费马大定理记录片

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始(shi)末，往前回溯🥘来看，1994年正是我在念大学的时候，当时完全没有一位(wei)教授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真正🌉的研究者，自然而然地会(hui)被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他🌖需要的是老师的指(zhi)引，引导他走嚮更高深的专业认(ren)知，而指引的道路，就在科普的精神上。 从费瑪最后🚞定理的历史中可以发现，有(you)许多研究成果，都是研究人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后(hou)再🧮尝试用逻辑验证。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解 1. 1963年 安(an)德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝🖼️尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里(li)開始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角(jiao)三角形，斜边的平方🍅=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数(shu)解 3. 费瑪 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的問题8时，在页边🥲写下(xia)了註记 「不可能将一个立方数写成(cheng)两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次(ci)幂之和🏤；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂，写成两个同样次幂(mi)🌐的和。」 「对这个命题我有一个十分美妙的证明，这里(li)空白太小，写不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的📊「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他(ta)註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解 莱昂哈德(de)‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是质(zhi)数，现在只🦊要证明费玛最後定理对於所有的质数都成立 但 欧基里德(de) 证明🗺️「存在无穷多个质数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼(man) 针对 (2p+1)的质数，证明了🐶 费玛最後定理 "大概(gai)" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛(ma)利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证💭明，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了(le) n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经(jing)證明了 费玛最后定🗼理 最后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西(xi)與拉梅的证明，都因为「虚数😂没有唯一因(yin)子分解性质」而失败 库默尔证明了 费玛最后定(ding)理的完整证明 是当时数学方🌍法不可能实现的 10.1908年 保罗‧沃爾夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补(bu)救了库默尔的证明 这表示 费玛最後定🐃理的完(wan)整证明 尚未被解决 沃尔夫斯凱尔提供了 10万马克 给提供(gong)证明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月❤️‍🩹8日 大卫‧希尔伯特(te)，提出数学上23个未解决的问题且相信这是迫(po)切需要解决的🐏重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可(ke)判定性定理 第一不可判定🏔️性定理：如果公理集合论是(shi)相容的，那么存在既不能证🎭明又不能否定的定理。 => 完全性是不可能達(da)到的 第二不可判定性定理：不存🎼在能证明公(gong)理系统是相容的构造性过程。 => 相容性永远(yuan)不可能证明 13.1963年 保罗‧科💈恩 Paul Cohen 发展了(le)可以检验给定问题是不是不可(ke)判定的方法（只适用少数情形） 证明希尔(er)伯特23个问题中🖤，其中一个「连续统假设」问题是不可判定的，这对於费玛最(zui)后定理🐱来说是一大打击 14.1940年 阿伦‧图靈 Alan Turing 发明破(po)译 Enigma编码 的反转机 开始有人利用🌓暴力解决方法，要对 费玛最后定理 的n值一个(ge)一个加以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这(zhe)个推想🍡，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀爾斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆(yuan)曲线 研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数解🕝，这跟费玛最后定理一样(yang) ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存🏷️在一个数26，他是夹在一个(ge)平方数与一个立方数中间) 由於要🎉直接找出椭圆曲线(xian)是很困难的，为了简化问题，数學家採用(yong)「时鐘运算」方法 在五格🚀时鐘运算中， 4+2=1 椭圆(yuan)方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个解 对(dui)於椭圆曲线，可写🤭出一个 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷(gu)山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式 模型式(shi)的🃏要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式的 M序列 要素個数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的(de)范例 1955年9月 提出模型式的 M序🥊列 可以对应到椭圆曲线(xian)的 E序列，两个不同领域的理论突然被连接在一(yi)起 安德列‧韦依 採纳这个想法☘️，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗(lang)兰兹纲领」的计画，一个统一🎋化猜想的理论，并开(kai)始寻找统一的环链 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假設费玛(ma)最后定理♣️是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程(cheng)式 (2) 弗赖椭圆方程式太📒古怪了，以致於无法被模(mo)型式化 (3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被(bei)模型式化 (4) 谷山-志🚉村猜想 是错误的(de) 反过来说 (1) 如果 谷山-志村猜想 是对的，每一🛷个椭(tuo)圆方程式都可以被模型式化 (2) 每(mei)一个椭圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式(shi)🧿 (3) 如果不存在弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解 (4) 費玛最后定理是对(dui)的 20.1986年 肯‧贝里特🛣️ 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型(xing)式化 如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表📿示费瑪最后(hou)定理也是正确的 21.1986年 安德鲁‧怀尔(er)斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月(yue)发表一篇小论文，然后自己独力🥦尝试证明谷山-志村(cun)猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽🥪罗瓦 的群论(lun)，希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几🎚️何(he)学证明谷山-志村猜想，但结果失(shi)败 23.1989年 安德鲁‧怀爾斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解🧁成无限(xian)多项，然后也證明了第一项必定是模(mo)型式的第一项🛰️，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果(guo)失败 24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分🕰️类后的椭圆方程式都奏效 25.1993年 寻(xun)求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验证证🎊明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会(hui)议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明 27.1993年9月 尼克(ke)‧凯兹 Nick Katz 发现一😎个重大缺陷 安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles 又開始隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望在这(zhe)时候公布证明🌛，让其他人分享完成证明的甜美果实 28.安德鲁‧怀(huai)爾斯 Andrew Wiles 在⌨️接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议(yi)下，找到理查德‧泰😚勒的协助 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论(lun)与 科利瓦金-弗莱契 方法就能夠完全解决问题 30.「谷(gu)山-志村🚝猜想」被证明了，故得证「费玛最后定理」 ii 费马大定理 300多(duo)年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写🎁下了一个定理：“设n是大于(yu)2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣称他发现了(le)这个定理的📉一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的(de)证明。300多年过💒去了，不知有多少专業数学家和业余数学爱好者绞尽(jin)脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是🥒纯数学中最着(zhe)名的定理—费马大定理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初(chu)🕖学习法律并以当律师谋生，后来成为议(yi)会议員，数学只📣不过是他的业余爱好，隻能利用闲暇来研究。虽然年近30才认(ren)真注意数学，但费马对數论和📮微积分做出了第一流的贡献。他與笛卡儿几乎(hu)同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的探(tan)索🌄者之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费马(ma)只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一(yi)个🚃被证明是错的，一个未被证明外，其余的陸续被后来的数学家所证(zheng)实。这唯一未被证明的定理就是上🏟️面所说(shuo)的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理(li)，所以又称为费💋马最后定理。 费马大定理虽然至今仍没有(you)完全被证明，但已经有了很大进展，特别是🔊最(zui)近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费🥄马(ma)大定理都成立。1983年一位年轻的德国數学家法尔廷斯证明(ming)🍯了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数(shu)学界的最高奖之一费尔兹🏢奖。1993年英国数学家威爾斯宣布证明了(le)费马大定理，但随後发现了证明中的一个漏洞并作(zuo)了修正。虽然威尔斯证🐈明費马大定理还没有得到数学界的一致公(gong)认，但大多数数学家认为他🕧证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们(men)看到了希望。 为了尋求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又(you)🖋️一代的数学家们前赴后继，却壮志未(wei)酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过(guo)8年的孤军奋🚎战，用13 0页長的篇幅证明了(le)费马大定理。怀尔斯成为整个數学界的英雄。 费马大定理提出的🌠问题非(fei)常简單，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定(ding)理——毕達 哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生⌨️的毕(bi)达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中， 斜边的平方等于兩直角(jiao)边🐱的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在 研究毕达哥拉(la)斯方程时，他写下一✉️个方程，非常类似于(yu)毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个(ge)方程没有任何整数解。费馬在《算术》这本书的靠近问题8的🍠页(ye)边处记下这 个结论的同时又写下一个附加的评注(zhu)：“对此，我确信已发现一个美妙的证法(fa)，這里的空🙈 白太小，写不下。”这就是数(shu)学史上着名的费马大定理或称费马最后的定🎓理。费(fei)马制造了 一个数学史上最深奥的谜。 大(da)问题 在物理学、化學或生物学中，还没有任何问题(ti)可以叙述得如🎹此简单和清晰，却长久不 解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到， 文(wen)明世界也許在费马🚍大定理得以解决之前就(jiu)已走到了尽头。证明费马大定理成为数(shu)论中最 值得为之奋斗的事。 安🏪德鲁·怀尔斯1953年出生在英(ying)国剑桥，父亲是一位工程学教授(shou)。少年時代的怀尔斯 已着迷于数学了。他在👓后来(lai)的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把(ba)它们带回家， 编写成我自己的🔔新题目。不过(guo)我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里🦍发现的。 ”一天，小怀(huai)尔斯在弥尔頓街上的图书馆看见了一本书，这本书只(zhi)有一个問题而没有解答🌼 ,怀尔斯被(bei)吸引住了。 这就是E·T·贝尔写的《大问題》。它叙述了费马大定(ding)理的历史，这个定理让一个又 一个的數🍽️学家望(wang)而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决(jue)它。怀爾斯30多年后回忆 起被引向🎂费马大定理时的感觉：“它看(kan)上去如此简单，但历史上所有的大🚠数学家都未能解 决它。这里(li)正摆着我——一个10岁的孩子——能理解(jie)的问题，從那个时🕖刻起，我知道我(wo)永 远不会放弃它。我必須解决它。” 怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数🥹学(xue)學士学位，之后进入剑桥大学Clare 学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有😆从(cong)事费马大定理研究。他说：“研究费马可能 带来的问题是🛳️：你花费了多年(nian)的时间而最终一事无成。我的导师(shi)约翰·科茨(John Coate s)正在研究椭圆曲線☎️的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记(ji)得一位同事 告訴我，他有一个非常好的、刚完成数学(xue)🦨学士荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其 为学生。我非常荣幸有(you)安德鲁这样的学生。即使🦊从对研究生的要求来看，他也有很深刻的 思想，非(fei)常清楚他将是一个🛟做大事情的数学家。当(dang)然，任何研究生在那个阶段直接开始研 究费马大(da)定理是不可能的，即使对资历很深🚦的数学家(jia)来说，它也太困难了。”科茨的责任 是为怀尔斯找到某种至少能使(shi)他在今后三年裡有兴趣去研究🚖的问题。他说：“我认为研究 生导师能为学生(sheng)做的一切就是设法把他推向一(yi)个富有成果的方向。当然，不能保🛶证它一定 是(shi)一个富有成果的研究方向，但是也许年长的(de)数学家在这个过程中能做的一件事是使用他 的常🩴識、他对好领域的直觉。然(ran)后，学生能在这个方向上有多🎠大成绩就是(shi)他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应該研究数学中称为椭圆曲(qu)线的领域。这个决🔍定成为怀尔斯职业(ye)生涯中的 一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的工(gong)具。 孤独的战🕔士 1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美(mei)国普林斯顿大学，并成为这所大学 的教授。在科茨的指导下🤓，怀尔斯或许(xu)比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一 个着名的数论(lun)学家，但他清🥪楚地意识到，即使以他(ta)广博的基础知识和数学修养，证明费(fei)📆马 大定理的任务也是极为艰巨的。 在怀尔斯的费马大定理(li)的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两🌐个非 常不同的(de)数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的(de)一个傍晚，我正在一个朋 友家中啜饮🚉冰茶。谈话间他随意(yi)告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山－志村猜想(xiang)与费马大 定理间的联系。我感到极大的震动。我🗨️记得那个(ge)时刻，那个改变我生命历程的時刻，因为 这意味着(zhe)为了证明费马大定理，我必须做💷的一切就是证明谷山－志(zhi)村猜想……我十分清楚 我應该回家去🏢研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望(wang)见了一条实现他童年梦想的道路。 20世纪初(chu)，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为💻什么(me)不去尝试证明费马大定理，他 回答说：“在开始着手之(zhi)前，我必须用3年的时间作深入的研究(jiu)，而我没有🕙那么多的时间 浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了(le)找到证明，他必须全身心地投🍜入到 这个问题中，但是与希尔伯特不一(yi)样，他愿意冒这个风险。 怀🏡尔斯作了一个重大的决定：要完(wan)全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与🗾费 马大定(ding)理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣🐚。你确实不可能很(hen)多年都使自己精力集中 ，除非你的专(zhuan)心不被他人分散，而这一点会🎴因旁观者太多而做不到(dao)。”怀尔斯放弃了所有 与证明费马大定理无直接关系🥨的工作(zuo)，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶 楼书房里他开始了通过(guo)谷山－志村猜想来🧧证明费马大定理的战斗。 这是一场长达7年的持久(jiu)战，这期间只有他的🥘妻子知道他在证明費马大定理。 欢呼与等待 经过7年的(de)努力🚡，懷尔斯完成了谷山－志村猜想的(de)证明。作为一个結果，他也证明了 费马大定理。现在💗是向世界公布的时候了(le)。1993年6月底，有一個重要的会议要在剑桥大 学的牛🙊顿研究所举行。怀尔斯决定(ding)利用这个机会向一群杰出的听众宣布他🛍️的工作。他选择(ze) 在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家(jia)乡，他曾经是那里的一名研🔦究生。 1993年6月23日，牛(niu)顿研究所举行了20世纪最重要的一次数學讲座。两(liang)百名数🪡学家聆 听了这一演讲，但他们之中只(zhi)有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式(shi)所🧁表达 的意思。其余的人來这里是为了见证他们(men)所期待的一个真正具有意义的时刻💫。演讲者是安 德鲁·怀尔(er)斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻🏎️的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲(jiang)的风 声，很幸运他📒们没有來听演讲。但是听众中(zhong)有人拍摄了演讲结束时的镜🏔️头，研究所(suo)所长肯 定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读(du)证🦒明时，会场上保持着特别庄重的(de)寂静，當我写完 费马大定理的证🦎明时，我说：‘我(wo)想我就在这里结束’，会场上爆发出一(yi)阵持久的鼓掌声 。” 《纽约时报》在头🐈版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之(zhi)谜获解》为题报道 费马大定理被(bei)证明的消息。一夜之间，怀尔斯成🛰️为世界上最着名的数学(xue)家，也是唯一的数 学家。《人物》杂志将(jiang)怀尔斯与戴安娜王妃一起列🚁为“本年度(du)25位最具魅力者”。最有创 意的赞美来自一(yi)家国际制衣大公司，他们💝邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模(mo) 特。 当怀尔斯成为媒体报道的中👻心时，认真核对这个证明的工作也在进行(xing)。科学的程序要 求任何数学家将完整的手稿送交💌一个有声(sheng)望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送(song)交一组审 稿人，审稿人的职责是进行逐🍄行的审查证明(ming)。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个 夏天他焦急地等待審🐴稿人的意见，并(bing)祈求能得到他们的祝福。可是，證明的一个缺陷被发 现了。 我的心灵归于平(ping)静 由于怀尔斯的论文🐮涉及到大量的数(shu)学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常🪁那样指定 2－3个(ge)审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。 怀尔斯(si)🦁在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信(xin)这 些问题💹不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年(nian)8月23日，他发現了 证明中的一个小缺陷🍽️。数学的絕对(dui)主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步🦧都(dou) 行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办法可能(neng)就在近旁，可是6個多月过去🥾了 ，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境(jing)，他准备承认失败。他向🗽同事彼得·萨克(ke)说明自己的情 况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和(he)他討论问题🥏并且可信赖的人。经过 长时间的考(kao)虑后，怀尔斯决定邀🐻‍❄️請剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起(qi)工作 。 泰勒1994年1月份到普林斯顿，可🎯是到了9月，依然没有結果，他(ta)们准备放弃了。泰勒 鼓励他们🚋再坚持一(yi)个月。懷尔斯决定在9月底作最后一次检查(cha)。9月19日，一个星期一的早 晨，怀尔斯(si)发现了问😊题的答案，他叙述了这一时刻：“突然(ran)间，不可思议地，我有了一个 难以置信的发现。这🐽是我的事业中最(zui)重要的时刻，我不会再有這样的经历……它的美是如 此地(di)难🏒以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟(zhong)的时间我呆望它不敢✨相信。然后白天我 到系里转了一圈，又回到桌子旁(pang)看看它是否还在——它还在那里。” 这是少(shao)年时代的梦想⏰和8年潜心努力的终极，怀(huai)尔斯终于向世界证明了他的才能。世 界不再(zai)怀疑这一次的证明了。这两篇🌫️论文总共有130页，是歷史上核查(cha)得最彻底的数学稿 件，它们发表在1995年5月的《数学年(nian)刊》上。怀尔斯再一次出现📭在《纽约时报》的头版 上，标题是《数学家称经典之谜(mi)已解決》。约翰·科茨说：“用数🌂学的术语来说，这个最 终的证明可与分裂(lie)原子或发现DNA的结构相比，对🍴费马大定理的证明是人类智力活動(dong)的一 曲凯歌，同时，不能忽视的事實🎋是它一(yi)下子就使数学发生了革命性的变化。对我说(shuo)来，安 德♦️鲁成果的美和魅力在于(yu)它是走向代数数论的巨大的一步。” 声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔(er)斯🕡获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃(wo)尔夫奖，并当选为美国科学院🎣外籍院士。 怀爾斯说：“……再没有别的问题能(neng)像费马大定理一样对我有同🖼️样的意义。我拥有如(ru) 此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦(meng)想🥠……那段特殊漫长的探索已经结束了， 我的心已归于平静(jing)。” 费马大定理只有在相对数学理论的🗞️建立之后，才会得到最满意的答案(an)。相对数学理论没有👓完成之前，谈这个(ge)问题是无力地.因为人们对数量和自身的认识🕡，还没有達到一定的高度. iii 费马(ma)大定理与怀尔斯的因果律-美国公众广播网对(dui)怀爾斯的专访 358年的难解之谜🥉 数学爱(ai)好者费马提出的这个问题非常(chang)简单，它用一个每个中学生都熟悉的数(shu)学定理——毕达哥🎗️拉斯定理来表达。2000多年(nian)前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直(zhi)角三角形中，斜边的平方等🤩于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约(yue)在公元1637年前后 ，当费马在研究🏉毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书靠(kao)近问题8的页边处写下了这段文字：“设n是大于2的正整数，则不定方(fang)程xn+yn=zn没有🦆非整数解，对此，我确信已发现一个美妙的证法，但(dan)这里的空白太小，写不下。”费马习惯在页边🐌写下猜(cai)想，费馬大定理是其中困扰数学家们时间最長的，所🏟️以被称为Fermat’s Last Theorem（费(fei)马最后的定理）——公认为有史以来最着名的数学猜(cai)想。 在暢销书作家西蒙·辛格🥁（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言(yan)引发的长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这(zhe)段历🍢史先后涉及到最多产的数学大师欧拉、最伟(wei)大的数學家高斯、由业余转为职业数学家的柯西、英⛸️年早逝的(de)天才伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和被誉为“法国历(li)史上知识最为高深的女性”的苏菲(fei)·姬尔🛕曼……法国数学天才伽罗瓦的遗言(yan)、日本数学界的明日之星谷山丰📹的神秘自杀、德国數(shu)学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最后(hou)一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间(jian)上帝🌯导演的宏大戏剧中的一幕，为最(zui)后谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀🏰尔斯出现了(le)。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然(ran)而止，留下一段耐人回味的传奇。 对怀尔斯而言，证明费🏤马大定理不(bu)仅是破译一个难解之谜，更是去实现一个儿时的梦想。“我10歲(sui)时🩴在图书馆找到一本数学书，告诉我有这么一个問题，300多年前(qian)就已经有人解决了它，但却没⛄有人(ren)看到过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那以后，人(ren)們就不断地求证。这是一个10岁小孩就能明白的🤪问题，然后歷史上诸多伟大(da)的数学家们却不能解答。于是从那时起，我就试过解决它，这个问(wen)😅题就是费马大定理。” 怀尔斯于1970年先后在牛津大学和剑桥大(da)学获得数学学士🦮和数学博士学位。“我进入剑桥時，我真正把费马大定理(li)搁在一边了。这不是因为我忘了(le)它，而❤️‍🩹是我认识到我们所掌握的用来(lai)攻克它的全部技术已经反复使用了130年。而这(zhe)些技术似乎没有触🐱及问题根本。”因为担心耗费太多时间而一无所(suo)获，他“暂时放下了”对费马大定理的思索，开始研究椭(tuo)圆🏤曲线理论——这个看似与证明费马大定理不相關的理论后来(lai)却🌭成为他实现梦想的工具。 时間回溯至20世纪60年(nian)代，普林斯顿数👓学家朗兰兹提出了一個大胆的猜想(xiang)：所有主要数学领域之间原本就🎈存在着的统一的链接。如果这个猜想被证(zheng)实，意味着在某个数学领域中无法解答的任何问(wen)🐖题都有可能通过这种链接被转换成另一个领域中相應的(de)问题——可以被一整套新方案解决的问🦤题。而如果在另一个领域内仍然难以(yi)找到答案，那么可以把问题再转换到🔍下一个数学领域中……直到它被解决为(wei)止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们(men)将能够解决曾经是最深奥🍿最难对付的問题——“办法是领着这些(xie)问题周游数学王国的各个风景胜地”。这个🚄纲领为饱受哥(ge)德尔不完备定理打擊的费马大定理证明者们指(zhi)明了救赎之路——根据不完备定理，费马大(da)🖨️定理是不可证明的。 怀尔斯后来(lai)正是依赖于这个纲领才得以证🥹明费马大定理的：他的证明——不同于(yu)任何前人的尝试——是现代数学诸多分支（椭圆(yuan)🕠曲线论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综合发揮作用的结果(guo)。20世纪50年代由两位日本數学家（谷山丰和志🦃村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗(an)示：椭圆方程与模形式两个截然(ran)不同的数学岛屿间隐🏠藏着一座沟通的桥梁(liang)。随后在1984年，德国数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）給❄️出了如下猜(cai)想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大定理为真。这个猜想紧接(jie)着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此🕛，费马大(da)定理不可摆脱地与谷山—志村猜想链接在一起：如果有人能证(zheng)明谷山🐅—志村猜想（即“每一个椭圆方程都可以模形式化(hua)”），那么就证明了费🚊马大定理。 “人类智力活动(dong)的一曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让普林(lin)斯顿的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈(nai)🤑克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪怀尔斯在做些什(shen)么？……他总是静悄悄的，也许他已经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则(ze)感叹到：“一点暗📺示都没有！”对於这(zhe)次惊天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我(wo)平生来见💘过的唯一例子，在如此长的时间里没有(you)泄露任何有关工作的信🦒息。这是空前的。 1993年晚春，在經(jing)过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷山—志村(cun)猜想的證明。作🥓为一个结果，他也证明了费马大定理(li)。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我目瞪💯口呆、异常激动(dong)、情绪失常……我记得当晚我失眠了”。 同年6月，怀尔斯决定在剑桥大(da)学的大🍻型系列讲座上宣布这一证明。 “讲座气氛(fen)很热烈，有很多数学界重要人物到(dao)场，当大家终于明白已经🥯离证明费马大(da)定理一步之遥时，空气中充满了紧张。” 肯·里比特回🦄忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也(ye)忘不了那一刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座，充满(man)了美妙的、闻所未闻🙊的新思想，还有戏剧性的铺垫，充(chong)满悬念，直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣布🌩️他证明了费馬大(da)定理时，他成了全世界媒体的焦点。《纽约(yue)时报》在頭版以《终于欢呼“我发现了!”久🤿远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报(bao)道费马大定理被证明的消息。一夜之(zhi)间，怀🎎尔斯成为世界上唯一的数学家。《人物》杂志将怀(huai)尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年(nian)度25位最具🛣️魅力者”。 与此同时，认真核对这个证明的工作也在进行。遗(yi)憾的是，如同这之前的“费馬大定理终结🕶️者(zhe)”一样，他的证明是有缺陷的。怀尔(er)斯现在不得不在巨大的压力之下(xia)修正错误，其间数💌度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中(zhong)说: “当时我们其他人（怀💙尔斯的同事）的行为有点像‘苏联政(zheng)体研究者’，都想知道他的想法和修正錯误的进展🥫，但没有人开口问他。所以(yi)，某人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他🐘倒是有微笑，但(dan)看起來并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯准备放弃了。但他临时邀请(qing)的研究搭档泰勒鼓🤭励他再坚持一个月。就在截止日到来之前两(liang)周， 9月19日 ，一个星🌒期一的早晨，怀尔斯发现(xian)了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突🎿然间，不可思议(yi)地，我发现了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然(ran)后我到🍡系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在那(na)里——它确實还在那里。” 怀尔斯的证明为他(ta)赢得了最慷😼慨的褒扬，其中最具代(dai)表性的是他在剑桥时的导師、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是人🦓类智(zhi)力活动的一曲凯歌”。 一场旷日持久的猎逐就此结束，从此(ci)费馬大定理与安德鲁·怀尔斯的名🥨字紧紧地被(bei)绑在了一起，提到一个就不得不提(ti)到另外一个。这是费马大定理與安德鲁·怀尔🚖斯的因果律。 历时八年的(de)最终证明 在怀尔斯不多的接受媒体采访中(zhong)，美国公众🦫广播网（PBS）NOVA节目对懷尔斯的专访相(xiang)当精彩有趣，本文节选部分以飨读者。 七年🍮孤独 NOVA：通常人们通过团队(dui)来獲得工作上的支持，那么当你碰壁📱时(shi)是怎麼解决问题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖边散(san)散💝步，散步的好处是使你会处于放(fang)松状态，同时你的潜意識却在继续工作。通常遇😆到困扰时你并不(bu)需要书桌，而且我随时把筆纸带上，一旦有好主🧐意我会找个长椅坐下來打(da)草稿…… NOVA：这七年一定交织着自我怀疑与成🎄功……你不可能绝(jue)對有把握证明。 怀尔斯：我确实相信自己在正确的(de)轨道上，但那并不意味着我一定能达到目标(biao)🦥——也许仅仅因为解决難题的方法超出现有的数学，也许(xu)我需要的♥️方法下个世纪也不会出现。所以即便我在正确的轨道(dao)上，我却可能生活🌥️在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年(nian)，你取得了突破。 怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和🕕孩子们出去(qu)了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看到(dao)了一篇论文，上面的一行字引起(qi)😃了我的注意。它提到了一个19世纪的数学(xue)结构，我霎时意识到这🏒就是我该用的(de)。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点时我确信已经证明了(le)费马大定理🍷，然后下楼。Nada很吃惊，以为我这时才回(hui)家，我告诉她，我解决了费马大定理。 最后的修正 NOVA：《纽约时报》在(zai)头版🏫以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》，但他们并不知道这个证👗明(ming)中有个错誤。 怀尔斯：那是个存在于关键推导中的错误，但它如☄️此微(wei)妙以至于我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言描述，就算是数学(xue)家也需要研⛅习两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你(ni)邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来(lai)协助工作，并在1994年修正🌿了这个最后的错误。问题是，你的证明和费马的证明是(shi)同一个吗？ 怀尔斯：不可能。这个证明有150页长，用的是20世🏑纪的方法，在费马时代(dai)还不存在。 NOVA：那就是说费马的最初证明还在某个未被发(fa)现的角落？ 怀尔斯：我不相信🌉他有证明。我觉得他说已经(jing)找到解答了是在哄自己。这个难题对👓业余爱好者如此特别在(zai)于它可能被17世纪的数学证明，尽(jin)管可能性极其微小。 NOVA：所以🍸也许還有数学家追寻这最初的证明。你该怎么办(ban)呢？ 怀尔斯：对我来说都一样，费马😉是我童年的热望。我会再试其他问题……證(zheng)明了它我有一丝伤感，它已经和我们一起这么久了(le)……人🏢们对我说“你把我的问题夺走了”，我能带给他们其他的💦东西吗(ma)？我感觉到有责任。我希望通过解决这个问(wen)题带来的兴奋可以激励青年数学家们解决其他许(xu)许多🥸多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何的对(dui)象)和模形式(某种數论中用到的周📹期性全纯函数)之(zhi)间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想(xiang)而来,定🛤️理的證明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完(wan)成. 若p是一个质数而E是一个Q(有理数🌆域)上的一个(ge)椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p;除了有限个p值，我们📒会得到(dao)有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列(lie) ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要🙃的不变量。从傅里叶变换(huan)，每个模形式也會产生一个数列。一个📩其序列和从模形式得到的序(xu)列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说: "所有Q上(shang)的椭圆曲线是模🗼的"。 該定理在1955年9月由谷山丰提出(chu)猜想。到1957年為止，他和志村五郎一起改进了严格性。谷🛑山于1958年自杀(sha)身亡。在1960年代，它和统一数学中的猜想Langlands纲领联(lian)系了起来，并是关键的组💧成部分。猜想由(you)André Weil于1970年代重新提起并得到推广，Weil的名字有一段時间和它联系在一(yi)起。尽管有明显的🌙用处，这个问题的深度在后来的发展(zhan)之前并未被人们所感觉到。 在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那(na)🐈‍⬛时還是猜想)蕴含着费马最后定理的时候，它吸引到了🌿不少注意(yi)力。他通过试图表明费尔马大定(ding)理的任何范例会导致一个非👘模的椭圆曲(qu)线来做到这一点。Ken Ribet后来证明了这(zhe)一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证明了谷山-志村(cun)🍶定理的一个特殊情况(半稳定椭圆曲线的(de)情况)，这个特殊情况足以证明费尔马大定理。 完整的证明(ming)最后於1999年由✒️Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的逐步证明剩下的情况(kuang)直到全部完成。 数论中🛺类似于費尔马最后定理得几个定理可以从(cong)谷山-志村定理得到。例如:没有🐥立方可以写成两个互质n次幂的和(he), n ≥ 3. (n = 3的情况已為欧拉所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃(wo)尔夫奖📿。虽然他们都没有完成给予他们这个成就的定理的完整(zheng)形式，他们还是被认为对最终完成的证明有着决定🍻性影响。