费马大定理什么意思

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来🚖看，1994年正是我在念大学的(de)时候，当时完全没有一位教授在课堂上提到这🙃件事，也许他们认为，一位真(zhen)正的研究者，自然而然地会被数(shu)学吸引，然而对一位不是天才的🍋学生来说，他需要(yao)的是老师的指引，引导他走向更高深的专业認知，而指引的道路(lu)，就在科普的精神上。 从🐻‍❄️费玛最后定理的历(li)史中可以发现，有许多研究成果，都🛤️是研究人员燃(ran)烧热情，试图提出「有趣」的命题，然後再尝试用逻辑验证。 费玛最🚥后定理：xn+yn=zn 当(dang) n>2 时，不存在整数解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔(er)📁‧貝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事從这里开始。 2. 毕达哥📽️拉斯 Pythagoras 定理，任一(yi)个直角三角形，斜边的平方=另外两边的平(ping)方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数🍺解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图(tu) Diophantus 的「算数」第2卷的问题8時，在页边写下了註记 「不可能将一个立方數写成两个立(li)方数之和；或⌨️者将一个四次幂寫成(cheng)两个四次幂之和；或者，总的来说，不可能(neng)将一个高於2次幂，写成两个同样次🦢幂的和。」 「对这(zhe)个命题我有一个十分美妙的证明，这里空(kong)白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了🥥载有Fermat註(zhu)记的「丢番圖的算数」 5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂(ang)哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是(shi)质♟️数，现在只要证明费玛最后定理(li)对於所有的质数都成立 但 欧基里🌲德 证明「存在无穷多个质数」 6. 1776年(nian) 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最后定理 "大概" 无解(jie) 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞🚃-狄利克雷 和 阿得利昂-瑪利埃‧勒让德 延(yan)伸热尔曼的证明，證🌕明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里(li)尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯🥃‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣(xuan)称已经证明了 费瑪最后定理 最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库(ku)默💮尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有(you)唯一因子分解性🐭質」而失败 库默尔(er)证明了 费玛最後定理的完整证明 是当时数学方法🔋不可能实现的 10.1908年 保罗‧沃(wo)尔夫斯凯爾 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明 这表示 费玛最(zui)后❤️定理的完整证明 尚未被解决 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马⚓克 给提供(gong)证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日(ri) 大卫‧希尔伯特，提出數学上23个未解决的问👖题且相信这是迫切需要(yao)解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判(pan)定性定理 第一不可😌判定性定理：如果公理集合论(lun)是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理🍀。 => 完全(quan)性是不可能达到的 第二不可判定性定理：不存在能证明公理系统(tong)是🔇相容的构造性过程。 => 相容性永远不可能证明 13.1963年(nian) 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不是不可判定的👛方法（只适用(yong)少数情形） 證明希尔伯特23个问题中，其中一(yi)个「連续统假设」问题是不👚可判定的，这对於費玛最后定理(li)来说是一大打击 14.1940年 阿倫‧图灵 Alan Turing 发明破译💰 Enigma编码 的反转机 开(kai)始有人利用暴力解决方法，要對 费玛最后定理 的n值一个一(yi)个加以证🎷明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解這个推想，找到了(le)一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔斯📉 Andrew Wiles 師承 约翰‧科次，研究椭圆曲线 研究椭圆曲线(xian)的目的是要算出他们的整数解，这跟费玛最📔后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一(yi)组整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一个立(li)方数中间) 由🌌於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为了简化问题，數学(xue)家採用「时鐘运算」方法 在五格🏡时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式(shi) x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个解 对於椭(tuo)圆🎃曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同(tong)寻常的对称性的 modular form 模型式🎸 模型式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的(de) M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型式🥔的 M序列 可(ke)以对应到椭圆曲线的 E序列，两个不同(tong)领域的理论突然被连接在一起 安德列‧韦依 採纳这个想法🤗，「谷山-志村猜(cai)想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个统一化(hua)猜想的理论，并开始寻找统一的环链 19.1984年 格🕶️哈(ha)德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设费玛最后定理是(shi)错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭(tuo)圆🎂方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致於无法被模型式化 (3) 谷山-志(zhi)村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被🍸模型式化(hua) (4) 谷山-志村猜想 是错误的 反过来說 (1) 如果 谷山-志村猜想(xiang) 是对的，每一🕋个椭圆方程式都可以被模(mo)型式化 (2) 每一个椭圆方程式都可以🥩被模型式化，则不存在弗赖椭圆(yuan)方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有⛄整数解 (4) 费玛最后(hou)定理是對的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无(wu)法被模型式化 如果有人能够🎡证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后(hou)定理也是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开(kai)始一个小阴谋，他每隔6个月💭发表一篇小论文，然后自己独力尝試证明谷山-志(zhi)村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦(wa)里斯特‧伽罗瓦 的群🏦论，希望能将E序列以「自然次序」一一对應到M序列 22.1988年 宫冈(gang)洋一 发表利用微分🌏几何学证明谷山-志村猜想，但结果失败(bai) 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将🏣椭圓方程式(shi)拆解成无限多项，然后也证明了第一项必定是模型式的(de)第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但🌀结(jie)果失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆(yuan)方程式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼🍷克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对(dui)驗证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles 发表穀山-志村猜想的证明 27.1993年🌹9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷(xian) 安德鲁‧懷尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决缺陷🛤️，他不(bu)希望在这时候公布证明，让其他人分享完成证明的甜美果实 28.安德(de)鲁‧怀尔斯🍘 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒(lei)的协助 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理(li)论与 科⛴️利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决問(wen)题 30.「谷山-志村猜想」被证明了，故得证「费玛最后定理」 ii 费马大定(ding)理 300多年以🎂前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一(yi)个定理：“设n是大于2的正整数，则不🥡定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣称他发现(xian)了这个定理的一個真正奇妙的证明，但因书上📌空白(bai)太小，他写不下他的证明。300多年過去了，不知有多(duo)少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企(qi)圖证明它，但🎡不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定(ding)理—费马大定理。 费马(1601年～1665年)是一位具(ju)有传奇色彩🐥的数學家，他最初学习法律(lü)并以当律师谋生，后来成为议会议員，数学只不过是🌕他的业余爱(ai)好，只能利用闲暇来研究。虽然年近(jin)30才認真注意数学，但费🥠马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与(yu)笛卡儿几乎同时创立了解析🌍几何，同时又(you)是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数(shu)論，提😅出了许多定理，但费马只对其中一个(ge)定理給出了证明🥐要点，其他定理除一个被证明是(shi)错的，一个未被证明外，其余🐪的陆续被后来的数学家所证實。这(zhe)唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大🌟定理，因为是最后一个未被证(zheng)明对或错的定理，所以又称为费马最后定理🗺️。 费马大(da)定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经(jing)有了很大进展💋，特别是最近几十年，進展更快。1976年瓦格(ge)斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年☕轻的德国数学(xue)家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解(jie)，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高🍥奖之一费尔(er)兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随後🐺发现了证明中的(de)一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证(zheng)明费马大定理还沒有得到数学界的一致公认，但大多🐵数数学(xue)家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。 为了(le)寻求费馬大定理的解答💺，三个多世纪以来，一代(dai)又一代的数學家们前赴后继，却壮志未酬。1995年(nian)，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀爾斯教授经🐑过8年的孤军奋战(zhan)，用13 0页长的篇幅證明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。 费马(ma)大🪡定理提出的问题非常简单，它是用一個每个中学生都熟悉的数学定(ding)理——毕达 哥拉斯🔦定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥(ge)拉斯定理说：在一个直角三角形中， 斜(xie)邊的平方等于两直角边的🎻平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费(fei)马在 研究毕达哥拉斯方程时，他写下一(yi)个方程，非常类似于毕达哥拉斯💒方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这(zhe)个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下🚝这(zhe) 个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美(mei)妙的证法，这里的空 白太小，写不下。”这就🍹是数学史上着名的费马大定理或(huo)称费马最后的定理。费马制造了 一个数学(xue)史上最深奥的谜。 大问题 在物🛍️理学、化學或生物学中，还没有任(ren)何问题可以叙述得如此简单和(he)清晰，却长久不 解🎰。E·T·贝爾(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到， 文明世界也许在费(fei)马大定理得以解决🍪之前就已走到了尽头。证(zheng)明费马大定理成为数论中最 值得💿为之奋斗的事。 安德鲁·怀尔斯1953年出生在(zai)英國剑桥，父亲是一位工程学教授。少年(nian)时代的怀尔斯 已著迷🔮于数学了。他在后来的回忆中(zhong)写到：“在学校里我喜歡做题目，我把它🏩们带回家， 编(bian)写成我自己的新题目。不過我以前找到的最好的题目是(shi)在我们社🔋区的图书馆里发现的。 ”一天(tian)，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，這本书只有一个问题🕦而(er)没有解答 ,怀尔斯被吸引住了。 这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙(xu)述了费马大定理的历史，这个定理🎡让一个又 一个(ge)的数學家望而生畏，在长达300多年的时间里📕没有人能解决(jue)它。懷尔斯30多年后回忆 起被引向费马大(da)定理时的感觉：“它看上去如此简单🧉，但历史上所有的(de)大数学家都未能解 决它。这裡正摆着🦭我——一个10岁的孩子——能理解的问题(ti)，从那个时刻起，我知道我永 远不会放弃它。我🦆必须解(jie)决它。” 怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学(xue)院获得数学学士学位，之后進入剑🌓桥大学Clare 学院做博士。在研究生阶段，怀(huai)尔斯并没有从事费馬大定理研究。他说：“研究费马可能 带🏠来的问题(ti)是：你花费了多年的時间而最终一事无成。我(wo)的导师约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理🐸论，我开始跟随他工(gong)作。” 科茨说：“我记得一位同事 告訴我，他有一个非常(chang)好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部🖌️考试的学生，他(ta)催促我收其 为学生。我非常荣幸有安德鲁🐦这样的学生。即使从对研究生的要(yao)求来看，他也有很深刻的 思想，非常清楚他将是一个做大事情的(de)数学家。当然🏈，任何研究生在那个阶段直接开始研 究费马大定理是不可(ke)能的，即使对资历很深的数学家来说🐯，它也太(tai)困难了。”科茨的责任 是为怀尔斯找到某种至少能(neng)使他在今后三年里有兴趣去研究的问题🍈。他说：“我认为研究 生导师(shi)能为学生做的一切就是设法把他推向一個富有(you)成果的方向。当然，不能保证它🥑一定 是一个富有成果的研究方向，但是(shi)也许年长的数学家在这个过程中能做的(de)一件事❣️是使用他 的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多(duo)大成⛳绩就是他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯(si)应該研究数学中称为椭圆曲线的領🦦域。这个决定成为怀尔斯职业(ye)生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究是🏓他實(shi)现梦想的工具。 孤独的战士 1980年怀尔(er)斯在剑桥大学取得博士学位後来到了美国普林斯顿大学，并成为🐴这所大(da)学 的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得(de)椭圆方🌼程，他已经成为一 个着名的数论学家，但他清(qing)楚地意识到，即使以他广博的基础(chu)知识和数学修养，证明费马📮 大定理的任务也是极为艰巨的。 在怀(huai)尔斯的费马大定理的证明中，核(he)心是證明“谷山－志村猜想”，该猜想在两🍾个非 常不同的数学领域(yu)间建立了一座新的桥梁。“那是🛷1986年(nian)夏末的一个傍晚，我正在一个朋 友家中啜饮冰茶。谈話(hua)间🕝他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山－志村猜想与费(fei)马大 定理间的联系。我感到极大的🌨️震(zhen)动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻(ke)，因为 这意📻味着为了证明费马大定理，我必须做的一(yi)切就是证明谷山－志村猜想🌴……我十分清楚 我应该(gai)回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔(er)斯望见了一条实现他童年梦想的道路。 20世纪初，有🏠人问伟(wei)大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理🦋，他(ta) 回答说：“在開始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我(wo)没有那么多🧅的时间 浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到(dao)证明，他🤎必须全身心地投入到 这个问题中，但是与希尔伯特不一(yi)🏡样，他愿意冒这个风险。 怀尔斯作了一个重大的决定：要完(wan)全獨立和保密地进行研究。他说🎙️：“我意识到与费 马大定理有关的任何事情都(dou)会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集🦔中 ，除非你(ni)的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到(dao)。”怀尔斯放棄了所有 与证明📬费马大定理无直接关系的(de)工作，任何時候只要可能他就回到家里工作，在家(jia)里的顶 楼书房🦄里他开始了通过谷(gu)山－志村猜想来证明费马大定理的战斗。 这是一场长达7年的持久战，这期间只(zhi)有✏️他的妻子知道他在证明费马大定理。 欢呼与等待 经(jing)过🌱7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证明。作为(wei)一个👙结果，他也证明了 费马大定理。现在是向世界公布的时候了🌩️。1993年6月(yue)底，有一个重要的会議要在剑桥大 学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利🕤用這(zhe)个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择 在牛顿(dun)研究所宣布🌸的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他曾经(jing)是那👝里的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次(ci)数学讲座。两百名数学家聆 听了🕯️这一演讲，但他们之中只有四(si)分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式(shi)😊所表达 的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的(de)一个📽️真正具有意义的时刻。演讲者是安 德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆(yi)起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界(jie)已📬经刮起有关演讲的风 声，很幸运他们没有来听演講。但是听众中有人(ren)拍🐯摄了演讲结束时的镜头，研究所所长(zhang)肯 定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着(zhe)特🐥别庄重的寂静，当我写完 费马大定理的证明时，我说：‘我想我(wo)就在这里结束’，会📂场上爆发出一阵持久的鼓掌(zhang)声 。” 《纽约时报》在头版以《終于欢呼“我发现了!”，久远的数学之🗻谜(mi)获解》为题报道 费马大定理被证明的消息。一夜之间(jian)，怀尔斯成为世界上最着🥹名的数学家，也是唯一的数 学家(jia)。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有(you)创 意🏍️的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请这(zhe)位温文尔雅的💳天才作他们新系列男装的模 特。 当(dang)怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这个(ge)证明的工作也🐓在进行。科学的程序要 求任何数学(xue)家将完整的手稿送交一🚊個有声望的刊物，然后这个刊物的编辑(ji)将它送交一组审 稿人，审稿人的职🥅责是进行逐行的审查证明。懷(huai)尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一個 夏天(tian)🎛️他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是(shi)，证明的一个缺陷被发 现了。 我的心灵(ling)归於平静 由⛱️于怀尔斯的论文涉及到(dao)大量的数学方法，编辑巴裡·梅休尔决定不像通常(chang)那样🍈指定 2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责(ze)其中一章。 怀尔斯在此💴期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中(zhong)提出的问题，他自信这 些问题不會给他造成很大的麻烦。尼📰克·凯兹负责审查(cha)第3章，1993年8月23日，他发现了 证明中的一个小缺陷。数学(xue)的绝對主义要求怀尔斯无可怀(huai)疑地证🥳明他的方法中的每一步都 行得通(tong)。怀尔斯以为这又是一个小问题，补(bu)救的办🏉法可能就在近旁，可是6个多月过去了 ，错誤仍未改(gai)正，怀尔斯面临绝🎗️境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说(shuo)明自己的情 况，萨克向他暗🏦示困难(nan)的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并🍾且(qie)可信赖的人。经过 长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请🔇剑桥(qiao)大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作😻 。 泰勒1994年1月份到(dao)普林斯顿，可是到了9月，依然沒有结果，他🐕们准备放弃了(le)。泰勒 鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月(yue)底作最后一次检查。9月19日，一个星期一的早(zao) 晨🐚，怀尔斯发现了问題的答案，他叙述(shu)了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一个 难以置信的发现。这是我的(de)事业🐮中最重要的时刻，我不会再有这样的经历……它的美是如 此地(di)难以形📧容；它又是如此简单和优美。20多分钟的時间我呆望它(ta)不敢相信。然后白天我 到系里转了一圈，又回到桌子🕚旁看(kan)看它是否还在——它还在那里。” 这是少年时代的梦想和8年潜心努力的📥终(zhong)极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世 界不再怀疑这一次(ci)的证明了。这两篇🕜论文总共有130页，是历史上核查得最彻(che)底的数学稿 件，它们发表在1995年🥇5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时(shi)报》的头版 上，标题是《数学家称经典之谜已解决(jue)》。约翰·科茨🥕说：“用数学的术语來说，这个(ge)最 终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，對费马大定理的证明(ming)🌑是人类智力活动的一 曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下🏣子就使数学發(fa)生了革命性的变化。对我说来，安 德鲁成果的美和魅力🥦在于它是走向代数(shu)數论的巨大的一步。” 声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔(er)斯获得瑞典🌤️皇家学会颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并当选为美(mei)国科学院外籍院士。 怀尔斯说🎚️：“……再没有别的(de)问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥(yong)有如 此少有的特权，在我的成年时期实💎现我童年的梦想……那段特殊漫长的(de)探索已经结束了， 我的心已归于平静。” 费马大定理只有在相对数🐈学理論(lun)的建立之后，才会得到最满意的答案。相对数学理论没有完(wan)成之前，谈这个问题是无力地.因为📗人们(men)对数量和自身的认识，还没有达到一定的高度. iii 费马大定理与怀尔(er)斯📇的因果律-美国公众广播网對怀尔斯的专访 358年的难解之谜 数学(xue)爱好者📜费马提出的这个问题非常简(jian)单，它用一个每个中学生都熟悉的🍦数学定理——毕达哥拉斯(si)定理来表达。2000多年前誕生的毕达哥拉斯(si)定理说：在一个直角三🍟角形中，斜边的平方等于两个(ge)直角邊的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方(fang)程📮时，他在《算术》这本书靠近问题8的页边处写下了這(zhe)段文🖊️字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整(zheng)数解，對此，我确信已发现一个美妙的🛤️证法，但这里(li)的空白太小，写不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马大定🥪理是(shi)其中困扰数学家们时间最长的，所以被称(cheng)为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定理）——公认🍮为有史以來(lai)最着名的数学猜想。 在畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的(de)长达🥲358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后涉🌀及(ji)到最多产的数学大师歐拉、最伟大的数学(xue)家高斯、由🌍业余转为职业数学家的柯西、英年早逝的(de)天才伽罗瓦🕥、理论兼试验大师库默尔和被誉为“法国历史上知识(shi)最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法國数🎒学天才伽罗瓦(wa)的遗言、日本数学界的明日之星(xing)谷山丰🐆的神秘自杀、德国数学爱好者保罗(luo)·沃尔夫斯凯尔最后一刻的舍死求💵生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的宏大(da)戏剧中的一幕，为最后谜底的🏉解开埋下伏笔(bi)。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然(ran)而止，留下🌒一段耐人回味的传奇。 对怀尔(er)斯而言，证明費马大定理不仅是破🚠译一个难解之謎，更是去(qu)实现一个儿时的梦想。“我10岁時在图书馆找到(dao)一本数学书，告诉我有这么一个问题，300多❄️年前就(jiu)已经有人解决了它，但却没有人看到过它的证明，也无人确信是否有这(zhe)個🎀证明，从那以后，人们就不断地求证。这是一个10岁小孩就能明白🍇的问(wen)题，然后历史上诸多伟大的数学家们却不能解答。于是(shi)从那时起，我就🌙试过解决它，这个问题就是(shi)费马大定理。” 怀尔斯于1970年先后在牛津大学和剑桥大学获得⛺数学(xue)学士和数学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把费马大定理搁在一边了。这(zhe)不是因为我忘了它，而是💹我认识到我们所掌握的用来攻克它的(de)全部技术已经反复使用了130年。而这些(xie)技术似⏳乎没有触及问题根本。”因为担心耗费太多时间而一(yi)无所获，他“暂时放下了”对费马大(da)定理的思索，开始🐛研究椭圆曲线理论——这个看似与证明(ming)费马大定理不相关📟的理论後来却成为他实现(xian)梦想的工具。 时间回溯至20世纪60年代，普林斯🔍顿数学家朗蘭兹提出了一个大(da)胆的猜想：所有主要数学领域之間🍃原本就存在着的统一的链(lian)接。如果这个猜想被证实，意味着在某📖个数学领域中无法解答的任何问题都(dou)有可能通过这种链接被轉🥞换成另一个领域中相应的问题——可以被(bei)一整套新方案解决的问题。而如果在另一个领域内仍然难以找到答(da)案🕹️，那么可以把问题再转换到下一个数学领域中……直到它(ta)被解决为止。根据朗兰兹🐳纲领，有一天，数学家们将能够(gou)解决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法是領着(zhe)这些问题🍳周游数学王国的各个风景胜地”。这个纲领为饱受哥(ge)德尔不完备定理打击的费💷马大定(ding)理证明者们指明了救赎之路——根据不完备定理，费马大定理是不🦚可证(zheng)明的。 怀尔斯后来正是依赖于这個纲领才得以证明(ming)费马大定理的：他的证明——不同于🍯任何前人的(de)尝试——是现代数学诸多分支（椭圆曲(qu)线论，模形式理论🔌，伽罗华表示理论等等)综合发挥(hui)作用的结果。20世纪50年代由兩位日本数学家（谷(gu)山丰和志村五郎）提出的谷山—志村🤣猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭(tuo)圆方程与模形式两个截然不同的數学(xue)岛屿间隐藏着一座🥒沟通的桥梁。随后在1984年，德国數学家格哈德·费赖(lai)（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立(li)，则费马大定理为真。这🐢个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理(li)不可摆脱地与谷山—志村猜想链接在一起：如果(guo)有人🗨️能证明谷山—志村猜想（即“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那么(me)就证明了费馬🛳️大定理。 “人类智力活动的一曲凯歌” 懷尔斯诡秘的行踪(zong)让普林斯顿📅的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克(ke)（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪懷尔斯在做些什么？……他总是静悄悄的，也许他(ta)已经🌩️‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对于这次惊天🖌️“大预谋(mou)”，肯·裡比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来见过的唯🥧一(yi)例子，在如此长的时间里没有泄露任何有关工(gong)作的信息。这是🍭空前的。 1993年晚春，在经过反复的试错和(he)绞尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷山—志🕙村(cun)猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马大(da)定理。彼得·萨奈克是最早得知此消息🧐的人之一，“我目瞪(deng)口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失⛪眠了”。 同年6月(yue)，怀尔斯决定在剑桥大学的大型系列讲座(zuo)上宣布这一证明。 “讲座气🐿️氛很热烈，有很多數学界重要人物(wu)到场，当大家终於明白已经离证🍁明费马大定(ding)理一步之遥时，空气中充满了紧张。” 肯·里比特回忆(yi)说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远🛖也忘不了那一刻：“我(wo)之前从未看到过如此精彩的讲座(zuo)，充满了美🦁妙的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的(de)铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮🎎。”当怀尔斯在(zai)講座结尾宣布他证明了费马大定理时，他成了全世界媒(mei)体的焦🎻点。《纽约时报》在头版以《终于(yu)歡呼“我发现了!”久远的数学之谜获(huo)解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明的🧈消息。一夜之间，怀尔斯成为(wei)世界上唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯🚥与(yu)戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。 与此(ci)同时，认真核对这个证🦇明的工作也在进行。遗憾的是，如同这之(zhi)前的“費马大定理终结者”一样，他的🎉证明是有缺陷的。怀尔斯现在(zai)不得不在巨大的壓力之下修正错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播(bo)网（PBS）的🥮访谈中说: “当時我们其他人（怀尔斯的(de)同事）的行为有点📢像‘蘇联政体研究者’，都想知道他的(de)想法和修正错误的进展，但没有🍽️人开口问他。所以，某人会说，‘我今(jin)天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了🚉吗？’‘他倒是有微(wei)笑，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀(huai)尔斯准♥️备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他(ta)再堅持一个月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期🧭一的早晨，怀(huai)尔斯發现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然(ran)间，不可思议地，我发现了它🐐……它美得难以形容，简单而(er)优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里转(zhuan)了一圈，又回到桌🎈子旁看看它是否还在那里——它确实还在那里(li)。” 怀尔斯的證明为他赢得了最慷慨的褒扬，其(qi)中最具代表性的是🛞他在剑桥时的导(dao)师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证明(ming)）是人类智力活动的一曲凯歌”。 一场旷日持久🏗️的猎逐就此结束，从此费马大(da)定理与安德鲁·怀尔斯的名字緊⏱️紧地被绑在了一起，提(ti)到一个就不得不提到另外一個。这是费马大定理与安德鲁·怀(huai)尔斯的因果律。 歷时🔉八年的最终证明 在怀尔斯不多的接受媒体采访中(zhong)，美国公众广🙉播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访相当(dang)精彩有趣，本文节选部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人們通(tong)过团队来获🥜得工作上的支持，那么(me)当你碰壁时是怎么解决问題的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖边(bian)散散步，散步的好⏳处是使你会处(chu)于放松状态，同时你的潜意识却在继续工作。通(tong)常遇到困扰时你并不需要书桌，而💯且我随时把笔纸带上，一(yi)旦有好主意我会找个長椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一(yi)定交🎙️织着自我怀疑与成功……你不可(ke)能绝对有把握证明。 懷尔斯：我确🦒实相信自己在正(zheng)确的轨道上，但那并不意味著我一定能达到(dao)目🗓️标——也许仅仅因为解决难题的方法超出现有的數(shu)学，也许我需要的方法下个世🏍️纪也不会出现。所以即便(bian)我在正确的軌道上，我却可能生活在💿错误的世纪。 NOVA：最终在(zai)1993年，你取得了突破。 懷尔斯：对，那是个📋5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去(qu)了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看(kan)到了一篇🚐论文，上面的一行字引起了我的(de)注意。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎时意识到(dao)这就是我该用的。我不停地🐏工作，忘记下楼(lou)午饭，到下午三四点時我确信已经证明了费马大(da)定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为🦩我这(zhe)时才回家，我告诉她，我解决了费马大定理。 最后的修正(zheng) NOVA：《纽约时报》在头版🦦以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解(jie)》，但他们并不知道这个证明中有个错误。 怀尔斯：那是(shi)📜个存在于关键推导中的错误，但(dan)它如此微妙以至于我忽略了。它(ta)很抽象，我无法用简单的语言描📩述，就算是数学家也需(xu)要研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后來你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工(gong)作，并🦍在1994年修正了这个最后的錯误。问题(ti)是，你的证明和费马的证明是同一个(ge)吗？ 怀尔斯：不⏲️可能。这个证明有150页长，用的是(shi)20世纪的方法，在费马时代还不存在。 NOVA：那就是说费(fei)马的最初证明还在某个🥭未被发现的角(jiao)落？ 怀尔斯：我不相信他有证明。我觉得他说已经👠找到解答了是(shi)在哄自己。这个难题对业余爱好者如此特別🩱在于它可能被17世(shi)纪的数学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许还有数學家追寻这最初🔍的证(zheng)明。你该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说(shuo)都一样，费马是我🧭童年的热望。我会再试其他问题(ti)……证明了它我有一丝伤感，它已经和我们一起这么久了(le)……人们📧對我说“你把我的问题夺走了”，我能带給他们其他的东西吗(ma)？我感觉到有责任。我希望通过解决🔥這个问题带来的兴奋可以激励青年数(shu)学家们解决其他许许多多的难题❤️。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代(dai)数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的周期性全纯函数)之间的重要(yao)联🐶系。虽然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安(an)德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个质数⛵而E是一个Q(有理(li)数域)上的一个椭圆曲线，我们可(ke)以简化定義E的方程模🍍p;除了有限个p值(zhi)，我们會得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线(xian)。然后考虑如下📿序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里葉变换，每个模形(xing)式也🤑会产生一个数列。一个其序列(lie)和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模💖的。 谷山-志村定说: "所(suo)有Q上的椭圆曲线是模的"。 該定理(li)在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五🐀郎一起改进了严格性(xing)。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数学中的猜想Langlands纲🔌领(ling)联系了起來，并是关键的组成部分。猜想(xiang)由André Weil于1970年代重新提起并得到推廣，Weil的名字有一段时间(jian)🐵和它联系在一起。尽管有明显的用处，這个问题的深度在(zai)后来的发展之前并未被🐑人们所感觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时(shi)还是猜想)蕴含着费马最後定理的时候，它吸📪引到了不少注意力。他通过试图(tu)表明费尔马大定理的任何范例会导致一个非模的椭圆(yuan)曲线来做到这一点。Ken Ribet後💴来证明了(le)这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村定理的一(yi)個🥠特殊情况(半稳定椭圆曲线的情况)，这个(ge)特殊情况足以证明費尔马大定理。 完整的证明🍙最后於1999年由(you)Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一(yi)块的逐步证明剩下的情况直到全部完成。 数论中类似于费尔马🦼最后定(ding)理得几个定理可以从谷山-志村定理得到(dao)。例如:没有立方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已為欧😳拉所知) 在1996年三(san)月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都(dou)没有🚕完成给予他们这个成就的定理的完整形式，他们还是(shi)被🕣認为对最终完成的证明有着决定性影响。