费马大定理如何证明

本片从证明了费玛最后定理的安德(de)鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历🛬史始末，往前回溯(su)来看，1994年正是我在念大学的时候，当时完全没有(you)一位教授在课堂上提到这件事，也许他们认为🖲️，一(yi)位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位不是(shi)天才的学生来说🌮，他需要的是老师的指引，引导他(ta)走向更高深的专业认知，而指引的道路，就在(zai)科普的精🌊神上。 从费玛最后定理的历史中可以发现，有(you)许多研究成果，都是研究♠️人员燃烧热情，试图提出(chu)「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在✏️整数解 1. 1963年(nian) 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的(de)一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事💹从这里开始。 2. 毕(bi)達哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的平方=另外两(liang)边🐏的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的(de)「算數」第2卷🖨️的问题8时，在页边写下了註记(ji) 「不可能将一个立方数写成两个(ge)立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次📮幂之和；或者，总的来說，不(bu)可能将一个高於2次幂，写成两个同样次幂的和。」 「对这个命题(ti)🐆我有一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」 4. 1670年，费瑪 Fermat的儿子出版👛了(le)载有Fermat註记的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的(de)其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时(shi)无解 莱昂🚍哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无(wu)解 3是质數，现在只要证明费玛最后定理对(dui)於所有的质数都成立 但 欧基里德 证明🙈「存在无穷多个质(zhi)数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最(zui)后定理 "大概" 无解🧢 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和(he) 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸🥋热尔曼的证明，证明了(le) n=5 无解 8. 1839年 加布里爾‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易🥫斯‧科西(xi) Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理 最后是刘维尔宣读了 恩斯🥙特‧库(ku)默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一因子分解性质(zhi)」而失败 库默尔证明🥖了 费玛最后定理的完(wan)整证明 是当时数学方法不可能实现🚃的 10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救(jiu)了库默尔的证明 这表示 费玛最後定理的完整证明 尚未被(bei)解决 沃尔夫斯凯🍾尔提供了 10万馬克 给提(ti)供证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大衛📲‧希尔伯特，提出数学(xue)上23个未解决的问题且相信这是迫切需🩴要解決的重(zhong)要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理 第一不可判定性定⛅理：如果公(gong)理集合论是相容的，那麼存在既不能证明又不能否定🎆的定理。 => 完全性(xing)是不可能达到的 第二不可判定性定理：不存在能(neng)证🐘明公理系统是相容的构造性(xing)过程。 => 相容性永远不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题(ti)是🍛不是不可判定的方法（只适用少数情形(xing)） 证明希尔伯特23个问題中，其☁️中一个「连续统假设」问题(ti)是不可判定的，这对於费玛最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破♨️译(yi) Enigma编码 的反转机 开始有人利用暴力解決方法，要对 费玛最后定理 的n值一个(ge)一🍸个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想(xiang)，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀爾斯 Andrew Wiles 师💒承 约(yue)翰‧科次，研究椭圆曲线 研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数(shu)解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只😝有(you)一组整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在(zai)一个数26，他是夹在一个平方数与一🥛个立方数中间) 由於要直接找出椭圆(yuan)曲线是很困难的，为了简化问题，数学家採用「时鐘运🚏算」方法 在五格时鐘运算(suan)中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然🥉后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四(si)个解 对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 穀山💐丰 研究具有(you)非同寻常的对称性的 modular form 模型式 模型(xing)式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要素个数🌾 可(ke)写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭(tuo)圆曲线的 E序列，两个不同领域🌾的理论突然被连接在一(yi)起 安德列‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗(lang)🎄兰兹纲领」的计画，一个统一化猜想的理论，并开始寻找统一(yi)的环链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出🍊 (1) 假设费玛最后定理(li)是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样(yang)的椭圆方程式 (2) 弗赖椭圆方程式太古⛄怪了，以致於无(wu)法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 断言每(mei)一个椭圆方☕程式都可以被模型式化 (4) 穀山-志村(cun)猜想 是错误的 反过来说 (1) 如果 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭(tuo)圆方🌿程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭圆方程式都可以(yi)被模型式化，则不存在弗💷赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆(yuan)方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费瑪最后定😳理是对(dui)的 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模(mo)型式化 如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛🔔最后定理(li)也是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每🐱隔6个月发表一篇小(xiao)论文，然后自己独力尝试证明谷山-志村猜想，策略是利用归纳法，加上(shang) 埃瓦里🍲斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序列以「自然次序」一一(yi)对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利👘用微(wei)分几何学证明谷山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程(cheng)式拆解成无🏙️限多项，然后也证明了第一项必定是模型式的第一项，也(ye)尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败(bai) 24.1992年 修改 科利瓦金💵-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方程式(shi)都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验证证明 26.1993年5月(yue) 「L-函数和算🌁术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志(zhi)村猜想的證明 27.1993年9月 尼🍔克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始(shi)隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望(wang)在这时候公布证明，让其🥇他人分享完成證明的甜美(mei)果实 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放⌛弃的边缘，在彼得‧萨纳克(ke)的建议下，找到理查德‧泰勒的协(xie)助 29.1994年🚀9月19日 发現结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契(qi) 方法就能够完全解决问题 30.「谷山-志村猜想」被👟证明了，故得证「费玛(ma)最后定理」 ii 费马大定理 300多年以前，法(fa)国数学家费马在一本书的空白处写下了一⛄个定理：“设n是大于2的(de)正整數，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马(ma)宣称他发现了🐝这个定理的一个真正奇妙的证明(ming)，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了(le)，不知有多少專业🥓数学家和业余数学(xue)爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚(shen)微。这就是纯数学🌌中最着名的定理—费马大定理。 费马(1601年～1665年)是一位具有(you)传奇色彩的数学家，他最初学习法律并🗻以当律师谋生，后來成为议(yi)会议员，数学只不过是他的🛳️业余爱好，只能利用闲暇来研(yan)究。虽然年近30才认真注意数學，但费马对💾数(shu)论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同(tong)时又是🐮17世纪興起的概率论的探索者之(zhi)一。费马特别爱好数论，提出了许多定理🤭，但费马只(zhi)对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未🍜被(bei)证明外，其余的陆续被后来的数学家(jia)所证实。这唯一未被证明的定理(li)就是上面所说的🐰费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理(li)，所以又称为费马最后定理。 费马🎞️大定理虽然至今仍没有完全(quan)被证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进(jin)展更快。1976年瓦格🚀斯塔夫证明了对小于105的素数费马大(da)定理都成立。1983年一位年輕的德国数学家法尔廷(ting)斯证明了不定方程🦑xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使(shi)他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯🍮宣布证(zheng)明了费马大定理，但随后发现了证明中的(de)一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费馬大(da)定理还没有🐮得到数学界的一致公认，但大多(duo)数数学家认为他證明的思💟路是正确(que)的。毫无疑问，这使人们看到了希(xi)望。 为了寻求费马大定理的解答，三📓个(ge)多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬(chou)🎽。1995年，美国普林斯頓大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤(gu)军奋战，用13 0页长的篇幅证明了费马大(da)定理。怀尔斯成🍃为整个数学界的英雄。 费马(ma)大定理提出的问题非常简单，它是用一个每(mei)个中学生都🦞熟悉的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕(bi)达哥拉斯🛣️定理说：在一个直角三角形中， 斜邊的平方等于两直角边的平方(fang)之和。即X2＋Y2=Z2。大💺约在公元1637年前后 ，当费马在 研究(jiu)毕達哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于📤毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大(da)于2時，这个方程没有任何整数解。费马在《算(suan)术》这本书的靠近问题8的页边处记下这🦒 个结论的同时又写下一个附加(jia)的評注：“对此，我确信已发现📽️一个美妙的证法，这里的空 白太小，写(xie)不下。”这就是数学史上着名的费马🍎大定理或稱费马最后的定(ding)理。费马制造了 一个数学史上最(zui)深奥的谜。 大问题 在物理学、化学或生(sheng)物学中，还沒🚎有任何问题可以叙述得如此简单和(he)清晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到， 文明(ming)世界也许🏑在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成(cheng)为数论中最 值得为之奋斗的事。 安德鲁🛎️·怀尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲是一(yi)位工程学教授。少年時代的怀尔斯 已着迷于数🕣学了(le)。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回(hui)家， 編写成👁️‍🗨️我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区(qu)的图书馆里发现的。 ”一天，小怀尔斯在弥尔顿街🕡上的图书馆看见了一本书，这(zhe)本书只有一个问题而没有🌝解答 ,怀尔斯被吸引(yin)住了。 这就是E·T·贝尔写的《大问題》。它叙述了费马大(da)定理的历史，这个定理让一🌻个又 一个的数学家望而生畏，在长达300多年(nian)的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆 起被🦽引向费馬大定理(li)时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上📊所有的大数学家都未能解 决它(ta)。这里正摆着我——一个10岁的孩💴子——能理解的问题，从那个(ge)时刻起，我知道我永 远不会放弃它。我必须解决它。” 怀尔斯1974年从(cong)牛津大学的Merton學⏱️院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare 学院做博士。在(zai)研究生阶段，怀爾斯并没有从事费马大定理🚁研究。他说：“研究费马可能(neng) 带来的問题是：你花费了多年的时间而最终一事无成。我的🐤导师(shi)约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理(li)论，我开始跟随他工作。” 科🦁茨说：“我记得一位同事 告诉我，他有一(yi)个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生(sheng)，他🏙️催促我收其 为学生。我非常荣幸有安德(de)鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他(ta)也有很深刻的 思🍑想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研(yan)究生在那个📠阶段直接开始研 究费马(ma)大定理是不可能的，即使对资历很深的数🥥学(xue)家来說，它也太困难了。”科茨的责任 是为怀尔斯找到某种至少能使他在(zai)🥣今后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究 生🎱导(dao)师能为学生做的一切就是设法把他推(tui)向一个富有成果的方向🏩。当然，不能保证它一定 是一个富有成果的研究方(fang)向，但是也许年长的数学家在这个過程(cheng)中能🍙做的一件事是使用他 的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在(zai)这个方向上有多大成绩🤎就是他自己的事(shi)了。 ” 科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这(zhe)个决定成为💞怀尔斯职业生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究是(shi)他实现梦想的工🍏具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在剑桥大學取得博(bo)士学位后来到了美国普🚊林斯顿大学，并成为这所大学(xue) 的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界(jie)上其他人都更懂得🏵️椭圆方程，他已经成为一 个着名的数论学家(jia)，但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证🍸明费马 大定理(li)的任务也是极为艰巨的。 在怀尔斯的费马大定🦑理的证明中，核心(xin)是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两个非 常不同的数学领域间🍂建立(li)了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋 友家中啜饮🩳冰茶。谈(tan)话间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了(le)谷山－志村猜想与费马大 定理间的联系。我感到极大的震动。我🤎记得那(na)个时刻，那个改变我生命历程的时刻(ke)，因为 這意味着为了证明费马大定理，我必須做的一切就是证明谷🍓山－志村猜(cai)想……我十分清楚 我应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见(jian)了一条🎭实现他童年梦想的道路。 20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔(er)伯特为什么不去尝试🍟证明费马大定理，他 回答(da)说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的(de)研究，而我没有那么多的时间🍆 浪费在一(yi)件可能会失败的事情上。”怀爾斯知道，为(wei)了找到证明，他必须全身心地投入到 这个问题中，但是🐵与希尔伯(bo)特不一样，他愿意冒这个风险。 怀尔斯作了一个重大(da)的决定：要完全独😍立和保密地进行研究(jiu)。他说：“我意识到与费 马大定理有关的🐫任何事情都会引起太(tai)多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中🍡 ，除非你的专心不(bu)被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀💵尔斯放弃了所有 与证(zheng)明费馬大定理无直接关系的工作(zuo)，任何时候只要📨可能他就回到家里工(gong)作，在家里的顶 楼书房里他开始了通过谷山－志村猜想来(lai)证明费马大定理的战😳斗。 这是一场长达7年的持久戰(zhan)，这期间只有他的妻子知道他在证明费🛼马大(da)定理。 欢呼与等待 经过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证明(ming)。作为🌄一个结果，他也證明了 费马大定理。现在是向世(shi)界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议🎈要在剑桥大 学的牛顿研究(jiu)所举行。怀尔斯决定利用这个机会(hui)嚮一群杰出的听众🔌宣布他的工作。他选择 在牛頓研究所(suo)宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他🎶曾经是那里的一(yi)名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪👝最重(zhong)要的一次数学讲座。兩百名数学家聆 听了这一演讲，但他们之中只有(you)四分之一的人完全懂得黑🍢板上的希(xi)腊字母和代数式所表达 的意思。其余的人来这里是为了🚗见证他(ta)们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安 德鲁·怀(huai)尔斯。怀尔斯回忆起演讲最後时刻的😀情景：“虽然新闻界已经刮(gua)起有关演讲的风 声，很幸运他们没有来听演講。但(dan)是听众中有人拍摄了演🌅讲结束时的镜头，研究所所长肯 定事先就准(zhun)备了一瓶香槟酒。当我宣读证明(ming)时，会场🚲上保持着特别庄重的寂静，当我写完 费(fei)马大定理的证明🐮时，我说：‘我想我就在这里结束’，会場上爆发出一阵(zhen)持久的鼓🏍️掌声 。” 《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久(jiu)远的数学之谜获解👒》为题报道 费马大定理被证明的(de)消息。一夜之间，怀爾斯成为世界上最着名的数学家🎴，也是唯一的数(shu) 学家。《人物》杂志將怀尔斯与戴安娜王妃🥹一起列为“本年(nian)度25位最具魅力者”。最有创 意的赞美来自一家国际制衣大公司🌛，他们邀请这位(wei)温文尔雅的天才作他们新系列男装(zhuang)的模 特。 当怀尔🕚斯成为媒体报道(dao)的中心时，認真核对这个证明的工作也在(zai)🚢进行。科学的程序要 求任何数学家将完整的手稿送交一个📟有声望的刊物，然(ran)后这个刊物的编辑将它送交一组审🥠 稿人，审稿人的(de)职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投(tou)到《数学发🎴明》，整整一个 夏天他焦急地等待审稿人的(de)意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被发 現(xian)了。 我的🐅心灵归于平静 由于怀尔斯(si)的论文涉及到大量的数学方法，编辑巴里(li)·梅休尔决定不像通常那样🛷指定 2－3个审稿人，而是6个审稿人(ren)。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章👒。 怀尔斯在此期间中(zhong)断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信🍆這 些问(wen)题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审(shen)查第3章，1993年8月23日，他发现了 证☎️明中的一个小缺陷。数学(xue)的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的(de)每一步都 行得通。怀尔斯🦚以为这(zhe)又是一个小问題，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去(qu)了 ，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准备🪖承认失(shi)败。他向同事彼得·萨克说明自己的情 况，萨克向他(ta)暗示困难的一部分在于他缺少一🦄个能够和他讨论(lun)问題并且可信赖的人。经过 长时间的考虑🚘后，怀尔斯决定邀(yao)请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作 。 泰勒(lei)1994年1月份到普林斯顿📭，可是到了9月，依(yi)然没有结果，他们准备放弃了。泰勒 鼓励他们再坚(jian)持一🦦个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个星期一的早(zao)🗞️ 晨，懷尔斯发现了问题的答案，他叙述了這一时(shi)刻：“突然间，不可思议地，我有了一个 难(nan)以⛅置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有(you)这样的经历……它的美是如 此地难以👜形(xing)容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢🍵相信。然后白天我 到(dao)系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里(li)。” 这是少年时代的梦想和8年潜🐄心努力的终极，怀尔斯终于向世界(jie)证明了他的才能。世 界不再怀疑🔊这(zhe)一次的证明了。这两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数学稿 件(jian)，它们发表在1995年5月的👢《數学年刊》上。怀尔(er)斯再一次出现在《纽约时报》的头版 上，标题是《數学家(jia)称经典之💯谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个(ge)最 终的证明☃️可与分裂原子或发现DNA的(de)结构相比，对费马大定理的证明是人⛩️类智力活動的一 曲凯歌，同时，不能(neng)忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说🐱来(lai)，安 德鲁成果的美和魅力在於它是走向代数数论的(de)巨大🏒的一步。” 声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯获得(de)瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并当选为(wei)🦍美国科学院外籍院士。 怀爾斯说：“……再没(mei)有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥🦮有(you)如 此少有的特权，在我的成年时期实現我童年(nian)的梦想……那段特殊漫长的探索已经结🌫️束了， 我的心已归于平静。” 费(fei)马大定理只有在相对数学理论的建(jian)立之🥡后，才会得到最满意的答案。相对数学理论(lun)没有完成之前，谈这个问题是无力地.因为人们对数量(liang)和自身的认🕍識，还没有达到一定的高度. iii 费马大定理与怀(huai)爾斯的因果律-美国公众广播🌖网对怀尔斯的專访 358年的难解之谜 数学爱好者(zhe)费马提出的这个问题非常簡单，它用一个😝每个中学生(sheng)都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多(duo)年前诞生的毕达哥拉斯定理🍐說：在一个直角三角(jiao)形中，斜边的平方等于两个直角边的(de)平方之和。即X2+Y2=Z2。大🐵约在公元1637年前后(hou) ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时(shi)，他在《算术》这本书靠近问题8的页边处写下了🌐这段文字：“设n是大于(yu)2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整數解(jie)🏜️，对此，我确信已发现一个美妙的证法，但(dan)这里的空白太小，写不下。”费马习惯在页边写下猜想👠，费马大定理是其(qi)中困扰數学家们时间最长的，所以被称為Fermat’s Last Theorem（费马(ma)最后的定理）——公认为有史以来最着名的数学🚏猜想(xiang)。 在畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这(zhe)段神秘留言引🤩发的长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂(kuang)喜。这段历史先后涉及到💖最多產的(de)数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业(ye)数学家的柯西、英年🐆早逝的天才伽罗瓦、理(li)论兼试验大师库默尔和被誉为“法国历史上知(zhi)🏤识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本(ben)数学界的明日之星谷山丰的🍹神秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯(si)凯尔最后一刻的舍死求生等等，都仿佛(fu)是冥🌄冥间上帝导演的宏大戏剧(ju)中的一幕，为最后谜底的解开埋下伏笔。终於，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找(zhao)到🌳谜底，把这出戏推嚮高潮并戛然而止，留下(xia)一段耐人回👞味的传奇。 对怀爾斯而言，证明费马大定理不仅是破译一个🎯难解(jie)之谜，更是去实现一个儿时的梦想。“我10岁时在图書馆找到🕥一本数学(xue)书，告诉我有这么一個问题，300多年前就已经有人解决了它，但却没(mei)☃️有人看到過它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那以后，人们就不断(duan)地求證。这😙是一个10岁小孩就能明白的問题，然后历史上诸(zhu)多伟大的数学家们卻不能解答。于是从那时起，我📣就试(shi)过解决它，这個问题就是费马大定理。” 怀尔斯于1970年先后在牛津(jin)大学和剑桥大学获得数学學士和数学博士☃️学位。“我进入剑桥时(shi)，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是因为我忘了它，而是我认识到我(wo)们所掌握的用来⌚攻克它的全部技术已经反复使(shi)用了130年。而这些技術似乎没有触及问题根本(ben)。”因为担心耗费太多时🌃间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定(ding)理的思索，开始研🎯究椭圆曲線理论——这个看似与证明费马大定理不相关的(de)理论后来却成为他实現💞梦想的工具。 时间回溯(su)至20世纪60年代，普林斯顿数学家朗兰(lan)兹提出了一个大胆的猜🥁想：所有主要数(shu)学领域之间原本就存在着的统一的链接。如果这个猜想(xiang)被证实，意味着在某个🌹数学领域中无法解答的任何问题都有可能通过(guo)这种链接被转换成另一个领域中相应✒️的问题——可(ke)以被一整套新方案解决的问题。而如果在另一个领域内仍然💧难以找(zhao)到答案，那麼可以把问题再转换到下一(yi)个数学领域中……直到它被解决为止(zhi)😉。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够解决曾经(jing)是🕑最深奥最难对付的问题——“办法是领着这些问题周游数学王国的各个风(feng)景勝地”。这个纲领为饱💿受哥德尔不完备定理打击的(de)費马大定理证明者们指明了救(jiu)赎之路——根据不完备定理，费马🥏大定理是不可證明的。 怀尔斯后来正是依(yi)赖于這个纲领才得以证明费🏝️马大定理的：他(ta)的证明——不同于任何前人的尝试——是现(xian)代数学諸多🥿分支（椭圆曲线论，模形式理论，伽罗华表示理(li)论等等)綜合发🐐挥作用的结果。20世纪50年代由两位日本(ben)数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程(cheng)🍩与模形式两个截然不同的数学岛屿间(jian)隐藏着一座沟通的桥梁。随🛑后在1984年，德国数学(xue)家格哈德·費赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想(xiang)：假如谷山—志村猜想成立，则费马大🏦定理为真。这个猜想紧(jin)接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定(ding)理不可摆脱地与谷山—志村猜想链接🚢在一起：如果有人能证明谷山—志村(cun)猜想（即“每一个椭圓方程都🍯可以模形式化”），那么就证明了(le)费馬大定理。 “人类智力活动的一曲凯歌” 懷尔斯诡📒秘的行(xing)踪让普林斯顿的着名数学家同事们(men)困惑。彼得·萨奈🏪克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪怀尔(er)斯在做些什么？……他总是靜悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷(qiong)’了。”尼克·凯兹则🦅感叹到：“一点暗示都没有！”对于這次惊(jing)天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可(ke)能是我平生来见过🦺的唯一例子，在如此长的时间里没有泄露(lu)任何有关工作的信息。这是空前的。 1993年晚春，在经过反复(fu)的试⌚错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯終于完(wan)成了谷山—志村猜想的证明。作为一個结果，他也证🦐明了费(fei)马大定理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一💚，“我目(mu)瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚我失眠了”。 同🥎年6月，怀(huai)爾斯决定在剑桥大学的大型系列讲座上宣(xuan)布🍈这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很多数学界重要人物到场，当(dang)大家终于明白已经离证明费马大(da)定理一步之遥🥕时，空气中充满了紧张。” 肯·里(li)比特回忆說。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如(ru)此精彩的🧧讲座，充满了美妙的、闻所未(wei)闻的新思想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念(nian)，直到最后到达高💋潮。”当怀尔斯在讲(jiang)座结尾宣布他证明了費马大定理时(shi)，他成了全世界媒体的焦点。《纽约(yue)时报🥝》在头版以《终于欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题🌇报(bao)道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为(wei)世界上唯一的數学🕗家。《人物》杂志将怀尔斯与戴(dai)安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。 与此🚄同时，认真核对这个证(zheng)明的工作也在進行。遗憾的是，如同这之(zhi)前的“费马大定理终结者”一样，他的😘证明是有缺陷的。怀尔斯(si)现在不得不在巨大的压力之下修正错💻误，其间数度感到绝望。John Conway曾在(zai)美国公众广播网（PBS）的访谈中說: “当时我们其他人（怀尔🐗斯的同(tong)事）的行为有点像‘苏联政體研究者’，都想知(zhi)道他的想🚡法和修正错誤的进展，但没有人开口(kou)问他。所以，某人会说，‘我今🏺天早上看到怀尔斯(si)了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但看(kan)起🍓来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯准备放弃(qi)了。但他临时邀请的研究搭档泰🦢勒鼓励他再堅持一个月。就在截(jie)止日到来之前两周， 9月19日🍔 ，一个星期一的早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙(xu)述了这一时刻：“突然间，不可思议地💋，我发现了它……它(ta)美得难以形容，简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里(li)转了一圈，又回到桌子旁看⏲️看它是否还在那里——它确实还在那里。” 怀尔斯(si)的证明为🩱他赢得了最慷慨的褒扬，其中最具代表性的是他在剑桥(qiao)时的导师、着名数学家约🦊翰·科茨的评价：“它（证明）是人类智力活动的一曲凯(kai)歌”。 一场曠日持久的猎逐就此结束，从🐴此费马大定理(li)与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提(ti)到一个就不得不提🥈到另外一个。這是费马大定(ding)理与安德鲁·怀尔斯的因果律🥸。 历时八年的最终证明 在怀尔斯不多的(de)接受媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀🗂️爾斯的(de)专访相当精彩有趣，本文节选部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常(chang)人们通过团队来获🏮得工作上的支持，那么當你碰壁时是怎么解决问题(ti)的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖边散散步，散步💯的好处是使你會处于(yu)放松状态，同时你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并(bing)📇不需要书桌，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主意我会🥩找个长椅坐下来打(da)草稿…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑(yi)与成功🍼……你不可能绝对有把握证明。 怀尔斯：我确实相信自己在正确(que)的轨道上，但那并不意味着我一❤️‍🩹定能达到目标——也许仅仅因为(wei)解决难题的方法超出现有的数學，也许我需要的方法☕下个世纪(ji)也不会出现。所以即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错🍖误的世(shi)纪。 NOVA：最终在1993年，你取得了突破。 怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太(tai)，和孩子們出去了。我坐在书桌前思🌼考最后的步骤，不经意间看(kan)到了一篇论文，上面的一行字引起了我的注意。它(ta)提到了一个19世纪的数学结構，我(wo)🥗霎时意识到这就是我该用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下(xia)午三四点时我确信已☘️经证明了费马大定理，然后下楼。Nada很吃惊，以為我这时(shi)才回家，我👞告诉她，我解决了费馬大定理。 最后的修正 NOVA：《纽(niu)约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的(de)数學之谜🐯获解》，但他们并不知道这个证明(ming)中有个错误。 怀尔斯：那是個存在于关键推导中(zhong)的错误，但它如此微📄妙以至于我忽略了。它很抽象，我无(wu)法用简单的语言描述🍵，就算是数学家也需要研习两三个月才能弄(nong)懂。 NOVA：后来你邀请剑桥的数学家理(li)查德·泰勒來协助工作，并🚁在1994年修正了这个最后的错误。问题是，你的(de)证明和费马的证明是同一个吗？ 怀尔斯：不可能😻。这个证明有150页(ye)长，用的是20世纪的方法，在费马时代还不存在。 NOVA：那就是说费马(ma)的最🐁初证明还在某个未被发现的角落？ 怀尔斯：我(wo)不相信他有证明。我觉得他说已经(jing)找到解答了是在哄自己。这個难🏤题对业(ye)余爱好者如此特别在于它可能被17世纪的数(shu)学证明，尽管可能性极其微小。 NOVA：所(suo)以👢也许還有数学家追寻这最初的证明。你該怎么办(ban)呢？ 怀尔斯：对🏛️我来说都一样，费马是我童年的热望。我会(hui)再试其他问题……证明了它我有一丝傷🌆感，它已经和我们一起这么久了(le)……人们对我说“你把我的问题😆夺走了”，我能带给他(ta)们其他的东西吗？我感觉到有责任。我希望通过解决这个😉问题带来的兴奋可(ke)以激励青年数学家们解决其他许许多多的难题。 iv 谷山-志村🗒️定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆(yuan)曲線(代数几何的对象)和模形式(某种数论中用到的周期性全纯函(han)数)之间的重要联系。虽然🔉名字是从谷山(shan)-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和(he)Richard Taylor完成. 若p是一个质⛱️数而E是一个Q(有(you)理数域)上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程🖨️模p;除(chu)了有限个p值，我们会得到有np个元素的有(you)限域Fp上的一个椭圓曲线。然后考(kao)虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要🧇的不变量(liang)。从傅里叶变换，每個模形式也会产生一个数列。一个其序列和(he)从模形式得到的序列相同的椭圆曲线🌹叫做模的。 穀山-志村定说: "所有Q上(shang)的椭圆曲线是模的"。 该定理在1955年9月由谷(gu)山丰🎻提出猜想。到1957年为止，他和志村五郎(lang)一起改进了严格性。穀山于1958年自杀身亡。在1960年🏀代，它和統一数学中的猜想Langlands纲(gang)领联系了起来，并是关键的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重(zhong)新提起并得到🎉推广，Weil的名字有一段时间和它联系在一起。尽管(guan)有明显😊的用处，这个问题的深度(du)在后来的发展之前并未被人们所⌚感觉到。 在1980年代當Gerhard Freay建议谷山-志村(cun)猜想(那时还是猜想)蕴含着🎷費马最后定(ding)理的时候，它吸引到了不少注意力。他通(tong)过試图表明费尔马大定理的🍂任何范例会导致一个非模的椭圆曲(qu)线来做到这一点。Ken Ribet后来证🧣明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证(zheng)明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线🪀的情况)，这个特殊情况(kuang)足以证明费尔马大定理。 完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们👢在Wiles的基(ji)础上，一塊一块的逐步证明剩下的情况直到全部完成。 数(shu)论中类似于费爾马最后定理得几个定理🚦可(ke)以從谷山-志村定理得到。例如:没有立(li)方可以寫成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧📞拉所知) 在1996年(nian)三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有完成给(gei)予他们这个😀成就的定理的完整形式，他们还是被認(ren)为对最终完成的证明有着决🛕定性影響(xiang)。