费马大定理证明原文

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles開始(shi)谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始🤍末，往前回溯来看，1994年正是我在念大(da)学的时候，當时完全没有一位教授在课堂上提到这件事，也许✨他们认为，一(yi)位真正的研究者，自然而然地会被数(shu)学吸🏈引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导(dao)他走嚮更高深的专业认知，而⛩️指引的道路，就在科普的精神上。 从费玛最(zui)后定理的历史🎂中可以发现，有许多研究成果，都是研究(jiu)人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命🦡题，然后再尝试(shi)用逻辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不(bu)存在整数解🏀 1. 1963年 安德鲁‧怀爾斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问(wen)题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 畢达哥拉🎈斯(si) Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的(de)平方=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解🌫️ 3. 费玛(ma) Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页(ye)边写下了註记 「不可能将一个立方数写成两个🕠立方数之和；或者将一(yi)个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个(ge)高於2次幂🩴，写成两个同样次幂的和。」 「对(dui)这个命题我有一个十分美妙的证明，这❤️‍🩹里空白太小，写不下。」 4. 1670年(nian)，费玛 Fermat的儿子出版了載有Fermat註记的「丢番图🎀的算数」 5. 在(zai)Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 時无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了(le) n=3 时无解🏩 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只要(yao)证明费玛最后定理对於所有的质数都成立 但 欧基里德 证明「存在📣无(wu)穷多个質数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质(zhi)数，证明了 费玛最后定理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯🐻塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利(li)昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉(la)梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无🗯️解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科(ke)西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明😻了 费玛最后定理 最(zui)后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与(yu)拉梅的證明，都🍈因为「虚数没有唯一因子分解性(xing)质」而失败 库默爾证明了⚽ 费玛最后定理的(de)完整证明 是当时数学方法不可能实现的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔📀 Paul Wolfskehl 補救了库(ku)默尔的证明 这表示 费玛最后定理的完整证明 尚🐸未被解决(jue) 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人🚞，期限是到(dao)2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数学上(shang)23个未解决的问🎋题且相信这是迫切需要解决的重要问(wen)题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理 第一不可判定性定理👖：如(ru)果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定(ding)的定理。 => 完全性是不可能达到的 第二不可判(pan)🐷定性定理：不存在能证明公理系統是(shi)相容的构造性过程。 => 相容性永远(yuan)不可能证明 13.1963年 保🐶罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题(ti)是不是不可判定的方法（只适用少数情形） 证明希尔伯特(te)🥋23个问题中，其中一个「连续统假设」问题是不可判定的，這对⛳於费玛(ma)最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机 开始有(you)人利用暴🏨力解决方法，要对 费玛最后(hou)定理 的n值一个一个加以证明。 15.1988年(nian) 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於🖥️ Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解(jie)这个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔(er)斯 Andrew Wiles 师承 约翰🚈‧科次，研究椭圆曲线 研究椭圆曲(qu)线的目的是要算出他们的整数(shu)解，这跟费玛最后定理🛳️一样 ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙(zhou)中指存在一个数26，他是🥩夹在一个平方数与一个立方(fang)数中间) 由於要直接找出椭💨圆曲线是很困难的，为了简(jian)化问题，数学家採用「时鐘运算」方法 在五格时(shi)鐘运算中， 4+2=1 椭圆方🍞程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算(suan)中，有四个解 對於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村🥄五郎 与 谷山丰(feng) 研究具有非同寻常的對称性的 modular form 模型式 模型式的要素可从1开🌡️始标號到(dao)无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要素个数 可(ke)写成 M1=1 M2=3 .... 这💧样的范例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圆(yuan)曲线的 E序列，两个不同领域的理论突然被连接在一起 安🌝德列‧韦依 採纳(na)这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹(zi)提出「朗兰兹纲领」的计画，一个🥦统一化猜想的理論，并(bing)开始寻找统一的环链 19.1984年 格哈德(de)‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设费瑪最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可🥇将方程式转(zhuan)換为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方程式(shi)太古怪了，以致於无法被模型式化 (3) 穀山📤-志村猜(cai)想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是(shi)错误的 反过来说 (1) 如果 谷山🏝️-志村猜想 是对的，每一个(ge)椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭圆方⛱️程式都可以被模(mo)型式化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整(zheng)数📄解 (4) 费玛最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭(tuo)圆方程式无法被模型式化 如果有人能够证明谷山-志🕟村猜想，就表示费玛(ma)最后定理也是正确的 21.1986年 安德鲁‧懷尔斯 Andrew Wiles 开始(shi)一个小阴🦅谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然后自己独力(li)尝试证明谷山-志村猜想，策略是利用归纳🧊法，加上 埃瓦(wa)里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序列以「自然次(ci)序」一一对应🛶到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何(he)學证明谷山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安🧧德鲁‧懷尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程(cheng)式拆解成无限多项，然后也证明了第(di)🥼一项必定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结(jie)🎯果失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方(fang)程式都🌞奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凱兹 Nick Katz 的协(xie)助，开始对验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会(hui)议，安德鲁‧怀尔斯😄 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想(xiang)的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又(you)开始🌨️隐居，尝试獨力解决缺陷，他不希望在这时(shi)候公布证明，让其他人分享完成证🕞明的甜美果实(shi) 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边(bian)缘，在彼得‧萨纳克的建议下🛵，找到理查德‧泰勒的(de)協助 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够🌌完全解(jie)决问题 30.「谷山-志村猜想」被证明了，故得證「费玛最后定理」 ii 费马大定(ding)理 300多年以前，法国数學家费🥥马在一本书的空白处写下了一个定理(li)：“设n是大于2的正整数，则不定🙈方程(cheng)xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因(yin)书🐭上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专業数学(xue)家和业余数学爱好者绞尽脑🩲汁企图证明它，但不(bu)是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中(zhong)最着名的定理—费马大定理。 费马(1601年～1665年)是一📙位具有传(chuan)奇色彩的数学家，他最初学習法律并以当律师谋生，后来成(cheng)为议会議员，数学只不过是🕗他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近(jin)30才认真注意数學，但费马对数论和微🐈积分做(zuo)出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又(you)是17世🥸纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数論，提出(chu)了许多定理，但费马只对其🌩️中一个定理给出了证明要点，其他定理除一(yi)个被证明是错的，一个未被证明外，其余的⏳陆续被后来的数学家所(suo)证实。这唯一未被证明的定理就是上(shang)面所说的费马大定理🎒，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为(wei)费马最後定理。 费马大定理虽♟️然至今仍没有完全被证(zheng)明，但已经有了很大进展，特别是(shi)最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫證明了🤣对小(xiao)于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数(shu)学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有🎻有限多组解(jie)，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的(de)最⚽高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威(wei)尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现(xian)了证明中的一🗯️个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大(da)定理还没有得到数学界的一致公认，但大多🌆数数学家认为他(ta)证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到(dao)了希望🔮。 为了寻求费马大定理的解答，三個多世纪以来，一(yi)代又一代的数学家们前赴後继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿(dun)🔋大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军(jun)奋战，用13 0页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整個数学界🎲的英雄。 费马(ma)大定理提出的问题非常简单，它是用一个🐤每个中(zhong)学生都熟悉的数學定理——毕达 哥拉斯定理——来表达(da)的🐫。2000多年前诞生的畢达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中， 斜边的平(ping)方等于两直角边的平方之和。即🍇X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在 研究毕达哥拉(la)斯方程时，他写下一个方程，非常(chang)类似于毕达哥拉斯方程📍：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，這个方程没有任何整数解。费马(ma)在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这🏡 个结论的同时(shi)又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美(mei)妙的證法，这里💟的空 白太小，写不下(xia)。”这就是数学史上着名的費马大定理或称☔费马最(zui)后的定理。费马制造了 一个数学史上最深奥(ao)的谜。 大🛺问题 在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙(xu)述得如此简单和清晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题🍂》(The Last Problem)一书中寫到， 文明(ming)世界也许在费马大定理得以解决(jue)之前就已走到⛩️了尽头。证明费马大定理成为数论中最(zui) 值得為之奋斗的事。 安德鲁·怀尔斯1953年出生在英🦊国剑桥，父亲是一位工程学教(jiao)授。少年时代的怀尔斯 已着迷于数🍝学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里(li)我喜欢做题目，我把它们带回家， 编写成我自己的新题目。不过(guo)我以前找📉到的最好的题目是在我(wo)们社区的图书馆里发现的。 ”一天(tian)，小怀尔斯在彌尔顿街上的图书馆🐼看见了一本书，这本书只有一个问题而(er)没有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是(shi)E·T·贝尔写的《大问🦜题》。它叙述了费马(ma)大定理的历史，这个定理讓一个又 一个的数(shu)学家望而生畏，在💕长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后(hou)回忆 起被引向费马大定理时的感觉🥘：“它看上去如(ru)此简单，但历史上所有的大数学(xue)家都未能解 决它。這里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题🍭，从那(na)个时刻起，我知道我永 远不会放弃它。我必须解決它。” 怀(huai)尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位⚽，之后进入剑桥大学Clare 学院做博(bo)士。在研究生阶段，怀尔斯并没有💛从事费(fei)马大定理研究。他说：“研究费马可能 带来的问题是：你(ni)花费了多年的时间而最终一事无成。我的导(dao)师🍏约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圓曲线(xian)的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨說：“我记得一位同事 告(gao)诉我🧥，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学(xue)生，他催促我收其🍝 为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学(xue)生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的 思想，非常清楚他🌴将是一个(ge)做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个阶段🍇直接開始(shi)研 究费马大定理是不可能的，即使对资(zi)历很深的数学家来说，它也🐒太困難了。”科茨的责任 是为怀尔斯(si)找到某种至少能使他在今后三年裡有兴趣去📽️研究的问题。他(ta)说：“我认为研究 生导师能为学生做的一切就是設法把(ba)他推向一个富有成果的方向。当🍐然，不(bu)能保证它一定 是一个富有成果的研究方向，但是也(ye)许年长的数学家在这个过程中能做的一件事(shi)🌺是使用他 的常识、他对好领域的直觉。然后(hou)，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己🐆的事了(le)。 ” 科茨决定怀尔斯應该研究数学中称(cheng)为椭圆曲线的领域。这个决定成🪐为怀尔斯职业生涯中的 一个转折(zhe)点，椭圆方程的研究是他实现梦想的(de)工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑桥🎥大學(xue)取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成(cheng)为这所大学 的教授。在科茨的指导下，怀尔(er)斯或🌗许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一 个着(zhe)名的数论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的📱基础知识和数学修养，证(zheng)明费马 大定理的任务也是极为艰巨的。 在怀(huai)尔斯的费马大定理的证明☺️中，核心是证明“谷山－志村(cun)猜想”，该猜想在两个非 常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是(shi)1986年💈夏末的一个傍晚，我正在一个朋 友家中啜饮冰茶。谈话(hua)间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山🗽－志村猜想与费马大 定理间的联(lian)系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历(li)程的时刻，因为🕢 这意味着为了证明费马大定理，我必須做的一切就是(shi)证明🔍谷山－志村猜想……我十分清楚 我(wo)应该回家去研究谷山－志村猜想(xiang)。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道(dao)路🔊。 20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去(qu)尝试证明费马大定理，他 回答说：“在开(kai)始着手之前，我💰必須用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的時间 浪(lang)费在一件可能会失败🌫️的事情上。”怀尔斯(si)知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到 这个问题中，但(dan)是与希尔✉️伯特不一样，他愿意冒這个风险。 怀尔斯作了一个重大(da)🤭的决定：要完全独立和保密地進行研究。他说：“我意识到与费(fei) 马大定理有🍔关的任何事情都会引起(qi)太多人的兴趣。你确实不可能很(hen)多年都使自己精力集中 ，除非你♟️的专心(xin)不被他人分散，而這一点会因旁观者太多而(er)做🐸不到。”怀尔斯放弃了所有 與证明费马大定理(li)无直接关系的工作，任何时候🥐只要可能他就回到家(jia)里工作，在家里的顶 楼书房里他开😋始了通过穀山－志(zhi)村猜想来证明费马大定理的战斗。 这是一场(chang)长达7年的持久战，这期间只有他🎽的妻子知道(dao)他在证明费马大定理。 欢呼與等待 经过7年的努力，怀尔斯完成了谷(gu)山－志村猜想的证明🗒️。作为一个结果，他也证明(ming)了 费马大定理。现在是向世界公布的时(shi)候了。1993年6月底，有一个😮重要的会议要在剑桥大 学的(de)牛顿研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群(qun)傑出的📽️听众宣布他的工作。他选择 在牛顿(dun)研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他曾📢经是(shi)那里的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座(zuo)。两百名数学家😝聆 听了这一演讲，但他们之中只有(you)四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字🚆母和代数式(shi)所表达 的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个(ge)真正具有意义的时刻❤️。演讲者是安 德鲁·怀尔斯。怀尔斯回(hui)憶起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已經刮起有关演讲(jiang)的风 声，很幸🥬运他们没有来听演講。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜(jing)头，研究所所长肯🍆 定事先就准备了一瓶(ping)香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完(wan) 费马大定🤭理的证明时，我说：‘我想我就在这裡结束’，会场上爆发出一阵持(chi)久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头版以《终于🌦️欢呼“我(wo)發现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道 费马大定理被证明的(de)消息。一夜之間，怀尔斯🎱成为世界(jie)上最着名的數学家，也是唯一的数 学家。《人物》杂🌘志将怀尔斯与(yu)戴安娜王妃一起列為“本年度25位最具魅力者”。最有创 意😚的赞美(mei)来自一家国际制衣大公司，他們邀请这位温文尔雅的天才作他👑们新系(xi)列男装的模 特。 当懷尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对✉️这个證明(ming)的工作也在进行。科学的程序要 求任何数学家将完整👘的手稿送交一个有声(sheng)望的刊物，然后這个刊物的编辑将🏑它送交一组审 稿人，审稿人(ren)的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数(shu)学发明🏔️》，整整一个 夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求(qiu)能得到他们的祝福。可是，证明的一个🕝缺陷被发 现了。 我的心灵归于平静(jing) 由于怀尔斯的论文涉及到大量📢的数学方(fang)法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那(na)样指定 2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的⌚证明(ming)被分成6章，每位审稿人负责其中一章。 怀尔斯在此期间中断(duan)了他的工作，以处理審稿人在电子⏱️邮件中提出的问题，他自信(xin)这 些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章(zhang)，1993年8月23日，他发现🌮了 证明中的一个小缺陷。数学的绝(jue)对主义要求怀尔斯无可怀🏠疑地证明他的方法中的每一步都(dou) 行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救🦅的办法可能就在近旁，可(ke)是6个多月过去了 ，错误仍未改正，怀尔(er)斯🌖面临绝境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说(shuo)明自己的情 况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少💷一个能(neng)够和他讨论问题并且可信赖的人。经过 長时间🐥的考(kao)虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的講师理查德·泰勒到普林斯顿和(he)他一🏤起工作 。 泰勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他🗒️们准备放(fang)弃了。泰勒 鼓励他们再坚持一个月。怀(huai)尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个星(xing)期一⌨️的早 晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突(tu)然👑間，不可思议地，我有了一个 难以置信的发現。这是我的事业中最重要的(de)时刻，我不会再有这样的经历🎐……它的美是如 此地难以(yi)形容；它又是如此简单和优美。20多分🍍钟的时间我呆望它不敢相信。然(ran)后白天我 到系里转了一圈，又回到(dao)桌子旁看看它是否还在——它🧁还在那里。” 这是少年时代的梦想和8年潜心努力(li)的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能(neng)。世 界不再怀疑这🌾一次的证明了。这两篇论文总共(gong)有130页，是历史上核查得最彻底🥯的数学稿 件，它们发表在1995年5月的(de)《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约🐑時报》的头版 上，标题是《数学家称经典(dian)之谜已解决》。约翰·科茨說：“用数学🗾的术语来说，这个最 终的证明可(ke)与分裂原子或发现DNA的结构🍦相比，对費马大定理的证明是人类智力活动的一(yi) 曲凯歌，同时，不能忽视的事实是(shi)它一下子就🥮使数学發生了革命性的变化(hua)。对我说来，安 德鲁成果的美和魅力在于(yu)它是走向代数数论的巨大的一步。” 声望🏗️和荣誉纷至沓来。1995年(nian)，怀尔斯获得瑞典皇家学會颁发的Schock数学奖，199 6年📽️，他获得(de)沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍(ji)院士。 怀尔斯说：“……再没有别的问题能像费🌲马大定理一(yi)样对我有同样的意义。我拥有如 此少有的(de)特權，在🌫️我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束(shu)了， 我的心已归🔕于平静。” 费马大定理只有在相对数学理论的建立(li)之后，才会得到最满意的答案。相对数学理论没有☘️完成之前，谈这个问题(ti)是无力地.因为人們对数量和自身的认🖤识(shi)，还没有达到一定的高度. iii 费马大定理与怀尔斯的因(yin)果律-美国公众广播网对👡怀尔斯的专访 358年的难解(jie)之谜 数学爱好者费马提出的这个问题非常(chang)简单，它用一个每个中学生都熟悉的数学🛬定(ding)理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三(san)角形中，斜边的平方等于两🥊个直角边的平方之(zhi)和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯🐭方程时，他在《算(suan)术》这本书靠近问题8的页边处写下了這段文字：“设n是大于2的正整数，则(ze)不定方程xn+yn=zn没有非整数解♠️，对此，我確信已发现一个美妙的(de)证法，但这里的空白太小，寫不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马(ma)大定理是其🛹中困扰数学家们时间最(zui)长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公认为有(you)史以来最着名的数学猜想。 在畅🚝销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘(mi)留言引发的长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史(shi)先🏒后涉及到最多产的數学大师欧拉、最(zui)伟大的数学家高斯、由业餘转为(wei)职业数学家的柯西、英年早逝的🐧天才伽罗瓦、理论兼试(shi)验大师库默尔和被誉为“法国历史🏈上(shang)知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才(cai)伽罗瓦的遗言、日本数学界的明(ming)日之星谷山🚂丰的神秘自杀、德国数学爱好者保罗(luo)·沃尔夫斯凱尔最后一刻的舍死求生等等，都仿佛是(shi)🛬冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的一幕，为最后谜底的解开埋下伏笔。终于，普(pu)林斯顿的怀尔斯🎤出现了。他找到谜(mi)底，把这出戏推向高潮并戛然而(er)止，留下一段耐人回味🃏的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马大定理不僅是破译一(yi)个难解之谜，更是去实现一个儿时的🕦梦想。“我10岁时在圖书馆找到一本(ben)数学书，告诉我有这么一个问题，300多年前就(jiu)已经有人解决了它，但却没有人(ren)看💶到过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那以后♥️，人们就不断地(di)求证。这是一個10岁小孩就能明白的问题，然后历史(shi)上诸多🀄伟大的数学家们却不能解答。于(yu)是从那时起，我就试过解决它，这个问题就(jiu)是费马大定理。” 怀尔斯于1970年先后在(zai)牛🥽津大学和剑桥大学获得数学学士和数(shu)学博士学位。“我进入剑👡桥时，我真正把費马大定理搁(ge)在一边了。这不是因为我忘了它，而是我认识到我们所掌握的用来攻克它🥡的(de)全部技术已经反复使用了130年。而这些技(ji)术似乎没有触及问😉题根本。”因为担心耗费太多时间而一无所(suo)获，他“暂时放下🥁了”对费马大定理的思索，开始研(yan)究椭圆曲线理论——这个看似与证明费(fei)马大定理不相关的理論😲后来却(que)成为他实现梦想的工具。 时间回溯至20世纪60年代，普林(lin)斯顿数学家朗💯兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要数学(xue)领域之间原本就存在着的统📫一的链接。如果这个猜想被证实，意味着在(zai)某个数学领域中无法解答的任何問题都有可能通过(guo)📱这种链接被转换成另一个领域中相应的问题——可以被(bei)一整套新方案解决的问题。而如果在🥓另一个领域内仍然(ran)难以找到答案，那么可以把问题再转(zhuan)换到下一个数学📩领域中……直到它被解(jie)决為止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够🎪解决曾经是(shi)最深奥最难對付的问题——“办法是领着这些问题周👝游数学王国的各个风景(jing)胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备(bei)定理打击的费马大定理证明者们指🐩明了救赎之路——根據不完备定理，费马(ma)大定理是不可证明的。 怀尔斯后来正是依赖於这个纲领才得(de)🍞以证明费马大定理的：他的证明——不同于任何前人(ren)的尝試——是现代数学诸多分支（椭圆曲线論，模(mo)形式理论📌，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的(de)结果。20世纪50年代由两位日本数学家📒（谷山丰(feng)和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模💯形(xing)式两个截然不同的數学岛屿间隐藏着一座沟通的橋梁。随后🌸在1984年，德国数学(xue)家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费(fei)马大🕢定理为真。这个猜想緊接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此(ci)，费馬🏡大定理不可摆脱地与谷山(shan)—志村猜想链接在一起：如果有人能证明谷山—志村猜想(xiang)（即“每💜一个椭圆方程都可以模形式化”），那么就证明(ming)了费马大定理。 “人类智力活动的一曲凱歌” 怀尔斯诡秘的🍈行踪让普林斯顿(dun)的着名数学家同事們困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我(wo)常常奇怪怀爾斯在做些什么？……他总是⛪静悄悄的，也许他(ta)已經‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对(dui)于这次惊天“大🐬预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平(ping)生来见过的唯一例子，在如此长的时间里没有泄露任🚢何有关工作的信(xin)息。这是空前的。 1993年晚春，在经过反复的试错和绞尽脑(nao)汁的演算，怀尔斯终于👙完成了谷山—志村猜想的证(zheng)明。作为一个结果，他也证明了费马大定理。彼得·萨奈克(ke)是最早得知此🍤消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我(wo)失眠🌕了”。 同年6月，怀尔斯决定在剑桥大学的大型(xing)系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈，有🚟很多数学(xue)界重要人物到场，當大家终于明白已经离证明(ming)费马大定理一步之遥时，空气中充满了紧🎨张(zhang)。” 肯·里比特回忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如此(ci)精彩的讲座，充🧧满了美妙的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫(dian)，充满悬念，直到📫最后到达高潮。”当懷尔(er)斯在讲座结尾宣布他证明了费马大定理时，他成了全世界媒体的焦(jiao)点。《纽💎约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道費(fei)马大定理被🍵证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世(shi)界上唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王🦡妃一起(qi)列为“本年度25位最具魅力者”。 與此同时，认真核对这个证明的工作也在(zai)进行。遗憾的是，如同📀这之前的“费馬大定理终结者”一样，他的证明是(shi)有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之下修正错误，其(qi)间🚋数度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈(tan)中说: “当时我们其他人（怀尔斯的同🚢事）的行为有点像‘苏联政(zheng)体研究者’，都想知道他的想法和修正错误的进展，但没有人开口问他。所🍼以，某(mou)人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他💫倒是有(you)微笑，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯准备放弃了(le)。但他临时邀请的🚟研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就在截止日到(dao)来之⛲前两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀(huai)尔斯發现了问题的答案👟，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我发现(xian)了它……它美得难以形容，簡☃️单而优雅(ya)。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里转了一圈，又回(hui)到桌子旁看看它是否还在🥠那里——它确实还(hai)在那里。” 怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的褒揚，其中最具(ju)代表性的是他在剑桥时的导師🤑、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是人(ren)类智力活动的一曲🎤凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此结束，从此费馬大定理(li)与安德鲁·怀尔斯的名字🎁紧紧地被绑在了一起，提到一(yi)个就不得不提到另外一个🌕。这是(shi)费马大定理與安德鲁·怀尔斯的因果律。 历时八年的最终(zhong)证明 在怀尔斯不多的接受🧸媒体采(cai)访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的(de)专访相😯当精彩有趣，本文节选部分以(yi)飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人們通过(guo)团队来获得工作上🎤的支持，那么当你(ni)碰壁时是怎么解决问题的呢？ 怀尔斯：当(dang)我被卡住时我会沿着湖边散☕散步，散步的好处是使你会处于放(fang)松状态，同时你的潜意识却在继续工作(zuo)。通常遇到困扰时你并不需要书桌，而🐿️且我随时把笔纸带上，一旦(dan)有好主意我会找个长椅坐下📪来打草稿…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与成功(gong)……你不可能绝对有把握证明。 怀尔(er)斯：我确实相信🐪自己在正确的轨道上，但那并不(bu)意味着我一定能达到目标——也許仅仅因为(wei)😊解决难题的方法超出现有的数学，也许我需(xu)要的方法下个世纪也不会出現。所以即便🌰我在正确的轨道(dao)上，我却可能生活在錯误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破(po)。 怀尔斯：对🎄，那是个5月末的早上。Nada，我(wo)的太太，和孩子们出去了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看到了(le)一篇🌝论文，上面的一行字引起了我的注意。它提到了一(yi)个19世纪的数学结构，我霎时意识到这就是我(wo)该用的🧸。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点(dian)时我确信已经证🎙️明了费马大定理，然后下楼。Nada很吃惊(jing)，以为我这时才回家，我告诉她，我解决了费(fei)马大定理。 最后的🎃修正 NOVA：《纽约时报》在头版以《终于(yu)欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》，但他们并不知道这个🖲️证明中(zhong)有个错误。 怀尔斯：那是个存在于关键推导中的错误，但它如此微妙(miao)以至于我忽略了。它很抽🐢象，我无法用简单的语言描述，就算是数学家也(ye)需要研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀请剑🎪桥的数学(xue)家理查德·泰勒来協助工作，并在1994年修正了(le)这个最后的錯🐀误。问题是，你的证明和费马的证明是同一个吗？ 怀尔(er)斯：不可能。這个💘证明有150页长，用的是20世纪的方法，在费马時代还不存在。 NOVA：那(na)就是说🕓费马的最初证明还在某(mou)个未被发现的角落？ 怀爾斯：我不相(xiang)信他有证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄自🛟己。这个难题对(dui)业余爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数學证明，尽管可(ke)能性极其微小。 NOVA：所以也许还🍹有数学家追寻(xun)这最初的證明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说都一样，费馬是我🐅童年(nian)的热望。我会再试其他问题……证明了它我有一丝伤感，它已经和我们一起这(zhe)么久了……人🌕们对我说“你把我的问(wen)题夺走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感觉(jue)到有责任。我🌴希望通过解决这个问题带来的兴奋可以激励青(qing)年数学家们解决其他许许🦞多多的难题。 iv 谷(gu)山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何的对象(xiang))和模形式(某种数论中用到的周期性全纯🌳函数)之间的重要联系。虽然名(ming)字是从谷山-志村猜想而🌤️来,定理的证明是由安德鲁·懷尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个(ge)质数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，我们(men)🛳️可以简化定义E的方程模p;除了有限个(ge)p值，我们会得到有np个元素的🐆有限域Fp上的一个椭圆曲线(xian)。然后考虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变🥾换，每(mei)个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序(xu)列相同的椭圆曲线🐮叫做模的。 谷山-志村定说: "所有Q上的椭圆曲(qu)線是模的"。 该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到📹1957年为止，他和志村五郎(lang)一起改進了严格性。谷山于1958年自杀身(shen)亡。在1960年🐦代，它和统一数學中的猜想Langlands纲领联系了起来(lai)，并是关键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重新🥺提起并得到推广，Weil的名(ming)字有一段时间和它联系在一起。尽管有明显的用处(chu)，这个问题🐈的深度在后来的发展之前并未被人们所感觉(jue)到。 在1980年代当Gerhard Freay建议🐒谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最后定(ding)理的时候，它吸引到了不少注意力。他通过试图表明费尔🎠马大定(ding)理的任何范例会导致一个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一(yi)结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor證🍌明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圓曲线的情(qing)🥏况)，这个特殊情况足以证明費尔马大定(ding)理。 完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块(kuai)一块💺的逐步证明剩下的情况直到全部完成。 数论中类似于费尔马最(zui)后定理得几🌇個定理可以从谷山-志村定理得到。例(li)如:没有立方可以写成两个互质n次幂🐕‍🦺的和, n ≥ 3. (n = 3的(de)情况已为欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然(ran)他们都没有完成给予他们😽这个成就的定(ding)理的完整形式，他们还是被认为對最终完🥩成的证明有着决定性影响。