费马大定理视频讲解

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了(le)🖤 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看，1994年正是我在念大学的时候，当时完全(quan)没🍮有一位教授在课堂上提到这件事，也許他们认为，一位真正的研究(jiu)者，自然而然地会被数學😌吸引，然而对一位(wei)不是天才的学生来说，他需要的是老☁️师的指引，引导他走向更高深(shen)的專业认知，而指引的道路，就在科普的精神上。 从费(fei)👚玛最后定理的历史中可以发现，有许多研(yan)究成果，都是研究人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后再尝🚐试用(yong)逻辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 當 n>2 时，不存在整数解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔(er)斯 Andrew Wiles被埃裡克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一🎣本(ben)书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 毕達哥拉斯 Pythagoras 定理，任(ren)一📣个直角三角形，斜边的平方=另(ling)外两边的平方和 x2+y2=z2 毕達哥拉斯三元组：毕氏定理的整數解 3. 费玛 Fermat 在研究❤️‍🔥丢番图(tu) Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边写下了註记 「不可能将一个立方数写成(cheng)两个立方🎮数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的来(lai)说，不可能将一個高於2次幂，写成两个同(tong)😌样次幂的和。」 「对这个命题我有一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年(nian)，费玛 Fermat的儿子🥣出版了载有Fermat註记的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记中，隐(yin)含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无🕰️解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解(jie) => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在只要证明费玛最后定理🧸对於所有的质数都成立(li) 但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧熱尔曼(man) 针对 (2p+1)的质数，证明了 费🕤玛最后定理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿(a)得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证🥡明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布(bu)里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣(xuan)称已经证明了 费玛最🎄后定理 最后是刘维尔宣读(du)了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，說科西🚖与拉(la)梅的证明，都因为「虚数没有唯一因(yin)子分解性质」而失败 库默尔证明了 费玛最后定理的完整(zheng)证明 是當时数🚇学方法不可能实现的(de) 10.1908年 保羅‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的(de)证🔎明 这表示 費玛最后定理的完整证明 尚未被解(jie)决 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的🚖人，期限是到2007年9月(yue)13日止 11.1900年8月8日 大衛‧希尔伯特，提出数学上23个未解決的问🎍题且相信这是迫(po)切需要解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理 第一不可(ke)判定性定理🥾：如果公理集合论是相容的，那么(me)存在既不能证明又不能否定的定理🎣。 => 完全性是不可能达到的 第(di)二不可判定性定理：不存在能证明公理系统是🥽相容的構造性过程。 => 相容(rong)性永远不可能证明 13.1963年 保羅‧科恩(en)🍹 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不是不可判定的方法（只适用(yong)少数情形） 证明希尔伯特23个問题中，其♠️中(zhong)一个「连续统假设」问题是不可判定的，这对於费玛最后(hou)定🛰️理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编碼 的反(fan)转机 开始有人利用暴力解决方法，要对 费玛最后定理 的🦃n值一(yi)个一个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到(dao)了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔📆斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭(tuo)圆曲线 研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数解，这跟费(fei)玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一🚞组整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在一(yi)个数26，他是夹在一个平方數与一个立方数中间) 由於要直接找🧈出椭圆曲线(xian)是很困难的，为了简化问题，数学家採用「时鐘运算」方法 在五格时鐘运算中(zhong)， 4+2=1 椭🚋圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用(yong) E5=4 来代表在五格時鐘运算中，有四个解 对於椭圆曲线，可写出🛰️一个 E序(xu)列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 穀山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式 模型式的要(yao)素可从😜1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模(mo)型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这📩样的范例 1955年9月 提出模(mo)型式的 M序列 可以对應到椭圆曲线的 E序列，两个不同领(ling)域的理论突然被🍶连接在一起 安德列‧韦依 採纳这个(ge)想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗蘭🥮兹纲领(ling)」的计画，一个统一化猜想的理論，并开始寻找统一的环链(lian) 19.1984年 格哈德‧弗✒️赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设費玛最后定(ding)理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换為🐨y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭(tuo)圆方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致於无法被模型式化 (3) 谷山-志村猜(cai)想 断言每一🚗个椭圆方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是错(cuo)误的 反过来说 (1) 如果 谷山-志村猜想🐦 是對的，每一个椭圆方程式都可以(yi)被模型式化 (2) 每一个椭圆方程式都可以被模🐀型式化，则不存在弗赖椭圆方程(cheng)式 (3) 如果不存在弗赖椭圓🦍方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛(ma)最后定理是对的 20.1986年 肯‧贝里🌩️特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型(xing)式化 如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后定理也是正确(que)🖱️的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小(xiao)论文，然后自己独力尝试证🧸明谷山-志村猜想，策略是利用歸纳法，加上(shang) 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能將E序列以「自然次序📈」一一对应(ying)到M序列 22.1988年 宫冈洋一 發表利用微分几何学证明🍦谷山-志村(cun)猜想，但结果失败 23.1989年 安德魯‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成(cheng)无限多项，然后也證明🕜了第一项必定是模型式的第(di)一项，也尝试利用 依娃沙🪢娃 Iwasawa 理论，但结果失(shi)败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分🐿️类(lei)后的椭圆方程式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的協助，开(kai)始对验证证明 26.1993年5月🐊 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证(zheng)明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发🍟现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又開始隐居，尝试独力解(jie)决缺陷，他不希望🕞在这时候公布证明，让其他人分享完成(cheng)证明的甜美果实 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放(fang)弃的边缘，在彼得‧萨纳🚲克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年(nian)9月19日 发現结合 依🥅娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利(li)瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问题 30.「谷山-志村(cun)猜想」被证明了，故得证「费玛最后🐀定(ding)理」 ii 费马大定理 300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下📲了(le)一个定理：“设n是大於2的正整数，则不(bu)定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣称他🧵发现了这个定理的一个真正奇(qi)妙的证明，但因书上空白太小，他写不下🐁他的(de)证明。300多年过去了，不知有多少专业数学(xue)家和业余數学爱好者绞💟尽脑汁(zhi)企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着(zhe)名😌的定理—费马大定理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学(xue)习法律并以当律师🥊谋生，后来成为议会议员，数学只(zhi)不过是他的业餘爱好🌹，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费(fei)马对数论和微🛴积分做出了第一流的贡献。他与笛卡兒几乎同时(shi)创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概🎳率論的探索者(zhe)之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费(fei)马只对其中一个定理给出了证明要点(dian)，其🕥他定理除一个被证明是错的，一个未被(bei)證明外，其余的陆续被后来的数学家所🍞证实。这唯一未(wei)被证明的定理就是上面所说的费马大😉定理，因为是(shi)最后一个未被证明对或错的定理，所以又称(cheng)为費马最后定理。 费🥂马大定理虽然(ran)至今仍没有完全被证明，但已经有(you)了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯(si)塔夫证明💵了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学(xue)家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限🎮多組解，他的突出贡献使他在1986年获(huo)得了数学界的最高奖之🕋一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证(zheng)明了費马大定理，但随后发现了证明中🧣的一个漏洞并作了修正(zheng)。虽然威尔斯证明费马大定理还没有(you)得到数學界的一致公认🍰，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无(wu)疑问，这使人们看到了希望。 为了寻求费(fei)马😽大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家(jia)们前赴后继，却🦽壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德(de)鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用13 0页长的篇幅证明(ming)了费马大定理。怀❤️‍🩹尔斯成为整个数(shu)学界的英雄。 费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中學🌺生(sheng)都熟悉的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定(ding)理说：在一个直🦪角三角形中， 斜边的平方等於两直角边的平方之(zhi)和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在 研(yan)🍔究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似(shi)于毕达哥拉🥲斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方程没有任何(he)整数解。费马在《算术》这本书🎚️的靠近问题8的页边(bian)处记下这 个结论的同时又写下一個附加的评🏕️注：“对此，我确信已发現一个美(mei)妙的证法，这里的空 白太小，写不(bu)下。”这就是数学🌊史上着名的费马大定理或称费马最后的定理。费馬制造了(le) 一个数学史上最深奥的谜。 大问题(ti) 在物理学、化学或🦩生物学中，还没有任何问題可以叙述得如此(ci)简单和清晰，却长久不 解。E·T·貝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问🔕题》(The Last Problem)一(yi)书中写到， 文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽(jin)头。证明费馬大定理🥬成为数论中最 值得为之奋斗的事。 安德鲁·怀尔斯1953年出生(sheng)在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时(shi)代🛹的怀尔斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里(li)我喜欢做题目，我把它🥈们带回家， 编写成我自(zi)己的新题目。不过我以前找到的最好的题(ti)目是在我们社区的图书馆里发现的(de)。 ”一天🖍️，小怀尔斯在弥爾顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一(yi)个🐻问题而没有解答 ,怀尔斯被吸(xi)引住了。 这就是E·T·贝尔写的《大问🦜题》。它(ta)敘述了费马大定理的历史，这个定理让一个又 一(yi)📲個的数学家望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决(jue)它。怀尔斯30多年后回忆 起被引向费马大定理时的(de)感🛰️觉：“它看上去如此简单，但历史(shi)上所有的大数學家都未能🍦解 决它。这里正摆着我——一个(ge)10岁的孩子——能理解的问题，从那个🍸時刻起，我知道我永 远不会放弃它。我必(bi)须解决它。” 怀尔斯1974年從牛津大学的Merton学院获得数学学士学位，之📁后(hou)进入剑桥大学Clare 学院做博士。在研究生阶段，怀(huai)尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能 带来的问🪖题是：你(ni)花费了多年的时间而最终一事无成。我的导(dao)师约翰·科茨(John Coate s)正在研究💦椭圓曲线的Iwasawa理论，我开始(shi)跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同(tong)事 告诉我，他🐔有一个非常好的、刚完成数学学士荣(rong)誉学位第三部考试的学生，他催促我收其(qi) 为學生。我非🏬常荣幸有安德鲁这样(yang)的学生。即使从对研究生的要求(qiu)来看，他也有很深刻的 思💭想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任(ren)何研究生在那个阶段直接开始研 究🌙费马大定理是不可能的，即使对资历(li)很深的数学家来说🥊，它也太困难了。”科茨的责任 是为怀尔斯找到某种(zhong)至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问(wen)题。他🐱说：“我认为研究 生导师能为学生(sheng)做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然🗾，不能保证(zheng)它一定 是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这个过程(cheng)中能做的一件🌐事是使用他 的常识、他对好領域的直觉。然后(hou)，学生能在这个方向上有多🖼️大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应(ying)该研究数学中🐆称为椭圆曲线的领(ling)域。這个决定成为怀尔斯职业生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究(jiu)是他实现🎈梦想的工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑桥大学取得博🍤士(shi)学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学 的教授。在科茨的(de)指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都📱更(geng)懂得椭圆方程，他已经成为一 个着名的数论學家，但他清楚地意识到(dao)，即使以他广博的基础知识和数学(xue)修养✨，证明费马 大定理的任務也是极为艰巨的。 在怀(huai)尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想🌇”，该猜(cai)想在两个非 常不同的数学领域间建立(li)了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍🗽晚，我正在一个(ge)朋 友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯🧆·里(li)贝特已经证明了谷山－志村猜想与费马大(da) 定理间的联系。我感到😁极大的震动。我记得那(na)个时刻，那个改變我生命历程的时刻📽️，因为 这意味着为了证明(ming)费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山－志🏦村猜想……我十(shi)分清楚 我应该回家去研究谷山－志村猜(cai)想。”怀尔斯望見了一条实现他童年梦📌想的道路。 20世纪初(chu)，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么(me)不去尝试证明费马大定理，他 回答说：“在开始着⛺手之前，我必须用3年的时间作(zuo)深入的研究，而我没有那么多的时間 浪(lang)费在一件可能会失败的事情上👕。”懷尔(er)斯知道，为了找到证明，他必须全身心(xin)地投入到 这个🍃问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这(zhe)个风险。 怀尔🛹斯作了一个重大的决(jue)定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识😗到与费 马大定理有(you)关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可🤓能很多(duo)年都使自己精力集中 ，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因(yin)旁观者太多🔌而做不到。”怀尔斯放弃(qi)了所有 与证明费马大定理无直接关系的(de)工作，任何时候只要可能他就😽回到家(jia)里工作，在家里的顶 楼书房里他开始了通过谷山－志村猜想来证(zheng)明费马大定理的战斗💶。 這是一场长达7年的持久战，这期(qi)间只有他的妻子知道他在证明费马大⌚定(ding)理。 欢呼与等待 经过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证明(ming)。作为一个结果，他也证明了 费马🕘大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月(yue)底，有一个重要的会议要👜在剑橋大 学的牛顿研究(jiu)所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众📓宣布他的工(gong)作。他选择 在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是🗯️剑橋是(shi)他的家乡，他曾经是那里的一名研究(jiu)生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一🍪次数学讲座。两百名数学家(jia)聆 听了这一演講，但他们之中只有(you)四分之一的人完全懂得黑板上的希👡腊字(zi)母和代数式所表达 的意思。其余的人來这里是为了见证他🚠们所期待(dai)的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安 德魯·怀尔斯(si)。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景🚆：“虽然新闻(wen)界已经刮起有关演讲的风 声，很幸运他们没有来听演讲。但是听(ting)众中有人拍摄了演讲结束时🥺的镜头，研究所所长肯 定事先就准(zhun)备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时(shi)，会场上保持着特别庄重的寂🙈静，当(dang)我写完 費马大定理的证明时，我说：‘我想我就(jiu)在这🌏里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在(zai)头版以《终🍣于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道 費(fei)马大定理被证明的消息。一夜之间🏣，怀尔斯成为世界(jie)上最着名的数学家，也是唯一的数 學家。《人物》杂(za)志将怀尔斯与戴安娜王妃一🦍起列为“本年度25位最(zui)具魅力者”。最有创 意的赞美来自一(yi)家国际制衣大公司，他們邀请这位温文尔雅🍝的天才作他们新系列(lie)男装的模 特。 当怀爾斯成为媒体报道的中心时，认真核对这个(ge)🍔证明的工作也在进行。科学的程序要 求任何数学家将完整的手稿(gao)送交🦪一个有声望的刊物，然后这个刊(kan)物的编辑将它送交一组审 稿人，审稿人的职责是进行(xing)逐行的审查证明。怀🧄尔斯将手稿投(tou)到《数学发明》，整整一个 夏天他焦急地等待审稿人的意見，并(bing)祈求能得到他们的🕦祝福。可是，证明的一个缺陷被发 現了。 我的心灵归于平(ping)静 由于怀尔斯的论文涉及到大量的(de)数学方🍡法，编辑巴里·梅休尔决定不(bu)像通常那样指定 2－3个审稿人，而是6个審稿人。200页的证明被分🍝成6章，每位(wei)审稿人负责其中一章。 怀尔斯在此期(qi)间中断了他的工作，以处理审稿人🌝在电子邮件中(zhong)提出的问题，他自信这 些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负(fu)责审查第3章，1993年8月🪖23日，他发现了 证明中(zhong)的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法🎃中的(de)每一步都 行得通。怀爾斯以为这又是一个小(xiao)问题，补救的办🦽法可能就在近旁，可是6个多月过去了 ，错误仍(reng)未改正，怀尔斯面临絕境，他准备承认失败(bai)。他向同事彼得·萨克🦘说明自己的情 况，萨克向他暗示困难的一(yi)部分在于他缺少一个能够和他讨論问题并且可信赖的人👔。经过 长时(shi)间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德(de)·泰勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰❄️勒1994年1月份到普林斯顿，可(ke)是到了9月，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒 鼓励他们再坚持一个月。怀(huai)😉尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个星(xing)期一的早 晨，怀尔斯发现了问题的答案🎄，他叙述了这一时(shi)刻：“突然间，不可思議地，我有了一个 难以置信的发现。这是我(wo)的事业中最重要的🌉时刻，我不会再有这样的经历……它的美是(shi)如 此地难以形容；它又是如此简(jian)单和优美。20多🍋分钟的时间我呆望它不敢相(xiang)信。然后白天我 到系裡转了一圈，又回到(dao)⛑️桌子旁看看它是否还在——它还在那(na)里。” 这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极，怀爾(er)斯终于向世界🤭证明了他的才能。世 界不再怀疑(yi)这一次的证明了。这两篇论文总(zong)共有130页，是历史上核查🔉得最彻底的数學稿 件，它们发表在1995年5月的《数(shu)学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报🕟》的头版 上(shang)，标题是《数学家称经典之谜已解(jie)决》。约翰·科茨说：“用♦️数学的术语来说，这个最 终的证明可与分裂原(yuan)子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力🏏活(huo)动的一 曲凯歌，同时，不能忽视的事实是(shi)它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来，安🛹 德鲁成果(guo)的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一(yi)步。” 声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学(xue)🤠会颁发的Schock数學奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并(bing)当选为美國科学院外🥮籍院士。 怀尔斯说：“……再没有别的(de)问题能像费马大定理一样对我😳有同样的意义。我拥有如 此少有的特(te)权，在我的成年时期实🕡现我童年的梦想……那段特殊漫长的探(tan)索已经结束了， 我的心已归于平静。” 费马大定理只有在(zai)相对🏕️数学理论的建立之後，才会得到最满意的答案。相对数🛎️学理论没有完(wan)成之前，谈这个问題是无力地.因为人们对(dui)数量和自身的认识，还没有达到一👝定的高度. iii 费马大定理与怀(huai)尔斯的因果律-美國公众广播网🍸对怀尔(er)斯的专访 358年的难解之谜 数学爱好者费馬提出的这个(ge)问题非常简单🪡，它用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥(ge)拉斯定理来表达。2000多年前诞生的🍘毕达哥拉斯定理说：在(zai)一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方🌒之和。即(ji)X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书(shu)靠近问题8的页边处写下了這⏲️段文字：“设n是大于2的正(zheng)整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我🏓确信已发现一个美妙的证法，但(dan)这里的空白太小，写不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马大🥻定理是(shi)其中困扰数学家們时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费(fei)马最后的定理🌙）——公认为有史以来最着名的数(shu)学猜想。 在畅銷书作家西蒙·辛格🏨（Simon Singh）的笔下，这段(duan)神秘留言引发的长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史(shi)先后涉及到🏞️最多产的数学大师欧(ou)拉、最伟大的数学家高斯、由业余转(zhuan)为职业数学家的柯💭西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试驗大师库默尔(er)和被誉为“法国历史上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔🌃曼……法国数(shu)学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神(shen)秘自杀、德国数学爱好者保罗🧮·沃尔夫斯(si)凯尔最后一刻的舍死求生等等(deng)，都仿佛是冥冥间上帝导演的🍞宏大戏剧中的一幕，为最后谜(mi)底的解开埋下伏笔。終于，普林斯顿的(de)怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向高🌜潮并戛然而止，留下一段(duan)耐人回味的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马大定理不仅是破译一(yi)个🍻难解之谜，更是去实現一个儿(er)时的梦想。“我10岁时在图书馆找到一本数学书，告诉我🎤有這么一个(ge)问题，300多年前就已经有人解决了它，但却没🦧有人看到(dao)过它的证明，也无人确信是否有這个证明，从那以后，人们(men)就不🐩断地求證。这是一个10岁小孩就能明白的问题(ti)，然后历史上📷诸多伟大的数学家们却不能解答。于是(shi)从那时起，我就试过解🐤决它，这个问题就是费馬大(da)定理。” 怀尔斯于1970年先后在牛津大学和剑桥大学获得数学学士和数(shu)学博🌷士学位。“我进入剑桥时，我真(zhen)正把费马大定理搁在一边了。这☀️不是因为我忘了它，而是我认识到我们(men)所掌握的用来攻克它的全部技术已经(jing)反🐈‍⬛复使用了130年。而这些技术似乎没有触及问题根本。”因为担心(xin)耗费太多时间而一无所获，他“暂📽️时放下了(le)”对费马大定理的思索，开始研究椭圆曲线理论——这个看(kan)似与证明费马大定理不相关🕍的(de)理论后来却成为他实现梦想的工(gong)具。 时间回溯至20世纪60年代，普林斯頓数💻学家朗兰兹提出了一个(ge)大胆的猜想：所有主要數学领域之间原本就存在⌛着的统一(yi)的链接。如果这个猜想被证实，意味著在某个数学领域中无法解答✈️的任何问(wen)题都有可能通过这种链接被转换成另一个🧥领域中相應的问题——可以被一整(zheng)套新方案解决的问题。而如果在🐃另一个领(ling)域内仍然难以找到答案，那么可以把问题再转换到🏫下一个數学领域中……直(zhi)到它被解决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够解(jie)决曾经是🦼最深奥最难对付的问题——“办法是领着这些问题周(zhou)游數📦学王国的各个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德(de)尔不完备定理打击的费馬大定理证明者们指明了(le)救赎之路🍹——根据不完备定理，费马大定理是不可证明的。 怀尔斯后来正是依(yi)赖于这个纲领才得以证明费马💴大定理的：他的证明——不同于任(ren)何前人的尝试——是现代数学诸多分支（椭圆曲线论🌉，模形式(shi)理論，伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结(jie)果。20世纪50年代由两位🍊日本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的(de)谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程與模形式两个截然不同的数学岛屿🪕间隐藏(cang)着一座沟通的桥梁。随后在1984年，德国(guo)数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜🧆想：假如谷山—志村猜想成立，則费马(ma)大定理为真。这个猜想紧接着在1986年🐩被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此(ci)，費马大定理不可摆脱地与谷山—志村猜想链接在🚍一起：如果(guo)有人能证明谷山—志村猜想（即“每一个椭圆方程都可以模形式化(hua)”），那么就证明了费马大定理。 “人🦑类智力活动的一曲凯歌” 怀(huai)尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数(shu)学家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常😃常(chang)奇怪怀尔斯在做些什么？……他总是静悄悄的，也许他已经(jing)‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都沒(mei)🍼有！”对于这次惊天“大预谋”，肯·里比(bi)特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来见过的🐺唯一例子，在如此长的(de)时间里没有泄露任何有关工作的信息。这是空前的。 1993年晚春🍵，在经过反(fan)复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯終于完成了谷山—志(zhi)村猜想的证明。作为一个结果，他🎣也证(zheng)明了费马大定理。彼得·萨奈克是最早得知(zhi)此消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激🐌动、情绪失常……我记得当晚我失(shi)眠了”。 同年6月，怀尔斯决定在剑桥大学的大型系🖍️列讲(jiang)座上宣布这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多数学界重要人物(wu)到场，当大家终于明🌬️白已经離证明费马大定理一步之遥时，空气中充满了(le)紧张。” 肯·里比特回忆🏦说。巴里·马佐爾（Barry Mazur）永远(yuan)也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如此精彩(cai)的講座，充满了美妙的、闻所未闻的新🗾思想，还有戏剧性的铺垫(dian)，充满悬念，直到最后到达高潮。”当怀尔斯💷在讲(jiang)座结尾宣布他证明了费马大定理时，他成了全世界(jie)媒體的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现(xian)😍了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀(huai)尔斯成为世界上唯一的数学家🗳️。《人物》杂志将怀尔斯(si)与戴安娜王妃一起列为“本年度(du)25位最具魅力者”。 与此同時，认真核对这个证明的工作也在进🤠行。遗憾的是，如(ru)同这之前的“费馬大定理终结者”一样，他的证明是有(you)缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之🎼下(xia)修正错误，其间数度感到絕望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中说: “当(dang)時我们其🌸他人（怀尔斯的同事）的行为有点像‘苏(su)联政体研究者’，都想知道🏨他的想法和修正错误的进展，但没有(you)人开口问他。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他🌰露(lu)出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但看起来并不高兴。’” 撑到⏲️1994年9月时，怀(huai)尔斯准备放弃了。但他临時邀请的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一✏️个月(yue)。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星(xing)期一的早晨，怀📗尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时(shi)刻：“突然间，不可思🎑议地，我发現了它……它美得难以形容，简单而优雅。我(wo)对着它发了20多分钟呆🍉。然后我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否(fou)还在那里——它确实还在♟️那里。” 怀尔斯的证(zheng)明为他赢得了最慷慨的褒扬，其中最具代表性的是他📉在剑(jian)桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是人类智(zhi)力🦁活动的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此(ci)结束，從此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名(ming)🕜字紧紧地被绑在了一起，提到一个就不得不提到另外一个。这(zhe)是费马🧳大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。 历时八年的最终证明 在怀(huai)尔斯不多💙的接受媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目對怀尔斯的专访相(xiang)当精彩有趣，本文节选部分以💽飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们(men)通过团队来获得工作上的支持，那么当你🌓碰壁时是(shi)怎么解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住時我会沿着(zhe)湖边散散步🐷，散步的好处是使你(ni)会处于放松状态，同时你的潜意識却在继续工作。通常遇到(dao)困扰时你并📗不需要书桌，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主意我(wo)会找个长椅坐下来打草稿…… NOVA：这七年一🥼定交织着自我(wo)怀疑与成功……你不可能绝对有把(ba)握证明🗾。 怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨道上，但那并不意味着(zhe)我一定能达到目标——也许仅仅因为解决难题的方🧈法超出现有的数学，也许我(wo)需要的方法下个世纪也不会出现。所以即便我在正确的(de)轨道上，我却📈可能生活在错误的世(shi)纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀尔斯：對，那是(shi)个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子(zi)们出去了。我💟坐在书桌前思考最后的步骤(zhou)，不经意间看到了一篇论文，上面🎸的一行字引起(qi)了我的注意。它提到了一个19世纪的(de)数学结构，我霎時意识到这就是我该用的。我不停地工作，忘记🏸下楼午饭(fan)，到下午三四点时我确信已经证明(ming)了费马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以(yi)🕰️为我这时才回家，我告诉她，我解决了费马大定理。 最后的修正 NOVA：《纽约时报(bao)》在头版以《终于欢呼“我发现了🎺!”，久远(yuan)的数学之谜获解》，但他们并不知道这个证明中有個(ge)错误。 怀尔斯：那是🥓个存在于关键推导中(zhong)的错误，但它如此微妙以至于我忽略😃了。它很抽象，我无法用简单(dan)的语言描述，就算是数学家也😘需要研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀请剑桥(qiao)的数學🎴家理查德·泰勒来协助工作(zuo)，并在1994年修正了这个最后的错误。问题是，你的证明🌚和费马的证(zheng)明是同一个吗？ 怀尔斯：不可能。这个证明有(you)150页长，用的是💍20世纪的方法，在费马时(shi)代还不存在。 NOVA：那就是說费马的最初证明还在某个未被发现的角落？ 怀尔斯(si)：我🍙不相信他有证明。我觉得他说已经(jing)找到解答了是在哄📟自己。这个难题對业余爱好者(zhe)如此特别在于它可能被17世纪的数学证明🦗，尽管可能性极其微小。 NOVA：所以也许(xu)还有数学家追寻这最初的证明。你(ni)该怎么办呢？ 怀尔斯：对我来说都🏦一样，费马是我童年的热望。我会再试其(qi)他问题……证明了它我有一丝伤感，它(ta)🏷️已经和我们一起这么久了……人们对我说“你(ni)把我的问题夺走了”，我能带给他💨们其他的东西(xi)吗？我感觉到有责任。我希望通过解决(jue)这个👝问题带来的兴奋可以激励青年数学家们解决其他许许多多的🧤难(nan)题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数(shu)几何的对象)和模形式(某💖种数论中用(yong)到的周期性全纯函数)之间的重要联(lian)系。雖然名字是从谷山-志村猜📿想而来,定理的证明是由(you)安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个(ge)质数而E是一个Q(有理数域)上的一個✒️椭圆曲(qu)线，我们可以简化定义E的方程模p;除了有限个p值，我们会得(de)到有np个元素的有限域Fp上的一个❣️椭圆曲线。然(ran)后考虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要(yao)的不变量。从傅里叶变换，每个模形🚏式也会产生一个数列。一个其序(xu)列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲🦓線叫做模的。 谷山-志村(cun)定说: "所有Q上的椭圆曲线是模的"。 该定理(li)在1955年9月由谷山丰提出猜想📉。到1957年为(wei)止，他和志村五郎一起改进了严格性。谷山(shan)于1958年自杀身亡。在1960年💘代，它和統一数学中的猜想(xiang)Langlands纲领联系了起来，并是关键的💍組成(cheng)部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广，Weil的名字(zi)有一段时间和它联系在一起。尽管有明显的🎹用处，这个问题的深度在后来的(de)发展之前并未被人们所感觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村🦎猜(cai)想(那時还是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它(ta)吸引到了不少注意力。他通过试图表明费尔马大(da)定理🕯️的任何范例会导致一个非模的椭圆曲线(xian)来做到這一点。Ken Ribet后来🍋证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证(zheng)明了谷山-志村定理的一個特殊(shu)情况(半稳定椭圆曲线的情🌜况)，这个(ge)特殊情况足以证明费尔馬大定理。 完整的证明最后(hou)于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一塊的逐步🌴证(zheng)明剩下的情况直到全部完成。 数论中类似于费尔马最后定(ding)理得几个定理可以从谷山-志村定理得到。例如(ru)📖:沒有立方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情況已为欧📭拉(la)所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫獎。虽然他们(men)都没有完成给予他们这个成🍫就的定理的完整形式，他们还是被认为对最终(zhong)完成的证明有着决定📘性影响。