费马大定理介绍

本片从证明了费玛最后定理的安德魯‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历(li)史始末，往前回溯☂️来看，1994年正是我在念(nian)大学的时候，当时完全没有一位教授在课堂上提(ti)到这件事，也许他们认为，一位真正🛩️的研(yan)究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要(yao)的是老师的指引，引导他走向更💸高深的专业认知，而指引的道路，就在科普(pu)的精神上。 从费玛最后定理的历史中可以发(fa)现，有许🏪多研究成果，都是研究人员燃烧热情，试圖提出「有趣(qu)」的命题，然后再尝试用逻辑🍶验证(zheng)。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解(jie) 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃🌔里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后(hou)问题 The Last Problem」，故事从这里开始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边(bian)的平🍊方=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕(bi)氏定理的整数解👙 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算數」第2卷的问题8时，在页边(bian)写下了註😘记 「不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将(jiang)一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的来💮说，不可能(neng)将一个高於2次幂，写成两个同样次幂的和。」 「对這个命题我有一个十🥥分(fen)美妙的证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢(diu)🏞️番图的算数」 5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时(shi)无解 莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质数，现在🤓只要证明费(fei)玛最后定理对於所有的质數都成立 但 欧基💚里德 证明(ming)「存在无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的(de)质数，证明了 费🏢玛最后定理 "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔(ta)夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延📲伸热尔曼的证明，证(zheng)明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了(le) n=7 无解🌿 9. 1847年 拉梅 與 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛(ma)最后定理 最后是刘维爾宣读了(le) 恩斯特‧库默尔💾 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虛数没有唯一(yi)因子分解性质」而💾失败 庫默尔证明了 费玛最后定理的(de)完整证明 是当时数学方法不可能实现的(de) 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补🌋救了库默尔的证明 這表示 费玛最后定理的完整(zheng)证明 尚未被解决 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马(ma)克 给提供🍀证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大衛‧希尔伯特，提出数(shu)学上23个未解決的问题且相信这是📕迫切需要解决的重要(yao)問题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定🦒理 第一不可判定性定理：如果公理(li)集合论是相容的，那么存在既不能证明🕚又不能否定的定理(li)。 => 完全性是不可能达到的 第二不可判定性定理：不存在能(neng)证明公理系统是相容的构造性🐰过程。 => 相容性永遠不可能证(zheng)明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定(ding)问题是不是不可🕥判定的方法（只适用少数情形） 证明希尔伯特23个(ge)问题中，其中一个「连续统假设」问题是不可判(pan)定的，这对🕒於费瑪最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反(fan)转机 开始有人🦡利用暴力解决方法，要对 费玛最后定理 的n值(zhi)一个一个加以证明🖼️。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯(si) Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一個反🌆例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲線 研究椭圆曲🖤线的目的是要算出他们(men)的整数解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组整(zheng)数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存🏡在一个数26，他是夹在一个平方数与一个立(li)方数中間) 由📤於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为了简化问题，数学家採(cai)用「时鐘运算」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式🌬️ x3-x2=y2+y 所有可能(neng)的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个解(jie) 对於椭圆曲🍾线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至(zhi)村五郎 与 穀山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式 模型式🖊️的要素可从(cong)1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的(de) M序列 要素个數 可写🍩成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年(nian)9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圓🔮曲线的 E序列，两个不同领域的(de)理论突然被连接在一起 安德列‧韦依😆 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗(lang)兰兹提出「朗蘭兹纲领」的计画，一个统一化猜想的理论，并开始寻(xun)找統一📸的环链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假(jia)设费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数(shu)解，则可将方程式转换🐖为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的(de)椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古怪了，以致🤍於无法被模(mo)型式化 (3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都(dou)可以被模型式化⛵ (4) 谷山-志村猜想 是错误的 反过来说 (1) 如果 谷(gu)山-志村猜想 是对的，每一個椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每一(yi)🚲个椭圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗(fu)赖椭圆方程式，那麼xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费❣️玛最后定理是对(dui)的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被(bei)模型式化 如果有人能够证明谷山-志村猜😍想(xiang)，就表示费瑪最后定理也是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴(yin)谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然😳后自己独力尝试证明谷山(shan)-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗📮瓦 的群论，希望(wang)能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列 22.1988年(nian) 宫冈洋一 发表利用微分🥁几何学证(zheng)明谷山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程(cheng)式拆解成🐓无限多项，然后也证明了第(di)一项必定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论🍨，但结果失败(bai) 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分(fen)类后的椭圆方🚏程式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的協助，开始(shi)对验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安(an)德鲁‧怀尔斯😽 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现(xian)一个重大🪕缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望(wang)在这时🍫候公布证明，让其他人分享完成证明的甜美果实 28.安德(de)鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近🌭放弃的边缘，在彼得(de)‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙(sha)娃 Iwasawa 理論与 科利瓦金🥨-弗莱契 方法就能够完(wan)全解决问题 30.「谷山-志村猜想」被证明了，故得证「费玛最(zui)🏤后定理」 ii 费马大定理 300多年以前，法国数学家(jia)费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是(shi)大于2的正整数，则不🖼️定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费(fei)马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的🍼证明(ming)，但因书上空白太小，他写不下他的證明。300多年过去🍄了，不知有(you)多少专业数学家和業余数学爱好者绞尽脑汁🏝️企(qi)图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理(li)—费马大定🌮理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学🪖习法律并(bing)以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利(li)用闲暇来研究🦀。虽然年近30才认真注意数学，但费(fei)马对数论和微积分做出了第一流(liu)的贡🎊献。他与笛卡儿几乎同时创立了解(jie)析几何，同时又是17世纪兴起的概率论📱的(de)探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许(xu)多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除🧈一个被证(zheng)明是错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实(shi)。这唯一未被证明的🛍️定理就是上面所说的費马大定理，因为是最(zui)后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理。 费🥸马大定理(li)虽然至今仍没有完全被证明，但已經有了很大进展，特别是最近几十年，进展(zhan)更快。1976年瓦格斯塔夫证明🎢了对小于105的素数费马大定理都成(cheng)立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了👘不定方程(cheng)xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费(fei)尔兹奖。1993年英國数学家📜威尔斯宣布证明(ming)了费马大定理，但随后发现了证明中的一个漏洞(dong)并🍺作了修正。虽然威尔斯证明费(fei)马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多💝数数学家认为他证明的思(si)路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。 为了(le)寻求费马大定理的🦉解答，三个多世纪(ji)以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯(si)顿大学的安德鲁·懷尔🎈斯教授经过8年的孤军奋战，用13 0页(ye)长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界(jie)的英雄。 费马大定理🌨️提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉(xi)的数学定理——毕达 哥🙉拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达(da)哥拉斯定理说：在🐛一个直角三角形(xing)中， 斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元(yuan)✉️1637年前后 ，当費马在 研究毕达哥拉斯方程时(shi)，他写下一个方程，非常类🌦️似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方程没有任(ren)何整数解。费馬在《算术》这本书的靠(kao)近问题8的页🍯边处记下这 个结论的同(tong)時又写下一个附加的评注：“对此，我确信已發现一个(ge)美妙的🗨️证法，这里的空 白太小，写不下。”這就是数学史上着名的费马大定(ding)理或称费马最后的🍵定理。费馬制造了 一个数学史上最深奥的谜。 大问题 在物(wu)理学、化学或生🐐物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简(jian)单和清晰，却長久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中(zhong)写到， 文🌳明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到(dao)了尽头。证明费马大定理成为数论中(zhong)最 值得为之奋斗的🥥事。 安德鲁·怀爾斯1953年出生在英国剑桥，父亲(qin)是一位工程学教授。少年时代的怀尔🧂斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆中(zhong)写到：“在学校里我🖥️喜欢做题目，我(wo)把它们带回家， 编写成我自己的新题目(mu)。不过我以前找🎄到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。 ”一天(tian)，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书(shu)🌊馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答 ,怀尔斯被(bei)吸引住了。 这就是E·T·贝尔写的🎐《大问题》。它叙述了費马大定理(li)的历史，这个定理让一个又 一个的数学家望而生畏(wei)，在长达300多年的时间里没🕦有人能解决它。怀尔斯30多(duo)年后回忆 起被引向费马大定理时的感覺：“它看🐊上去如此简单(dan)，但历史上所有的大数学家都未能(neng)解 决它。这里正🖥️摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我(wo)永 远不会放弃它。我必须解决它。” 怀尔斯🏩1974年从牛津大学的Merton学院获得数学(xue)学士学位，之后进入剑桥大学Clare 学院做博士。在研究生阶段(duan)，怀尔斯并没🥸有从事费马大定理(li)研究。他说：“研究费马可能 带来的问题是：你花费了多年的时间(jian)而最终一事无🎬成。我的导師约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆曲线的(de)Iwasawa理論，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事 告诉我，他有一🌑个非常好的(de)、剛完成数学学士荣誉学位第三(san)部考试的学生，他催促我收其 为🍭学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学(xue)生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的 思想，非常清楚他(ta)将是一♥️个做大事情的数学家。当(dang)然，任何研究生在那个阶段直接开始研🍷 究费马大定理是不可能的，即使对(dui)资历很深的数学家来说🧮，它也太困难了。”科茨的责任 是为怀尔斯(si)找到某种至少能使他在今后三年里有興趣去研(yan)究的问题。他说：“我🌽认为研究 生导师(shi)能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不(bu)能保证它一定 是一💯个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在這个(ge)过程中能做的一🛵件事是使用他 的常識、他对好领域的直觉。然后，学生(sheng)能在这个方🍥向上有多大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯(si)應该研究数📲学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔(er)斯职业生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究是他实🥅现夢想的(de)工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑桥大學取得博士学位(wei)后来到了美国📑普林斯顿大学，并成为这所大学 的教授。在(zai)科茨的指导🏪下，怀尔斯或许比世界上其他(ta)人都更懂得椭圆方程，他已经成为一 个着名的🌡️数論学家，但他清楚(chu)地意识到，即使以他广博的基础知识和🐖数学修養，证明(ming)费马 大定理的任务也是极为艰巨的。 在怀尔斯的費马大定理的证明(ming)中，核心是证明“谷山－志💳村猜想”，该猜想在两个非 常不同(tong)的数学领域间建立了一座新的桥梁(liang)。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在🐵一个(ge)朋 友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经(jing)证明了谷🏫山－志村猜想与费马大 定理间的联系。我感到极大(da)的震动。我记得那个时刻，那个🖍️改变我生命历程的时刻，因为 这意味(wei)着为了证明费马大定理，我必須做的一切就(jiu)是证明谷山－志村猜想……我🚦十分清楚(chu) 我应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一(yi)条实现他童年梦想的道路。 20世纪初，有人🧈问(wen)伟大的数学家大卫·希尔伯特为什麼不去尝试证明费(fei)马大定理，他 回答🛷说：“在開始着手之前，我必须用3年的时间作(zuo)深入的研究，而我没有那么🐸多的时(shi)间 浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他(ta)必🚌须全身心地投入到 这个问题中，但是与希尔(er)伯特不一样，他愿意冒这个风险。 怀尔斯作了一个重大的🥇決定(ding)：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费 马(ma)🌆大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不😝可能很多年(nian)都使自己精力集中 ，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观(guan)者太💹多而做不到。”怀尔斯放弃了所有 与证明费马大定理无直接关(guan)系的工作，任🍦何时候只要可能他就回到(dao)家里工作，在家里的顶 楼书房里🦼他开始了通(tong)过谷山－志村猜想来证明费马大定理的(de)战斗。 这是一场长达7年的持久战，這期间只有🍰他的妻子知道他在證(zheng)明费马大定理。 欢呼与等待 经过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志(zhi)村猜想的证明😋。作为一个结果，他也证明了(le) 费马大定理。现在是向世界公布的时(shi)候了。1993年6月底🍍，有一个重要的会议要在剑桥大 学的牛顿(dun)研究所举行。怀尔斯决定利🍜用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工(gong)作。他选择🍱 在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是(shi)剑桥是他的家乡，他曾经是那里🐼的一名研究生。 1993年6月23日，牛顿(dun)研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆 听了(le)这一😸演講，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和📓代(dai)数式所表达 的意思。其余的人來(lai)这里是为了见证他们所期待的一个真正具(ju)有意🌜义的时刻。演讲者是安 德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时(shi)刻的情景：“虽然新闻界已经刮🐂起有关演讲的风 声，很幸运他(ta)们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演(yan)讲结束時的镜头，研究所🌏所长肯 定事(shi)先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会場上保持着特别庄重的寂静(jing)，当我🎳写完 费馬大定理的证明时，我说：‘我想我就在(zai)这里結束’，会场上爆发出一🍢阵持久的鼓掌声 。” 《纽约(yue)时报》在頭版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题🎧报道 费马大(da)定理被證明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界💫上最着名的数学家，也是(shi)唯一的数 学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安(an)娜王妃一起列☂️为“本年度25位最具魅力者”。最有(you)创 意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请這位温文尔(er)雅的天才🌩️作他们新系列男装的模 特。 当怀尔斯成为媒体报道的中(zhong)心时，认真核对这个证明的工作也在进(jin)行。科学的程🍊序要 求任何数学家将(jiang)完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后(hou)这个刊物🏖️的编辑将它送交一组审 稿人，审稿人的职责是进行逐行的(de)审查证明。怀🤎尔斯将手稿投到《数学(xue)发明》，整整一个 夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求(qiu)能得到他们的祝福。可🐢是，证明的一个缺陷被发 现(xian)了。 我的心灵归于平静 由于怀尔斯的论文(wen)涉及到大量的数学方法，编辑巴里·梅休❄️尔决定(ding)不像通常那样指定 2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分(fen)成6章，每位审稿人😌负责其中一章。 怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审(shen)稿人在电子邮件中提出的问题，他自信🦀这 些问题不会給他(ta)造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他(ta)发现了 证明中的一个小缺陷。数学🥈的绝對主义要求怀尔(er)斯无可怀疑地证明他的方法中的每一🎼步都(dou) 行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办法可🗞️能就(jiu)在近旁，可是6个多月过去了 ，错误仍未改正，怀尔斯面临🍱绝境(jing)，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的(de)情 况，萨克向他暗示困难的一部🖍️分在于他缺少一個能够和(he)他讨论问题并且可信赖的人。经过 长时间的考虑后，怀尔斯决定(ding)邀请剑🛍️桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯(si)顿和他一起工作 。 泰勒1994年1月份到普🤩林(lin)斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒 鼓(gu)励他们再坚🌴持一个月。怀爾斯决定在9月底作最后一(yi)次检查。9月19日，一个星期一的早🎓 晨，怀尔斯发(fa)现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地⛄，我(wo)有了一个 难以置信的发现。这是我的事业中最重(zhong)要的时刻🥒，我不会再有这样的经历……它的美是(shi)如 此地难以形容；它又是如此😅简单和优美。20多分钟的时间我(wo)呆望它不敢相信。然后白天我 到系里转了一圈，又回到桌子(zi)旁看看它🤣是否还在——它还在那里。” 这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极(ji)，怀尔斯終于向世🚃界证明了他的才能。世 界不(bu)再怀疑这一次的证明了。这两篇論文总📇共有(you)130页，是历史上核查得最彻底的数学稿 件，它们发表在1995年5月的《数学(xue)年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约🌏时报》的头版 上，标题(ti)是《数学家称经典之谜已解決》。约翰·科茨说：“用🛝数学的术语来说，这个最 终的(de)证明可与分裂原子或发现DNA的结构相🎚️比，对费马大定(ding)理的證明是人类智力活动的一 曲凯(kai)歌，同时，不🍜能忽视的事实是它一下子就使数(shu)学发生了革命性的变化。对我说来，安 德鲁成果的🐽美和魅力在于它是走(zou)向代数数论的巨大的一步。” 声望和荣💖誉纷(fen)至沓来。1995年，怀尔斯獲得瑞典皇家学会颁发的Schock数学(xue)奖，199 6年，他獲得🖨️沃尔夫奖，并当选为美国科學院外籍院士。 怀尔斯说：“……再(zai)没有别的问题能像费马大定理(li)一样对我有同🏮样的意义。我拥有如 此少有的特权，在我的(de)成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫長的🏉探索(suo)已经结束了， 我的心已归于平静。” 费马大定理只有在(zai)相對数学理论的🏕️建立之后，才会得到最满意的答案(an)。相对数学理论没有完成之前，谈这個问题是无力地.因为人们(men)对数量和自身🕣的认识，还没有达到一定的高度. iii 费马大定理与怀(huai)尔斯🥎的因果律-美国公众广播网对怀尔斯的专访 358年(nian)的难解之谜 数学爱好者费马提出的这个問题非🌳常简单，它用一(yi)个每个中学生都熟悉的數学定理——毕达哥拉斯定(ding)理来表达。2000多年前诞生的毕👑达哥拉斯定理说(shuo)：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大(da)约在公🗯️元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书靠(kao)近问题8的页边🤭处写下了这段文字：“设n是大(da)于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非👙整数(shu)解，对此，我确信已发现一个美妙的证(zheng)法，但这里的空白太小，写🐴不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马大定理是其(qi)中困擾数学家们时间最长的，所以被称(cheng)为Fermat’s Last Theorem（费马最后🔋的定理）——公认为有史以來最着名的数学猜想。 在畅销书作家(jia)西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神⌨️秘留言引发的(de)长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先後涉及(ji)到最多📻产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业(ye)数学家的柯西、英年早逝的🏯天才伽罗瓦(wa)、理论兼试验大师库默尔和被誉为“法国历史上知识最为高深的女性(xing)”的苏👠菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日(ri)之星谷山丰的神秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃🤣尔夫斯凯尔最后一(yi)刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的宏(hong)大戏剧中的一幕，为最🕢後谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿(dun)的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏♣️推向高潮并戛然而止，留下一段耐(nai)人回味的传奇。 对怀尔斯而言，证明费马大定🐐理不仅是破译(yi)一个难解之谜，更是去实现一个儿时的梦想。“我10岁时(shi)在图书馆找到🌍一本数学书，告诉我有这么一个问題，300多年前就已经有(you)人解决🏜️了它，但却没有人看到过它的证明，也无人确信是否有这个证(zheng)明，从那以后，人们就不斷地求证。这是🍅一个10岁小孩就能明白的问题，然后历史(shi)上诸多伟大的数学家们却不能🦑解答。于是从那时起，我就试过解决它，这个(ge)问題就是费马大定理。” 怀尔斯于1970年先后在牛津大(da)学和剑桥大学获得🌞数学学士和数学(xue)博士学位。“我进入剑桥时，我真正把費马大定理搁在一👘边了。这不是因为(wei)我忘了它，而是我认識到我们所掌握的用来攻克它的全部技术已经反复使(shi)用了130年。而这些🐤技术似乎没有触及问题根本。”因为担心耗费(fei)太多时间而一无所获，他“暂时放下了”对费马🤣大定理的思索，开(kai)始研究椭圆曲线理论——这个看似与证明费(fei)马大定理不相关的理論后来却成为他实现梦💸想的工具。 时间回溯至20世(shi)纪60年代，普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主(zhu)要数学领域🏘️之间原本就存在着的统一的链接。如果这个猜想被证实📪，意(yi)味着在某个数学领域中无法解答的任何問题都有可(ke)能通过这种链接被转换成🔦另一个领域中相应的问题——可以被一整套新(xin)方案解决的问题🌱。而如果在另一个领域内仍然难(nan)以找到答案，那麼可以把问题🌶️再转换到下一个数学领域中(zhong)……直到它被解决为止。根据朗兰兹(zi)纲领，有一天，数学家们🐓将能够解决曾经是最深奧最难对付的问题——“办法是领(ling)着这些🏝️问题周游数学王国的各个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备(bei)定理打击的费马☕大定理证明者们指明了救赎之路——根据不完备(bei)定理，费马大定理是不可证明的(de)。 怀尔斯后📞来正是依賴于这个纲领才得以证明费马大定理的：他的证(zheng)明——不同於🍂任何前人的尝试——是现代数学诸多分支（椭圆曲线论，模(mo)形式理论，伽罗华表示理论等等)综合发挥💦作用的结果。20世纪50年代由两位(wei)日本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜☕想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程(cheng)与模形式两个截然不同的数学岛屿🤿间隐藏着一座沟通(tong)的桥梁。随后在1984年，德国数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给🤠出(chu)了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大定理为真。这个猜想紧接(jie)着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费🕶️马大定理不可摆脱(tuo)地与谷山—志村猜想链接在一起：如果有人能证明(ming)谷山—志村😻猜想（即“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那么就(jiu)证明了费马大定理。 “人类智力活动的🎄一曲凯歌” 怀爾斯诡秘的行踪让普林斯(si)顿的着名数學家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我(wo)常常奇怪🍙怀尔斯在做些什么？……他总是静悄悄的，也许他已经‘黔驴🌜技穷(qiong)’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对于这次驚天“大预谋”，肯·里🥫比(bi)特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在如此长的时(shi)间里没有泄露任何有关工作🦎的信息。这是空前的。 1993年(nian)晚春，在经过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终🎠于完成了谷山—志村猜(cai)想的证明。作为一个結果，他也证明了费马大(da)定理。彼得·萨奈克是最早得🕶️知此消息的人之一，“我(wo)目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失♠️眠了”。 同年6月，怀尔斯(si)决定在剑桥大学的大型系列讲座上宣布这(zhe)一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多数学界重要人🐴物到场，当大家(jia)终于明白已经离证明费马大定理一步之🧄遥时，空气中充满了紧张。” 肯·里比特(te)回忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我(wo)之前从未看到♥️过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所未闻的(de)新思想，还有戏剧性的铺垫，充满🤪悬念，直到最后到达高(gao)潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣布他证明了费马大定理时，他成了全世界(jie)媒體的焦🐾点。《纽约时报》在头版以《终於欢呼“我发现(xian)了!”久远的数学之谜获📌解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题報道费马大定理被证明的消息(xi)。一夜之间，怀尔斯成为世界上唯一的数💰学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜(na)王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。 与此同🧣时(shi)，认真核對这个证明的工作也在进行。遗憾的是，如同这之前的“费马大(da)定理终结者”一样，他的证明是☀️有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的压力之(zhi)下修正錯误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美🦄国公众广播网（PBS）的(de)访谈中说: “当时我们其他人（懷尔斯的同事）的行为有🕔点像‘苏联政体研(yan)究者’，都想知道他的想法和修正错误的进展，但没有人开口问他🤓。所以，某(mou)人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他(ta)露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但看(kan)起来并不高兴。’” 撑到🌲1994年9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请的研(yan)究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就在截止日到来之前😽两周， 9月19日 ，一(yi)个星期一的早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他(ta)叙述了這一时刻：“突然间，不🏘️可思议地，我(wo)发现了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着它发(fa)了20多分🌦️钟呆。然后我到系里转了一圈，又回到桌(zhuo)子旁看看它是否还在那里——它确实还在🎏那里。” 怀尔斯的证明(ming)为他赢得了最慷慨的褒扬，其中最具代(dai)表性的是🌲他在剑桥时的导师、着名数学(xue)家约翰·科茨的评价：“它（证明）是人类智🥿力(li)活動的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此结束，从(cong)此费馬大定理与安德鲁·怀尔斯的名🐗字紧紧地被绑在了一起，提到一个就不(bu)得不提到另外一个。这是费马大定理與安德鲁·怀尔斯的因🚈果律。 历时(shi)八年的最终证明 在怀尔斯不多的(de)接受媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA節目对怀尔(er)斯😄的专访相当精彩有趣，本文节選部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们通过(guo)团队来获得工作上的支持，那么🗞️当你(ni)碰壁时是怎么解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我会沿(yan)着湖边🧵散散步，散步的好处是使你会处于放松状态，同(tong)时你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰(rao)时你🧶并不需要书桌，而且我随时(shi)把笔纸带上，一旦有好主意我会找个长椅坐(zuo)下来打草🍵稿…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑與成功……你不可能绝对有把握🕝证明(ming)。 怀尔斯：我确实相信自己在正确(que)的轨道上，但那并不🗾意味着我一定能达到目标——也许僅仅因为解决难题(ti)的方法超出现有的数学，也许我需要的方法🧭下个世纪也(ye)不会出现。所以即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错误🏤的世纪。 NOVA：最终在(zai)1993年，你取得了突破。 怀尔斯：对，那是(shi)个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们出去了。我坐在📆书桌前思考最后的步骤(zhou)，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字引起了我的注意。它提🌔到(dao)了一个19世纪的数学结构，我霎时(shi)意识到这就是我该用的。我不停地工(gong)作，忘记下楼午饭🏆，到下午三四点时我确信已经证明了(le)费马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以为我这时才回🗒️家，我告诉她，我解决了费(fei)马大定理。 最后的修正 NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼🕛“我发现了!”，久远的数(shu)学之谜获解》，但他們并不知道这个证明中有个(ge)错误。 怀尔斯：那是个存在于關键推导🎠中的错(cuo)误，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语(yu)言描述，就算是数学家也需🍓要研(yan)习两三個月才能弄懂。 NOVA：后来你邀请剑桥的数(shu)学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修🧧正了这个最后的错误。问(wen)题是，你的证明和费马的證明是同(tong)一个吗？ 怀尔斯：不可能。这个证明有🌍150页长，用的是20世纪(ji)的方法，在费马時代还不存在。 NOVA：那(na)就是说费马的最初证明还在某个未被發(fa)现的角落？ 怀尔🐻‍❄️斯：我不相信他有证明。我觉得他说已经找到解答了(le)是在哄自己。这个难题对业餘🐟爱好者如此特别在(zai)于它可能被17世纪的数学证明，尽管可能(neng)性🥐极其微小。 NOVA：所以也许还有数学家追寻(xun)这最初的证明。你该怎么办呢？ 怀尔斯(si)：對我来说都一🎄样，费马是我童年的热望。我会再试其他问(wen)题……证明了它我有一丝伤感，它已💌经和我们一起这么久了……人们对我说“你(ni)把我的问题夺走🥂了”，我能带给他们其他的东西吗？我感觉到有(you)责任。我希望通过解决这个问题带来的兴奋可以🏆激励青年数学家們(men)解决其他许许多多的难题。 iv 谷山-志(zhi)村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何的对象(xiang))和🏀模形式(某种数论中用到的周期性全纯函数)之(zhi)间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明🎷是由安德(de)鲁·怀爾斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一个质数而(er)E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，我们可以🍣简化(hua)定义E的方程模p;除了有限个p值，我们会得到有np个元素的有限域Fp上的一(yi)个🥼椭圆曲线。然后考虑如下序列 ap = np − p, 这是椭(tuo)圆曲線E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式(shi)也會🦥产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭(tuo)圆曲线叫做✨模的。 谷山-志村定说: "所有Q上的椭圆曲线是模的"。 该定理在1955年9月由(you)穀山丰提出猜想。到1957年为止，他和🕶️志村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自(zi)杀身亡。在1960年代，它和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是💮关键的组(zu)成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广，Weil的名🎃字有一段時间和它联系(xi)在一起。尽管有明显的用处，这个问(wen)题的深度在后🌇来的发展之前并未被人们所感觉(jue)到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(xiang)(那时还是猜想)蕴含着🐔费马最后定理的时候，它吸(xi)引到了不少注意力。他通过📸试图表明费尔馬大定理的任(ren)何范例会导致一个非模的椭圆曲线来(lai)做到这🍂一点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证(zheng)明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲線(xian)的情况)，这个特殊情🕶️况足以证明费尔马大定理。 完整(zheng)的證明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基(ji)础上，一块一块的逐步证明剩下的🍬情况直到全部完成。 数论中类(lei)似于费尔马最后定理得几个定理可以從谷山-志村定理得到。例如:没有立(li)方可以🎓写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已(yi)为歐拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享🌥️了沃尔夫奖。虽(sui)然他们都没有完成给予他们这个成就💮的定理的完整形式(shi)，他们还是被认为对最终完成的证明有着决定性影响。