费马大定理有什么作用

本片从证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀爾(er)斯 Andrew Wiles开始谈起🥙，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看，1994年正(zheng)是我在念大学的时候，当时完全没(mei)有一位教授在课堂⛰️上提到这件事，也许他们认为，一位真正(zheng)的研究者，自然而然地🎂会被数学吸引，然而对一位不是天(tian)才的学生来说，他需要的是老師的指引，引导🚅他走向更高深的专業认知，而(er)指引的道路，就在科普的精神上(shang)。 从费玛最後定理的历史中可以发现，有许🐻多研究成果(guo)，都是研究人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命⛵题，然后再尝試用逻辑验证(zheng)。 费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 時，不存在整数解 1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃(ai)里🐨克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这(zhe)里开始。 2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形🦔，斜边的平方=另外两(liang)边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕氏(shi)定理的整数解 3. 费玛 Fermat 在研究🧈丢番图(tu) Diophantus 的「算数」第2卷的问題8时，在页边写下了註记 「不可能将一个立方数写成两个(ge)立方数之和；或者将一个四次😘幂写(xie)成两个四次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂，写成两🎫个同(tong)样次幂的和。」 「对这个命题我有一个十分美妙的证明，这里空白太小(xiao)，写📅不下。」 4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢番图的算数」 5. 在Fermat的其他🍩註记中，隐(yin)含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 時无解 莱昂哈德‧欧(ou)拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解 3是🥇质数，现在隻要证明费玛最后定理对於所(suo)有的质数都成🎒立 但 欧基里德 证明「存在无穷多个质(zhi)数」 6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最后定理🌤️ "大概" 无解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒(lei)瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-瑪利埃‧勒让德 延伸热尔曼的证明(ming)，证明了 n=5 无解 8. 1839年 加布里🦜尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解 9. 1847年 拉梅 与(yu) 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最🍵后定理 最后是(shi)刘維尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数(shu)没有唯一因子分解性质」而☁️失败 库默尔证明了 费玛最后定理的完整证(zheng)明 是当时数学⭐方法不可能实现的 10.1908年 保罗‧沃尔(er)夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默爾的证明 这📒表示 费玛最后定理的完整证明(ming) 尚未被解决 沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提🥔供证(zheng)明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提🍜出(chu)数学上23个未解决的问题且相信这是(shi)迫切需要解决的重要问题 12.1931年 库特‧哥德尔 不可判🛼定(ding)性定理 第一不可判定性定理：如果公理集合论是相容的，那(na)么存在既不能证明又不能否定🏜️的定(ding)理。 => 完全性是不可能达到的 第二不可判定性定理(li)：不存在能证明公理系統是相容的🐼构造性(xing)过程。 => 相容性永远不可能证明 13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了(le)可以检验给定问题是不是不可判定😎的方法（只适用少数(shu)情形） 證明希尔伯特23个问题中，其(qi)中一个「連续统假设」问题是不可判📠定(ding)的，這对於费玛最后定理来说是一大打击 14.1940年 阿倫‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编(bian)码 的反转机🐔 开始有人利用暴力解决方法，要(yao)对 费瑪最后定理 的n值一个一个(ge)加🎗️以证明。 15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存(cun)在解这个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=206156734 16.1975年 安德鲁‧怀尔⌚斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲(qu)线 研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数解，这🌗跟费玛最后定理一(yi)样 ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹🦇在一个(ge)平方数与一个立方数中间) 由於要直接找出椭圆🎈曲线是很困难的，为(wei)了简化问题，數学家採用「时鐘运算」方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程🕊️式 x3-x2=y2+y 所有(you)可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个解 对於(yu)椭圆曲线，可写出一个 E序✉️列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻(xun)常的對称性的💿 modular form 模型式 模型式的要素可从1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...） 每个模型式(shi)的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例 1955年9月 提出模型🗳️式的 M序列 可以对应(ying)到椭圆曲线的 E序列，两个不同领域的理论突然被连接在一起(qi) 安德列‧韦依🚏 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」 18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计(ji)画，一个统一化猜想的理论，并🌄开始寻找统一的环链(lian) 19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有(you)整數解，则可将方程🚏式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖(lai)椭圆方程式太古怪了，以致於无法被模型式化 (3) 谷山-志🐀村猜想 断言每一个椭(tuo)圆方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是错误的(de) 反过来说 (1) 如果🧳 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圆方(fang)程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭圆方🐼程式都可以被模型式化，则不存在弗(fu)赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗赖椭(tuo)圆方程式，那麼xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛🥽最后定理是对的(de) 20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被🛞模型式化 如果有人(ren)能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后定理🛶也是正确的 21.1986年 安德鲁(lu)‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然后自🎞️己独力尝(chang)试证明谷山-志村猜想，策略是利用(yong)归纳法，加上 埃瓦里☄️斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序列以「自然(ran)次序」一一对应到M序列 22.1988年 宫冈洋一 发表🎥利用微分幾何学证明谷(gu)山-志村猜想，但结果失败 23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经🏵️将椭圆方程式拆解成无限多(duo)项，然后也证明了第一项必定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃(wa) Iwasawa 理论，但🛰️结果失败 24.1992年 修改 科利瓦金(jin)-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方程式都奏效 25.1993年 寻求同事 尼克‧凯(kai)兹 Nick Katz 的协😹助，开始對验证证明 26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀(huai)尔斯 Andrew Wiles 发表穀山-志村猜想📆的证明(ming) 27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又(you)开始隐居，尝试独力解决缺陷，他📀不希望在这时(shi)候公布证明，让其他人分享完成证明的🏕️甜美(mei)果实 28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查🏙️德(de)‧泰勒的协助 29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与(yu) 科利瓦金-弗🥹莱契 方法就能够完全解决问题 30.「谷山-志村猜想」被证明(ming)了，故得证「费玛最后定理」 ii 费❤️‍🔥马大定理 300多年以前，法國数学家费马在一本书(shu)的空白处写下了一个定理：“设n是💒大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零(ling)整数解”。 费马宣称他發现了这个定理的一个🕹️真正奇妙的证明(ming)，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去(qu)了，不知有多少专业数学家和业🦮余数学爱好者绞尽腦汁(zhi)企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着🗓️名(ming)的定理—费马大定理。 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习(xi)法律并以当律师谋生，后😃来成为议会议員，数学只(zhi)不过是他的业余爱好，只能利用闲暇(xia)来研究🛫。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做🚲出(chu)了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时創立了解(jie)析几何，同时又是17世纪兴起的概率(lü)论的探索者📺之一。费马特别爱好(hao)數论，提出了许多定理，但费马只(zhi)对其中🌁一个定理给出了证明要点，其他(ta)定理除一个被证明是错的，一个✨未被证明(ming)外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理(li)就是上面所说的费马大定理，因📙為是最后一个未被证明对或错的定理，所以(yi)又称为费马最后定理🎯。 费马大定理虽然至(zhi)今仍没有完全被证明，但已经有了(le)很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦(wa)格斯👕塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立(li)。1983年一位年轻的德国👻数学家法尔廷斯证明了(le)不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的(de)突出📗贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖(jiang)之一费尔兹獎。1993年英国数学家威尔斯🍞宣布证明了费马大定理，但随后发现了(le)证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威(wei)尔斯证明费马大定理还没有😺得到數学界的(de)一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑(yi)问，这使人们看🚆到了希望。 为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代(dai)又🍂一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。1995年，美(mei)国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯🍑教授经过8年的孤军奋战(zhan)，用13 0页长的篇幅证明了费马大定理。懷尔斯成为整个数学🍮界的英(ying)雄。 费马大定理提出的问题非常简单，它是(shi)用一個每个中学生都熟悉的数学定理——毕达 哥拉斯定理——来👙表达的。2000多年(nian)前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直(zhi)角三🥠角形中， 斜边的平方等于两直角边的(de)平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在 研究毕达哥拉斯(si)方程时，他写下🍟一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程(cheng)：Xn＋Yn=Zn,当n 大于2时，这个方程没有任何整数解。費马在(zai)《算术》这本😝书的靠近问题8的页边处记下这 个结论的同时又写(xie)下一個附加的评注：“对此，我确信已发现一個美🚀妙的证法，这里的空 白(bai)太小，写不下。”这就是数学史上着名(ming)🔋的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了 一个數学史上最深奥的谜(mi)。 大问题 在物理學、化学或生物🏯学中，还没有任何问题可以(yi)叙述得如此简单和清晰，却长久不 解。E·T·贝(bei)尔(Eric Temple Bell)在他🌉的《大问题》(The Last Problem)一书中寫到， 文明世界也许在费马大定理得以(yi)解决之🪐前就已走到了尽头。證明费马大定理成(cheng)为数论中最 值得为之奋斗的事。 安德鲁·怀尔斯1953年(nian)出生在英国剑桥🍄，父亲是一位工程学教授。少年时代(dai)的怀尔斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到(dao)：“在学校里我喜欢做🚖题目，我把它们带(dai)回家， 编写成我自己的新题目。不过我以前找到(dao)的最好的🏘️題目是在我们社区的图书馆里发现的。 ”一(yi)天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书館看见了一本书，这本🌆书只(zhi)有一个问题而没有解答 ,怀爾斯被吸引住了。 这就是E·T·贝尔写的《大(da)问題》。它叙述了费马大定理的🥎历史，这个定理让一个又 一個的(de)数学家望而生畏，在长达300多年的时(shi)间里没有人能解决它。怀尔😽斯30多年后回忆 起(qi)被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单，但(dan)历史上所有的大♦️数学家都未能解 决它。这里正摆着我——一(yi)个10歲的孩子——能理🐫解的问题，从那个时刻起(qi)，我知道我永 远不会放弃它。我必须解决它。” 怀尔斯1974年从(cong)👁️‍🗨️牛津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare 学院做博士(shi)🕶️。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研(yan)究费马可能 带来的问题是🎋：你花费了多年(nian)的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate s)正💧在研究椭圆(yuan)曲线的Iwasawa理論，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得🖼️一(yi)位同事 告诉我，他有一个非常好的、刚(gang)完成数学学士荣誉学位第三部(bu)考试的学生，他催促我收其 为学生。我🕑非常荣幸有安德鲁(lu)这样的学生。即使从對研究生的要求来看(kan)，他也有很深刻的 思想，非常清楚他将💧是一个做大事情(qing)的数学家。当然，任何研究生在那个阶(jie)段直🎇接开始研 究费马大定理是不可能的，即使对资历(li)很深的数学家来说，它🐧也太困难了。”科茨的责任 是为怀爾斯找到某种至少能(neng)🗺️使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为(wei)研究 生导师能为学生做的一切就是设法(fa)🌎把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保(bao)证它一定 是一个富有成果的研究方向，但是也許年🍡长的(de)数学家在这个过程中能做的一件事是(shi)使用他 的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在这个(ge)方向上有多🦘大成绩就是他自己的事了。 ” 科茨决定怀尔斯应该研究数学(xue)中称为椭圆曲线的领🏘️域。這个决定成为(wei)怀尔斯职业生涯中的 一个转折点(dian)，椭圆方程的研究是他🛣️实现梦想的工具。 孤独的战士 1980年怀尔斯在(zai)剑桥大学取🤎得博士学位後来到了美国普(pu)林斯顿大学，并成为这所大学 的教授⏰。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世(shi)界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成(cheng)为一 個着名的数论学🐵家，但他清楚地意识到(dao)，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费(fei)马 大定理的任🥤务也是極为艰巨的。 在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是(shi)证明“谷山－志村猜想🧿”，该猜想在两个非(fei) 常不同的数学领域间建立了一(yi)座新的桥梁🥄。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在(zai)一個朋 友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告(gao)诉我🐪，肯·里贝特已经證明了谷山－志村猜想与(yu)费马大 定理间的联系。我🩱感到极大的震动(dong)。我记得那个时刻，那个改变我生命历(li)程的时刻，因为 这意味着🐚为了证明费马大定理，我必须做的一切就是证(zheng)明谷山－志村猜想……我十分清楚 我应该回家去研(yan)究谷山－志📒村猜想。”怀尔斯望见了(le)一条实现他童年梦想的道路。 20世纪初，有人(ren)问伟大的数学家大卫·希🚃尔伯特为什么不(bu)去尝试证明费马大定理，他 回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间(jian)作深入的研究📽️，而我没有那么多的时间 浪费在一件可能(neng)会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到(dao)👗 这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。 怀尔斯作(zuo)了一📫個重大的决定：要完全独立和保密地进(jin)行研究。他说：“我意识到与费 马大定理有关的任何事情都会引(yin)起太多💦人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中 ，除非你的专(zhuan)心不被他🐈‍⬛人分散，而这一点会因(yin)旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有 与证明费马大定理无直接关系的(de)工作，任何时🦦候隻要可能他就回到家里工作，在(zai)家里的頂 楼书房里他开始了通过谷山－志村猜想来证(zheng)明🐪费马大定理的战斗。 这是一场长达7年的持久战，这期(qi)间只有他的妻子知道他♥️在证明费马大定理。 欢呼與等待 经(jing)过7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜想的证明。作(zuo)为一个结果，他也🔇证明了 费马大定理(li)。现在是嚮世界公布的时候了。1993年6月底，有一个(ge)重要的会议要🥗在剑桥大 学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利(li)用这个机会向一群杰出的🍊听众宣布他的工作。他选擇 在牛顿研究所(suo)宣布的另外一个主要原因是剑桥是他🎖️的家乡，他曾经是那里的一(yi)名研究生。 1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的(de)🎏一次数学讲座。两百名数学家聆 听了这一(yi)演讲，但他们之中只有四分之一的人完全🍫懂得黑板上的希腊字母和(he)代数式所表达 的意思。其余的人来(lai)这里是为了见證他们所期待的一个真🥏正具有意义的时刻。演讲者是安(an) 德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲(jiang)最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起(qi)有关演🔥讲的风 声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲(jiang)结束时的镜頭，研🔦究所所长肯 定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明(ming)时，会场上保持着特别🎽庄重的寂静，当我写完 费马大定理的证明時(shi)，我说：‘我想我就在🚉这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声(sheng) 。” 《纽约时报》在頭版以《终于欢呼“我发现了!”，久🥡远的数学之谜获解》为題报(bao)道 费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀(huai)尔斯成为世界上最着名的数学家🏸，也(ye)是唯一的数 学家。《人物》杂志将怀尔斯(si)与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创 意的赞美💒来自一家(jia)国际制衣大公司，他們邀请这位温文尔雅的天才作他(ta)们新系列男🥮装的模 特。 当怀尔斯成为(wei)媒体报道的中心时，认真核对这個证明的工作💿也在进行。科学的程序要 求(qiu)任何数学家將完整的手稿送交一个有声💴望的刊物，然(ran)后这个刊物的编辑将它送交一组审 稿人，审稿(gao)😅人的职责是进行逐行的审查證明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整🌒整一个 夏(xia)天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得🍋到他们(men)的祝福。可是，证明的一个缺陷被發 现了。 我的心灵归于平静 由于怀尔(er)斯的论文涉及到大量的数学🧆方法，编辑巴里·梅休尔决(jue)定不像通常那样指定 2－3個审稿人，而是(shi)6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审🍕稿人(ren)负责其中一章。 怀爾斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人(ren)在电子邮🎡件中提出的问题，他自信这 些问题不会给他造成很大的麻烦(fan)。尼克·凯兹负责审查第😝3章，1993年8月23日，他发现了 证明中的一个小缺陷。数学的绝对(dui)主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方(fang)法中的每💋一步都 行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办法可能就(jiu)在近旁，可是6个多月过去了 ，错误仍🌰未(wei)改正，怀尔斯面临绝境，他准备承认失败。他向(xiang)同事彼得·萨克说明自己的情 况，萨克向他暗🎣示困难的一部分在于(yu)他缺少一个能够和他討论问题并且可信赖的人。经过 长时间(jian)的考虑后，怀尔♥️斯决定邀请剑橋大学的讲师理查德·泰勒到普林斯頓和他一(yi)起工作 。 泰勒1994年1月份🏘️到普林斯顿，可是(shi)到了9月，依然沒有结果，他们准备放弃了。泰勒 鼓励他(ta)🛣️们再坚持一個月。怀尔斯决定在9月(yue)底作最后一次检查。9月19日，一个星期一的早 晨🗞️，怀尔斯发现(xian)了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思(si)议地，我有了一个 难以置信的🏜️发现。这是我的事业中(zhong)最重要的时刻，我不会再有这样的经歷……它的美是如 此地难以形容；它✏️又(you)是如此簡单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我 到系里(li)🐚转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。” 这是少年時代(dai)的梦想和8年潜🍼心努力的终極，怀尔斯终于向世界证(zheng)明了他的才能。世👗 界不再怀疑这一次的证明(ming)了。这两篇论文总共有130页，是历🌼史上核查(cha)得最彻底的数學稿 件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀(huai)尔斯再一次出现在《纽约时报》的🐳头版 上，标题是《数学家称经典之谜已(yi)解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个🥎最 终(zhong)的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智(zhi)力活动的一 曲凯歌，同时🍸，不能忽视(shi)的事实是它一下子就使数学发(fa)生了革命性的变化。对我说来，安 德鲁成(cheng)果的美和魅力🍸在于它是走向代数(shu)数论的巨大的一步。” 声望和荣誉纷至🏵️沓來。1995年，怀尔斯获得瑞(rui)典皇家学会颁发的Schock数学奖，199 6年，他获得沃尔夫奖，并当选为(wei)美国科学院外🚊籍院士。 怀尔斯说：“……再没有别的問(wen)题能像费马大定理一样对我有同样的意义(yi)。我拥有如 此🧸少有的特权，在我的成年时期实(shi)现我童年的梦想……那段特🚠殊漫长的探索已经结(jie)束了， 我的心已归于平静。” 费马大定理只有在🥠相对數学理论的建立(li)之后，才会得到最满意的答案。相对數学理论没有完成之前，谈(tan)这个問题是无力地💶.因为人们对数量和自身(shen)的认识，还没有达到一定的高度(du). iii 费马大定理与怀爾斯的因果律-美(mei)国公🛞众广播网对怀爾斯的专访 358年的难解之谜 数学爱好者费马提出(chu)的这個问题非常简单，它用一个🍄每个中學生都熟悉的数学定理——毕达哥(ge)拉斯定理来表達。2000多年前诞生的毕达哥拉(la)斯定理说：在一个直角三🥛角形中(zhong)，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。即(ji)X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费📗马在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算(suan)术》这本书靠近问题8的页边处写下了这段🐼文字：“设n是大于2的正整数(shu)，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已发🐀现一(yi)个美妙的证法，但这里的空白太小，写不下。”费马(ma)习惯在页边写下猜想，费马大定理是其中困🧮扰数学家们时間最(zui)长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费马最后的定(ding)理）——公认为有史以来最着名的数學猜想。 在畅销(xiao)书作家西蒙🌛·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的长達358年的猎逐充满了惊险、悬(xuan)疑、绝望和狂喜。这💕段历史先后涉及到最多产(chan)的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业数學家的柯西(xi)、英年🌰早逝的天才伽罗瓦、理论兼试(shi)验大師库默尔和被誉为“法国历史🐕‍🦺上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼(man)……法国数学天才伽⏲️罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的(de)神秘自杀、德国数學爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔(er)🕝最后一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥間上帝导演😜的宏大(da)戏剧中的一幕，为最后谜底的解開埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔(er)斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向🥟高潮(chao)并戛然而止，留下一段耐人回味的传奇。 对怀尔斯而📟言(yan)，证明费马大定理不仅是破譯一个难解之谜，更是去🍄实现一个(ge)儿时的梦想。“我10岁时在图书館找到一本数(shu)学书，告诉我有这么一个问題，300多🏪年(nian)前就已经有人解决了它，但却没有人(ren)看到过它的证明⏲️，也无人确信是否有这个证明，从那以后，人们就不断地(di)求證。这是一个10岁小孩就能明🐴白(bai)的问题，然后历史上诸多伟大的数学家們却不(bu)能解答。于是从那❄️时起，我就试过解决它，这(zhe)个问题就是费马大定理。” 怀尔斯于1970年先(xian)后在牛津大学和♠️剑桥大学获得数学学士和数学博士学位(wei)。“我进入剑桥时，我真正🐄把费馬大定理搁在一边了。这不是因为我忘(wang)了它，而是我认识到我们所📔掌握的用来攻克它(ta)的全部技术已经反复使用了130年。而这些技术似(shi)乎没有触及🐌问题根本。”因为担心耗(hao)费太多时间而一无所获，他“暂時放下了”对费马大定理的思索(suo)，开始研究椭圆曲线📢理论——这个看似与证明费马(ma)大定理不相关的理论后来却成为他实現梦想的工具。 时间回溯至(zhi)🐭20世纪60年代，普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所(suo)有主要数学领域之间原本🗻就存在着的统一的链接。如果这个猜想被(bei)證实，意味着在某个数学领域中无法解答的任何🕕问(wen)题都有可能通过这种链接被转换成另一个领(ling)域中相应的问題——可以被一整套新方案解(jie)🌤️决的问题。而如果在另一个领域内仍然难以找到答案，那么可以把问题(ti)再转换到下一个数学領域🎨中……直到它被解决为止。根据朗兰兹纲(gang)领，有一天，数学家们将能够解决曾经是最(zui)🎴深奥最难对付的问题——“办法是领着这些问題周游数学王国的各个风(feng)景胜地❤️‍🔥”。这个纲领为饱受哥德尔不(bu)完备定理打击的费马大定理证明者们🦒指明了救(jiu)赎之路——根据不完备定理，费马大定理是不可证明的。 怀尔(er)斯后来正是依赖💷于这个纲领才得以证明费马大定理的：他(ta)的证明——不同于任何前人的尝试——是现⛳代数学诸(zhu)多分支（椭圆曲线论，模形式理论，伽罗华表示(shi)理论等等)综合发挥作用的📚结果。20世纪50年代由两位日本数学家（谷山(shan)丰和志村五郎）提出的谷山—志📅村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模形式两个(ge)截然不同的数学岛屿間隐藏着一座沟通的桥梁。随后在1984年🚤，德国数学家格(ge)哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山(shan)—志村猜想成立，则费😮马大定理为真。这个猜想緊接着在1986年(nian)被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马🐯大定理不可擺脱地与谷山—志村猜想链接在一起(qi)：如果有人能证明谷山—志村猜想（即“每一个📔椭圆方程都可以模形式化”），那麼(me)就证明了费马大定理。 “人类智力活🔮动的一(yi)曲凯歌” 怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数学家同事们困惑(huo)。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回🚖忆说：“ 我常常奇怪怀尔斯在做些什(shen)么？……他总是静悄悄的，也许他已经(jing)‘黔驴技穷’了。”尼克·凯🚝兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对于这次惊天“大预谋”，肯(ken)·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是🐑我平生来见过的唯一例子，在如此长的时间(jian)里没有泄露任何有关工作😚的信息。这是空前的。 1993年晚春，在经过反复(fu)的试错和绞尽脑汁的演📀算，怀尔斯终于完成了谷山—志村猜想(xiang)的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定理。彼🖱️得·萨奈克是最早(zao)得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……我记得当晚🦐我失眠(mian)了”。 同年6月，懷尔斯决定在剑桥大学的大型系列讲座上宣布这一证明。 “讲(jiang)座气氛很📱热烈，有很多数学界重要人物到场，当大家终于明白(bai)已经离证明费马大定理一步之遥(yao)时，空气中充满了紧⛰️张。” 肯·里比特回憶说。巴里·马(ma)佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座，充满🗂️了(le)美妙的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高(gao)潮。”当怀尔斯在讲座🦆结尾宣布他证明了费马大定理时，他成了全世界媒体(ti)🌽的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”久远的數学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题🥑报(bao)道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上💰唯一的数学家(jia)。《人物》杂志将怀爾斯与戴安娜王妃一起(qi)列为“本年度25位最具魅力🐰者”。 与此同时，认真核对这个证明的工作也在進行(xing)。遗憾的是🚉，如同这之前的“费馬大定理终结者”一样，他的证(zheng)明是有缺陷的。懷尔斯现在不得不在巨大的压力之下👑修正错误，其间数度(du)感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中说🍿: “当时我们(men)其他人（怀尔斯的同事）的行為有点像‘苏联政(zheng)体研究者’，都想知道他的想法和💌修正(zheng)錯误的进展，但没有人开口问他(ta)。所以，某人会说，‘我今天早上看到怀尔🩱斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有(you)微笑，但看起来并不高兴。’” 撑到1994年9月时，怀尔斯准(zhun)🏝️备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他再坚持一个月。就(jiu)在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期一🐯的早晨，怀尔斯发现了问(wen)题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议🚙地(di)，我发现了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆(dai)。然后我到系里转了一圈，又回🚄到(dao)桌子旁看看它是否还在那里——它确实还在那里。” 怀尔斯的证(zheng)明为他赢得🌻了最慷慨的褒扬，其中最具代表性的是他在剑橋时的(de)导师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证🕌明）是人类智力活动的一曲凯歌”。 一场(chang)旷日持久的猎逐就此结束，从此费马大定理与安德鲁(lu)·怀尔斯的名字紧紧🦃地被绑在了一(yi)起，提到一个就不得不提到另外一(yi)个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。 历时八年的(de)最🎰终证明 在怀尔斯不多的接受媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节(jie)🛟目对怀尔斯的专访相当精彩有(you)趣，本文节选部分以飨读者。 七年孤独 NOVA：通常人们通过(guo)团队来获得工作上的支🐣持，那么当你碰壁时是怎么解决問(wen)题的呢？ 怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖(hu)边散散步，散☂️步的好处是使你会处于放松状态，同时(shi)你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时🧤你并不需要书桌，而且我随时把(ba)笔纸带上，一旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿(gao)…… NOVA：这七🍥年一定交织着自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证明。 怀🚋尔(er)斯：我确实相信自己在正确的轨(gui)道上，但那并不意味着我一定能(neng)达到🎓目标——也许仅仅因为解决难题的(de)方法超出现有的数学，也许我需🚞要的方法下(xia)个世纪也不会出现。所以即便我在正确的轨(gui)道上，我卻可能🥧生活在错误的世纪。 NOVA：最终在1993年，你(ni)取得了突破。 怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和(he)孩子们出去🥣了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看到了一篇论🏒文(wen)，上面的一行字引起了我的注意(yi)。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎时意识到这就(jiu)是我该🥰用的。我不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点时我确信(xin)已经证明了费马大定理，然后下楼。Nada很⚓吃(chi)惊，以为我这时才回家，我告诉她，我解决了费马大定理。 最后的修正(zheng) NOVA：《纽约🥺时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》，但他们(men)并不知道这个证明中有个错⛵误。 怀尔斯：那是个存在于关键推导中的(de)错误，但它如此微妙以至于我忽略了(le)🏘️。它很抽象，我无法用简单的语言描述，就算是数学(xue)家也需要研习两三个月才能弄懂。 NOVA：后来你邀请剑桥的(de)数学家🐪理查德·泰勒来协助工作(zuo)，并在1994年修正了这个最后的錯误。问(wen)题是，你的证明和费🦀马的证明是同一个吗？ 怀尔(er)斯：不可能。這个证明有150页长，用的是20世纪的方法🤗，在费马时代还不(bu)存在。 NOVA：那就是说费马的最初证明還在某(mou)🌆个未被发现的角落？ 怀尔斯：我不相信他(ta)有证明。我觉得他说已经找到解答了是在🦇哄自己。这个(ge)难题对业餘爱好者如此特别在于它可能被17世🦡纪的数学证明，尽管可能性(xing)极其微小。 NOVA：所以也许还有数学🏀家追寻这最初的证明。你该怎么(me)办呢？ 怀尔斯：对我来说都一样，费马是(shi)我童年的热望。我会再试其他问题……证明🎪了它我有(you)一丝伤感，它已经和我们一起这么久了……人们对我说“你把我🐨的问题(ti)夺走了”，我能带给他们其他的东西吗？我感觉到有责任。我希望通过解决这(zhe)个问题带来的兴奋可以激励🙉青年数学家们解决其他许许多(duo)多的难题。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何的对象)和(he)模🕥形式(某种数论中用到的周期性全(quan)纯函数)之间的重要联系。虽然名字是从谷山-志🍊村猜想而来,定理的证明是由(you)安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若💽p是一个质數而E是一个Q(有理(li)数域)上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p;除了有限个p值(zhi)，我🍲们会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然(ran)后考虑如下序列 ap = np − p, 这是椭圆曲线(xian)🕟E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个数列。一(yi)个🩲其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的(de)。 谷山-志村定说: "所有Q上的椭圆曲线是模的"。 该定🦦理在1955年9月(yue)由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五郎一起改进了严🕞格性。谷山于1958年自(zi)杀身亡。在1960年代，它和統一数学中的猜想Langlands纲领联系了起🧾来，并是关鍵(jian)的组成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推广🎿，Weil的名(ming)字有一段时间和它联系在一起。尽管有明显的用处，这📄个问(wen)题的深度在后来的发展之前并未被人们所感觉到。 在(zai)1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是🥧猜想(xiang))蕴含着费马最后定理的时候，它吸引到了不少注意力。他通过🍲试图表明费(fei)尔马大定理的任何范例会导致一个非模的椭圆曲线来🌶️做到这一点。Ken Ribet后(hou)来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor證明了谷山-志村定理的一个特殊情况(kuang)(半稳定椭圆曲🖱️线的情况)，这个特殊情况足以证明费尔马大定理。 完整(zheng)的🛖证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的(de)逐步证明剩下的情况直到全📄部完(wan)成。 数论中类似于费尔马最后定理得几个定理可以从谷山-志(zhi)村定理得到。例🏙️如:没有立方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉(la)所知) 在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他🌘们都没有完成给予他们(men)这个成就的定理的完整形式，他們🤩还是被认为对(dui)最终完成的证明有着决定性影響。