀尔斯放弃了💻所有 与证明费马大定理无直接关(guan)系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在(zai)💦家里的顶 楼书房里他開始了通过谷山－志村猜想来证明费马大定理的(de)战斗。 这是一场长达7年🐠的持久战，這期(qi)间只有他的妻子知道他在证明费马大定(ding)理。 欢呼与等待 经过7年的努力，怀尔斯🍳完成了谷山－志村猜想(xiang)的证明。作为一个結果，他也证明了 费马大定🚕理。现在是向世界公布的(de)时候了。1993年6月底，有一个重要的会(hui)议要在剑桥大 学的牛顿研究所举行。怀🥬尔斯决定利用这个(ge)机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择 在牛(niu)顿研究所宣布的另外一个主要(yao)🕠原因是剑桥是他的家乡，他曾经是那里的一名研究生。 1993年(nian)6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的🌟一(yi)次数学讲座。两百名数学家聆 听了这一演講，但他们之(zhi)中只有四分之一的人完全懂得黑板(ban)上的希腊🔋字母和代数式所表达 的意思。其余的人来这里是为了见证(zheng)他们所期待的一个🚠真正具有意义的时刻。演讲者是安 德鲁(lu)·怀爾斯。怀尔斯回忆起🦢演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲(jiang)的风 声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众🍷中有人(ren)拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯 定事先就(jiu)准备了一瓶香槟酒。当我宣读😃證明时，会场上保持(chi)着特别庄重的寂静，當我写完 费马大定理的证明时，我(wo)说：‘我想我就在这里结🕤束’，会场上爆发出一阵(zhen)持久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头版以🏮《终于欢呼“我发现了!”，久远的(de)数學之谜获解》为题报道 费🐠马大定理被证明的消息。一夜之间，懷尔(er)斯成为世界上最着名的数学家，也是唯一的数 学(xue)家。《人物》杂志将🦨怀尔斯与戴安娜王妃(fei)一起列为“本年度25位最具魅力者”。最🚊有创 意的赞美来自一家(jia)国际制衣大公司，他们邀请这位温(wen)文🧇尔雅的天才作他们新系列男装的模 特(te)。 当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这(zhe)個证明的工作也🦄在进行。科学的(de)程序要 求任何数学家將完整的手稿送交一个有声望🧧的刊物，然后这(zhe)个刊物的编辑将它送交一组審 稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查(cha)证明🦡。怀尔斯将手稿投到《数学发明(ming)》，整整一个 夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈(qi)求能得到他👑们的祝福。可是，证明的一个(ge)缺陷被发 现了。 我的心灵归于平(ping)静 由於怀尔斯的论🌯文涉及到大量的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定(ding)不像通常🥫那样指定 2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分成(cheng)6章，每位审稿人负责其中一章。 怀尔斯在此期间中👁️‍🗨️断了他的工作，以处理(li)审稿人在电子邮件中提出的问题(ti)，他自信这 些问题不😆会给他造成很大的(de)麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他🚲发现(xian)了 证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求(qiu)怀尔斯无可懷疑🪖地证明他的方法(fa)中的每一步都 行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办(ban)💬法可能就在近旁，可是6个多月過去了 ，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境(jing)，他准备承认失🤪败。他向同事彼得·萨克说明自(zi)己的情 况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个(ge)能够✒️和他讨论问题并且可信赖的人。经过 长时间的考虑后，怀尔斯决定(ding)邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯🧧顿和他一起工(gong)作 。 泰勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果🐏，他们准备放弃了(le)。泰勒 鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检(jian)查。9月19日🍉，一个星期一的早 晨，怀尔斯发現(xian)了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地(di)🦍，我有了一個 难以置信的发现。这是我的事业中(zhong)最重要的时刻，我不会再有这样的经歷……它的🦧美是如 此地难以形(xing)容；它又是如此简单和优美。20多分钟的(de)时间我呆望它不敢相信。然后白天我 到系里转💿了一圈，又回到桌子(zi)旁看看它是否还在——它还在那里。” 这是少🛫年时代的梦想和8年潜心努力(li)的终极，怀爾斯终于向世界证明⛰️了他(ta)的才能。世 界不再怀疑这一次的证明了。这(zhe)两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底🍵的(de)数学稿 件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽(niu)约時报》的头版 上，标题是《数学🕍家称经典之谜已解决》。约翰·科茨(ci)说：“用数学的术语来说🧉，这个最 终的证明可与分裂原子或(huo)发现DNA的结构相比，对费🕣马大定理的证明是人类(lei)智力活動的一 曲凯歌，同时，不能忽视的事🌕實是它一下子就使数学发生了(le)革命性的变化。对我说来，安 德鲁成果的美和魅(mei)力在于它是走向代数数🦎论的巨大的一步。” 声望和荣誉纷(fen)至沓来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数💻学(xue)奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。 怀尔📑斯说：“……再没有别的(de)问题能像费马大定理一样对我有同样的意义(yi)。我拥有如 此少有的特权🪕，在我的成年时期实(shi)现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索🚍已经结束了， 我的(de)心已歸于平静。” 费马大定理只有在相对数学理论的建立(li)之👓后，才会得到最满意的答案。相对数学(xue)理论没有完成之前，谈这个问题是⛺无力地.因为人(ren)们对数量和自身的认识，还没有达到一定的高度. iii 费(fei)馬大定理与怀尔斯的🚘因果律-美国公众广播网对怀(huai)尔斯的专访 358年的难解之谜 數学爱好者费马提出的这个问题非常(chang)简单，它用一🐤个每个中学生都熟悉的(de)数學定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理🪐说：在(zai)一个直角三角形中，斜邊的平方等于两个(ge)直角边☃️的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方(fang)程时，他在《算术》这本书靠🌏近问题8的页边处写下了这(zhe)段文字：“设n是大于2的正整数，则✨不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已(yi)发现一个美妙的证法，但这里的空白太小，写不(bu)下。”费马习惯在页🌁边写下猜想，费马大(da)定理是其中困扰数学家们时间最🚦长的，所以被稱为Fermat’s Last Theorem（费马最后的(de)定理）——公认为有史以来最着名的🏸数学猜想。 在畅销(xiao)书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言(yan)引发的长达358年的猎逐充满🧸了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后涉(she)及到最多产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业🥌余轉(zhuan)为职业数学家的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和(he)被誉为“法国历史上知识最为高⌨️深的女性”的苏菲·姬(ji)尔曼……法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明🦤日之星谷山丰的(de)神秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔🚀夫斯凯尔(er)最后一刻的舍死求生等等，都仿(fang)佛是冥冥间上帝导演的宏大戏剧🛬中的(de)一幕，为最后謎底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到(dao)谜底，把这出戏推🦼向高潮并戛然(ran)而止，留下一段耐人回味的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马(ma)大定理不仅是破译一个难解之谜，更是🛺去实现一个儿时的梦想。“我10岁时在图(tu)书馆找到一本数学書，告诉我🍆有这么一个问题，300多(duo)年前就已经有人解决了它，但却没🍪有人看到过(guo)它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那(na)以后，人们就不断地求证。这是一个10岁📇小孩就能明白(bai)的问题，然后历史上诸多伟大的数学家们却不能(neng)解答🍥。于是从那时起，我就試过解决它，这个(ge)问题就是费马大定理。” 怀爾🥭斯于1970年先后在牛津大学和剑(jian)桥大学获得数学学士和数学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把🚇费馬大(da)定理搁在一边了。这不是因为我忘了它，而是我认识到我们所掌(zhang)握的🎓用来攻克它的全部技术已经反(fan)复使用了130年。而這些技术似乎没有触及问题📘根本。”因为担心耗(hao)费太多时间而一无所获，他“暂时放(fang)下了”对费马大定🐈‍⬛理的思索，开始研究椭圆曲线理论——这个看似与证明费🎩马大(da)定理不相关的理论后来却成为他实现梦想的工具。 時间回溯至20世纪60年代，普(pu)林斯顿數🎣学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要(yao)数学领域之间原本就存在着的统一的(de)链接。如果这个猜想被证😄实，意味着在(zai)某个数学领域中无法解答的任何问题都有(you)可🛎️能通过这種链接被转换成另一个领域中相应的问(wen)题——可以被一整套新方案解🧧决的问题。而如果在另一个领域内仍然难以(yi)找到答案，那么可以把问题再转换到下一个(ge)数学领域中✈️……直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领，有(you)一天，数学家们将能够解決曾经是最深奥🎎最难对付的问题——“办法是(shi)领着这些问题周游数學王国🗻的各(ge)个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定理打(da)击💒的费马大定理证明者们指明了救赎(shu)之路——根据不完备定理，费马大🏗️定理是不可证明的。 怀尔斯后來正是依赖(lai)于这个纲领才得以证明费马大定理的：他的证明(ming)——不同于任何前人🐭的尝试——是现代(dai)数学诸多分支（椭圆曲线论，模形(xing)式理论，伽罗华表示理论等等)综合发⏳挥作用的(de)结果。20世纪50年代由两位日本数学家（谷山丰和志村五(wu)郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模🦥形式两个截然不同的(de)数学岛屿间隐藏著一座沟通的桥梁。随后在1984年，德(de)国数学家格哈德·费赖😗（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马(ma)大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特(te)（Ken Ribet）证🔔明。从此，费馬大定理不可摆脱地与谷山—志(zhi)村猜想链接在一起：如果有人🛹能證明(ming)谷山—志村猜想（即“每一个椭圆方程都可以模形式📓化”），那么就证明了(le)费馬大定理。 “人类智力活动的一曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪(zong)讓普林斯顿的着📊名数学家同事们困惑(huo)。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回憶说：“ 我常常奇怪怀尔斯(si)在做些什么？……他总是静悄悄的，也🕝許他已经‘黔驴技穷’了(le)。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对😳于这次惊天“大预谋”，肯·里比特(te)（Ken Ribet)曾評价说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在如此(ci)长的时间里沒有泄露任何💬有关工作(zuo)的信息。这是空前的。 1993年晚春，在经过反复(fu)的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷🕰️山—志村猜想的证(zheng)明。作为一个结果，他也证明了费马大定理📯。彼(bi)得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我(wo)目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失眠了”。 同年📩6月，怀(huai)尔斯决定在剑桥大學的大型系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛(fen)很热🕞烈，有很多数学界重要人物到场，当大家终于明白已经离(li)证明费马大定理一🛟步之遥時，空气中充满了紧(jin)张。” 肯·里比特回忆說。巴里·马佐尔(er)（Barry Mazur）永远也忘🎎不了那一刻：“我之前从(cong)未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所未闻的新思想，还有(you)戏剧🦼性的铺垫，充满悬念，直到最后到達高潮。”当怀尔斯(si)在讲座结尾宣布他证🌦️明了费马大定理时，他成了全世界媒体(ti)的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”久远🤎的(de)数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理(li)被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为(wei)世界上唯一的数🌾学家。《人物》杂志将懷尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年🗻度(du)25位最具魅力者”。 与此同时，认真核对这个证明的工作也在进行(xing)。遗憾的是🍝，如同这之前的“费马大定理终结者”一样，他的证明是有缺(que)陷的。怀尔斯现在不得不在巨大🚄的压力之下修正错误，其间数(shu)度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的訪谈🌳中说: “当时我们其他(ta)人（怀尔斯的同事）的行為有点像‘苏联政体研(yan)究者’，都想知道他的想法💽和修正错误的进展，但没有人開口问他。所以，某人会(hui)说，‘我今💌天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑(xiao)，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯准备放🤓弃了。但(dan)他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一個月。就在截止日到来之前两(liang)周， 9月19日 ，一个星期🍌一的早晨，怀尔斯(si)发现了問题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我(wo)发现了⛴️它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着它发了20多(duo)分钟呆。然后我到系里转了一🎾圈，又回到桌子旁看看它是否还在那里——它确(que)实还在那里。” 怀尔斯的证明为他赢💛得了最慷慨的褒扬，其(qi)中最具代表性的是他在剑桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证(zheng)明）是人类☄️智力活动的一曲凯歌”。 一場旷日持久的猎逐就此结束(shu)，从此费马大定理与安德鲁🎏·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起(qi)，提到一个就不得不提到另外一个。这🎏是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的(de)因果律。 历时八年的最终证明 在怀尔斯不📪多的接受媒体采访中，美国公众(zhong)广播网（PBS）NOVA节目对怀爾斯的专访相当精彩有趣，本(ben)文节选部分🐆以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们通过团队来(lai)获得工作上的支持，那么当你碰壁时是怎么解决问🍒题的呢(ne)？ 怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖边散散步，散步的好处是使你会(hui)处于📂放松状态，同时你的潜意识却在继续工作。通(tong)常遇到困扰🕌时你并不需要书桌，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主意我(wo)会找👁️‍🗨️个长椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与成功🦞……你(ni)不可能绝对有把握证明。 怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨道(dao)上，但🌦️那并不意味着我一定能达到目标——也许仅仅因为解决难题的方法(fa)超出现有🍭的数學，也许我需要的方法下个世纪也(ye)不会出现。所以🦆即便我在正确的(de)轨道上，我却可能生活在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突(tu)破。 怀尔斯：对🥚，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去(qu)了。我坐在书桌前思考最後的步💕骤，不经意间看到了一(yi)篇论文，上面的一行字引起了我的注意。它提🚈到了一个19世纪的数学(xue)结构，我霎时意识到这就是我该用的。我不停地工作，忘记下楼🛝午饭，到(dao)下午三四点时我确信已经证明了(le)费馬大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我这时才回🚠家，我告诉(su)她，我解决了费马大定理。 最后的修正(zheng) NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了🦢!”，久远的数学之谜获解》，但他们(men)并不知道这个证明中有个错误。 怀尔斯：那是个存在📗於关键推导中的错误，但(dan)它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言描述，就算(suan)是🕌数学家也需要研习两三个月(yue)才能弄懂。 NOVA：后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协(xie)助工作，并在1994年🛻修正了这个最后的错误。问题是，你的证明和费马的(de)证明是同一🖊️个吗？ 怀尔斯：不可能。这个证明有150页长，用的是20世纪的方法，在(zai)费马时代还不存💹在。 NOVA：那就是说费马的最初证明还(hai)在某个未被发现的角🏜️落？ 怀尔斯：我不相信他有证明。我(wo)觉得他说已经找到解答了是在哄自己。这个难题对业余爱好者如(ru)此特🐁别在于它可能被17世纪的数(shu)学证明，尽管可能性极其微小🧤。 NOVA：所以也许还(hai)有数学家追寻这最初的证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说都一样，费马是(shi)我童年的热🐭望。我会再试其他问题……证明了它我有一丝伤感，它已(yi)经和我们一起这🪡么久了……人们对我说“你把我的(de)问题夺走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感觉到有责任。我希望通🚤过解决(jue)这个問题带来的兴奋可以激励青年数学家们解决其他许(xu)🏕️许多多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几🗺️何的对象)和模形式(某(mou)种数论中用到的周期性全纯函数)之间的重要(yao)联系。雖然名字是从谷山-志村猜想📈而来,定理的证明是(shi)由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个质数而(er)E是一个Q(有理数域💹)上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义(yi)E的方程模p;除了有限个p值，我們会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭🧂圆(yuan)曲线。然后考虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲線E的重要的不变量。从(cong)傅里叶变换，每个模🖊️形式也会產生一个数列。一个其序列和从模形式得(de)到的序列🌖相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说: "所有Q上的椭💯圆曲线是模(mo)的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村(cun)五🖲️郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它(ta)和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起(qi)来🐥，并是关键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重(zhong)新提起并得到推广，Weil的名字有一段时间和它(ta)联系在一👜起。尽管有明显的用处，这個问题的(de)深度在后来的发展之前并未被人们所感觉到。 在1980年(nian)代🥖当Gerhard Freay建議谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着(zhe)费马最后定理的时候，它吸引到了🛹不少(shao)注意力。他通过试图表明费尔马大定理的任何范例会导致(zhi)一个非🧩模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷(gu)山-志村定理的一个特殊情📯况(半稳定椭圆曲线的情况)，这个特殊情况足(zu)以證明费尔马大定理。 完整的证明最后于1999年由(you)Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们☘️在Wiles的基础上，一块一块的逐步证明(ming)剩下的情況直到全部完成。 数论中🌆类(lei)似于費尔马最后定理得几个定理可以從谷(gu)山-志村定理得到。例如:没有立方可以写🍠成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的(de)情况已为欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然(ran)他们都没有完成😗给予他们这個成就的定理(li)的完整形式，他们还是被认为对最终完(wan)成的证明有著决定性影响。